利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性
知识要点梳理
1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/
y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/
y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。
（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/
y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。
那么在这个区间内/
y ≤0。
2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；
②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；
④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。）
疑难点、易错点剖析：
1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。
2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。
3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。
直击考点
考点一 求不含参数的函数的单调区间
考例1.求函数y =x 2
(1－x )3
的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。
解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2
·(－1)
=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2
·(2－5x )
令x (1－x )2
(2－5x )＞0，解得0＜x ＜
5
2. ∴y =x 2(1－x )3
的单调增区间是(0，
5
2) 令x (1－x )2
(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52
且x ≠1. ∵1x =为拐点，
∴y =x 2(1－x )3
的单调减区间是(－∞，0)，(
5
2
，+∞) 其函数的大致图像如下图：
锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f ’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是2,5??+∞ ???，而12,5??
∈+∞ ???
。 举一反三：
1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）
A ．),(1
+∞-e
B ．),(1
--∞e
C ．),0(1
-e D ．),(+∞e
答案：C
2.(05年广东高考题)函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 答案：D
解析：2
2
'36,360,0 2.y x x x x x =--<<<令解得
考点二 求含参数的函数的单调区间
考例2 ．（06山东卷）设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。 解：由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1
()(1),1
ax f x a x -=
≥-+ （1）当10a -≤≤时，'
()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，
（2）当0a >时，由'
()0,f x =解得1.x a
=
'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表
从上表可知
当1(1,)x a
∈-时，'
()0,f x <函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减. 当1(,)x a
∈+∞时，'
()0,f x >函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增. 综上所述：
当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.
当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增. 锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论. 举一反三： （06山东卷）设函数f(x)= 3
2
23(1)1, 1.x a x a --+≥其中 (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值.
解：由已知得 []'
()6(1)f x x x a =--，
令'
()0f x =，解得 120,1x x a ==-.
（Ⅰ）当1a =时，'2
()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增
当1a >时，()'()61f x x x a =--????，'
(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：
从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当1a =时，函数()f x 没有极值.
当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值3
1(1)a --. 考点三 利用导数证明不等式
考例3. 当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2
x .
思路分析：假设构造函数f (x )=e 2x －1－2x .∵f (0)=e 0
－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以得到证明.
证明：令f (x )=e 2x －1－2x . ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x
－1)
∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x
－1)＞0, 即f ′(x )＞0
∴f (x )=e 2x
－1－2x 在(0，+∞)上是增函数.
∵f (0)=e 0
－1－0=0.
∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x
－1－2x ＞0.
∴1+2x ＜e 2x
锦囊妙计：通过构造函数, 利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x 赋值, 利用单调性证明一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法.
举一反三:
1.已知x>1，证明不等式x>1n(1+x) 思路分析： 构造函数
()ln(1)f x x x =-+，利用导数知识讨论()f x 的单调性,从而证得.
()f x (0)f >
解：令()ln(1)f x x x =-+，则1()111x
f x x x
'=-
=
++，1,()0x f x '>∴>Q ，()f x 在（1，)+∞上为增函数 ,∴当x>1时,f(x)>f(1),即x-1n(1+x) >1-1n2>0, ∴x>1n(1+x). 2.证明不等式1(0)x
e
x x >+≠
提示:构造函数1x
e
x f(x)=－－ ,利用导数证明函数1x
e f(x)=－－x 是增函数。
考点四 利用导数讨论（求）函数中的参数的取值范围
考例4．（06全国II ）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．
解法一：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ， 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e
a －1
－1，
(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)， 即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ．
(ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1
－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e
a －1
－1)是减函数，
又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e
a －1
－1，都有g (x )＜g (0)，
即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． 解法二：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，
于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立． 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e
a －1
－1，
当x ＞ e
a －1
－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，
当－1＜x ＜e a －1
－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，
所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a －1
－1≤0．
由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． 举一反三：（06湖南卷）已知函数a
x ax x f 3
13)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，
求实数a 的取值范围.
解 （Ⅰ）由题设知)2(363)(,02a
x ax x ax x f a -=-='≠.
令a
x x x f 2,00)(21==='得. 当（i ）a >0时，
若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)2
,(a -∞上是增函数；
若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2
,0(a 上是减函数；
若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2
(+∞a
上是增函数；
（i i ）当a ＜0时，
若)2,(a x -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2
,(a -∞上是减函数；
若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2
,0(a 上是减函数；
若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2
(a
上是增函数；
若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，且函数)(x f y =在a x x 2,0=
=处分别是取得极值a f 3
1)0(-=，134)2(2+--=a a
a f .
因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2
()0(≤?a
f f .
即0)3
1)(134(2
≤-+-
-
a a a .所以0)4)(3)(1(2≤--+a
a a a . 故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且.
解得 －1≤a ＜0或3≤a ≤4.即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4].
误区警示：
例．已知函数f(x)=x 3
+bx 2
+cx+d 满足以下3个条件：
①在-∞(，0]上为增函数 ②在[0，2]上为减函数 ③f (2)=0 1）求c 的值； 2）求f(1)的范围。
常见错误：由f(x)在[0，2]上为减函数，f(2)=0,得'(2)0f =，导致b 的范围缩小，进而导致求f(1)的范围出错。
正解：①由条件①②知，x=0为y=f(x)的极值点
又c bx x x f ++='23)(2
∴0)0(=='c f
②由于c=0 则f(x)=x 3+bx 2
+d 从而f(1)=1+b+d
又知：f(2)=8+4b+d=0?d=-8-4b 则f(1)=-3b-7
由②知，304120)2(-≤?≤+?≤'b b f ∴f(1)≥(-3)×(-3)-7=2 故f(1)≥2。
紧扣考纲大演练
一.单项选择题
1. （原创题）函数ln y x x x =+的单调递减区间是
A ．2
(,)e --∞
B ．2
(0,)e -
C ．2
(,)e -+∞
D ．2
(,)e +∞
答案：B
3. 已知函数()x f ,(R x ∈)上任一点(0x ,()0x f )处的切线斜率为k=()()2
0012+-x x ，则该函数的单调递减区间为( )
A [)∞+- 1
B (]2 ∞-
C ()1-∞- 和（1 2）
D [)∞+ 2 答案：B
2.
4．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图像如图，
则导函数)('x f 的图像可能是（ C ）
5．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示
))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中
)(x f y =的图象大致是（ C ）
6．已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如右图，则)(x f y =：
A ．在(-∞，0)上为减函数
B ．在x=0处取得最大值
C ．在（4，+∞）上为减函数
D ．在x=2处取得最小值
6．C [思路分析]：由导函数的性质知，)(,0)(x f x f >'递增，)(,0)(x f x f <'递减。从图像上知，当x>4时，0)(<'x f ，∴)(x f 在（4，+∞）上递减。
二.填空题
7．（改编题）函数x x x f ln 2)(2
-=的单调减区间是__________. 答案：]1,0(
解析：首先考虑定义域0)1(222)(),,0(2≥-=-='∞+x
x x x x f 由及0>x 知10≤ 8. (原创题)函数()3 f x kx x =-在R 内是减函数，则k 的取值范围是________________ 答案：k<0 9．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= 。 10．（改编题）设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 ,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且0)2 1 (=-g 则不等式0)()( ___________________= 答案：)2 1 ,0()21,(Y --∞ 三.解答题 11.（06安徽卷）设函数()3 2 ()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。 解析：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。从而 322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是 一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）知3 ()6g x x x =-，从而2 ()36g x x '=-，由此可知， (,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间； (是函数()g x 是单调递减区间； ()g x 在x =，()g x 在x = 极小值为- 13．（07佛山市质检）已知函数2 2 ()ln (0),f x x a x x x =+ +> (1) 若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围； (2) 若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式12 121[()()]( )22 x x f x f x f ++≥成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的“凹函数”. 试证当0a ≤时，()f x 为“凹函数”. （Ⅰ）由()2 2 ln f x x a x x =+ +，得()'222a f x x x x =-+ 。 函数为[1,)+∞上单调函数. 若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()' 0f x ≥在[1,)+∞上 恒成立，即不等式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立. 也即2 22a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立. 令22()2x x x ?= -，上述问题等价于max ()a x ?≥，而22 ()2x x x ?=-为在[1,)+∞上的 减函数，则max ()(1)0x ??==，于是0a ≥为所求. （Ⅱ）证明：由()2 2 ln f x x a x x =+ + 得 ()()()()1222121212111ln ln 222 f x f x a x x x x x x +??=+++++ ??? ( )22121212 12x x x x a x x += +++ 2 12121212 4ln 222x x x x x x f a x x +++????=++ ? ?+???? 而()()2 222212121212112242x x x x x x x x +????+≥++= ????? ① 又()( )2 2 2 1212 1 21224x x x x x x x x +=++≥， ∴ 121212 4 x x x x x x +≥+ ② 122x x +≤ ∴12 ln 2 x x +≤， ∵0a ≤ ∴12 ln 2 x x a a +≤ ③ 由①、②、③得( )2 221212121212 1422x x x x x x a a x x x x ++??+++++ ?+??即()()121222f x f x x x f ++??≥ ??? ，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. 用导数判断函数的单调性 2003年高考（新课程卷·理）第19题对函数的单调性进行了考察，题目如下： 【题目】设0>a ，求函数)ln()(a x x x f +-=)),0((+∞∈x 的单调区间。 解：a x x x f +- = '1 21)(（0>x ） 当0>a ，0>x 时， 0)(>'x f ?0)42(22>+-+a x a x ， 0)(<'x f ?0)42(22<+-+a x a x ， （i ）当1>a 时，对所有0>x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞单调递增； （ii ）当1=a 时，对1≠x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递增， 又知函数)(x f 在1=x 处连续，因此)(x f 在),0(+∞单调递增； （iii ）当10<'x f ，即0)42(2 2>+-+a x a x ， 解得a a x ---<122或a a x -+->122，因此，函数)(x f 在)122,0(a a ---单调递增，在),122(+∞-+-a a 单调递增， 令0)(<'x f ，即0)42(2 2<+-+a x a x ， 解得a a x a a -+-<<---122122， 因此，函数)(x f 在)122,122(a a a a -+----上单调递减。 本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）： 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 5、利用导数判断函数的单调性 一、选择题 1．函数y ＝x 3 的递减区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．不存在 2．函数f (x )＝x －e x 的单调增区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞ ) C ．(－∞，0) D ．(－∞，1) 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 4．三次函数y ＝f (x )＝ax 3 ＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <13 5．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a ) ≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 6．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ????－π，－π2和? ????0，π2 B.? ????－π2，0和? ????0，π2 C.? ????－π，－π2和? ????π2，π D.? ????－π2，0和? ?? ??π2，π 7．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac ≥0 B ．b 2－4ac ≤0 C ．b 2－3ac ≤0 D ．b 2－3ac ≥0 8．函数f (x )＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( ) A.? ????0，12 B.? ????0，24 C.? ????12，＋∞ D.? ????－12，0及? ????0，12 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 高二（下）数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 （一）求函数)(x f 单调区间的方法： 1.如果在),(b a 内，0)(/ >x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； 2.如果在),(b a 内，0)(/ 【典型例题】 例题1（1）确定函数422+-=x x y 的单调区间； （2）找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间； （3）求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x ）的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 （1）x e x f x -=)(；（2）x e x x f ln 2)(2-=； （3）x e x x x f -++=)1()(2 例题3 （1）求方程0＝7＋6x －2x 23在区间(0,2)上的根的个数． （2）证明方程x －12 sinx ＝0有惟一解． 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数， 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33 -+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为：(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: （1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =- 解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞ 函数的单调递减区间为：(,0)-∞ （2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞ 函数的单调递减区间为：(0,1) 例2、 证明：函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明：222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解：函数的递增区间： ∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解：函数的定义域(0,)+∞ 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 函数单调性判断方法（五）-导数法 函数在区间上连续，在内可导，且在内 ① 如果 ，那么函数在区间上单调增加 ② 如果 ，那么函数 在区间 上单调减少 由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域 ② 求导数 ③ 令 解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为 ④ 确定区间 内导数符号 ⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这 区间内递减。 例1：（2011安徽）设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ① （I ）当34= a ，若.21,23,0384,0)(212 ===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以,231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. x )2 1,(-∞ 2 1 )2 3,21( 2 3 ),2 3 (∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知 0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增 例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 221212122(1)2(1)1'(), 1 12(1)2(1)1012(1)() 3 1 0,'()23 (1)(31)(1)(31)11 0,, 22(1)22(1)0'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x a a a x a x a a a f x a a a a x x a a a a a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=?=------=->=+--<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点 且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)1 10,'()0,()(0,)3 1 1'()0(0),()(0,)(1)(31)(1)(31)11 10,0,0,'()22(1)22(1)x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x a a a a a x x f x a a a a a a <<<≤>+∞---->?>=->=+<--；当时，在(内为减函数 当时，在内为增函数； 当时，在内为增函数； 当时，所以在定义域内有唯一零点 ②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数； 综上所述，f(x)的单调区间如下表： 103a << 1 13 a ≤≤ 1a > 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数. 利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+- 3.3.1利用导数判断函数的单调性 一、学习目标：学会利用导数判断函数的单调性. 二、复习巩固： 1.函数的平均变化率如何求？ 2.导数与平均变化率的关系是怎样的？ 3.如何用定义证明函数单调性？ 三、自主学习：自学课本，思考下面问题： 1. 设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导，那么在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间内的增函数；在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间 内的减函数 ？ 2. 求函数单调区间可以分几步完成？ 注：（1）若函数在区间的端点有意义，写区间时往往把端点写进去。 （2）若有多个单调区间，不可以用“∪”并起来！但可以用“和”“及”连起来 3. （重要结论）设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导， 若函数y=f(x) 为这个区间内的增函数，则在这个区间内f (x)0'≥恒成立； 若函数y=f(x) 为这个区间内的减函数，则在这个区间内f (x)0'≤恒成立。 四、尝试练习： 1.（A ）y=2x-x 2的单调增区间为 ( ) A ．（0，2） B ．（-∞，1） C ．（-1，1） D ．（1，+∞） 2.（A ） 函数1 y x x =- 的单调区间为（ ） A. ),0()0,(+∞-∞ B. (,0)(0,)-∞+∞和 C. (,1),-∞ D. (1,)+∞ 3.（B ）函数x e f(x)=x 的单调增区间是（ ） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞ C. (1,1),- D. (1,)+∞ 4.（A ）函数y=x x ln 21 -的单调减区间为 . 5.（A ）函数f (x )=1 3 x 3－x 2-3x+1的单调增区间为 减区间为 . 6.（B ）求证：当x<2时32 x 6x 12x 17-+-<. 7.（C ）确定函数f (x )=a x (a 0)x + >在(0，+∞)上的单调区间. 五、小结： 六、：巩固提升： 1.（A ）关于函数762)(2 3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A.在区间)0,(-∞内，f(x)为增函数 B.在区间（0，2）内，f(x)为减函数 C.在区间),2(+∞内，f(x)为增函数 D.在区间),2()0,(∞+-∞ 内，f(x)为增函数 2.（A ）函数y=xlnx 的单调减区间是（ ） A.?? ? ??∞+,1e B.?? ? ??∞-e 1, C.?? ? ? ?e 1, D.()∞+,e 3.（B ）设)('x f 是函数f(x)的导数，y f '(x)=的图象 如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（ ） 4．（B ）函数f(x)的导函数)('x f y =的图象如下图， 则函数f(x)的单调递增区间为 5.（B ）函数f (x )=4 x x + 的增区间为 ； 减区间为 . 6.（C ）证明不等式：x e x 1≥+ 1.3.1利用导数判断函数的单调性 -----主备人：韩甜甜 【课前预习案】 阅读教材24--25页，填写知识点. 1.知识回顾：怎样判断函数的单调性？ ⑴、__________ ⑵、___________ 思考：判断函数2x y =的单调性，画出图象，思考其导数和单调性的关系. 2. 设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，（1）如果_________,则)(x f 为增函数；如果_________,则)(x f 为_________.（2）如果)(x f 在),(b a 上单调递增，则_________；)(x f 单调递减，则_________。 【课内探究案】 【教学目标】1、解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系； 2、会利用导数求函数的单调区间，利用导数画出函数的大致图像。 【教学重点】 利用导数求单调区间 【教学难点】导数与单调性的关系，含参数问题和证明。 探究一 应用导数求已知函数的单调区间： 例1、求下列函数的单调区间： （1）x x x f 3)(3-= ；（2）3)(x x f = ； （3）x x x f 1)(- = ；（4）x y e x =- 跟踪练习： 1．函数x x y 1+=的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-∞-，()+∞,1 C ．()()1,00,1 - D ．()()1,0,0,1- 2.求函数ln y x x =的单调区间. 探究二 利用导数求参数范围： 例2.已知函数332y x mx x =-++在R 上单调递增，求实数m 的取值范围. 跟踪练习： 1. 已知函数),0()(2R a x x a x x f ∈≠+ =，若函数)(x f 在),2[+∞∈x 上是单调递增的，求a 的取值范围. 归纳总结. 1．导数法判定单调性的步骤： （1）求定义域；（2）求导数；（3）()()00'<>x f ，则()x f 为增（减）函数； 2．已知函数单调区间求参数范围； 3．注意：()0'>x f 则()x f 为增函数的充分不必要条件； 利用导数求单调性与已知单调性求参数范围，天差地别，你了解了吗？ 前面小数老师已经讲过两道了，分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒成立问题”，大家还记得吗？今天又是一道导数题，小数老师带大家来看第三种常考的类型，“已知函数的单调性，求参数的取值范围”，大家往下看吧！还是建议同学自己先试着做一下！ 这道导数题，函数解析式看着不是很复杂，第（1）问求函数的单调区间与最值，也不需要讨论，因为参数k的值已知，按照我们以前说的方法求解即可；第（2）问已知函数的单调性，求参数取值范围，是一个容易出错的点，下面小数老师重点与大家一起分析下！ 回顾1、对于函数y=f(x)， 若导数f’(x)在区间M上大于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递增； 若导数f’(x)在区间M上小于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递减。 2、对于函数y=f(x)， 若函数y=f(x)在区间M上单调递增，则导函数f’(x)在区间M上大于等于0； 若函数y=f(x)在区间M上单调递减，则导函数f’(x)在区间M上小于等于0； 3、关于含参不等式的恒成立问题，你还记得怎么做吗？ 小数老师再提醒下：首先先看能否参变量分离，如果能分离是最好的，如果不能分离，就按照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈！ 4、关于函数单调性的说法，并不仅仅是像题目中直接告诉你哦，你看到的也有可能是这样的，还有可能是这样的： 这两种情况，都是告诉你函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增哦。好了，接下来跟小数老师一起来解题吧！ 解析 （1）当k=0时，所以 x (0,1) 1 (1,+ ∞) f’(x)+ 0 - f(x) 递增极大值递减 所以y=f(x)的最大值是f(1)=2. 注意：求函数的单调区间之前，千万别忘了函数的定义域哈！ （2）函数y=f(x)在区间[1,2]上单调，（未说明单调增还是单调减，所以此处应该有分类讨论） ①若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≥0，x∈[1,2], ②若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减， 根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≤0，x∈[1,2],用导数判断函数的单调性
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