2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题五十-新概念型问题

动态型问题

知识点一: 动点问题

例1 （2009·遂宁市）如图，已知矩形ABCD 中，AB=4cm ，AD=10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.

⑴求证：EF+GH=5cm ；

⑵求当∠APD=90o 时，GH

EF 的值．

解析：⑴∵矩形ABCD ，AD=10cm ，

∴BC=AD=10cm

∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DO 的中点，

∴EF+GH=21BP+21PC=2

1BC ， ∴EF+GH=5cm ．

⑵∵矩形ABCD ，∴∠B=∠C=90o ，又∵∠APD=90o

，

∴由勾股定理得AD 2=AP 2+DP 2=AB 2+BP 2+PC 2+DC 2=BP 2+(BC-BP)2+2AB 2=BP 2+(10-BP)2+32,

即100=2BP 2-20BP+100+32

解得BP=2或8(cm)

当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时4

1=GH EF 当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时4=GH

EF ∴GH

EF 的值为41或4．

知识点二 动线问题

例2 （2009·东营市） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．

（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；

（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；

（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

解析：（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中MN 边上的高为0.5米.

所以，S △EMN =5.022

1??=0.5（平方米）. 即△EMN 的面积为0.5平方米. …………2分

（2）

①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，

即0＜x ≤1时，

△EMN 的面积S =x ??22

1=x ； ②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，

即1＜x ＜31+时，

如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ，

∵ E 为AB 中点，

∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG ＝3.

又∵ MN ∥CD ，

N

EB G

D

M A B C E A B G

N D M

C

图2

H F E A

B G

N D M

C

E 图1 图2

∴ △MNG ∽△DCG ．

∴ GF GH DC MN =，即2[31]3

x MN +-=． 故△EMN 的面积S ＝12[31]23

x x +-?? ＝x x )3

31(332++-； 综合可得：

()()

?????+???? ??++-≤=31133133102＜＜．＜，x x x x x S （3）①当MN 在矩形区域滑动时，x S =，所以有10≤

②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )331(332++-

. 因而，当2

312+=-=a b x （米）时,S 得到最大值， 最大值S =a b ac 442-=）（）（3343312-?+

-=3321+（平方米）. ∵ 13

321>+， ∴ S 有最大值，最大值为3

321+平方米.

知识点三 动形问题

例 3 （2009·台州市）如图，已知直线112

y x =-+交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ．

（1）请直接写出点D C ,的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．

解析：（1）由题意，得：)3,1(),2,3(D C ；

（2）设抛物线为c bx ax y ++=2，抛物线过),1,0()3,1(),2,3(，

?????=++=++=.239,3,1c b a c b a c 解得5,617,61.a b c ?=-???=??=???

∴16

17652++-=x x y ． （3）①当点A 运动到点F 时，,1=t 当10≤

∵'OFA GFB ∠=∠， ,2

1tan ==∠OF OA OFA ∴,215''''tan ===∠t

GB FB GB GFB ∴,25't GB = ∴2'4

525521''21t t t GB FB S G FB =??=?=?； ②当点C 运动到x 轴上时，2=t ，当21≤

图1

y

x

121+-=x y

22''215,A B AB ==+=

∴,55'-=t F A ∴2

55'-=t G A ， ∵2

5't H B =， ∴''1

'')''2A B HG S A G B H A B =+?梯形（ 5)25255(21?+-=

t t 4525-=t ； ③当点D 运动到x 轴上时，3=t ，当32≤

∵2

55'-=t G A ， ∴25532555't t GD -=--=

， ∵1,1212

1==??=?OA S AOF ， AOF ?∽'GD H ?

∴2')'(OA

GD S S AOF H GD =??， ∴2')2

553(t S H GD -=?， ∴22'''3555)2GA B C H t S -=-五边形（）（

=425215452-+-t t ． （解法不同的按踩分点给分）

（4）∵3=t ,53''==AA BB ,

∴''''BB C C AA D D S S S ==阴影矩形矩形

图2

='AA AD ? =15535=?．

随堂检测：

1. （2009·甘肃省兰州市）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；

(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；

(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

2. （2009·内蒙古省包头市）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

图4

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

3. （2009·湖南省娄底市）如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3

（1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积.

（2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由. 探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系.

4. （2009·广东中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，

A

Q

C D B

P