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非线性回归模型报告

附件二：实验报告格式（首页）

山东轻工业学院实验报告成绩

课程名称计量经济学基础指导教师苏卫东实验日期 2013-05-11 院（系）商学院专业班级：会计三班实验地点：2机房学生姓名学号同组人无

实验项目名称非线性回归模型的线性化

一、实验目的和要求

1、掌握计量经济学专用软件（Eviews）使用方法，理解和正确解释输出

的应用基本理论和方法的基础上，掌握建立计量经济模型对实际经济问题进行实证分析的方法，运用Eviews软件完成对非线性回归模型的线性化分析，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力

2、掌握Eviews中的常用函数及应用

3、掌握用Eviews非线性回归模型的线性化分析

4、在老师的指导下独立完成实验，并得到正确的结果。

二、实验原理

1、Eviews解决非线性回归模型线性化问题

2、最小二乘法的应用

三、主要仪器设备、试剂或材料

Eviews软件、课本教材、电脑

四、实验方法与步骤

1、打开Eviews软件，创建工作文件，

CREATE AB A 1980 1996 回车

2、DATA GDP K L 回车

3、输入数据

obs GDP K L

1980 103.52 461.67 394.79

1981 107.96 476.32 413.02

1982 114.1 499.13 420.5

1983 123.4 527.22 435.6

1984 147.47 561.02 447.5

1985 175.71 632.11 455.9

1986 194.67 710.51 466.94

1987 220 780.12 470.93

1988 259.64 895.66 465.15

1989 283.34 988.65 469.79

1990 310.95 1075.37 470.07

1991 342.75 1184.58 479.67

1992 411.24 1344.14 485.7

1993 536.1 1688.02 503.1

1994 725.14 2221.42 513

1995 920.11 2843.48 515.3

1996 1102.1 3364.34 512

4、GENR Y=LOG (GDP) 回车

GENR X1=LOG(K) 回车

GENR X2=LOG(L) 回车

LS Y C X1 X2 Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/11/13 Time: 11:41 Sample: 1980 1996

Included observations: 17

Variable Coeffic

ient

Std.

Error

t-Statisti

c Prob.

C -10.459

77 1.286923

-8.12773

8 0.0000

X1 1.0212

77 0.029404 34.73230 0.0000

X2 1.4711

10 0.239277 6.148149 0.0000

R-squared 0.9986

Mean

dependent var

5.6001

Adjusted R-squared 0.9984

S.D. dependent

var

0.7499

S.E. of regression 0.0299

Akaike info

criterion

-4.0222

Sum squared resid 0.0125

Schwarz

criterion

-3.8751

Log likelihood 37.188

90 F-statistic

5021.5

Durbin-Watson stat 1.5691

65 Prob(F-statistic)

0.0000

5、view—actual，fitted,residual--actual，fitted,residual,graf

五、实验数据记录、处理及结果分析

由上表回归分析结果，估计的回归方程为

Y=-10.4639 + 1.0211X1+ 1.4719X2

（-8.1304）（34.7271）（6.1513）

R2=0.9986 F=5020.103 DW=1.5683

1、经济意义检验

根据回归结果，参数β1的估计量为1.0211，说明在其他变量不变的条件下，每多投入1亿元，GDP就会增加1.0211亿元；参数β2的估计量为1.4719，说明在其他变量不变的条件下，每多增加一万名就业人员，GDP增加1.4719亿元。

六、讨论、心得

计量经济学是一门以经济理论为前提，借助数学、统计学方法，以经济计量软件为工具，根据实际观测资料来研究经济现象、分析经济过程，通过

建立经济计量模型来探讨经济规律的学科。

在实验之前，我对Eviews软件了解甚少。通过这次试验，让我有机会接触并亲身实践。通过利用Eviews软件将所学到的计量经济学知识进行实践，让我加深了对理论知识的额理解，更体会到了单方程计量经济学模型的精髓之所在。其中涉及的大量公式，以及大量的运算，曾令我觉得很吃力。通过软件应用，免除了大量的繁琐计算，使分析更加方便快捷，同时也给了我更多的对于所掌握知识的启示。

通过这次实验，我明白了eviews的使用方法，运用Eviews对数据进行分析，快速的建立回归模型，通过对实验结果的分析可清晰地了解各项统计检验结果。在这过程中，图形分析与各项指标相结合更清楚的了解数据的特性。比如散点图与可决系数相比较，可知道回归模型对数据的拟合程度。通过这次试验，我进一步了解了计量经济学非线性回归模型的线性化和最小二乘估计问题，理论与实践结合，理解了各项统计检验指标的内涵。

附件三：实验报告附页

山东轻工业学院实验报告（附页）

非线性回归分析

SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究：第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：

点击确定按钮，得到如下结果：

放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面

在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果：通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于

常见非线性回归模型

常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型,但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。柯布—道格拉斯生产函数模型 y AKL 其中L和K分别是劳力投入和资金投入, y是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。对于联立方程模型,只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性,那么这个联立方程模型就是非线性的。单方程非线性回归模型的一般形式为 y f(x1,x2, ,xk; 1, 2, , p) 2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为

线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。（1）y 0 1e x （2）y 0 1x2x2p x p （3）y ae bx (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x即可化为y对x是线性的形式y01x，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。对于（2）式，可以令x1=x,x2=x2,?,x p=x p,于是得到y关于x1,x2,?, x p 的线性表达式y 0 1x12x2 pxp 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得lnylnabx ,令 y lny, 0 lna, 1 b，于是得到y关于x的一元线性回归模型： y 0 1x。乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。加性误差项模型认为yt是等方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了y t值大的项（近期数据）的作用，强化了y t值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用加权最小二乘。

计量经济学基础_非线性回归模型

第四节非线形回归模型一、可线性化模型在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。 1．倒数模型我们把形如: u x b b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1）的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。设：x x 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 2．对数模型模型形式： u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2） (该模型是将u b e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3）变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：

非线性回归分析(常见曲线及方程)

非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0 9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归：（1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 2 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/ e b x，建立M文件volum.m如下：

非线性回归分析(教案)

1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.

实验三多元线性回归模型和非线性回归模型

实验三多元线性回归模型和非线性回归模型【实验目的】掌握建立多元线性回归模型和非线性回归模型，以及比较、筛选模型的方法。【实验内容】建立我国国有独立核算工业企业生产函数。根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：(,,,) Y f t L Kε =。其中，L、K 分别为生产过程中投入的劳动与资金，时间变量t反映技术进步的影响。表3.1列出了我国1978-1994年期间国有独立核算工业企业的有关统计资料；其中产出Y为工业总产值（可比价），L、K分别为年末职工人数和固定资产净值（可比价）。表3.1 我国国有独立核算工业企业统计资料年份时间t 工业总产值 Y（亿元）职工人数 L（万人）固定资产 K（亿元） 1978 1 3289.18 3139 2225.70 1979 2 3581.26 3208 2376.34 1980 3 3782.17 3334 2522.81 1981 4 3877.86 3488 2700.90 1982 5 4151.25 3582 2902.19 1983 6 4541.05 3632 3141.76 1984 7 4946.11 3669 3350.95 1985 8 5586.14 3815 3835.79 1986 9 5931.36 3955 4302.25 1987 10 6601.60 4086 4786.05 1988 11 7434.06 4229 5251.90 1989 12 7721.01 4273 5808.71 1990 13 7949.55 4364 6365.79 1991 14 8634.80 4472 7071.35 1992 15 9705.52 4521 7757.25 1993 16 10261.65 4498 8628.77 1994 17 10928.66 4545 9374.34 【实验步骤】一、建立多元线性回归模型（一）建立包括时间变量的三元线性回归模型；在命令窗口依次键入以下命令即可： ⒈建立工作文件：CREATE A 1978 1994

高考数学复习点拨-非线性回归问题

非线性回归问题两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。分析非线性回归问题的具体做法是：（1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决．下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式 e b x y A =（b <0）表示，现测得实验数据如下：试求对的回归方程．分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为e b x y A =（b <0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．解：由题意可知，对于给定的公式e b x y A =（b <0）两边取自然对数，得ln ln b y A x =+．与线性回归方程对照可以看出，只要取1 u x = ，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ．题目中所给数据由变量置换1 u = ，ln v y =变为如表所示的数据：由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系．再求得0.146b =-$，$0.548a =， ∴v =$0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得$0.146 ln 0.548y x =-， ∴$ 0.146 0.1460.1460.5480.548 e 1.73x x x y e e e - - - ===g ， ∴回归曲线方程为$ 0.146 1.73e x y - =．点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：

第2章(8)非线性回归模型的线性化

第4章非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型（2）双曲线函数模型（3）对数函数模型（4）生长曲线(logistic) 模型（比教材中的模型复杂些）（5）指数函数模型（6）幂函数模型（7）不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）

第4章非线性回归模型的线性化有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 y t = α0 + α11β x+ u t t y t = α0t x e1α+ u t 下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。

(1)多项式函数模型(1) （第2版教材第111页）（第3版教材第90页）一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0+b 1 x t + b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 令x t 1 = x t ，x t 2 = x t 2，x t 3 = x t 3，上式变为 y t = b 0+b 1 x t 1+ b 2 x t 2+ b 3 x t 3+ u t 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。 (b 1>0, b 2>0, b 3>0) (b 1<0, b 2>0, b 3<0)

(1)多项式函数模型(1) 例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页） y t= b0+b1 x t+ b2 x t2+ b3 x t3+ u t （第2版教材第112页）（第3版教材第91页）

常见非线性回归模型

常见非线性回归模型 1、简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。柯布—道格拉斯生产函数模型 εβα+=L AK y 其中 L 与 K 分别就是劳力投入与资金投入, y 就是产出。由于误差项就是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。对于联立方程模型, 只要其中有一个方程就是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就就是非线性的。单方程非线性回归模型的一般形式为 εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y ΛΛ 2、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中,有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不就是线性的,其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为

线性关系,利用线性回归求解未知参数,并作回归诊断。如下列模型。 (1)εββ++=x e y 10 (2)εββββ+++++=p p x x x y Λ2210 (3)ε+=bx ae y (4)y=alnx+b 对于(1)式,只需令x e x ='即可化为y 对x '就是线性的形式εββ+'+=x y 10,需要指出的就是,新引进的自变量只能依赖于原始变量,而不能与未知参数有关。对于(2)式,可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于就是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y Λ22110 对与(3)式,对等式两边同时去自然数对数,得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β,于就是得到y '关于x 的一元线性回归模型: εββ++='x y 10。乘性误差项模型与加性误差项模型所得的结果有一定差异,其中乘性误差项模型认为t y 本身就是异方差的,而t y ln 就是等方差的。加性误差项模型认为t y 就是等方差的。从统计性质瞧两者的差异,前者淡化了t y 值大的项(近期数据)的作用,强化了t y 值小的项(早期数据)的作用,对早起数据拟合得效果较好,而后者则对近期数据拟合得效果较好。影响模型拟合效果的统计性质主要就是异方差、自相关与共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型与加性误差项模型解决,必要时还可以使用加权最小二乘。

建模基本步骤与非线性回归分析

第二讲建模基本步骤和非线性回归分析建模基本步骤用一个例子来讲解建模的基本步骤和软件的基本操作。例：下表是1950—1987年间美国机动车汽油消费量和影响消费量的变量数值。各变量表示：QMG—机动车汽油消费量，CAR—汽车保有量，PMG—汽油价格，POP—人口数，RGNP—按1982年美元计算的国民生产总值，PGNP—GNP 指数（1982年为100）。以汽油消费量为因变量，其他为自变量，建立回归模型。年份汽油消费量（QMG) 汽车保有量 (CAR) 汽油价格 (PMG) 人口数 (POP) 国民生产总值 (RGNP) GNP指数（PGNP) 1950 40617285 49195212 0.272 152271 1090.4 26.1 1951 43896887 51948796 0.276 154878 1179.2 27.9 1952 46428148 53301329 0.287 157553 1226.1 28.3 1953 49374047 56313281 0.29 160184 1282.1 28.5 1954 51107135 58622547 0.291 163026 1252.1 29 1955 54333255 62688792 0.299 165931 1356.7 29.3 1956 56022406 65153810 0.31 168903 1383.5 30.3 1957 57415622 67124904 0.304 171984 1410.2 31.4 1958 59154330 68296594 0.305 174882 1384.7 32.1 1959 61596548 71354420 0.311 177830 1481 32.6 1960 62811854 73868682 0.308 180671 1517.2 33.2 1961 63978489 75958215 0.306 183691 1547.9 33.6 1962 62531373 79173329 0.304 186538 1647.9 34 1963 64779104 82713717 0.304 189242 1711.6 34.5 1964 67663848 86301207 0.312 191889 1806.9 35 1965 70337126 90360721 0.321 194303 1918.5 35.7 1966 73638812 93962030 0.332 196560 2048.9 36.6 1967 76139326 96930949 0.337 198712 2100.3 37.8 1968 80772657 101039113 0.348 200706 2195.4 39.4 1969 85416084 103562018 0.357 202677 2260.7 41.2 1970 88684050 106807629 0.364 205052 2250.7 43.4 1971 92194620 111297459 0.361 207661 2332 45.6 1972 95348904 117051638 0.388 209896 2465.5 47.5 1973 99804600 123811741 0.524 211909 2602.8 50.2 1974 100212210 127951254 0.572 213854 2564.2 55.1 1975 102327750 130918918 0.595 215973 2530.9 60.4 1976 106972740 136333934 0.631 218035 2680.5 63.5 1977 110023410 141523197 0.657 220239 2822.4 67.3 1978 113625960 146484336 0.678 222585 3115.2 72.2 1979 107831220 149422205 0.857 225055 3192.4 78.6 1980 100856070 153357876 1.191 227757 3187.8 85.7

非线性回归分析

非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.

应用MATLAB进行非线性回归分析

应用MATLAB进行非线性回归分析摘要早在十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿在研究父与子身高的遗传问题时，发现子代的平均高度又向中心回归大的意思，使得一段时间人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其他分支中。随着计算机的发展，各种统计软件包的出现，回归分析的应用就越来越广泛。回归分析处理的是变量与变量间的关系。有时，回归函数不是自变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从而利用一元线性回归对其进行分析，这样的问题是非线性回归问题。下面的第一题：炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的侵蚀，使其容积不断增大。要找出钢包的容积用盛满钢水时的质量与相应的实验次数的定量关系表达式，就要用到一元非线性回归分析方法。首先我们要对数据进行分析，描出数据的散点图，判断两个变量之间可能的函数关系，对题中的非线性函数，参数估计是最常用的“线性化方法”，即通过某种变换，将方程化为一元线性方程的形式，接着我们就要对得到的一些曲线回归方程进行选择，找出到底哪一个才是更好一点的。此时我们通常可采用两个指标进行选择，第一个是决定系数，第二个是剩余标准差。进而就得到了我们想要的定量关系表达式。第二题：给出了某地区1971—2000年的人口数据，对该地区的人口变化进行曲线拟合。也用到了一元非线性回归的方法。首先我们也要对数据进行分析，描出数据的散点图，然后用MATLAB编程进行回归分析拟合计算输出利用Logistic模型拟合曲线。关键词：参数估计，Logistic模型，MATLAB

正文一、一元非线性回归分析的求解思路： ?求解函数类型并检验。 ?求解未知参数。可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法求解；可化曲线回归为多项式回归。二、回归曲线函数类型的选取和检验 1、直接判断法 2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何种类型，然后检验。 3、直接检验法（适应于待求参数不多的情况） 4、表差法（适应于多想式回归，含有常数项多于两个的情况）三、化曲线回归为直线回归问题用直线检验法或表差法检验的曲线回归方程都可以通过变量代换转化为直线回归方程，利用线性回归分析方法可求得相应的参数估计值。题目：例 8.5.1 炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的浸蚀，其容积不断增大。现在钢包的容积用盛满钢水时的重量y(kg)表示，相应的试验次数用x表示。数据见表8.5.1，要找出y与x的定量关系表达式。表8.5.1 钢包的重量y与试验次数x数据

2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第69讲线性和非线性回归模型的建立

第69讲线性和非线性回归模型的建立【知识要点】一、建立线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）； ③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y bx a =+）； ④按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑤得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 二、建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 三、检查数据模型拟合效果的好坏，一般有三种方法. 方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适. 方法二：通过残差平方和分析，如果残差的平方和越小，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适. 方法三：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是： 2 2 1 2 1 () 1() n i i n i i y y R y y ∧ ==-=- -∑∑其中i y y ∧ -=真实值-预报值=残差，2 R 值越大，说明残差的平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好. 【方法讲评】

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