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空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

【例1】 空间四边形O ABC 中,O B O C =,π3

AOB AOC ∠=∠=

,则cos ,O A BC <>

的值是

( ) A .

12

B

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

2

C .12

-

D .0

【例2】 已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--= ,,,,,,,,,若a b c

,,三向量共面,则λ等

于( ) A .

627

B .9

C .647

D .657

【例3】 设(225)u =- ,,、(644)v =- ,,分别是平面αβ,的法向量,则平面,αβ的位置关

系是( )

A .平行

B .垂直

C .相交但不垂直

D .不能确定

【例4】 设OA a = ,OB b = ,OC c =

,则使A 、B 、C 三点共线的条件是 ( )

A .c a b =+

B .1123

c a b =

+

C .34c a b =-

D .43c a b =-

【例5】 已知(110),,a = ,(102),

,b =-

,且ka b +

与2a b -

垂直,则k 的值为( ) A .

15

B .1

C .3

5

D .

75

【例6】 已知四面体ABC D 中,AB AC AD ,,两两互相垂直,给出下列两个命题:

AB CD AC BD AD BC ?=?=?

; ②

2222

||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++

. 则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为( ) A .①假、②假 B .①真、②假

C .①真、②真

D .①假、②真

典例分析

板块二.空间向量的坐标运算

【例7】 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 是侧面11BB C C 内一动点,若P 到直线BC

与直线11C D 的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A . 直线 B . 圆 C . 双曲线 D . 抛物线

1

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

A

【例8】 如图,在四棱锥P ABC D -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABC D 为正方形,侧

面PAD ⊥底面ABC D .M 为底面ABC D 内的一个动点,且满足PM M C =.则点M

在正方形ABC D 内的轨迹为( )

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

D

C B A

M

M A

B

C

D

D

C

B

A

【例9】 已知(110)(011)

a b c ===

,,,,,,,,,2p a b q a b c

=-=+-

,,则

p q ?=

_______.

【例10】 若向量()1,0,2a = ,()0,2,1b = 确定平面的一个法向量(

),,2n x y =

,则向量

()1,

2c =

在n

上的射影的长是________.

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

【例11】 设向量a 与b 互相垂直,向量c

与它们构成的角都是60°,且||5

a = ,||3

b =

||8c =

那么(3)(32)a c b a +?-= ______,|23|a b c +-=

_________.

【例12】 已知向量a 和c 不共线,向量0b ≠

,且()()a bc b ca ?=? ,d a c =+ ,则d b ??=

【例13】 已知点A B ,的坐标分别为(235)(117)---,

,,,,,则向量AB

的相反向量的坐标

是__________.

【例14】 已知(245)(3)a b x y == ,,,,,,若a b

∥,则x =_____,y =______.

【例15】 已知向量

(102

)

a λλ=+

,,,(6212)

b μ=-

,,,若

a b

∥,则λ=______,

μ= .

【例16】 若(113)A m n ++,,,(22)B m n m n -,,,(339)C m n +-,,三点共线,则

m n += .

【例17】 已知向量

(22)

a m m

=

,,(15)

b m m =+-

,,,若

a

b

垂直,则

a b +=

_____________.

【例18】 已知(24)a x = ,,,(22)b y = ,,,若||6a = ,且a b ⊥ ,则x y +=_________.

【例19】 已知||2

a =

,||3b = ,且a

与b

的夹角为

π2

,32c a b =+ ,d m a b =- ,若c d

⊥ ,

则m =_____.

【例20】 已知(221)a = ,,,(453)b = ,,,0n a n b ?=?= ,且||1n = ,则n =______.

【例21】 已知(123)OA = ,,,

(212)O B = ,,,(112)O P =

,,,O 为坐标原点,点Q 在直线O P

上运动,则当Q A Q B ?

取得最小值时,点Q 的坐标为___________.

【例22】 若()121A -,,,()222B ,,,点P 在z 轴上,且P A P B =,则点P 的坐标

为 .

【例23】 已知A B C ?的三个顶点为(332)A ,,,(437)B -,,,(051)C ,,,则BC 边上的中

线长为( )

A .2

B .3

C .4

D .5

【例24】 已知空间两个动点(12)(1323)A m m m B m m m ++--,,,,,,则||AB

的最小值是

_______.

【例25】 设||1a = ,||2b = ,且a b ,的夹角为120°,则()(2)a b a b +?-=

_____,|2|a b +=

_______.

【例26】 若a b ,均为单位向量,且60a b ??= ,°,则3a b +

=_______;

【例27】 已知||1a = ,||1b = ,|32|3a b -= ,则|3|a b +=

【例28】 已知向量(021)a = ,,,(112)b =--

,,则a 与b 的夹角为( ) A .0° B .45° C .90° D .180°

【例29】 已知向量(033)a =

,,,(110)b =-

,,,则a 与b

的夹角为_________;

【例30】 已知a b c ,,是空间中两两垂直的单位向量,m a b =+ ,n b c =- ,则m 与n

的夹

角为 .

【例31】 已知向量(021)(112)a b ==-- ,,,,,,则a 与b 的夹角为_________. 【例32】 若(3)(75)a b a b +⊥- ,且(4)(75)a b a b -⊥- ,则a 与b

的夹角为________.

【例33】 若向量(12)a λ=

,,,(212)b =- ,,,a b

夹角的余弦值为8

9

,则λ=_________. 【例34】 已知向量(230)(03)a b k =-= ,,,,,,若a 与b 成120?角,则k =_____.

【例35】 已知向量(110)a = ,,,(102)b =- ,,,且k a b + 与2a b

-

互相垂直,则k 的值是

_________.

【例36】 已知a b c ,,是空间中两两垂直的单位向量,m a b =+

,n b c =- ,则m 与n

的夹

角为 .

【例37】 已知(251)A -,,,(224)B -,,,(141)C -,,,则向量AB 与AC 的夹角为________;

【例38】 设||1m = ,||2n = ,2m n + 与3m n - 垂直,4a m n =- ,72b m n =+ ,则||a =

_____,

||b =

______,a b ??

,= .

【例39】 已知O 为原点,向量

(301)(112)O A O B O C O A BC O A

==-⊥ ,,,,,,,∥,则

AC =

________.

【例40】 已知PD 垂直正方形ABC D 所在平面,2AB =,E 是PB 的中点,

c o s 3

,D P A E <> DA 、D C 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

间坐标系,则点E 的坐标为 ;

又在平面PAD 内有一点F ,当点F 是 时,EF ⊥平面P C B .

【例41】 已知点(00)(00)(00)A a B b C c ,,,,,,,,,其中0abc ≠,求平面ABC 的一个法向

量.

【例42】 已知空间三点(023)(216)(115)A B C -,,,,,,,,,

⑴求以向量AB AC

,为一组邻边的平行四边形的面积S ;

⑵若向量a

分别与向量AB AC

,垂直,且||a =

,求向量a

的坐标.

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

【例43】 已知(11a = ,,(220)b =

,,,

⑴求a b ? ,a b + ,a b ??

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

,; ⑵求与a b

,同时垂直的单位向量.

⑶当实数λ的值为多少时,a b λ+

的模最小.

【例44】 已知点P 是平行四边形ABC D 所在平面外一点,(2,1,4)AB =--

(4,2,0)AD = ,(1,2,1)AP =--

⑴求证:AP

是平面ABC D 的法向量;⑵求平行四边形ABC D

的面积.

【例45】 已知(101)(446)(223)(101417)A B C D ,,,,,,,,,,,,求证:A B C D ,,,共面.

【例46】 已知(520)a =- ,

,,(132)b =-- ,,,(012)c =

,,, ⑴求()(2)a b b c +?- ,|22|a b c ++

⑵问当实数λ的值为多少时,b c λ+

的模最小; ⑶问是否在实数λ,使得向量a

垂直于向量b c λ+

; ⑷问是否在实数λ,使得向量a

平行于向量b c λ+

【例47】 设向量(354)a =- ,,,(218)b = ,,,试确定λμ,的关系,使a b λμ+

与z 轴垂直.

【例48】 已知(101)(4)(147)A B x y C -,,,,,,,,,且A B C ,,三点在同一直线上,求实数

x y

,的值.

【例49】 在正方体1111ABCD A B C D -中,求二面角11A BD C --的大小.

【例50】 已知(221)A ,,,(124)B -,,,(243)C -,,,(142)D -,,,

⑴求线段A C 、BD 的长;

⑵求证:这四点A 、B 、C 、D 共面; ⑶求证:AB C D ∥,AC BD ⊥;

⑷求向量AC

与AB

所成的角.

【例51】 已知(023)A ,,,(216)B -,,,(115)C -,

,, ⑴求平面ABC 的一个单位法向量;

⑵证明:向量(341)a =-

,,与平面ABC

平行.

【例52】 已知(122)a =- ,,,(340)b = ,,,(243)c =--

,,,

⑴求a b c ++ ,32b c +

⑵计算:()(32)a b c b c ++?+ ,||a b c ++ ,a a b c ?++?

,;

⑶写出与向量a b c ++

平行的单位向量;

⑷写出与向量a b

⑸当实数λ的值为多少时,()a b c λ⊥+

空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版

【例53】 四棱锥P ABC D -中,底面ABC D 是平行四边形,()

214,,A B =--

()420,,AD = ,()121,,AP =-- .

⑴求证:PA ⊥平面ABC D . ⑵求四棱锥P ABC D -的体积;

⑶对于向量111222()(),,,

,,a x y z b x y z == ,333(),,c x y z =

,定义一种运算:

()a b c ??=

123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---,

试计算()AB AD AP ??

的绝对值;说明其与四棱锥P ABC D

-的体积的关系,并由

此猜想向量这一运算()AB AD AP ??

的绝对值的几何意义.