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5.3向量的坐标及坐标法运算(二)

南通市工贸技工学校

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教学重点、难点：

授课方法：讲授法

教学参考及教具（含多媒体教学设备）：三角板，直尺授课执行情况及分析：

板书设计或授课提纲

-) B) C(-，，、若向量= (1=(

=），=

已知向量，，且

、已知，+2

若一个单位向量的方向相同，则

，且=2-3

已知=，=2，

，），），=+2，=2-=2，、已知平行四边形的顶点、、，求顶点的

）求点、及向量的坐标；

）求证：∥

向量的坐标及向量积

龙文教育一对一个性化辅导教案学生伍靖雯学校第四十一中年级高一次数第 8次科目数学教师林泽钦日期2016-4-16时段 10：00-12： 00 课题向量的坐标运算及向量积教学重点1.平面向量的坐标运算 2.平面向量的夹角公式教学难点 1.平面向量与三角函数结合教学目标1.掌握平面向量的坐标运算 2.掌握向量积公式的应用及与三角函数的综合型问题教学步骤及教学内容一、错题回顾：已知() P4,1,F -为抛物线28 y x =的焦点，M为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M点的坐标. 二、内容讲解：主要知识点1:平面向量的坐标运算主要知识点2:平面向量的积运算主要知识点3:平面向量与三角函数结合三、课堂总结： 1、平面向量的坐标运算 2、平面向量的积运算四、作业布置：见讲义

一.错题回顾已知()P 4,1,F -为抛物线28y x =的焦点，M 为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M 点的坐标. 二、内容讲解（一）平面向量的坐标运算 (1)已知向量和实数λ，那么 . (2)已知则，即一个向量的坐标等于该向量的_______的坐标减去________的坐标. 例1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对例2．若a =(2,1),b =(1,0)，则3a +2b 的坐标是 A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 管理人员签字：日期：年月日作业布置 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差备注： 2、本次课后作业：课堂小结小结家长签字：日期：年月日

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

空间向量的基本运算

第六节空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有和的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

平面向量内积的坐标运算

课题：平面向量数量积的坐标表示教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||

4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x

向量积的运算公式及度量公式

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！张喜林制 2.3.2 向量数量积的运算律 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单 1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律： (3)数乘向量结合律： 2．常用结论： 3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=?b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直． 5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b 6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB 要点核心解读 1．向量数量积的运算律 a b b a ?=?)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律）； c b c a c b a ?+?=?+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明 a b b a ?=?)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ?>=<>=<=? )()()()2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律）证明：.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ① 当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ 当0=λ时，,00)0()(=?=?=?b b a b a λ

2020高考数学专题复习《平面向量的坐标运算》

平面向量的坐标运算一、知识精讲 1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0)．3．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. [小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

2.已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量． 4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变． 5 x1 y1 ．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有＝成立？ x2 y2 x1 y1 提示：不一定．由于＝的意义与x1y2－x2y1＝0 的意义不同，前者不 x2 y2 允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0 或x2＝y2＝0 时，a∥b x1 y1 但＝不成立． x2 y2 二、典例精析例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分别是AB，AC，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F，求DF 的坐标．

空间向量及其运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】 1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】题型一空间直角坐标系注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．

空间向量及其坐标运算练习题

空间向量及其坐标运算一．选择题 1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x = 21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =2 3 2.在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1 B.51 C.53 D.5 7 4.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 A.（ 41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32 ） 5.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值 A D B C B C D 1 1 1 1 M N A. 2 3 B. 10 10 C. 5 3 D. 5 2 二．填空题 6.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角 θ的大小是_________. 7.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________. 8.命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b =λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM = 31OA + 31OB + 3 1 OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________.

空间向量的坐标表示及其运算

空间向量的坐标表示及其运算 1. 已知()2,1,3=，()3,2,1-B ，则A 的坐标是 . 2. 已知()()m b a ,4,2,2,2,1-=-= ，若b a //，则实数=m . 3. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是______ . 4. 若()1,1,1A ，()4,0,1-B ，()3,2,2-C ，则以AC AB ,为邻边的平行四边形的面积为 . 5. 若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos α，2sin α，1)，则|AB → |的取值范围是 . 6. 若()()222111,,,,,z y x A z y x A ，且P 为AB 中点，则P 的坐标为 . 7. 在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,51===AA BC AB ，如图，建立空间直角坐标系，写出11,,CB B A AC 及D B 1. 8. 已知()()1,2,3,3,6,4--B A ，且3 2 -=，求点P 的坐标。 9. 已知()()5,3,2,1,5,1-==b a ，（1）当()() b a b a 3//-+λ，求实数λ的值；（2）当()() b a b a 3/-⊥+λ，求实数λ的值 y

10. 已知空间三点()2,0,2-A ，()()4,0,3,2,1,1--C B ，求：（1）BAC ∠；（2）若向量k k +与向量k 2-垂直，求实数k 值。 11. 已知()3,2,1=，()2,1,2=，()2,1,1=，点S 在直线OP 上，求?的最小值，并指出此时S 的坐标。 12. 在棱长为a 的正四面体ABCD 中，建立恰当的坐标系，（1）求D C B A ,,,的坐标；（2）求AB BC ? +AC BD ? 的值。 C P A

高中数学学案平面向量的坐标运算(教＼学案)

2. 3.3平面向量的坐标运算【教学目标】 1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力； 2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？ a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？ a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2); λa ＝(λx 1，λy 1). 两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？

第八讲向量的坐标表示及其运算

第八讲向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 ),(),(),(),,(112 1212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±?∈==ρρρρρ ，， 4.向量的摸：22y x a += ρ （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ??? ? ++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度（2）年龄（3）风力（4）面积（5）位移（6）人造卫星速度（7）向心力（8）电量（9）盈利（10）动量

平面向量的坐标运算教案

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“平面向量的坐标运算”教学方案教学目标： 1.知识与技能：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。 2.过程与方法：在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。 3.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：平面向量坐标表示的意义。教学方法：结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：投影仪、多媒体软件教学过程 1.情境创设教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。 2.展开探究问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加合理呢？组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

向量数量积的坐标运算

《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案【学习目标】：（1）灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式；（2）体会公式中体现的数形结合的思想【学习重难点】重点：向量数量积的坐标运算与度量公式难点：灵活运用公式解决有关问题【知识链接】 1.两向量数量积定义：a b = 2.向量数量积的性质：【知识重现】 1. 已知5b =，在方向上的正射影的数量是3，则a b = 2. 在ABC 中，5,5,120BA AC BAC ==∠=?，则BA AC = 【知识点梳理】 1.数量积的坐标表达式 a b = 2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：（1）a b ⊥? 。（2）与向量12(,)b b b =垂直的向量可以写成。 3、向量的长度、距离和夹角公式推导向量的长度公式： a = 距离公式： AB = 两向量夹角余弦公式的坐标表达式：

cos ,a b = 自学课本P113--P114例1—例4，完成自学检测【自学检测】 1.已知(4,5),(4,3), a b ==-则a b = ，a = ，b = ，cos ,a b = 2.已知(3,5),(5,3),a b ==-则,a b = 3.判断下面各对向量是否垂直（1）(3,2),(4,6)a b =-= （2）(3,5),(5,3)a b == 《向量的数量积的坐标运算与度量公式》探究案【课内探究】探究一：推导向量内积的坐标运算公式建立正交基底12{,}e e ，已知1212(,),(,)a a a b b b ==，则 a b = = ，因为，所以得到：用语言描述为：。练习一：已知向量的坐标,a b ，求a b （1）(8,6),(3,4)a b ==--；（2）(11,2),(3,9)a b =-= 探究二：两向量的垂直条件例1. 已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证：AB AC ⊥ 练习二：已知(1,2),(5,8),(2,1)A B C ---，求证：AB AC ⊥

平面向量数量积的坐标表示教学设计

5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析 1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。二、目标及解析 1、目标 1）、掌握平面向量数量积的坐标表示 2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3）、掌握向量垂直的条件 2、解析：

1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积； 2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题. 3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。四、教学支持条件分析本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。五、教学设计过程（一）、教学基本流程（二）情景创设平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？