量子力学
态叠加原理
材物1303 1309050325 吴富贤
摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。
关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。
一．引言：
量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。
二．正文：
原理的表述
在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.
（1）狄拉克的表述
据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,……然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.”
可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态A和B的叠加,这两个态的性质是……当观察处在态A的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态B的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时……所得到的结果将有时是a,有时是b……而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,A班的年龄分布是集合{a},B班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?
由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的
一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.
总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可
能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子
力学
（2）朗道的表述
朗道和E.M.栗弗席茨在他们著的《量子力学》中把态叠加原理表述为:“假如在波函数为ψ（q,t）的态中进行某种测量获得可靠的肯定结果称为结果（Ⅰ）,而在波函数为ψ2q,t的态中获得的结果为Ⅱ那么可以断定在ψ1与ψ2的任一线性组合给出的态中,亦即在任一形如c1ψ1+c2ψ2的函数形式(其中c1和c2是两个常数)的态中,进行同样的测量所得的结果或者是Ⅰ,或者是Ⅱ.此外,我们还可以假定,如果已知以上两个态与时间的关系,其中一个由函数ψ1q,t给出,另一个由函数ψ2 q,t给出,那么它们的任一线性组合也给出该组合态与时间的可能关系.以上假定构成了所谓的态叠加原理”。
（3）喀兴林的表述
国内关于态叠加原理的表述也有很多种,我们挑选喀兴林的叙述作为代表.他于2000年出版的《高等量子力学》书中把态叠加原理表述为:“若ψ1和ψ2是粒子的两个可能状态,则ψ=c1ψ1+c2ψ2也是粒子可能的状态。
(4)基本表述
态叠加原理是量子力学中的一个基本原理，它说明了波函数的性质。如果ψ1是体系的一个本征态，对应的本征值为A1，ψ2也是体系的一个本征态，对应的本征值为A2，根据薛定谔方程的线性关系，ψ=C1ψ1+C2ψ2也是体系一个可能的存在状态。这也如果在这个状态下对可观察量A进行测量，
态叠加原理
测量到的A值既有可能是A1也有可能是A2，相应的概率之比为|C1|2/ |C2|2。A在三维全空间的平均值为=∫ψ*A'ψd3x，或者采用狄拉克符号记为<ψ|A'|ψ>。
因为薛定谔方程是线性方程，所以如果Φ1和Φ2都是方程的解，那么，Φ1和Φ2的线性叠加
Φ=с1Φ1+с2Φ2也是薛定谔方程的解，式中с1、с2是复数。这个结果的物理意义是：如果Φ1和Φ2描述了粒子的可能状态，则它们的线性叠加Φ也描述了系统的可能状态。
对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的
（1）关于态和态函数的表述
基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定
的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间态矢量可以有多种表示形式.在坐标表象中,态矢量可以用一个函数来表示,
如ψr,称为波函数或态函数.它的平方表示在空间找到该粒子的概率密度(ψ已归
一化),故波函数又称为概率幅.描述微观体系的量子态的波函数自身是没有物理
意义的。
（2）态叠加原理的基本内容
虽然不同学者对原理表述形式有所区别,但都包含以下基本内容:若ψ1和ψ
2是体系的两个可能的态,则它们的线性叠加ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系可能的状态.相叠加的态可以扩展为n个甚至无穷个,而且叠加是线性的,叠加系数是复常数。
（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别
经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间
中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子
态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数
完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。就如：量子力学中的态迭加原理
数学形式虽然与经典波的迭加相同，但物理本质上有根本的差异。在经典波中，如果说一个波由若干子波迭加而成，只不过说明这个合成的波含有各种成分（例如不同波长及频率）的子波而已；而态迭加原理是“波的迭加性”与“波函数完全描述一个微观体系状态”两个概念的概括。因为用波函数描述微观体系的关态（包括波函数的统计解释）这个概念在经典物理中是没有的。例如一个系统（或粒子）的波函数的形式，那么在状态中，动量只能测得一个值P1，而在中只能
是P2因此在态中测得动量的值可能是P1也可能是P2但决不会是其它的值，显然在经典物理学中波的迭加并不包含这样的内容经典观点认为系统的状态总是
用具有确定的值来表征的。
不同学者对原理的争议之处
（1）态叠加原理与测量的关系
不少学者在表述叠加原理时都把它和测量联系起来,例如朗道和曾谨言等的
表述.有的学者认为“测量的概念在量子力学的整个理论体系中具有核心的地位.……态叠加原理、波函数的统计诠释和Heisenberg测不准原理这三条量子力
学的基本原理,都是直接与测量有关系的”.在狄拉克的表述中没有明确将测量与态叠加原理联系起来,但有的学者把狄拉克关于态叠加原理的叙述理解为:“所谓确定的态是指在制备系统时加于其上的诸多条件是确定的,且在制备后系统未受
干扰;分别部分地处于两个或更多的态中的某一个,是指对于确定态的系统测某个可观测量,表现出与两个或更多的态中的某一个具有相同的性质.或者说前者是从制备系统的角度而言的,后者是从测量系统的角度而言的.由于出发点不同,所以
两者间用‘能把它看成是’来连接.”可见该学者也认为态叠加原理与测量是有
关系的。
喀兴林则认为态叠加原理是由粒子的波动性引起的(或由微观系统的属性决
定的),“测量”属于量子力学基本概念,目前我们对它的认识还不深刻.包括测不准关系,喀兴林认为也不是由于测量引起的,而是由微观系统的属性引起的,故应称
为不确定性关系。
(2)态叠加的线性与薛定谔方程的线性的关系
大多数学者都认为,态矢量所满足的方程(即薛定谔方程)的线性是由态叠加
原理的线性决定的.而喀兴林认为它们两个中哪个更基本(即谁决定谁)是量子力
学更基本的问题,目前还无法做出回答。
(3)与态叠加原理相关的一些观点
除了以上关于原理表述和理解上的分歧以外,在与该原理相关的一些观点上
学者们也不乏争议之处.例如某学者有这样一个观点,即“态叠加原理是波的叠加性与波函数完全描述一个体系的量子态两个概念的概括”.关于这个观点,学者们有一些不同的认识.首先,关于态叠加原理与波的叠加性的关系,有的学者认为,”态
叠加原理既然是量子力学里首要的基本原理或理论前提,那么这里所说的波的概
念就不可能来自于量子力学,而只能来自于经典物理学里的波动概念.于是,这种
陈述必定在逻辑上暗含了这样的主张:量子力学的基本概念和原理,是建筑在经典物理学的概念基础之上的.而事实上,量子力学里并不需要预先设定波动的概念”.其次,关于态叠加原理与“波函数完全描述一个微观体系的状态”的关系问题,学者们也有不同的认识.
态叠加原理应用实例
1.轨道杂化
轨道杂化是一个在解释化学问题时得到了广泛应用的概念,它形象、直观,
便于理解。如同上面介绍的H2分子的变分处理, 轨道杂化也可以从态叠加的角度去理解。
例如, C原子中的电子可能处于2s, 2p状态,也可能处于s, p组合起来的状态。当4个H原子靠近C原子要组成CH4分子时,为了有效成键,根据态叠加原理, 2s可与2p轨道进行线性组合,得到sp3杂化轨道, 该杂化轨道也是电子的一种可能的状态。同样, C2 H4中的C原子2s, 2p轨道也可线性69组合sp
2轨道, C2H2中的C原子2s, 2p轨道也可线性组合成sp轨道:
ψhybrid=csψs+cpψp (15)
组合系数cs和cp的大小反映了在ψhybrid中ψs和ψp的贡献。
2.H2分子的价键处理
20世纪30年代Heitler和London对H2分子的变分处理是价键理论的开创性工作。以ψ为变分函数求解Schr?dinger方程,可以成功地解释H2分子的电
子结构。20世纪30年代, Pauling对这一理论加以改进, 引入了轨道杂化概念,并发展成价键理论。
3.(np)2组态原子光谱项中的态叠加现象
受Pauli原理和电子的不可区分性的限制, (np)2组态共有15种微观态。可知, 第3, 4状态均为ML =1, MS =0, 难以指认哪一个状态属1 D谱项, 哪一个状
态属于3 P谱项;第11, 12状态均为ML =-1, MS =0,难以指认哪一个状态1D,3P谱项;此外,第6, 7,8状态均为ML=0, MS=0, 也难以指认哪一个状态属于1D、3 P
或1S。这种情况可以用态叠加来进行分析。
三．分析与结论
从以上分析可以看出,学者们关于态叠加原理的认识尚有许多分歧,其中的原因我们认为有以下
两方面:
首先,这是由于我们未能完全脱离经典物理的影响引起的.狄拉克认为“叠加原理所要求的存在于任一系统的各态之间的关系,其性质是属于不能用一般的物理概念来说明的一类.人们不能在经典的意义上来图像地说明一个系统部分地处于两个态中的每一个,而同时又要这一情况等同于这个系统完整地处于某一其他的态”;“在量子力学中出现的叠加,与任何在经典理论中出现的叠加,有根本不同的性质”;“叠加的方式是经典观念所不能设想的”.然而由于量子力学的概念和原理非常抽象,往往严重背离日常工作的经验,难以被大多数初学者所接受.因此一些学者在向人们介绍量子力学时,免不了会借用一些经典的观点来解释量子理论.而我们关于态叠加原理理解上的差异的某些方面如表述方法的不同,从很大程度上说正是由于我们依然按照经典的观点来理解量子理论引起的.例如有些学者认为粒子在叠加态ψ=c1ψ1+c2ψ2时“既处于ψ1,又处于ψ2”不恰当.事实上微观粒子的波粒二象性既不是经典意义上的粒子,也不是经典意义上的波动.随着量子理论的普及和量子观念的一步步深入人心,我们最终将不再借助于经典的概念来理解量子力学.那时对态叠加原理表述的差异或许就将不再存在.
其次,这是由于量子力学基本问题的未解决引起的.量子力学是以一些基本假设(或公理)为基础进行逻辑推理和数学演绎而建立起来的理论体系.它的正确性是根据推理和演绎的结果与实验观测相一致来证明的.至于这些基本假设是怎么得来的,其物理基础是什么,这些问题目前我们尚未认识清楚.按照喀兴林的观点,它们是属于基本原理下一个层次的问题,是量子力学的基本问题,是物理学家正在加以研究但目前尚未得出公认的结论和尚未得到实验支持的内容.而关于态叠加原理理解上的差异的很多方面,如原理的线性与薛定谔方程的线性的关系、原理与测量的关系等等,都是与量子力学基本问题有关的.对这些问题的回答与判断依赖于量子力学基本问题的解决,依赖于量子力学的进一步发展.另外,量子力学也不是物理学的终极理论,随着科学的发展和人类的进步,我们还将建立比量子力学更普遍的理论,我们今天感到困惑的问题到那时将迎刃而解.因此在目前这个阶段,关于态叠加原理的许多争议我们不妨像喀兴林那样回答得保守一些,暂时搁置这些争论.随着物理学的发展,我们终将能够回答这些问题.
以上我们对量子力学的态叠加原理进行了简单的讨论,着重比较了一下学者们的不同认识.我们认为这些认识上的差异主要是量子观念普及程度的不够及量子力学基本问题的未解决造成的.通过这个比较我们也认识到,尽管经过了近80年的发展,量子力学作为一门基础理论已经非常成熟,在指导人类文明进步方面发挥着越来越重要的作用,但人们的量子观念还不是很明确,还带有经典物理的烙印;同时量子力学自身还有很大的发展空间,还有许多深层次的问题目前我们还不能给出满意的答案,还有待于大批优秀的理论工作者做出不懈的努力.这也恰恰说明了科学发展是永无止境的,人类的认识也是永无止境的.
同时，也说明了，只有在实际应用中的科学定理才能造福人类为人类的进步作贡献。态的叠加原理能有很大的实际应用，我们要认真的应用好它。
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