数学模型的优势和作用
数学模型的优势和作用
数学模型在小学数学教学中的作用
结构
一、数学模型的简介。
二、建立数学模型的基本原则
三、建立数学模型的基本方法
四、小学数学中基本模型
五、模型在小学数学小数学习中的体现
六、小学数学教学中的小学教学中的实录
正文
一、数学模型的简介。
1 什么是数学模型？
数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，一般表现为数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等。数学模型具有一般化、典型化和精确化的特点。
2 数学模型的意义
（1）建立数学模型是数学教学本质特征的反映。
①数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认
识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。例如，舍去一切具体情景，行程问题的基本模型是：路程=速度×时间(s=vt)，只不过在具体问题解决时，需要对这个模型进行一次构建还是多次构建的问题。因此，数学模型有效地反映了思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。显然，学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识。
②人们在以数学方式研究具体问题时，是通过分析、比较、判断、推
理等思维活动，来探究、挖掘具体事物的本质及关系的，而最终以符号、模型等方式将其间的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、简洁化，甚至将其一般化，使某类问题的解决有了共同的程序与方法。因此，可以说，数学模型不仅反映了数学思维的过程，而且是高级的、高效的数学思维的反映。
2建立数学模型是数学问题解决的有效形式。
①数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模
型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。因而，在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为我们的一种共识，只有这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。
②现代数学观认为，数学具有科学方法论的属性，数学思想方法是人们
研究数学、应用数学、解决问题的重要策略。而建立数学模型，研究数学模型，正是问题解决过程中的中心环节，是决定问题解决程度如何的关键。当年，瑞士大数学家欧拉面对哥斯尼堡“七桥问题”时，巧妙地将陆地看成点，将桥看成线，把实际问题转化为点线相连的数学一笔画问题，通过对所构建的模型的研究，来最终解决问题，正是这一过程的绝好例证。
二、数学模型建构的基本原则
1、简化性原则——现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统，对原型进行一定的简化即抓住主要矛盾，数学模型应比原型简化，数学模型自身也应是“最简单”的。
2、可推导原则——由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果，如果建立的数学模型在数学上是不可推导的，得不到确定的可以应用于原型的结果，这个数学模型就是无意义的。
3、反映性原则——数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式，因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。
三、数学模型建构的方法
1、建立数学模型应该让学生大胆的去猜想，再在直观的事例中进行具体地分析。
猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式，对于探索或发现性学习来说，猜想是一种非常重要的思维方法。在教学生一些数学定理之前，我们不妨可以让他们根据已有的知识大胆地去猜想一下这个定理。
2、建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效地综合比较。
综合是指学生在学习的过程中将数学现象、数学实例的分析情况进行整理组合，从而形成对这一类数学知识的总体认识。比较是对有关的数学现象、数学实例，区别它们的相同之处和不同之处。数学中的比较是多方面的，包括多少与大小的比较，相同与不同的比较，结构与关系的比较，定律与性质的比较等。比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间存在的同一性与相似性，一边解释其背后的共同模型。
3、建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽象出它们所具有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括。
抽象是从许多数学实例或数学现象中，发现其共同的本质特点。而概括则是把抽象出来的共同点用数学的语言或符号等形式进行归纳和总结。
4、建构数学模型一定要让学生进行充分地验证，得出结论之后再进行有效的应用。
学生在初步得出结论时要给予足够的空间让学生进行充分地验证，在验证的过程中可能会发现新的现象，并在解决新问题的过程中，进一步完善自己的猜想，最终发现规律得出结论。并运用这个规律解决更多的实际问题。这不仅是一个主动学习的过程，更是发现学习、创新学习的过程。
5、建构数学模型应当以数学活动为主要形式。
由于数学思想方法不同于数学知识点，不是一个定义、概念就能代替的。有其活动形式和丰富的内涵。因此，应当在多种形式的数学活动中教授数学思想方法。
(1)问题的生活实景——选择恰当的环境背景与相关材料引起讨论。
(2)问题的合理诠释——选择适当的数学形式，重新进行表述。
(3)问题的充分解决——展示数学思想方法形成的心理活动过程，主要通过认知对象或问题解决来进行。
(4)问题的数学模式——形成认知与思维的模式，使数学概念或模式游离于具体材料之外，进而促进学生数学观念（意识）的形成。
6、建构数学模型应当融多种思维方式于一体。
演示——概括的方法，同类比较——抽象的方法，直观思维、形象思维、抽象思维、逻辑思维等都应当在数学教学中不断地出现，使得教学过程经历：直观化——准模型化——模型化的过程。
数学模型化的思想与常见的数学知识教学不同，它应是：具体的生活实景——分析——抽象——数学描述——模型的建立——思想方法的形成——问题解决（或认识形成）——观念（意识）形成——解决更多的实际问题。
四、小学数学中的基本模型：
知识领域知识点应用举例
数与代数数的表示
自然数列：0,1,2，….
用数轴表示数
数的运算
a+b=c
C-a=b,c-a=b
a×b=c(a≠0,b≠0)
c÷a=b（a≠0）,c÷b=a（b≠0）方程a+b=c
数量关系时间、速度和路程：s=vt 数量、单价和总价;a=np 正比例关系;y/x=k
反比例关系：xy=k
用表格表示数量间的关系用图像表示数量间的关系
空间与图像用字母表示公式
三角形面积;s=1/2ab
平行四边形面积：S=ah
梯形面积：s=1/2(a+b)h
圆周长：C=2πr
圆面积：S=πr2
长方体面积：v=abc
正方体体积：V=a2
圆柱体积：v=Sh
圆锥体积：v=1/3sh
空间形式用图表表示空间和平面结构
统计与概率统计图和统计表用统计图表描述和分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小
五、模型思想在小学小数数学教材中的体现
教材中的小数数学模型
借助直观模型和操作活动，帮助学生理解小数的意义掌握小数加减法。认识小数是学生对数的认识的又一次拓展，对学生来说，小数所表示的意义与他们的生活经验有一定的距离，所以，为了让学生真正理解小数的意
义，教材提供了可供学生操作的素材。如“小数的意义”中，用直观模型说明小数与十进分数的关系。
1 利用将正方形切割成为“条，块的模型”，帮助学生理解十进分数与小数
的关系，用几何模型表示小数。
2 借助计数器这个模型，介绍小数部分的数位以及数位之间的进率，让学
生进一步理解小数的意义，并练习小数的读写。
3 利用“数轴”这个数学模型进一步理解小数的意义。
4，利用“厘米、分米、米”之间是“十进制”关系，以此建立数学模型，可以直接用分母是10或100的分数或用小数表示，进一步体会小数的意义。
六，数学教学中一些运用“模型”思想的实录。
1，利用“小木条”来构建小数的意义。
在小数的意义教学中，有很多教师应用“分”这个概念，将一个实际的物体，平均分成几份，将小数这个代数内容几何化，利用学生熟悉的“长度”概念进行形象化的教学。例如如下教学片段。
教学片段
师：我们先来思考一个问题：用1米的木条去测6分米的木条，你有什么方法吗？你说……，能把这根木条细化吗？
生：把1米的木条平均分成10份，标上刻度，每份是1分米。
师：能用分数表示吗？能用小数表示吗？生？：能，1/10米，0.1米
教师根据学生的回答小结：米还可以用小数来表示就是0.1米。因为1/10米还不够1米，用米作单位不能写“1”，得不到一个整数，所以我们在
整数部分写上“0”，后面加上一个点，点后面写上“1”，读作“零点一”，表示1/10米。师：这下有办法量6分米的木条了吗？表示什么？
生：有，0.6米，表示十分之六。
师：能在这把尺子找到其它的小数吗？
生：0.2米、0.3米、0.5米……
问：这些分数的分母是多少？这些小数的小数点右面有几位？是几位小数？（学生回答）
师：真聪明，4分米至7分米之间用小数如何表示？为什么？
生：0.4米？0.7米？0.3米。
师：0.3米，4与7之间有三个刻度，是3分米，表示十分之三分米，用0.3米表示。
教师小结：把1米平均分成10份，这样的一份或几份表示十分之几米，可以用像0.1米、0.3米等这些一位小数来表示。（板书：一位小数、十分之几）
2、构建两位小数的意义
师：出示2号木条35厘米，能用这根1米木条去测量吗?怎么办？
生：再把这根木条平均分成100份，标上刻度，
每份是1厘米。
师：每份是几厘米？是几分之几米？用分数怎么表示？
师：能用分数和小数表示吗？
生：1/100米，0.001米。
师：如果是13份呢？是几分米？是几分之几米？用分数怎么表示？
生：13分米，13/100米，0.13米。
教师根据学生的交流小结：把1米平均分成100份，这样的一份或者是几份表示百分之几米，可以用像0.01、0.13这种两位小数来表示。（两位小数、百分之几）
2 利用“数位”这个数学模型，进行小数间比较的学习。
在学生最初学习比较两个数的大小，从最初的同数位比较大小，到不同数位比较大小，都是以“计数器”这个模具为学习基础。当利用“计数器”来比较数的大小这个模具深深的印在了学生的头脑之中，数位这个概念就深植学生的头脑之中。而小数比较大小大多数教师也是以这个数位模型为基础进行教学。教学片段：
师：根据你的经验，能说说对于小数应该怎样比较大小吗？
学情预设：学生可能会把整数的大小比较的方法搬到小数上，但整数毕竟跟小数有所不同，因此比较的方法也是有细微的差别的。这里旨在引导学生对小数的大小比较的方法进行猜
测。
师：用你们刚才的猜测，试着比较这两个小数的大小。（14.80>13.50）
师：你还能联系实际去比较吗？（14元8角大于13元5角）
师：谁还能举出一些小数来。
（学生举数，教师板书之）
师：请你们任选两个小数进行比较，不但要比较出谁大谁小，还要跟同桌说说你比较的方法。
设计意图：先组织学生根据已有知识经验进行猜测，再通过证明去验证猜测，最后让学生自己举小数进行比较大小，整个环节不仅可以落实学生对两个小数大小比较的知识建构，还让学生体验了从猜想到验证的学习过程，对其学习方法的形成具有一定的作用，同时让学生自己举出小数进行比较，更具开放性，学生情感的体验也是较好的。
3.多个数的大小比较
多媒体展示：上届艺术节独唱比赛得分情况
师：艺术节快到了，在去年的艺术节上，我们学校的同学表现非常棒，我们来看看他们在总决赛中的得分情况。
姓名成绩
小明 8.72分
小红 9.20分
小莉 9.85分
小军 9.25分
师：你能帮老师给他们排出名次吗？谁得了第一名？
（学生在练习纸上比较大小，并排序）
学情预设：学生的排序可能会有多种方案，比如依次写一个名次，再相应的写出选手的名字；按从小到大（从大到小）写出选手的名字；给选手标上序号，在把序号进行排序......这里要充分鼓励学生原创的符号表示方法，赞赏学生的独创性符号。
师：说说你的比较方法。
（学生叙述，老师适时在黑板上板书：先比较整数部分，整数部分相同，就比较小数部分）
师：刚才，同学们用自己的方法帮老师排出了他们的名次，有些同学的方法非常巧妙。如果要求从大到小排列，你会排吗？你会用什么符号呢？
学情预设：9.85>8.25>9.20>8.72
设计意图：学生对于从大到小或从小到大已经会采用“>”或“<”进行表示，这里让学生体会运用符号的简便性，以培养学生的符号感。
师：你们已经给小明、小红、小莉和小军排出了名次。（小莉第一，小军第二，小红
教学预设
课堂生成
第三，小明第四）
师：想一想，怎样比较小数的大小？
（学生叙述，老师适时补充，并注意引导
语言表述的完整性和准确性）
归纳小结：比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的数就大；如果整数部分相同就比较小数部分，先比较十分位，再比较百分位，依次比下去，哪位上的数大，那个数就大。
设计意图：通过小数的大小比较的各个环节的学习活动和思维的引导，让学生在观察比较中充分感知并经过独立思考与小组讨论的结合，让学生把自己的经验性认识内化为数学知识，建构小数的大小比较的方法。