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改进的Markov切换系统区间时滞相关稳定性与H_分析_赵旭东

改进的Markov切换系统区间时滞相关稳定性与H_分析_赵旭东
改进的Markov切换系统区间时滞相关稳定性与H_分析_赵旭东

第35卷第2期大连海事大学学报Vol.35N o.2 2009年5月Journal of Dalian Maritime University M ay,2009

文章编号:1006-7736(2009)02-0097-05

改进的Markov切换系统区间时滞相关稳定性与H]分析X

赵旭东,凌明祥,曾庆双,高会军

(哈尔滨工业大学空间控制与惯性技术研究中心,哈尔滨150001)

摘要:为降低系统时滞相关稳定性及性能条件的保守性,构造新的Ly apuno v-Krasovskii函数,并引入改进的积分等式方法,以线性矩阵不等式的形式提出具有较小保守性的区间时滞依赖稳定性条件,并给出系统满足性能的充分条件.数值仿真证明了本文方法的有效性。

关键词:M arkov跳跃系统;时滞相关稳定性;线性矩阵不等式;H]性能

中图分类号:T P13文献标志码:A

Delay-range-dependent stability and H] analysis for improved Markovian jump systems with interval time-varying delays

ZHAO Xu-dong,LI NG M ing-x iang,

ZENG Qing-shuang,GAO Hu-i jun

(Space Control and Iner tial T echnology Institu te,

Harbin Institute of Technology,Harbin150001,China)

Abstract:T o reduce the conservatism o f delay-rang e-dependent stability and H]performance cr iter ia,a L yapunov-K rasovskii function was developed and the impr oved integ ra-l equalit y ap-proach was introduced.T hen a less conservativ e delay-r ange-de-pendent stability cr iterion for M ar kovian jump systems was pro-posed in terms of linear matr ix inequalities,and a sufficient con-dition w as derived from the H]performance.N umerical simu-lations demonstrate the efficiency of the proposed method.

Key words:M arkovian jump systems;delay-dependent stability;

linear matr ix inequalities;H]performance

0引言

近年来,对时滞马尔可夫随机切换系统的研究引起了许多学者的关注.对于时滞系统的稳定性准则的研究已有了一些成果[1-2].文献[3]给出了均方随机稳定的充分条件;文献[4]提出了指数稳定条件;文献[5]采用LM I方法解决了H]滤波问题;文献[6]给出了非线性扰动下滤波设计方法;文献[7]讨论了马尔可夫切换系统的H]降阶问题.以上这些结果都是时滞独立的,时滞依赖相对于时滞独立

具有较低的保守性,尤其是当时滞较小时,所以对于Markov切换系统,得到其时滞依赖稳定性条件是很有必要的.文献[5]利用确定模型变换法和交叉项界定的技术得到系统稳定的时滞依赖充分条件.文献[8]给出了M arkov切换系统时滞依赖输出反馈镇定条件.值得注意的是,近来的研究注意力已经倾向于如何降低时滞依赖结果的保守性,究其原因是在推导过程中采用的模型变换法和一些边界条件.文献[9]采用自由权矩阵方法对时滞Markov切换系统进行研究,得到具有更低保守性时滞相关稳定性条件.

本文将从降低保守性的目的出发,讨论区间时滞M arkov切换系统的区间时滞相关稳定性条件与H]性能分析,应用改进的Lyapunov-Krasovskii函数与引进新的积分等式,以LM I的形式给出保守性更低的时滞相关稳定条件与系统具有H]性能的充分条件.仿真算例证明了本文方法的有效性.

1系统描述

本文E[#]表示数学期望,+#+表示向量的Euclidean范数和矩阵的普范数,M>0表示对称正定矩阵.当r(t)=i I S={1,,,N}时,记A i= A(r(t)).

考虑如下区间时滞随机Markov切换系统

?x(t)=A(r(t))?x(t)+A

d

(r(t))?x(t-d(t))+D1(r(t))w(t)

z(t)=C(r(t))?x(t)+C

d

(r(t))?x(t-d(t))+D2(r(t))w(t)

x(t)=U(t),t I[-h

2

,0]

(1)

X收稿日期:2008-09-24.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60504008).

作者简介:赵旭东(1982-)男,哈尔滨人,博士研究生,E-mail:zx d7777777@https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html,.

通信作者:曾庆双(1964-)男,吉林扶余人,教授,博士生导师,E-mail:zqshuang2000@yahoo.co https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html,.

其中:x (t )I R n

为系统状态向量;w (t )I R p

为定义在L 2

([0,]])的随机噪声信号;z (t )I R q

为系统被控输出信号;r (t )为定义在完全概率空间{8,F ,P }上取值于有限状态集S ={1,,,N }的右连续Markov 链,其状态转移速率矩阵

P {r (t +$t )=j |r (t )=i }=

L ij $t +O ($t )1+L ij $t +O ($t )

j X i

j =i

(2)

其中L ij \0,j X i ,L ii =-E

N

j =1,j X i

L ij .初始函数U

(t )I L 2

F 0([-d ,0];R n

),L 2

F 0([-h 2,0];R n

)表示取值于R n

上随机过程N (s ),-h 2[s [0的全体,即N (s )为F 0-可测,并且

Q

-h

2

%+N (s )+2

d s <].式

(1)中d (t )为区间时变时滞,满足:h 1[d (t )[h 2,?d (t )[L .

具有时变时滞的Markov 切换系统的时滞项大都定义为0[d (t )[h

[5,8-9]

,本文要求h 1[d (t )

[h 2,?d (t )[L ,而对h 1、L 并无限制,因此本文中的时滞更具一般性.

定义1 时滞马尔可夫切换系统

?

x (t )=A (r (t ))x (t )+A d (r (t ))x (t -d (t ))x (t )=U (t ),t I [-h 2,0]

(3)

是随机稳定的.如果对于[-h 2,0]上的初值U (t )和r (0)I S ,满足以下条件:lim t y ]

E {Q

t

x 3

(t ,U ,r (0))x (t ,U ,r (0))}<]

2 主要结果

定理1 给定常数h 1、h 2,对任意时滞d (t )式(3)是随机稳定的.如果存在n @n 阶矩阵P i >0,Q 1i >0,Q 2i >0,Q 3i >0,R i >0,S i >0,T i >0,Z 1>0,Z 2>0,Q 1>0,Q 2>0,Q 3>0,L ki ,M ki ,N ki ,H ki ,k =1,,,5,使得对任意i =1,,N ,以下矩阵不等式成立,即

12+1321+223i

+31(4i

****

*

E

N

j =1

L ij Q kj [

Q k ,k =1,2,3(5)R i

(8)

其中:

(

1i

=P i A i +(P i A i )3

+Q 1i +Q 3i +h 1Q 1+

(h 2-h 1)Q 2+h 2Q 3+L 31i +L 1i -H 1i A i -(H 1i A i )3

+

E N

j =1

L ij P

j

(

2i

=-Q 1i +Q 2i +N 2i +N 32i -L 2i -L 3

2i

(3i =-(1-L )Q 2i +M 3i +M 33i -N 3i -N 3

3i -H 3i A di -(H 3i A di )

3

(4i =-Q 3i -M 4i -M 3

4i

(

5i

=h 1Z 1+(h 2-h 1)Z 2+'5i +H 3

5i +11=L 3

2i -A 3

i H 32i +N 1i -L 1i

+12=P i A di +L 3

3i -A 3

i H 3

3i +M 1i -N 1i -H 1i A di

+13=L 3

4i -A 3

i H 3

4i -M 1i +14=L 3

5i -A 3

i H 3

5i +H 1i

+21=N 3

3i -L 33i +M 2i -N 2i -H 2i A di

+22=N 3

4i -L 3

4i -M 2i +23=N 3

5i -L 3

5i +H 2i

+31=-N 3

4i +M 4i -A 3

di H 3

4i -M 3i +32=-N 3

5i +M 5i -A 3

di H 3

5i +H 3i

+41=-M 3

5i +H 4i .1=

h 1L 1i h 1L 2i

h 1L 3i h 1L 4i h 1L 5i

,.2=h 2-h 1M 1i h 2-h 1M 2i h 2-h 1M 3i h 2-h 1M 4i h 2-h 1M 5i

,.3=

h 2-h 1N 1i h 2-h 1N 2i

h 2-h 1N 3i h 2-h 1N 4i

h 2-h 1N 5i

证明 首先,将模型映射到马尔可夫过程框架

中,定义x t (s )=x (t +s ),s I [-2h 2,0],选择Lyapunov -Krasovskii 函数:

V (x (t ),t ,r (t ))=V 1(t )+V 2(t )+

98 大连海事大学学报 第35卷

V 3(t )+V 4(t )

其中:

V 1(t )=x T

(t )P (r (t ))x (t )V 2(t )=

Q

t

t -h

1

x 3

(s )Q 1(r (t ))x (s )d s +

Q

t -h

1

t -d (t )

x 3(s )Q 2(r (t ))x (s )d s +Q

t

t -h

2

x 3

(s )Q 3(r (t ))x (s )d s

V 3(t )=

Q 0-h 1

Q

t

t +H

?x 3

(s )Z 1?x (s )d s d H +Q -h 1-h

2

Q t

t +H

?x 3

(s )Z 2

?x (s )d sd H

V 4

(t )=

Q 0-h

1

Q t

t +H

x 3

(s )Q 1

x (s )d s d H +Q -h 1-h 2

Q t

t +H x 3

(s )Q 2

x (s )d s d H +Q 0

-h

2

Q t

t +H

x 3

(s )Q 3

x (s )d s d H

其中,P i 、Q 1i 、Q 2i 、Q 3i 、Q 1、Q 2、Q 3、Z 1、Z 2是适当维数的正定矩阵.定义L 为随机过程{x t ,t \0}的弱无穷小微分算子.则对任意r (t )=i ,i I S ,有L V 1(x ,t ,i )=2x T

(t )P i ?x (t )+

E

N

j =1

L ij x T

(t )P j x (t )

L V 2(x ,t ,i )=x T (t )Q 1i x (t )-x T

(t -h 1)#Q 1i x (t -h 1)+x T (t -h 1)Q 2i x (t -h 1)-(1-?d (t ))x T

(t -d (t ))Q 2i x (t -d (t ))+x T

(t )Q 3i x (t )-x T

(t -h 2)Q 3i x (t -h 2)+

Q

t

t -h

1

x T

(s )(

E N

j =1L ij Q

1j

)x (s )d s +Q t -h

1

t -d (t )

x T

(s )(E N

j =1L ij

Q

2j

)x (s )d s +Q

t

t -h

2

x T

(s )(

E N

j =1

L ij

Q

3j

)x (s )d s

L V 3(x ,t ,i )=h 1?x T

(t )Z 1?x (t )+(h 2-h 1)?x T

(t )#

Z 2?x (t )-

Q

t

t -h 1

?x T

(s )Z 1?x (s )d s -Q t -h 1t -h

2

?x T

(s )Z 2?x (s )d s

L V 4(x ,t ,i )=h 1x T

(t )Q 1x (t )+(h 2-h 1)x T

(t )#

Q 2x (t )+h 2x T (t )Q 3x (t )-Q

t

t -h

1

x T

(s )Q 1x (s )d s -Q

t -h 1t -h

2

x T

(s )Q 2x (s )d s -Q

t

t -h

2

x T

(s )Q 3x (s )d s

(9)

由Newton -Leibniz 公式和式(3),对任意适当维数矩阵L i 、M i 、N i 、H i ,i =1,,,N ,有

41i =2G 3

(t )L i (x (t )-x (t -h 1)-Q

t

t -h

1

?

x (s )d s )=042i =2G 3

(t )M i (x (t -d (t ))-x (t -h 2))-

Q

t -d (t )t -h

2

?

x (s )d s )=043i =2G 3

(t )N i (x (t -h 1))-x (t -d (t ))-

Q

t -h

1

t -d (t )

?

x (s )d s )=044i =2G 3

(t )H i (-A i x (t )-A di x (t -d (t ))+?x (t ))=0

(10)

其中:

G T

(t )=

x T (t ) x T

(t -h 1)

x T

(t -d (t )) x T

(t -h 2) ?x T

(t )

T

另外,对于矩阵Z 1=Z T

1,Z 2=Z T

2,R i =R 3

i ,S i =S 3

i ,T i =T 3

i ,i =1,,N ,且满足R i

45i =h 1G 3

(t )L i R -1

i L 3

i G (t )-Q t

t -h

1

G 3(t )L i Z -11L 3

i G (t )d s >0

46i =(h 2-d (t ))G 3(t )L i S -1i L 3

i G (t )-Q t -d (t )t -h

2

G 3(t )L i Z -12L 3

i G (t )d s >0

47i =(d (t )-h 1)G 3(t )N i T -1i N 3

i G (t )-Q

t -h

1

t -d (t )

G 3(t )N i Z

-1

N 3

i G (t )d s >0

(11)

根据积分运算法则可以得到

Q

t

t -h

?x T

(s )Z ?x (s )d s =

Q

t -d (t )t -h

?x T

(s )Z ?x (s )d s +

Q

t

t -d (t )

?x T

(s )Z ?x (s )d s

联立式(5)、(9)~(11),得

L V (x ,t ,i )[L V 1(x ,t ,i )+L V 2(x ,t ,i )+

L V 3(x ,t ,i )+L V 4(x ,t ,i )+41i +42i +43i +44i +45i +46i +47i

[2x T

(t )P i (A i x (t )+A di x (t -d (t )))+

E

N

j =1

L ij x T (t )P j x (t )+x T

(t )Q 1i x (t )-x T

(t -h 1)Q 1i x (t -h 1)+x T (t -h 1)Q 2i x (t -h 1)-(1-L )x T

(t -d (t ))Q 2i x (t -d (t ))-x T

(t -h 2)Q 3i x (t -h 2)+

99第2期 赵旭东,等:改进的M arkov 切换系统区间时滞相关稳定性与H ]分析

x T(t)Q3i x(t)+h1x T(t)Q1x(t)+

(h2-h1)x T(t)Q2x(t)+

?x T(t)(h1Z1+(h2-h1)Z2)?x(t)+h2x T(t)#

Q3x(t)+2G3(t)L i(x(t)-x(t-h1))+

2G3(t)M i(x(t-d(t))-x(t-h2))+

2G3(t)N i(x(t-h1)-x(t-d(t)))+

(h2-d(t))G3(t)M i S-1i M3i G(t)+

(d(t)-h1)G3(t)N i T-1i N3i G(t)+

2G3(t)H i(-A i x(t)-A di x(t-d(t))+

?x(t))+h1G3(t)L i R-1i L3i G(t)-

Q t t-h1[G3(t)L i+?x3(t)Z1]#

Z-11[L3i G(t)+Z1?x(t)]d s-

Q t-d(t)t-h2[G3(t)M i+?x3(s)Z2]#

Z-12[M3i G(t)+Z2?x(s)]d s-

Q t-h1t-d(t)[G3(t)N i+?x3(s)Z2]#

Z-12[N3i G(t)+Z2?x(s)]d s

=G3(t)0i G(t)+2G3(t)L i(x(t)-x(t-h1))+ 2G3(t)M i(x(t-d(t))-x(t-h2))+

2G3(t)N i(x(t-h1)-x(t-d(t)))+

(h2-d(t))G3(t)M i S-1i M3i G(t)+

(d(t)-h1)G3(t)N i T-1i N3i G(t)+

2G3(t)H i(-A i x(t)-A di x(t-d(t))+

?x(s))+h1G3(t)L i R-1i L3i G(t)-

Q t t-h1[G3(t)L i+?x3(s)Z1]#

Z-11[L3i G(t)+Z1?x(s)]d s-

Q t-d(t)t-h2[G3(t)M i+?x3(s)Z2]Z-12#

[M3i G(t)+Z2?x(s)]d s-

Q t-h1t-d(t)[G3(t)N i+?x3(s)Z2]Z-12#

[N3i G(t)+Z2?x(s)]d s(12)其中:

0i=(1i-L1i-L31i0P i A di00 *-Q1i+Q2i0

00 **-(1-L)Q2i

00 ***-Q3i0

***

*h1Z1+(h2-h1)Z

2

由Z1>0,Z2>0,得式(12)中最后3项全部小于零.令

L i=

L1i

s

L5i

,M i=

M1i

s

M5i

,N i=

N1i

s

N5i

,

H i=

H1i

s

H5i

,i I S={1,,,N}(13)

则由式(12)、(13)和Schur补定理,可以得到当式(4)~(8)成立时,L V(x,t,i)<0,因此存在足够小的常数E>0,使得L V(x,t,i)<-E+x(t)+2,再由Dynkin公式,对t\-h2,有

E{V(x,t,i)}-E{V(x,-h,i)}[

-E E{Q t-h x3(s)x(s)d s}

因此

E{Q t-h x3(s)x(s)d s}[E-1E{V(x,-h,i)}则由定义1,式(3)是随机稳定的[9].

定理2给定常数h1、h2、C>0.对任意时滞d(t),当t>0,初始状态为零时,区间时滞Markov 系统(1)是随机稳定的,且满足+z+E

2

< C+X+2.如果存在n@n阶矩阵P i>0,Q1i>0, Q2i>0,Q3i>0,R i>0,S i>0,T i>0,Z1>0, Z2>0,Q1>0,Q2>0,Q3>0,L ki,M ki,N ki,H ki, k=1,,,5和适当维数矩阵L6i、M6i、N6i、H6i,使得对任意i=1,,,N,以下矩阵不等式成立:

(

1i

+

11

+

12

+

13

+

14

+

15

C3

i

*(2i+21+22+23+240.1

**(3i+31+32+33C3di.2

***(4i+41+420.3

****(5i+510

*****(6i D32i

******-I000

*******-R i00

********-S i0

*********-T i

<0

(14)

E N

j=1

L ij Q kj[Q k,k=1,2,3(15)

R i

S i

T i

(6i=-H6i D1i-(H6i D1i)3-C2I

+15=P i D1i+L36i-A3i H36i-H1i D1i

100大连海事大学学报第35卷

+24=N 3

6i -L 3

6i -H 2i D 1i

+33=M 3

6i -N 3

6i -A 3

di H 3

6i -H 3i D 1i +42=-M 36i -H 4i D 1i +51=H 3

6i -H 5i D 1i

其他各矩阵定义同定理1.

证明 将式(10)中的44i 替换成

4c 4i =2G 3

(t )H i (-A i x (t )-A di x (t -d (t ))-D 1i w (t )+?x (t ))=0

定义G T

(t )=

x T (t ) x T

(t -h 1

)x T

(t -d (t ))

x T

(t -h 2) ?x T

(t ) w T

(t )

T

,并将式(13)替换成

L i =

L 1

i

s L 6i

,M i =

M 1i

s M 6i

,N i =N

1i s N 6i

,H i =

H

1i

s H 6i

,i I S ={1,,,N }

然后,类似定理1的推导过程并参考文献[5]中建立

H ]性能的方法,可以得出定理2成立.

定理1与定理2的创新之处在于推导区间时滞M arkov 系统的时滞相关稳定性过程中利用了文献[10]中保留Lyapunov -Krasovskii 导数中一些有用项的思想,并在定理2中给X (t )分配了自由权矩阵,从而避免了已有文献中由于模型变换法和交叉项界定的技术,或类似文献[9]采用自由权矩阵法中引入的积分不等式技术而忽略-Q

t -S (t )

-S

?

x 3

(s )Zx (s )d s 一项所带来的保守性.

3 数值算例

为证明定理1中结果具有较低的保守性,考虑以下算例.

算例1 考虑具有两模态的时滞马尔可夫跳跃系统(3),系统参数如下:

A 1=-3.4888

0.8057

-0.6451- 3.2684A 2=-2.48980.28951.3396

-0.0211

A d 1=-0.8620-1.2919-0.6841-2.0729A d 2=

- 2.83060.4978-0.8436-1.0115

为了将定理1中结果与文献[9]中的结果进行

比较,首先设定h 1=0,L 11=-0.1,L 22=-0.8,对于给定L 值,满足式(4)~(8)的最大时滞h 2可以通过求解quasi 凸优化问题得到.表1给出了比较结果.另外,设定L 22=-0.8,L =0.8,对于给定的L 11,表2给出了比较结果.由表1、2的比较可以看出,定理1具有更小的保守性.

表1 算例1中对于给定L ,允许的最大h 2比较

L

h 2(文献[9])h 2(本文定理1)

0.60.49270.50550.80.42610.45931.6

0.3860

0.4504

表2

算例1中对于给定L 11,允许的最大h 2比较

L 11

h 2(文献[9])h 2(本文定理1)

-0.10.42610.4593-0.50.42060.4550- 1.0

0.4161

0.4514

算例2 考虑具有两模态的时滞马尔可夫跳跃

系统(1),系统参数如下:

A 1=-2.2460- 1.4410-1.5937- 2.9289A 2=-1.89990.81560.6900-0.7881A d 1=-0.7098

1.1908

0.6686-3.2025A d 2=- 1.5198-1.6041-0.1567-1.2427

D 11=

0.0403

0.6771

,D 12=

0.5689-0.2556

C 1=-0.3775-0.2959C 2=- 1.4751-0.2340C d 1=

0,C d 2=

D 21=0.1184,D 22=0.3148

L 11=-3,L 12=3L 21=0.6,L 22=-0.6

设L =1.5,对于给定C >0,表3为由定理2得出允许的最大时滞h 2比较结果.算例2表明,定理2的结果较文献[9]中的结论具有更低的保守性.

表3 算例2中允许的最大h 2比较

C h 2(文献[9])h 2(本文定理2)

0.50.27720.343910.28460.36322

0.2861

0.3691

(下转第105页)

101第2期 赵旭东,等:改进的M arkov 切换系统区间时滞相关稳定性与H ]分析

图2原始流分布与测得的流分布的比较

5结语

本文提出一种用于测量流长度分布的模型.采用的报文抽样技术显示了良好的可扩展性,通过在线收集数据,进行离线处理,最终获得流长度分布.实验结果表明,该模型对于流分布的测量是准确的.参考文献(References):

[1]IET F.Packet Sampling(psamp)[EB P OL].[2005-02-02].

http:P P w https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html, P html.charters P psamp-charter.html. [2]DU FFI EL D N G,GROSSGLAU SER M.T r ajectory sam-

pling for direct traffic observation[J].IEEE P A CM T r ans on Networ king,2001,9(3):280-292.

[3]DU FF IEL D N G,GR OSSGL AU SER M.T r ajectory Sam-

pling w ith unreliable reporting[C]P P IEEE I nfoco m2004.

Hong kong:IEEE Press,2004:1570-1581.

[4]CISOCO.Sampled Cisco[EB P OL].[2005-06-30].http:P P

w https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html, P en P U S P products P sw P iossw rel P ps1829P20pr oducts

-

feature20

-

guide2009186a200080081201.html. [5]https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html, raM et Version4.4[EB P O L].[2002-12-01].

http:P P w https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html, P net P Accounting P ntm.Re-lease.note.html.

[6]EST AN C,VA RGHESE G.N ew directions in traffic mea-

surement and accounting:focusing on the elephants,ignor-ing the mice[J].ACM T ransactions on Computer Systems, 2003,21(3):270-313.

[7]HOHN N,VEIT CH D.I nverting sampled traffic[C]P P In-

ternet M easurement Confer ence2003.New Y ork:ACM Press,2003:222-233.

[8]DU FF IELD N G,L U N D C,T HORU P M.Properties and

pr ediction o f flow statist ics fr om sampled packet streams

[C]P P Pro c of A CM SIGCOM M Internet Measurement

Wor kshop2002.New Y ork:ACM Press,2002:159-171.

[9]DU F FIEL D N G,L U ND C,T HORU P M.Estimat ing

flow distributions from sampled flow statistics[J].I EEE P ACM T ransation on N etw orking,2005,13(5):325-336. [10]CLA FFY K C,BRAU N H W,P OLY ZOS G C.A param-

eterizable methodo logy for Internet traffic flow profiling [J].IEEE JSAC,1995,13(8):1481-1494.

(上接第101页)

4结论

本文通过建立新的Lyapunov-Krasovskii函数,并引进新的积分等式,对于区间变时滞随机马尔可夫跳跃系统,得出保守性更低的区间时滞相关稳定性准则及H]性能条件.仿真算例证明了方法的有效性与可行性.

参考文献(References):

[1]CA O Y,L AM J.Robust H]control of uncertain M ark-

o vian jump systems wit h time-delay[J].I EEE T r ans Au-tom Control,2000,45(1):77-83.

[2]MA O X.Exponent ial stability of stochastic delay interval

systems w ith M arkovian switching[J].I EEE T rans Autom Control,2002,47(10):1604-1612.

[3]BEN JELL OU N K,BO UK AS E K.M ean square stochastic

stability of linear time-delay system with M ar kovian jump-ing parameters[J].I EEE T r ans Auto m Control,1998,43

(10):1456-1460.

[4]FU JISA KI H.On correlation v alues o f M-phase spreading

sequences of M ar kov chains[J].IEEE T rans Circuits Syst I Reg Papers,2002,49(12):1745-1750.[5]XU S,CHEN T,LAM J.Robust H]filtering for uncer-

tain M arkovian jump systems with mo de-dependent t ime de-lays[J].I EEE T rans Autom Co ntrol,2003,48(5):900-907.

[6]WAN G Z,L AM J.Ex ponential filtering for uncertain

M ar kovian jump time-delay systems with nonlinear distur-bances[J].IEEE T rans Signal P rocessing,2004,51(5): 262-268.

[7]ZHAN G L,HU AN G B,L AM J.H]model reduction of

M ar kovian jump linear systems[J].Systems&Control Le-tters,2003,50(2):103-118.

[8]CHEN W H,GU AN Z H,L U X.Delay-dependent output

feedback stabilisatio n of M arkov ian jump system w ith time-delay[J].IEE Proc Co ntrol T heor y Appl,2004,151(5): 561-566.

[9]XU S,L AM J.Delay-dependent H]control and filter ing

for uncertain M arkovian jump systems w ith time-varying de-lays[J].I EEE T ransact ions on Circuits and Systems:P ar t

I I,2007,54(9):2070-2077.

[10]HE Y,WAN G Q G.Fur ther improvement of free-

weig hting matrices technique fo r systems w ith time-vary-ing delay[J].IEEE T rans Autom Contro l,2007,52

(2):293-299.

105

第2期刘卫江,等:一种测量流长度分布的近似方法

实验一--控制系统的稳定性分析

实验一--控制系统的稳定性分析

实验一控制系统的稳定性分 班级:光伏2班 姓名:王永强 学号:1200309067

实验一控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性,验证稳定判据的正确性; 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响;

3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性,只要求出系统的闭环极点即可,而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根,可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点,或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点,从而判断系统的稳定性。 (1)已知单位负反馈控制系统的开环传递 函数为 0.2( 2.5) () (0.5)(0.7)(3) s G s s s s s + = +++,用MATLAB编写 程序来判断闭环系统的稳定性,并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB命令窗口写入程序代码如下:z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k)

Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=ploy2str(dc{1},'s') 运行结果如下: Gctf = s + 2.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 2.05 s + 2.5 Continuous-time transfer function. dens是系统的特征多项式,接着输入如下MATLAB程序代码: den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den)

实验四 控制系统的稳定性分析

西京学院实验教学教案实验课程:现代控制理论基础 课序: 4 教室:工程舫0B-14实验日期:2013-6-3、4、6 教师:万少松 一、实验名称:系统的稳定性及极点配置二、实验目的 1.巩固控制系统稳定性等基础知识;2.掌握利用系统特征根判断系统稳定性的方法;3.掌握利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性的方法;4. 掌握利用状态反馈完成系统的极点配置;5.通过Matlab 编程,上机调试,掌握和验证所学控制系统的基本理论。三、实验所需设备及应用软件序号 型 号备 注1 计算机2Matlab 软件四、实验内容1. 利用特征根判断稳定性;2. 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性;3.状态反馈的极点配置;五、实验方法及步骤1.打开计算机,运行MATLAB 软件。2.将实验内容写入程序编辑窗口并运行。3.分析结果,写出实验报告。 语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题,合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则:在分线盒处,当不同电压回路交叉时,应采用金属隔板进行隔开处动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题,作为调试人员,需要然停机。因此,电力高中资料试卷保护装置调试技术,要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器

一、利用特征根判断稳定性 用matlab 求取一个系统的特征根,可以有许多方法,如,,,()eig ()pzmap 2ss zp ,等。下面举例说明。 2tf zp roots 【例题1】已知一个系统传递函数为,试不同的方法分析闭环系统的稳定性。()G s 2(3)()(5)(6)(22)s G s s s s s += ++++解:num=[1,3]den=conv([1,2,2],conv([1,6],[1,5]))sys=tf(num,den)(1)() eig p=eig(sys)显示如下:p = -6.0000 -5.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 所有的根都具有负的实部,所以系统稳定。(2) ()pzmap pzmap(sys) 从绘出的零极点图可看见,系统的零极点都位于左半平面,系统稳定。(3)2()tf zp [z,p,k]=tf2zp(num,den) (4)()roots roots(den)【例题2】已知线性定常连续系统的状态方程为122122x x x x x ==- 试用特征值判据判断系统的稳定性。 解: A=[0,1;2,-1] eig(A)

性能稳定性分析

性能稳定性分析 1功角的具体含义。 电源电势的相角差,发电机q轴电势与无穷大系统电源电势之间的相角差。 电磁功率的大小与δ密切相关,故称δ为“功角”或“功率角”。电磁功率与功角的关系式被称为“功角特性”或“功率特性”。 功角δ除了表征系统的电磁关系之外,还表明了各发电机转子之间的相对空间位置。 2功角稳定及其分类。 电力系统稳态运行时,系统中所有同步发电机均同步运行,即功角δ是稳定值。系统在受到干扰后,如果发电机转子经过一段时间的运动变化后仍能恢复同步运行,即功角δ能达到一个稳定值,则系统就是功角稳定的,否则就是功角不稳定。 根据功角失稳的原因和发展过程,功角稳定可分为如下三类: 静态稳定(小干扰) 暂态稳定(大干扰) 动态稳定(长过程) 3电力系统静态稳定及其特点。 定义:指电力系统在某一正常运行状态下受到小干扰后,不发生自发振荡或非周期性失步,自动恢复到原始运行状态的能力。如果能,则认为系统在该正常运行状态下是静态稳定的。不能,则系统是静态失稳的。 特点:静态稳定研究的是电力系统在某一运行状态下受到微小干扰时的稳定性问题。系统是否能够维持静态稳定主要与系统在扰动发生前的原始运行状态有关,而与小干扰的大小、类型和地点无关。 4电力系统暂态稳定及其特点。 定义:指电力系统在某一正常运行状态下受到大干扰后,各同步发电机保持同步运行并过渡到新的或恢复到原来的稳态运行状态的能力。通常指第一或第二振荡周期不失步。如果能,则认为系统在该正常运行状态下该扰动下是暂态稳定的。不能,则系统是暂态失稳的。 特点:研究的是电力系统在某一运行状态下受到较大干扰时的稳定性问题。系统的暂态稳定性不仅与系统在扰动前的运行状态有关,而且与扰动的类型、地点及持续时间均有关。 作业2 5发电机组惯性时间常数的物理意义及其与系统惯性时间常数的关系。 表示在发电机组转子上加额定转矩后,转子从停顿状态转到额定转速时所经过的时间。TJ=TJG*SGN/SB 6例题6-1 (P152) (补充知识:当发电机出口断路器断开后,转子做匀加速旋转。汽轮发电机极对数p=1。额定频率为50Hz。要求列写每个公式的来源和意义。)题目:已知一汽轮发电机的惯性时间常数Tj=10S,若运行在输出额定功率状态,在t=0时其出口处突然断开。试计算(不计调速器作用) (1)经过多少时间其相对电角度(功角)δ=δ0+PAI.(δ0为断开钱的值)(2)在该时刻转子的转速。 解:(1)Tj=10S,三角M*=1,角加速度d2δ/dt2=三角M*W0/Tj=W0/10=31.4RAD/S2 δ=δ0+0.5dd2δ/dt2 所以PI=0.5*2PI*f/10t方 t=更号10/50=0.447 (2)t=0.447时,

切换系统的稳定性调研报告

切换系统的稳定性调研报告 陈龙0909122920 自动化1206班 丁志成0909122921 自动化1206班 摘要:本文通过查找文献的方法来了解切换系统及其应用领域、切换系统稳定性的特点、主要结果、研究方法(使用的主要数学工具)和研究现状;了解研究的难点,还有哪些有待研究的问题。 关键词:切换系统稳定性李雅普诺夫函数 一、切换系统的定义及其应用领域 切换系统是一种包含多个连续或离散子系统的混杂系统,并由切换信号来控制它在各个子系统之间切换,它是从系统与控制论角度来研究的一种特殊混杂系统。近年来,切换系统由于其结构形式相对简单,便于理解,分析和实际应用,而被广泛的研究与讨论。在实践应用中,许多自然、社会及工程系统会随环境的变化而展现不同的的模型,如输电系统、飞行器队型、运动机器人、神经网络、交通控制、汽车工业等,而用切换系统可以很好地刻画出这些系统的数学模型。 二、切换系统稳定性的特点 子系统的稳定性不等价于切换系统的稳定性,也就是说,即使它的所有子系统都稳定,整个系统不一定稳定;同样,即使各个子系统都不稳定,也不能说明整个切换系统不稳定。 三、切换系统稳定性的研究方法 1、多李雅普诺夫函数法: 多李雅普诺夫函数法的基本思想是对每个子系统都要寻找一个李雅普诺夫函数进行稳定性分析。该研究方法保守性小,有利于数学推导。 2、公共李雅普诺夫函数法: 公共李雅普诺夫函数法是在多李雅普诺夫函数法之后被提出来的,主要用于判定一个系统对于任意切换是否稳定。利用这一方法证明系统稳定性的关键是研究公共李雅普诺夫函数的存在条件。 3、驻留时间法: 驻留时间法又叫慢变切换,这一思想来源于Desoer关于慢时变系统的著名论断:如果系统所有子系统的矩阵都是Hurwitz矩阵,那么在足够缓慢的切换下可以保持系统稳定。 4、其他方法 四、切换系统稳定性的研究成果 1、任意切换下的稳定性:对切换线性系统,任意切换条件下的几种稳定性是等价的:渐近稳定、全局渐近稳定、(全局)指数稳定。 2、约束切换下的稳定性:。一般分为两类,一类是切换规则受到状态演化的约束,还有一类就是约束切换发生的速率。比较而言,实践中更为重要的一类问题是:给定一族非Hurwitz 矩阵,判定是否存在状态相关的切换律,使得系统是全局一致渐近稳定的。对切换线性系统约束切换条件下,对状态轨迹无关(时间相关)的切换信号,一致渐近稳定等价于指数稳定;对状态轨迹相关的切换信号,二者之间并无确定性的等价关系。约束切换又可分为以下三个方面:切换速率的约束:如果所有的子系统矩阵都是Hurwitz的,那么在足够缓慢的切换条

实验二 控制系统的阶跃响应及稳定性分析

实验二 控制系统的阶跃响应及稳定性分析 一、实验目的及要求: 1.掌握控制系统数学模型的基本描述方法; 2.了解控制系统的稳定性分析方法; 3.掌握控制时域分析基本方法。 二、实验内容: 1.系统数学模型的几种表示方法 (1)传递函数模型 G(s)=tf() (2)零极点模型 G(s)=zpk(z,p,k) 其中,G(s)= 将零点、极点及K值输入即可建立零极点模型。 z=[-z1,-z …,-z m] p=[-p1,-p …,-p] k=k (3)多项式求根的函数:roots ( ) 调用格式: z=roots(a) 其中:z — 各个根所构成的向量 a — 多项式系数向量 (4)两种模型之间的转换函数: [z ,p ,k]=tf2zp(num , den) %传递函数模型向零极点传递函数的转换 [num , den ]=zp2tf(z ,p ,k) %零极点传递函数向传递函数模型的转换 (5)feedback()函数:系统反馈连接

调用格式:sys=feedback(s1,s2,sign) 其中,s1为前向通道传递函数,s2为反馈通道传递函数,sign=-1时,表示系统为单位负反馈;sign=1时,表示系统为单位正反馈。 2.控制系统的稳定性分析方法 (1)求闭环特征方程的根(用roots函数); 判断以为系统前向通道传递函数而构成的单位负反馈系统的稳定性,指出系统的闭环特征根的值: 可编程如下: numg=1; deng=[1 1 2 23]; numf=1; denf=1; [num,den]= feedback(numg,deng,numf,denf,-1); roots(den) (2)化为零极点模型,看极点是否在s右半平面(用pzmap); 3.控制系统根轨迹绘制 rlocus() 函数:功能为求系统根轨迹 rlocfind():计算给定根的根轨迹增益 sgrid()函数:绘制连续时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率栅格线 4.线性系统时间响应分析 step( )函数---求系统阶跃响应 impulse( )函数:求取系统的脉冲响应 lsim( )函数:求系统的任意输入下的仿真 三、实验报告要求:

控制系统的稳定性分析

精品 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1.观察系统的不稳定现象。 2.研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1.EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2.计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0~500K; C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1.根据所示模拟电路图,求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2.绘制EWB图和Simulink仿真图。

精品 3.根据表中数据绘制响应曲线。 4.计算系统的临界放大系数,确定此时R3的值,并记录响应曲线。 系统响应曲线 实验曲线Matlab (或EWB)仿真 R3=100K = C=1UF 临界 稳定 (理论值 R3= 200K) C=1UF

精品 临界 稳定 (实测值 R3= 220K) C=1UF R3 =100K C= 0.1UF

精品 临界 稳定 (理论 值R3= 1100 K) C=0.1UF 临界稳定 (实测值 R3= 1110K ) C= 0.1UF

精品 实验和仿真结果 1.根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验,并进行实验曲线对比,分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比: 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡,而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因: MATLAB仿真没有误差,而实验时存在误差。 2.通过实验箱测定系统临界稳定增益,并与理论值及其仿真结果进行比较(1)当C=1uf,R3=200K(理论值)时,临界稳态增益K=2, 当C=1uf,R3=220K(实验值)时,临界稳态增益K=2.2,与理论值相近(2)当C=0.1uf,R3=1100K(理论值)时,临界稳态增益K=11 当C=0.1uf,R3=1110K(实验值)时,临界稳态增益K=11.1,与理论值相近 四、实验总结与思考 1.实验中出现的问题及解决办法 问题:系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法:调节R3。 2.本次实验的不足与改进 遇到问题时,没有冷静分析。考虑问题不够全面,只想到是实验箱线路的问题,而只是分模块连接电路。 改进:在实验老师的指导下,我们发现是R3的取值出现了问题,并及时解决,后续问题能够做到举一反三。 3.本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来,全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题,要及时请教老师,

控制系统的稳定性

3.8 控制系统的稳定性 3.8 控制系统的稳定性 稳定性是控制系统最重要的特性之一。它表示了控制系统承受各种扰动,保持其预定工作状态的能力。不稳定的系统是无用的系统,只有稳定的系统才有可能获得实际应用。我们前几节讨论的控制系统动态特性,稳态特性分析计算方法,都是以系统稳定为前提的。 3.8.1 稳定性的定义 图3.26(a)是一个单摆的例子。在静止状态下,小球处于A位置。若用外力使小球偏离A而到达A’,就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动,我们会发现,小球从初始偏差位置A',经过若干次摆动后,最终回到A点,恢复到静止状态。图3.26(b)是处于山顶的一个足球。足球在静止状态下处于B位置。如果我们用外力使足球偏离B位置,根据常识我们都知道,足球不可能再自动回到B位置。对于单摆,我们说A位置是小球的稳定位置,而对于足球来说,B则是不稳定的位置。 图 3.26 稳定位置和不稳定位置 (a)稳定位置;(b)不稳定位置 处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态,产生初始偏差。稳定性是指扰动消失后,控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。若能恢复到原平衡状态,我们说系统是稳定的。若偏离平衡状态的偏差越来越大,系统就是不稳定的。 在控制理论中,普遍采用了李雅普诺夫(Liapunov)提出的稳定性定义,内容如下: 设描述系统的状态方程为 (3.131)

式中x(t)为n维状态向量,f(x(t),t)是n维向量,它是各状态变量和时间t的函数。如果系统的某一状态,对所有时间t,都满足 (3.132) 则称为系统的平衡状态。是n维向量。当扰动使系统的平衡状态受到破坏时,系统就会偏离平衡状态,在时,产生初始状态=x。在时,如果对于任一实数,都存在另一实数,使得下列不等式成立 (3.133) (3.134) 则称系统的平衡状态为稳定的。 式中称为欧几里德范数,定义为: (3.135) 矢量的范数是n维空间长度概念的一般表示方法。 这个定义说明,在系统状态偏离平衡状态,产生初始状态以后,即以后,系统的状态将会随时间变化。对于给定的无论多么小的的球域S(),总存在另一个的球域,只要初始状态不超出球域,则系统的状态 的运动轨迹在后始终在球域S()内,系统称为稳定系统。 当t无限增长,如果满足: (3.136) 即系统状态最终回到了原来的平衡状态,我们称这样的系统是渐近稳定的。对于任意给定的正数,如果不存在另一个正数,即在球域内的初始状态,在后,的轨迹最终超越了球域S(),我们称这种系统是不稳定的。 图3.27是二阶系统关于李雅普诺夫稳定性定义的几何说明。

自动控制实验报告一控制系统稳定性分析

实验一控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1.观察系统的不稳定现象。 2.研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1.自动控制系统实验箱一台 2.计算机一台 三、实验内容 系统模拟电路图如图 系统模拟电路图 其开环传递函数为: G(s)=10K/s(0.1s+1)(Ts+1) 式中 K1=R3/R2,R2=100KΩ,R3=0~500K;T=RC,R=100KΩ,C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验步骤 1.连接被测量典型环节的模拟电路。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出,电路的 输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入,将纯积分电容两端连在模拟开关上。检查无误后接通电源。 2.启动计算机,在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。 3.在实验项目的下拉列表中选择实验三[控制系统的稳定性分析] 5.取R3的值为50KΩ,100KΩ,200KΩ,此时相应的K=10,K1=5,10,20。观察不同R3 值时显示区内的输出波形(既U2的波形),找到系统输出产生增幅振荡时相应的R3及K值。再把电阻R3由大至小变化,即R3=200kΩ,100kΩ,50kΩ,观察不同R3值

时显示区内的输出波形, 找出系统输出产生等幅振荡变化的R3及K值,并观察U2的输出波形。 五、实验数据 1模拟电路图 2.画出系统增幅或减幅振荡的波形图。 C=1uf时: R3=50K K=5:

R3=100K K=10 R3=200K K=20:

等幅振荡:R3=220k: 增幅振荡:R3=220k:

R3=260k: C=0.1uf时:

MATLAB分析系统稳定性的方法

. Matlab在控制系统稳定性判定中的应用 稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件,因此,如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施,便成为自动控制理论的一个基本任务.线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关.线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部. 在实际工程系统中,为避开对特征方程的直接求解,就只好讨论特征根的分布,即看其是否全部具有负实部,并以此来判别系统的稳定性,由此形成了一系列稳定性判据,其中最重要的一个判据就是劳斯判据。劳斯判据给出线性系统稳定的充要条件是:系统特征方程式不缺项,且所有系数均为正,劳斯阵列中第一列所有元素均为正号,构造劳斯表比用求根判断稳定性的方法简单许多,而且这些方法都已经过了数学上的证明,是完全有理论根据的,是实用性非常好的方法. 具体方法及举例: 一用系统特征方程的根判别系统稳定性 设系统特征方程为s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0,计算特征根并判别该系统的稳定性。在command window窗口输入下列程序,记录输出结果。 >> p=[1 1 2 2 3 5]; >> roots(p) 二用根轨迹法判别系统稳定性:对给定的系统的开环传递函数 1.某系统的开环传递函数为,在command window窗口输入程序,记录系统闭环零极点图及零极点数据,判断该闭环系统是否稳定。 >> clear >> n1=[0.25 1]; >> d1=[0.5 1 0]; >> s1=tf(n1,d1);

. >> sys=feedback(s1,1); >> P=sys.den{1};p=roots(P) >> pzmap(sys) >> [p,z]=pzmap(sys) 2

切换系统知识总结

切换系统来源于实际控制系统,所以对其研究不但是现代控制理论发展的需要,更是试图解决大量实际问题的迫切需求.不同于一般系统,切换系统在运行过程中,切换规则起着重要作用,不同的切换规则将导致完全不同的动态特征:若干个稳定的子系统在某一切换规则下可导致整个系统不稳定.而若干个不稳定的子系统在适当的切换下可使整个系统稳定,即其子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性. 1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳定性分析的综述文章,并归结为如下三个基本问题: 问题1:切换系统在任意切换下渐近稳定的条件; 问题2:切换系统在受限切换下是否渐近稳定; 问题3:如何设计切换信号,使得切换系统在该切换信号下渐近稳定. 以上三个问题是在研究切换系统稳定时密不可分的。 我们在研究切换系统稳定性的时候,大多围绕这三个问题展开.在对控制系统进行分析的过程中,已经有了很多的研究方法,在研究切换系统的稳定性时,我们经常用到的方法有:单Lyapunov 函数方法,共同Lyapunov 函数方法,多Lyapunov 函数方法,共同控制Lyapunov 函数方法,backstepping 方法,LMI等。 切换系统基本知识 定义1一个切换系统被描述成以下微分方程的形式 ()(1)其中这里:是一族的充分正则函数,:是关于时间的分段.常值函数,称为切换新号。有可能取决于时间t或状态 ,或 () 两者都有。P是某个指标集。以下非特别指明假设P都是有限集。如果这里所有的子系统都是线性的,我们就得到一个线性切换系统, (2) 1任意切换下稳定 很明显,为了研究切换系统在任意切换下的稳定性,我们必须假设所有系统都是稳定的,这点对于切换系统的稳定只是必要条件。我们要研究的是为了使切换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。 存在共同Lyapunov函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件,因而寻求共同Lyapunov函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。共同Lyapunov 函数法与传统的Lapunov直接法基本是一致的。其主要思想是:对于切换系统,如果各子系统存在共同Lyapunov函数,那么系统对于任意的切换序列都是稳定的。 定理1 Lapunov稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具,具体如下: 对于切换系统(1),如果存在正定连续可微的函数V:,正定连续的函数W:,满足 ,

基于切换系统理论的三相变流器建模及其稳定性分析

2009年11月电工技术学报Vol.24 No. 11 第24卷第11期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Nov. 2009 基于切换系统理论的三相变流器建模 及其稳定性分析 李琼林1刘会金2宋晓凯1王 1张振安1 (1. 河南电力试验研究院郑州 450052 2. 武汉大学电气工程学院武汉 430072) 摘要功率开关的动作使得三相变流器成为一典型的切换系统,它同时包含连续和离散两种动态,常规的建模方法都是从线性系统理论出发,通过平均化、坐标变换或小信号线性化等方法得到系统的近似线性化模型。本文在考虑变流器的混杂系统特征基础上,直接从切换系统理论出发,建立了三相变流器的切换系统模型,并针对整流器和逆变器分别给出了相应的切换系列。该模型完全精确,不存在任何近似,更能真实反映变流器的实际物理工作过程。通过引入线性切换系统的稳定性判定法则,对三相变流器的切换过程的稳定性进行了分析。仿真和实验结果与理论分析具有很好的一致性,验证了本文所提方法的有效性。 关键词:变流器 建模 切换系统 稳定性分析 中图分类号:TM46 Modeling and Stability Analysis of Three-Phase Converter Based on Switching System Theory Li Qionglin1 Liu Huijin2 Song Xiaokai1Wang Jing1Zhang Zhen’an1 (1. Henan Electric Power Research Institute Zhengzhou 450052 China 2. Wuhan University Wuhan430072China) Abstract Converter is a typical switching system for the action of the power switch. It includes two dynamical states of the continuous and the discrete. The conventional method of modeling was based on the linear system theory, through the methods of averaging, coordinate transformation and linearization etc, an approximate model could be obtained. Considering the hybrid trait of the converter, this paper deduces the switching system model of the converter, and gives the switch sequences respectively for the inverter and the rectifier. The new model is accurate, and it can represent the actual system completely. By introducing the determinant principle of stability for the linear switch system, this paper analyzes the switch course stability of the converter. The final simulation results has good agreement with the theory analysis. The validity of the method presented in this paper is approved. Keywords:Converter, modeling, switching system, stability analysis 1引言 功率开关器件的存在,使得电力电子电路同时包含连续和离散两种动态,建立精确的数学模型是分析和设计电力电子电路的基础。状态空间平均法是一种比较简单、有效的小信号分析方法,已用于多种功率变换器的建模[1-2],该方法通常适用于仅具有两种不同电路状态的变流器的建模分析,如DC/DC变换器。对于三相变流器,由于其开关模态的增加,以及所处理的信号包含时变的正弦信号,其建模过程更加复杂,开关函数描述法是一种更加普遍、更精确的建模方法[3],更能描述电路的连续、 国家自然科学基金资助项目(50677045)。收稿日期 2008-11-21 改稿日期 2009-03-05

离散时间扰动脉冲切换系统鲁棒指数稳定性

Vol.32,No.2ACTA AUTOMATICA SINICA March,2006 Robust Exponential Stability of Discrete Time Perturbed Impulsive Switched Systems1) ZONG Guang-Deng WU Yu-Qiang (Research Institute of Automation,Qufu Normal University,Qufu273165) (E-mail:zonggdeng@https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html,) Abstract The robust exponential stability of a class of discrete time impulsive switched systems with structure perturbations is studied.Based on the average dwell time concept and by dividing the total activation time into the time with stable subsystems and the time with unstable subsystems, it is shown that if the average dwell time and the activation time ratio are properly large,the given switched system is robustly exponentially stable with a desired stability https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html,pared with the traditional Lyapunov methods,our layout is more clear and easy to carry out.Simulation results validate the correctness and e?ectiveness of the proposed algorithm. Key words Switched systems,robust exponential stability,structure perturbations,average dwell time 1Introduction A switched system is an important class of hybrid systems consisting of a family of continuous-time or discrete-time subsystems and a rule that orchestrates the switching among them.Switched systems are di?erent from the common continuous-time or discrete-time systems,because they have some special properties.It is very important how to choose the rule.Recently,the study on the switched systems analysis and switching control has attracted more and more attentions[1~12].Its main result lies in:1) many systems encountered in practice exhibit switching phenomena between several subsystems due to the inherent multi-model or various environmental factors[3,4];2)the methods of intelligent control design are based on the idea of switching between di?erent controllers[3,5];3)switching controllers can achieve a better performance than the traditional feedback controllers,e.g.,Narendra and Balakrishnan improved the system performance by using a set of switched adaptive controllers[6]. In this paper,under the assumption that the subsystems include stable and unstable subsystems, we study the robust exponential stability of a class of discrete time impulsive switched systems with structure perturbations.[7]considered the exponential stability of a class of continuous time switched systems that only contained stable subsystems,and proved that the switched system is exponentially stable when the dwell time of the switching signal(the time between every two consequent switchings)is large enough.[8]proposed the concept of the average dwell time,and proved that the switched system is still exponentially stable when the average dwell time is large enough.[9]studied the switched systems containing stable and unstable subsystems.The total activation time of the switched system was divided into the activation time of the stable subsystems and unstable subsystems.The authors proved that the switched system is exponentially stable when the average dwell time and the total activation time period ratio between the stable subsystems and unstable subsystems are both large enough.Similar to[9],[11]considered the exponential stability of a class of discrete time switched systems. However,there are few results on the robustness of the uncertain switched systems.Meanwhile, for the practical systems,the impulsive e?ect often occurs when switching exists.Therefore,in this note,we consider the robust exponential stability of the impulsive switched systems with structure perturbations.With the knowledge of the average dwell time and the modular matrix,we prove that the given switched system is robustly exponentially stable with the desired stability degree under the proposed switching signal,if the average dwell time and the total activation time period ratio between the stable subsystems and unstable subsystems are both properly large.Finally,the numerical simulations validate the algorithm in this paper.

Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断

燕山大学 课程设计说明书 题目:Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断 学院(系):电气工程学院 年级专业: 学号: 学生姓名: 指导教师: 教师职称:

燕山大学课程设计(论文)任务书 院(系):电气工程学院基层教学单位:自动化仪表系 学号学生姓名专业(班级) 设计题目Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断 设 计 技 术 参 数 传递函数的分子系数a1,a2,a3……和分母系数b1,b2,b3…… 设计要求 利用Z变换-反变换的方法求取系统的响应,判定系统的稳定性 设计三个离散线性定常系统(其中包括稳定的和不稳定的),并利用Z变换和反变换的方法计算系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应,并通过极点判定系统的稳定性。 工作量 工作计划 7月5日:上午:讲课,总体安排,布置设计题目,借阅书籍; 下午:阅读文献 7月6日:相关理论学习方法设计; 7月7日—15日:程序设计 参考资料1.林洪彬.谢平.王娜.信号处理原理及应用. 机械工业出版社,2009年 2.薛年喜 MATLAB在数字信号处理中的应用清华大学出版社2003年 3.吴湘淇肖煕郝晓莉信号系统与信号处理的软硬件实现电子工业出版 社2002年 4.周浩敏.王睿.测试信号处理技术. 北京航空航天大学出版社,2005年 https://www.wendangku.net/doc/7c15947811.html, 指导教师签字基层教学单位主任签字 说明:此表一式四份,学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。 年月日

目录 第1章摘要 (1) 1引言 (1) 第2章基本原理 (2) 2.1 MATLAB及数字信号处理 (2) 2.2 Z变换与Z反变换的概念与原理 (2) 2.3系统的稳定性 (8) 第3章程序实现及结果分析 (9) 学习心得 (13)

(整理)MATLAB实现控制系统稳定性分析.

MATLAB 实现控制系统稳定性分析 稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件,因此,如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施,便成为自动控制理论的一个基本任务.线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关.线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部. 在实际工程系统中,为避开对特征方程的直接求解,就只好讨论特征根的分布,即看其是否全部具有负实部,并以此来判别系统的稳定性,由此形成了一系列稳定性判据,其中最重要的一个判据就是Routh 判据.Routh 判据给出线性系统稳定的充要条件是:系统特征方程式不缺项,且所有系数均为正,劳斯阵列中第一列所有元素均为正号,构造Routh 表比用求根判断稳定性的方法简单许多,而且这些方法都已经过了数学上的证明,是完全有理论根据的,是实用性非常好的方法. 但是,随着计算机功能的进一步完善和Matlab 语言的出现,一般在工程实际当中已经不再采用这些方法了.本文就采用Matlab 对控制系统进行稳定性分析作一探讨. 1 系统稳定性分析的Matlab 实现 1.1 直接判定法 根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性,最简单的方法是求出系统所有极点,并观察是否含有实部大于0的极点,如果有,系统则不稳定.然而实际的控制系统大部分都是高阶系统,这样就面临求解高次方程,求根工作量很大,但在Matlab 中只需分别调用函数roots(den)或eig(A)即可,这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性. 已知控制系统的传递函数为 ()24 5035102424723423+++++++=s s s s s s s s G (1) 若判定该系统的稳定性,输入如下程序: G=tf([1,7,24,24],[1,10,35,50,24]); roots(G.den{1}) 运行结果: ans = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 由此可以判定该系统是稳定系统. 1.2 用根轨迹法判断系统的稳定性 根轨迹法是一种求解闭环特征方程根的简便图解法,它是根据系统的开环传递函数极点、零点的分布和一些简单的规则,研究开环系统某一参数从零到无穷大时闭环系统极点在s 平面的轨迹.控制工具箱中提供了rlocus 函数,来绘制系统的根轨迹,利用rlocfind 函数,在图形窗口显示十字光标,可以求得特殊点对应的K 值. 已知一控制系统,H(s)=1,其开环传递函数为: ()()() 21++=s s s K s G (2) 绘制系统的轨迹图. 程序为: G=tf(1,[1 3 2 0]);rlocus(G); [k,p]=rlocfind(G) 根轨迹图如图1所示,光标选定虚轴临界点,程序 结果为:

基于MATLAB的控制系统稳定性分析报告

四川师范大学本科毕业设计 基于MATLAB的控制系统稳定性分析 学生姓名宋宇 院系名称工学院 专业名称电气工程及其自动化 班级 2010 级 1 班 学号2010180147 指导教师杨楠 完成时间2014年 5月 12日

基于MATLAB的控制系统稳定性分析 电气工程及其自动化 本科生宋宇指导老师杨楠 摘要系统是指具有某些特定功能,相互联系、相互作用的元素的集合。一般来说,稳定性是系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要条件。如果系统是不稳定,它可以使电机不工作,汽车失去控制等等。因此,只有稳定的系统,才有价值分析与研究系统的自动控制的其它问题。为了加深对稳定性方面的研究,本设计运用了MATLAB软件采用时域、频域与根轨迹的方法对系统稳定性的判定和分析。 关键词:系统稳定性 MATLAB MATLAB稳定性分析

ABSTRACT System is to point to have certain function, connect with each other, a collection of interacting elements. Generally speaking, the stability is an important performance of system, also is the first condition of system can run normally. If the system is not stable, it could lead to motor cannot work normally, the car run out of control, and so on. Only the stability of the system, therefore, have a value analysis and the research system of the automatic control of other problems. In order to deepen the study of stability, this design USES the MATLAB software using the time domain, frequency domain and the root locus method determination and analysis of the system stability. Keywords: system stability MATLAB MATLAB stability analysis

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