最新人教版八年级数学下册第二十章《数据的集中趋势》阶梯训练
第二十章 数据的分析
20．1 数据的代表
1．平均数、加权平均数的定义
(1)平均数：一般地，如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么，x =n
1
(x 1+ x 2+…+x n )叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”．
(2)加权平均数：如果n 个数中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次(这里f 1+f 2+…+f k =n)，那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为：
n
f x f x f x x k
k +++=
2211
这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中f 1，f 2，…，f k 叫做权．
2．中位数和众数的定义
(1)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(一组数据的中位数只有一个)．
(2)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
众数的两个特性：(1)一组数据的众数可能不止一个；(2)众数一定是这组数据中的数据． 3．平均数、中位软和众数的比较
平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的“平均水平”的． 平均数反映了一组数据的“整体水平”，容易受极端值的影响． 中位数反映了一组数据的“中等水平”，计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息．
众数反映了一组数据的“多数水平”，但如果各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义．
基础卷(45分钟)
1．在某次语文期中测试中，10名学生的成绩如下：79，83，76，89，98，83，83，68，79，72，则他们的平均成绩为__________. 答案:81
2．歌咏比赛，7名评委给各组演出的节目评分，在7个评分中，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，求出平均分，作为该节目的实际得分．对于某组演出的评分如下：9．64，9．73，9．70，9．69，9．72，9．69，9．70，则该节目的实际得分是( )
A ．9．704
B ．9．713
C ．9．700
D ．9．697 答案:C
3．从观测所得的数据中取出m 个x 1，n 个x 2，p 个x 3组成一个样本，则这个样本的平均数王是( ) A.
31
(x 1+x 2+x 3) B.p n m x x x ++++321 C.
3321px nx m x ++ D.p
n m px nx m x ++++3
21
答案:D
4．某种商品共10件，第一天以25元/件卖出2件，第二天以20元/件卖出3件，第三天以18元/件卖出5件，则这种商品的平均售价为多少? 答案:10
1
x (25×2+20×3+18×5)=20(元/件) 5．公园里有一群游客正在做团体游戏，游客的年龄如下(单位：岁)：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17游客的平均年龄是___________，中位数是___________，众数是___________．
答案:15 15 15
6．已知一组数据为1，0，-3，2，-6，5，这组数据的中位数为( ) A ．0 B ．1 C ．1.5 D ．0．5 答案:D
解题点拨:求一组数据的中位数，只需将数据由小到大排列起来，如果数据个数是奇数，中间一个即是，如果数据个数是偶数，中间两个数字的平均数就是中位数．将数据由小到大排列为-6，-3，0，1，2，5，中间两个数1和0的平均数为0．5．中位数不一定是这一组数据中的某一个数，当这组数据的个数是偶数时，是中间两个数的平均数． 7．已知一组数据为-3，6，-3，6，13，20，6，1，这组数据的众数是( ) A ．2 B ．-3 C ．6 D ．3．5 答案:C
解题点拨:数据6出现3次，数据-3出现2次，其余的数据都只出现一次． 8．在数据12，19，16，13，14，13，14，13中，众数是______________． 答案:13
9．一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，10，9，8，6，10，8，这名运动员射击环数的中位数与平均数分别是( )
A ．8．5与8．5
B ．3与8．5
C ．8．5与9
D ．8与9 答案:A
10．2，8，70，10，10这组数据的平均数和众数分别是( )
A ．20，70
B ．100，1
C ．20，10
D ．10，10 答案:C
11．求下列数据的众数．
(1)3， 2， 5， 3， 1， 2， 3
(2)5， 2， 1， 5， 3， 5， 2， 2 答案:(1)众数是3． (2)众数是5和2．
解题点拨:一组数据的众数不一定惟一，因此，如果一组数据中有几个数据重复的次数相同，并且次数是最高的，那么这几个数据都是这组数据的众数；众数是一组数据中，出现次数最多的数据，(1)中3出现了三次最多，所以众数是3，(2)中5，2这两个数据都出现了三次，是最高次数，所以数据5，2都是众数，即一组数据的众数不一定惟一．
12．一次测试10名学生体育成绩分别为：28，30，29，22，28，25，27，28，19，27，这组数据的众数和中位数分别为 ( )
A ．28，27．5
B ．27，27．5
C ．28，28
D ．28，27 答案:A
13．某射击运动员一次训练的成绩如图20-1-1．
你认为用什么能较真实地反映该运动员的射击水平?并说明理由．
图20-1-1
答案:平均数．由图可知，该运动员射击成绩比较均衡，没有极端值，中位数为10，所以用中位数不好，不能充分利用所有数据的信息；而众数反映多数水平，在这里也为10；用平均数则很好反映了该运动员的“整体水平”．
提高卷(60分钟)
一、填空题
1．数据x 1-3，x 2-3，…，x 100-3的平均数为9．5，则x 1，x 2，…，x 100的平均数x =_________. 答案:12．5
2．若两组数据x 1，x 2，…，x m ，和y 1，y 2，…，y n 的平均数分别为y x ,，则一组新数据x 1+y 1，x 2+ y 2，…，x m +y n 的平均数为_______________. 答案:y x +
3．某班50人数学考试成绩是：5人100分，30人90分，10人75分，5人60分，则这批数据中的众数是___________，中位数是___________，平均数是___________. 答案:90 90 85
4．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是___________. 答案:-3
解题点拨:由一组数据的平均数定义知
实际平均:30
1
=
x (x 1+x 2+…+x 29+105) 求出的平均数：301=错x (x 1+x 2+…+x 29+15) 30
105
15-=-x x 错=-3
所以由此错误求出的平均数与实际平均数的差是-3．
5．已知2，4，2x ，4y 四个数的平均数是5，而5，7，4x ，6y 个数的平均数是9，则x 2+ y 3的值是_____________． 答案:17
解题点拨:2，4，2x ，4y 四个数的和是20，而5，7，4x ，6y 四个数的和是36，故可以列出方程解出x ，y ．
6．为了估计湖里有多少条鱼，我们从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕第二次样品鱼200条，其中带标记的鱼25条，则估计湖里约有鱼___________条． 答案:800 二、选择题
7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数为15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，
设其平均数为o ，中位数为b ，众数为c ，则有( )
A ．a ＞b ＞c B.b ＞c ＞0 C ．c ＞0＞b D ．c ＞b ＞a 答案:D
8．下列结论中正确的是( )
①一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，则(x 1-x )+( x 2-x )+(x 3-x )+…+(x n -x )=0 ②众数是一组数据中相同数据出现最多的次数 ③给定的一组数据的平均数一定只有一个 ④给定的一组数据的众数一定只有一个
A.①② B ．①④ C.①③ D ．②④ 答案:C 三、解答题
9．求下面这组数据的平均数、中位数和众数． 249，252，250，246，251，249，252，249， 253，254，249，256，249，252，255，253．
答案:取a=250，原数据分别减去250，得到一组新数据：-1，2，0，-4，1，-1，2，-1，3，4，-1，6，-1，2，5，3． 计算新数据的平均数：161'=
x (-1+2+0+……+3)=16
1×19=1．1875原数据的平均数是：'x x =+a=1．1875+250=251．1875
把这组数据从小到大排列：246，249，249，249， 249， 249， 250， 251， 252， 252，
252，253，253，254，255，256最中间的两个数据是251，252． 中位数=
2
1
(251+252)=251．5 在16个数据中，249出现了5次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是249． 解题点拨:通过观察发现，上面16个数据都在250左右波动，可将上面各数据同时减去250，转化为计算一组数值较小的新数据的平均数．
10．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年经验知道，鱼苗成活率为95％，一段时间后准备打捞出售，第一次网出10条，称得平均每条鱼重2．5kg ，第二次网出25条，称得平均每条鱼重2．2kg ，第三次网出35条，称得平均每条鱼重2．8kg ，请估计鱼塘中鱼的总重量约是多少? 答案:35
251035
8.2252.2105.2++?+?+?=
x =2.97(kg)
鱼塘中的鱼的成活数量为100 000×95％=95000(条)． ∴鱼塘中的鱼的总重量约为2．97×95000≈282 150(kg)． 11．由生活中的一个故事：某公司现有9名员工，王先生来应聘普通职员工作，经理介绍说：“我公司员工收入很高，月平均工资为2000元．你先试用一星期再谈工资．”王先生工作几天后，找到经理说：“我问过几个职员，没有一个职员的月工资超过2000元，那怎么可能是月平均工资为2000元?”经理出示了月工资表：
员工 经理 副经理 中级职员 一般职员 杂工 月工资/元 5000 4500 1500 1200 700 人数
1
1
2
4
1
(1)经理有没有说谎?
(2)平均月工资2000元能否真实反映职员(两个经理除外)的平均收入?
(3)你认为用什么数据比较合理． 答案:(1)经理没有说谎，经理所说的2000元是将公司五种人的工资相加后除以人数所得的平均数．
(2)平均月工资2000元不能真实反映职员的平均收入． (3)用众数．
12．某公司销售部有营销人员15人，某个月他们各自的销售量为：
每人销售件数
1800 510 250 210 150 120 人数
1
1
3
5
3
2
如果你是销售部的负责人，请你制定一个较合理的销售定额，并说出理由．
答案:众数：210；中位数：210；平均数：320如果选用平均数320作为标准，15人中有13人未达到320件，不能反映营销人员的一般水平，销售额定为210件合适一些，因为它是众数也是中位数是大多数人能达到的定额．
13．某班四个小组的人数如下：10，10，x ，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数． 答案:平均数：
4
28481010x
x +=+++
(1)当x ≤8时，原数据按从小到大排列为： x ，8，10，10，其中位数为2108+=9若4
28x
+=9，则x=8 ∴此时中位数为9
(2)当8＜x≤10时，原数据按从小到大排列为：8，x ，10，10，其中位数为
2
10x
+若2
10428x
x +=+，则x=8，不在8＜x≤10范围内，也就是说x 不可能在8＜x≤10范围内． (3)当x≥10时，原数据按从小到大排列为：8，10，10，x 其中位数为2
10
10+=10
若4
28x +=10，则x=12．
∴此时中位数是10．
综上所述，这组数据的中位数是9或10．
解题点拨:根据求平均数公式可列出谊数据组的平均数为
4
1
(10+10+x+8)，中位数要先从小到大排列后才可求出，又不知道x 的大小，就要分情况讨论，然后列方程求解．分类讨论是数学中的重要思想方法，解题时一定要全面考虑，对可能出现的各种情况要逐个研究讨论．
综合训练卷(90分钟，满分100分)
一、填空题(每小题3分，共18分)
1．有一组数，它们是：2个1，3个2，4个3，……，10个9，11个10．则这组数的平均数是____________．(保留2位有效数字) 答案:6．8
2．如果一组数据同时减去350后，新数据中众数为7．3，则原数据的众数是___________. 答案:357．3
3．若数据y 1，y 2，y 3，y 4满足y 1＜y 2＜y 3＜y 4＜0，则数据- y 1，y 2，y 4,-y 3的中位数是_____________. 答案:
2
1
(y 4-y 3)
解题点拨：y 2＜y 4＜-y 3＜-y 1．
4．若数据3，x ，8，16的平均数为24，则其中位数是___________. 答案:12
解题点拨：此题不用求出x ，因为3，8，16均小于平均数24，所以x 肯定大于24.所以中位数应为(8+16)÷2=12
5．请用计算器求371，415，,363，389，400，377，386，393，397，380的平均数__________________. 答案:387.1
6．如果一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，的平均数是3，那么数据(x 1-2)，(x 2-2)，(x 3-2)，(x 4-2)，(x 5-2)的平均数是_____________. 答案:1
二、选择题(每小题3分，共15分)
7．由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于-1，则-1，-x 1，x 2，-x 3，x 4，-x 5的中位数是( ) A.
211x -- B. 215x -- C.2
21x x - D.23
4x x -
答案:B
解题点拨：x 1＜x 2＜x 4＜-1＜-x 5＜-x 3
8．下列各组数据中，其众数、中位数、平均数都相等的是( )
A ．17，17，18，19
B ．24，25，23，24
C ．42，42，41，40
D ．4，3，2，5 答案:B
9．平均数、众数和中位数从不同的角度描述一组数据的集中趋势，其中应用最广泛的是( )
A.平均数 B ．众数 C.中位数 D ．众数和中位数 答案:B
10．数据中4，7，9，5．分别出现3，6，1，2次，且再没有其他的数，则众数、中位数、平均数分别是( ) A ．无，6，
425 B ．7，7，1216 C ．7，7，1136 D ．3，4，17
83 答案:B
11．数据a ，b ，c ，x ，y 的平均数是m ，若a+b+c=3n 则数据a ，b ，c ，-x ，-y 的平均数为( ) A ．6n-5m B ．4n-5m C.
n 56-m D.5
4
n-m 答案:C
三、解答题(共67分)
12．(9分)一组数据x 1，x 2，x 3的平均数是a ，数据y 1，y 2，y 3的平均数是6，求数据2x 1+3 y 1，2x 2+3y 2，2x 3+3 y 3的平均数． 答案:2a+3b
13．(9分)在数据组-1，0，4，5，8中插入一数据x ，使该数据组的中位数是3． (1)求x.
(2)求该数据组插入x 后的平均数． 答案:(1)x=2， (2)平均数为3．
14．(9分)算得一次体育测验初三全年级四个班的平均成绩分别是4321,,,x x x x ，于是一位同学断言：这一次测验全年级的平均成绩是
4
1
(4321x x x x +++)，你同意这种说法吗?为什么?
答案:不同意．因为年级平均成绩应为年级总分除以年级总人数，即
)()(432144332211n n n n n x n x n x n x x +++÷+++=由于各班人数n 1，n 2,n 3,n 4不相同，
x ≠).(4
1
4321x x x x +++
15．(9分)已知在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次，其中f 1+f 2+…+f k =n ，x 是这n 个数据的平均数，试证明f 1(x 1-x )+f 2(x 2-x )+f 3(x 3-x )+…+f k (x k -x )=0． 答案:f 1(x 1-x )+f 2(x 2-x )+…+f k (x k -x ) =f 1x 1-f 1x +f 2x 2-f 2x +…+f k x k -f k x =(f 1x 1+f 2f 2+…+f k x k )-(f 1+…+f k ) x ∵f 1+f 2+…+f k =n
∴x (f 1+…+f k )=x ·n=这组数的总和． 而f 1x 1+f 2x 2+…+f k x k 也为这组数的和． ∴(f 1x 1+f 2x 2+…+f k x k )-(f 1+…f k )x =0
16．(9分)甲、乙两个投掷运动员，在训练中甲投9次、乙投10次的投掷距离如为(单位：米)
甲：43，49，45，44，46，48，47，42，45． 乙：46，43，48，50，45，47，45，44，42，45．
分别求甲乙两名运动员投掷距离的中位数、众数和平均数．
答案：甲：中位数：45，众数：45；平均数：45．4．乙：中位数：45；众数；45；平均数：45．5．
17．(9分)甲、乙两班举行汉字输入速度比赛，成绩如下： 参赛数 平均字数 中位数 甲班： 55 135 149 乙班： 55 135 151
如果每分钟输入150个以上为优秀，你认为哪个班较好?为什么?
答案：乙班较好．因为甲乙两班参赛人数一样多。均为55人，那么中位数就是成绩居23位的同学．甲班中位数为“9，那么甲班最多也只有22人成绩为优秀，而乙班中位数为151，则乙班最少也有23人成绩为优秀，而且甲乙两班平均成绩一样，所以乙班成绩较好． 18．(13分)为了了解中学生的身高情况，对某中学同龄的若干女生身高进行测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图20-1-2所示，已知图中从左到右五个小组的频率分别为0．017，0．050，0．100，0．133，0．300，第三小组的频数为6．
图20-1-2
(1)参加这次测试的学生数是多少?
(2)试问这组频率中分布的中位数和众数在哪个身高的范围内．且在这个范围内人数是多少?
(3)如果本次测试身高在157cm以上(包括157cm)的为良好，试估计该校女生身高良好率是多少?
答案：(1)60人．
(2)157—160cm，人数为18人．
(3)70％．
解题点拨：总人数=频数/频率=6÷0．100=60