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4.1线段的比

第四章相似图形

§4.1 线段的比

一、请你填一填（1）如果

53=-b b a ,那么b

=________. （2）若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为（3）若

753z y x ==,则

y x z

y x -++-=________. （4）在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际

距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为二、认真选一选（1）已知

b c =,则下列式子中正确的是（） A.a ∶b =c 2

∶d 2

B.a ∶d =c ∶b

C.a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）

D.a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）

（2）如图，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2,其斜边长为 45 cm ，那么这个三角形的面积是cm 2.（ A.32 B.16 C.8 D.4 （3）若8

75c

b a ==,且3a －2b +

c =3,则2a +4b －3c 的值是 A.14

B.42

C.7

314 （4）如图2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（）cm. A.72.8

B.51

C.36.4

D.28

图 1 图 2

三、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？

（1）a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm （2）a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm 四、画一画，算一算

（1）若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，

==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长. （2）若6

432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c .

§4.2 黄金分割

一、请你填一填

（1）如图3若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式____，即AP 是____与_____的比例中项

图3

（2）黄金矩形的宽与长的比大约为_____（精确到0.001）. （3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5

cm,则d =_____________cm.

（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶

AC =________. （5）若

d c b a ==3（b +d ≠0）

，则d

b c

a ++=________. 二、认真选一选（1）已知

x 2

3=,那么下列式子成立的是（） A.3x =2y

B.xy =6

=y x D.32=x y

（2）把ab =

cd 写成比例式，不正确的写法是（） A.

d c a 2= B.

b d

c a =2 C.b

d c a =2 D.

b c 2= （3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于A.3∶1

B.2∶3

C.2∶1

D.3∶2

（4）有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d

b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（ A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

三、已知实数a ,b ,c 满足c b a b a c a c b +=+=+,求a

b +的值.

四、以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，（1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM .（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？

作业；1.线段的比 2.黄金分割

一、选择题

1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A.

3∶2 B. 3∶1 C.2∶3

D.1∶

2.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a =

2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10

C.a =2，b =

5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1

3.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d =c ∶b

B.a ∶b =c ∶d

C.d ∶a =b ∶c

D.a ∶c =d ∶b

4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )

A.d

b a = B .

c c b

d d a +=+ C.c d

a =22 D.

cd ab =

5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的

是( )

A.AM ∶BM =AB ∶AM

B.AM =

5-AB C.BM =

5-AB D.AM ≈0.618AB 二、填空题

6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________.

7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，x

x +=________.

9.若

53=-b b a ，则b a

=________. 10.若AE

AD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =__ 三、解答题 11.已知342=+x y x ，求y

12.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1.5 m 的测杆的影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少?

13.在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C.

14.现有三个数1，2，

2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？

*15.如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，

5-=

BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.

图1

16作一条线段的黄金分割点.

§4.3

形状相同的图形

一、下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是

形状不同的图形

二、仔细辨认哟！

观察下面图形，指出（1）~（9）中的图形有没有与给出的图形（a ）、（b ）、（c ）形状相同的？

三、请你画一画，试着把下面的两个图形利用给出的格点放大

四、想一想

如图：已知A （0，－2），B （－2，1），C （3，2）

图4—3—1

（1）求线段AB 、BC 、AC 的长.

（2）把A 、B 、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A ′、B ′、C ′的坐标,求 A ′B ′、B ′C ′、A ′C ′的长.

（3）以上六条线段成比例吗？

（4）△ABC 与△A ′B ′C ′的形状相同吗？

§4.4 相似多边形

一、请你填一填

（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______. （2）已知三个数1，2，3，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________（填写一个即可）.

（3）相同时刻的物高与影长成比例，如果有一根电线杆在地面上的影长是50米，同时高为1.5米的标竿的影长为2.5米，那么这根电线杆的高为________米.

（4）在一张比例尺为1∶50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离为2.5 厘米，那么A 、B 两地的实际距离是________米. 二、如图，图（1）是一个正六边形ABCDEF ，使线段BC 、FE 的长增加相等的数，得图（2），将图（1）中的点A 、D 分别向两边拉长相等的量，得图（3）那么图（1）与图（2）相似吗？图（1）与图（3）相似吗？图（2）与图（3）呢？为什么？

三、（1）如图4—4—1与2—4—2,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似,∠A ′=65°,A ′B ′=6 cm, AB =8 cm, AD =5 cm,试求梯形ABCD 的各角的度数与A ′D ′、B ′C ′的长

图4—4—1 图4—4—2

（2）如图4—4—3，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？

图4—4—3

作业；3.形状相同的图形 4.相似多边形

一、选择题

1.下列图形中一定相似的是( )

A.有一个角相等的两个平行四边形

B.有一个角相等的两个等腰梯形

C.有一个角相等的两个菱形

D.有一组邻边对应成比例的两平行四边 2.下列结论不正确的是( )

A.所有的矩形都相似

B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似

D.所有的正八边形都相似 3.五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是(A.5∶4 B.4∶5 C.5∶2

5D.25∶5

4.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( ) A.2∶1 B.4∶1 C.

2∶1

D.1∶

5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =a ，BC =b ，EF ∥AD 交AB 、CD 于E 、F ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则EF 等于( )

ab B.

2b a + C.2

2b a + D.不能确定

二、填空题

6.如图1，EF AD ∽ABCD ，则∠A 的对应角是________，∠B

的对应角是________，

AF )

() (=

图1

7.所有的黄金矩形都是________. 8.两个相似多边形的对应边的比是3

2，则这两个多边形的相似比是

9.两个相似多边形的相似比是8

，则这两个多边形的对应对角线的比是________.

10.在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶

3，则BD ∶A ′C ′=________.

三、解答题

11.某块地的平面图如图2所示，∠A =90°，其比例尺为1∶2000，根据图中标注的尺寸(单位：cm)，求该块地的实际周长和面积

图2

12.如图3，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，AB =1.求矩形ABCD 的面积.

图3

13.如图4，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，并且EF 将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD 、EBCF 相似，若AD =4，BC =9，求AE ∶EB .

图4

14.、一块长3 m ，宽1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

图5

§4.5 相似三角形

一、请你填一填

（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.

（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________. （3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________. 二、认真选一选

（1）下列命题错误的是（）

A.两个全等的三角形一定相似

B.两个直角三角形一定相似

C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例

D.相似的两个三角形不一定全等

（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是 A.3AB=4DE B.4AC=3DE C.3∠A=4∠D

D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）

（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定

（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）

A.△ABC∽△A′B′C′

B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等

C.△ABC与△A′B′C′的相似比为

D.△ABC与△A′B′C′的相似比为

三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.

四、好好想一想

1、如图4—5—1：分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a.

（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？

（2）分别求出这两个三角形的面积.

（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？

图4—5—1

4.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n 的值.

5等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB=5 cm，求△A′B′C′斜边A′B′上的高.

作业 5.相似三角形一、选择题

1.△ABC ∽△A ′B ′C 如果∠A =55°∠B =100°则∠C ′的度数等于 A.55°

B.100

C.25°

D.30°

2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是 A.BC DE AB AE AC AD == B.BC

AC AE AB AD == C.

BC DE AB AC AE AD == D.BC

EC AE AB AD ==

3.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3 B.3∶2 C.2∶3

D.3∶5

4.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′

等于( )A.1.5 B.3 C.2 D.1 5.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长

分别为1和

5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的

第三边的长应等于( )A.

B.2

2 D.22

二、填空题

6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为

________.

图2 图3

7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则

AD =____=___.

8.如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等1，则这两个三角形_____ 9.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，A ′B ′=8 cm ，AC =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为_____，A ′C ′=________，BC =________. 10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________. 三、解答题

11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.

(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.

(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.

12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.

13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且

△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.

*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明

EF AE =吗？

图4

Ⅵ.活动与探究

引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 已知：DE ∥BC ，交AB 于D 、AC 于E .则有：

AC AE AB AD =

= 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

已知：如图，如果DE ∥BC ，DE 交AB 、AC 于D 、E 求证：△ADE ∽△ABC

§4.6 探索三角形相似的条件（一）

一、请说一说什么是相似三角形答：_____________.

怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧. （1）_____________.（2）_____________.（3）_____________. 二、请你填一填

（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是

________.

图4—6—1 图4—6—2

（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请

你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是

_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.

（3）如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是

10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份

处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米

图4—6—3 图4—6—4

（4）如图4—6—4，在R t△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于

点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是

三、认真选一选

（1）下列各组图形中有可能不相似的是（）

A.各有一个角是45°的两个等腰三角形

B.各有一个角是60°的两个等腰三角形

C.各有一个角是105°的两个等腰三角形

D.两个等腰直角三角形

（2）△ABC和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC和△A′

B′C′不相似的是（）

A.∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°

B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A′B′=4 A′C′=2 B′C′=3

C.∠A=∠B′AB=2 AC=2.4 A′B′=3.6 B′C′=3

D.AB=3 AC=5 BC=7 A′B′=3A′C′=5B′C′=7

（3）如图4—6—5，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列

比例式中，正确的是（）

= B.

= C.

= D.

图4—6—5 图4—6—6

（4）如图4—6—6，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，

AD=3 cm,AB=4 cm，则AC的长为A.2 cmB3cmC.12 cmD.23cm

四、1如图4—6—7，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80 cm，

梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长

4、AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三

角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？

§4.6 探索三角形相似的条件（二）

一、请你填一填

（1）如图4—6—8，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是

________.

图4—6—8 图4—6—9

（2）如图4—6—9，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF

∽________,理由是________.

（3）如图4—6—10，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3

cm,则DE

=________cm.

图4—6—10 图4—6—11

（4）如图4—6—11，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，

线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，

△ADE与△MN C相似.

二、认真选一选

（1）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是

= B.∠B=∠ADE C.

= D.∠C=∠AED

（2）在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶

5，则BF∶FD等于（）A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9

（3）如图4—6—13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点

D，CD=2，BD=1，则AD的长是A.1 B.2 C.2

D.4

三、如图4—6—14，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.

图4—6—14

四、1、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河

的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥

BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50

米，你能知道小河的宽是多少吗？

图4—6—15

3、如图4－32，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？

4、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？

图4－33

5要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的

长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使

这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？

6．如图2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，

BD，AC交于O点，过O

的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求

EF．

作业;6.探索三角形相似的条件

一、选择题

1.如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，图中与△ADE 相似的三角形有( ) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.下列能使三角形一定相似的是( )

A.两边对应成比例的三角形

B.两边分别成比例的直角三角形

C.两边对应成比例的等腰三角形

D.两直角边对应成比例的直角三角形 3.如图，下列条件不能判别△ACD ∽△ABC 的是( ) A.∠ADC =∠ACB B.∠ACD =∠B C.AC 2=AD ·AB D.

BC AC

4.已知线段AD 、BC 相交于点O ，OB ∶OD =3∶1，OA =12 cm ，OC =4 cm ，AB =30 cm ，则CD 等于(A.5 cm B.10 cm C.45 cm D.90 cm

5.已知在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，若BC =5，CD =3，则AD 等于( )A.2.25 B.2.5 C.2.75 D.3

二、填空题

6.如图3，在△ABC 中，若∠A =90°，正方形DEFG 内接于△ABC ，则图中与△ABC 相似的三角形有

________________.

图3 图4

7.已知：在△ABC 和△DEF 中，AB =8，BC =6，AC =4，DE =12，EF =18，DF =24，则 △ABC 和△DEF 的关系是________，根据是______ 8.如图4，△ABC 中，AB =9，AC =6，点D 在AB 上，且AD =3，点E 在AC 上，如果连接DE ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE =________.

9.如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，MN ⊥AB 于M ，AM =8 cm ，AC =

AB ，则AN

=________.

图5 图6

10.如图6，∠ABC =∠CDB =90°，AC =a ，BC =b ，(1)当BD 与a 、b 之间满足关系式________时，△ABC ∽△CDB ;(2)当BD 与a 、b 之间满足关系________时，△ABC ∽△BD C. 三、解答题

11.如图7，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP =3PC ，Q 是CD 的中点，那么 △AD Q 与△Q CP 相似吗？为什么？

图7

12.已知：如图8，

ABCD 中，F 是BC 延长线上一点，连接AF 交

CD 于E 点，若AB =a ，AD =b ，CE =m ，求BF 的长.

图8

13.△ABC 中，∠C =90°，BC =8 cm ，AC ∶AB =3∶5，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点C 出发，沿CA 向点A 以1 cm/s 的速度移动，若P 、Q 分别从B 、C 同时出发，经过多少秒时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似.

14，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF ．

15．

ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若

AB=a ，BC=b ，BF=c ，求BE ．

16．在△ABC 中，∠BAC=120°，AD

平分

§4.7 测量旗杆的高度

一、请你填一填

（1）某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，那么该建筑物的高为________米.

（2）垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高___米. （3），若OA ∶OD =OB ∶OC =n ，则x =___（用a ,b ,n 表示）

图4—7—1 图4—7—2 图4—7—3 二、认真选一选

（1）如图4—7—2，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高________米（） A.11.25

B.6.6

C.8

D.10.5

（2）一个地图上标准比例尺是1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为24 cm 2，则这块区域的实际面积约为（）平方千米 A.2160

B.216

C.72

D.10.72

（3）如图4—7—3，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（） A.AE ⊥AF B.EF ∶A F =2∶1 C.AF 2=FH ·FE D.FB ∶FC =HB ∶EC 三、如图4—7—4，要测一个小湖上相对两点A 、B 的距离，要求在AB 所在直线同一侧岸上测.小明采取了以下三种方法，如图4—7—5，4—7—6，4—7—

图4—7—4 图4—7—

图4—7—6 图4—7—7 （1）请你说明他各种测量方法的依据. （2）根据所给条件求AB 的长.

方法一：已知BC =50米，AC =130米，则AB =___米，其依据是______ 方法二：已知AO ∶OD =OB ∶OC =3∶1,CD =40米，则AB =________米，其依据是_____________.

方法三：已知E 、F 分别为AC 、BC 的中点，EF =60米，则AB =________米，其依据是_____________. 四解答题

1、测量我校操场上旗杆的高度. 请说明三种测量方法的数学原理.

2、高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度

3.△ABC 中，∠C =90°，BC =8 cm ，AC ∶AB =3∶5，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点C 出发，沿CA 向点A 以1 cm/s 的速度移动，若P 、Q 分别从B 、C 同时出发，经过多少秒时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似.

4.在河的两岸有对应的A 、B 两点，请你利用相似形的有关知识设计一个方案测量并求出AB 的距离.你能想出几个测量方案吗？

5 某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m ，20m 的梯形空地上种植花木（如图4）

（1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图4中阴影部分），共花了160元，请计算种满△

BMC 地带所需的费用.

（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12

元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

§4.7 测量旗杆的高度

1.如图所示,假设学生座位到黑板的距离是5m,老师在黑板上写字,究竟要写多大,才能使学生望去时,同他看书桌上距离30cm 的课本上的字感觉相同(即视角相同)?

学习

A 'C '

B '

C B

2.如图所示,在离某建筑物4m 处有一棵树,在某时刻,1.2m 长的竹竿垂直地面, 影长为2m,此时,树的影子有一部分映在地面上,还有一部分影子映在建筑物的墙上,墙上的影高为2m,那么这棵树高约有多少米

3.如图所示,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂端点下降0.5米时, 长臂端点升高了几米

0.5米

4.如图所示,零件的外径为a,要求它的厚度x,需要求出内孔的直径AB, 但不能直接量出AB,现用一个交叉钳(两臂长AC 和BD 相等)去量,如果OA:OC=OB:OD=n,且量得CD=b,求厚度

5.如图所示,小华在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P 时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部,当他向前再步行12m 到达点Q 时, 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部,已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB.

(1)求两个路灯之间的距离; (2)当小华走到路灯B 时,他在路灯A 下的影长是多少?

6.如图所示,学校的围墙外有一旗杆AB,甲在操场上C 处直立3m 高的竹竿CD, 乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合,量得CE=3m, 乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m,丙在C 1处也直立3m 高的竹竿C 1D 1,乙从E 处退后6m 到E 1处, 恰好看到两

根竹竿和旗杆重合,且竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合,量得C 1E 1=4m,求旗杆AB 的高.

C 1

E 1

F 1

D 1

7 如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.

B D

§4.8 相似多边形的周长比和面积比

一、请你填一填

（1）若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =4，BC =5，AC =6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________.

图4—8—1 图4—8—2 图4—8—3

（2）两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________. （3）如图4—8—1，在

ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =

AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，则△BEG 与△CFG 的面积之比是________.

（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来

的2

倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 二、认真选一选

(1)如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为A.2∶1

3∶1

2∶1

D.4∶1

(2)如图4—8—3，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△

ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1、S 2，那么2

S S 的值为（ A.

1 B.

1 C.

1 D.

图4—8—4

(3)如图4—8—4，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD =3S

△ABD

，则AB ∶AC 等于（A.1∶3 B.1∶4 C.1∶

D.1∶2

(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（）A.1∶4

B.1∶3

C.1∶

2 D.1∶2

三、1某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.

2如图4—8—5，△ABC 是一块锐角三角形余料，其中BC =12 cm ，高AD =8 cm ，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？

图4—8—5

3如图，PLMN 为矩形，AD ⊥BC 于D ，PL ∶LM=5∶9，且BC=36CM ，AD=12CM ，求矩形PLMN 的周长

1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？）连接相应的对角线A C ，A C ，所得的△A B C 与△5如图4－47已知，M 是□ABCD 的AB 边的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD 的面积比是多少？

A B

N P L

作业 8.相似多边形的性质

一、选择题

1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是( )A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3

D.3∶2

2.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍

3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，则下列结论正确的是( )

BC DE

=21 B.

BC DE =31 C.的周长的周长ABC ADE ??=2

1 D.ABC ADE S S ??=3

4.如图1，

ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，则S △CBF 等于

A.12 cm 2

B.24 cm 2

C.54 cm 2

D.15 cm 2

二、填空题

6.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是3∶4，△ABC 的周长是27 cm ，则△A ′B ′C ′的周长为________.

7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm 2，那么大多边形的面积为________.

8.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm 和8 cm ，它们的周长之和为35 cm ，则较小的三角形的周长为________.

9.在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形BCFE ，那么AD ∶AB =________，相似比是________，面积比是________.

三、解答题

11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm ，多边形的两个顶点A 、B 之间的距离是25 cm ，求这个地区的实际边界长和A 、B 两地之间的实际距离.

12.如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于E ，若S △DCE ∶S

△DCB

=1∶3，求S △DCE ∶S △ABD

图1 图3

13.已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC 和△A ′B ′C ′的周长. 14、如图CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.

（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD

15、如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？

16、如图，M 为AB 中点，AB ∥CD ，延长NC 交BD 延长线于

E ，延长MD 交AC 延长线于

F ，求证：EF ∥AB

17、如图，在正方形ABCD 中，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，并且BM=BN ，BP ⊥MC 于P 求证：DP ⊥NP

18、如图，在ΔABC 中，BC= a ，P 是BC 上一点，PE ∥AC ，PF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F ，求使平行四边形AEPF 面积最大时点P 的位置。

B A

F M D

A M N

C P A B

E F

§4.9 图形的放大与缩小一、请你填一填

（1）如果a ∶b =3∶2,则（a +b ）∶b =________.

（2）如果一张地图的比例尺为1∶3000000,在地图上量得长春到大连的距离为25 cm ，长春到大连的实际距离为________千米. （3）如果梯形的中位线长是12 cm ，一条对角线与中位线所成两条线段的比是2∶1，则梯形两底的长分别为________.

（4）如图1，火焰的光线穿过小孔O ，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD =2 cm ，OA =60 cm,OB =15 cm ，则火焰的长度为

________.

图1 图2 图3

（5）如图2，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，且位似比为

.若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2，周长为20 cm ，那么五边形A ′B ′C ′D ′E ′的面积为________，周长为________. 6.已知，如图2，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，则△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为

图2 图4—9—4

二、认真选一选

（1）如图3，AD 是△ABC 的中线，AE =EF =FC ，则下列关系式：

①AD AG =21 ②BE GE =31 ③BE BC =4

3,其中正确的是（） A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

（2）若z y x +=z x y +=y x z +=k ,则k = A.0B.21 C.－1 D.2

1或－1

（3）某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4—9—4，在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =30 cm ，AB =50 cm ，依次裁下宽为1 cm 的矩形彩条a 1、a 2、a 3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（ A.24 B.25

C.26

D.27

4、下列说法正确的是（）

A 、分别在△ABC 的边A

B 、A

C 的反向延长线上取点

D 、

E ，使DE ∥BC ，则△ADE 是△ABC 放大后的图形B 、两位似图形的面积比等于位似比 C 、位似多边形中对应对角线之比等于位似比D 、位似图形的周长之比等于位似比的平方 5.下列说法中正确的是( )

A.位似图形可以通过平移而相互得到

B.位似图形的对应边平行相等

C.位似图形的位似中心不只有一个

D.位似中心到对应点的距离之比都相等

三、（1）将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.

（2）一三角形三顶点的坐标分别是A （0，0），B （2，2），C （3，1），试将△ABC 放大，使放大后的△DEF 与△ABC 对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.

3.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后

的图形的面积是原图形面积的4倍.

4、请将下图分别扩大2倍，缩小1倍：

5.如图，CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F. AC ?AE=AF ?AB 吗？说明理由.

6.如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BD

AD AF =

吗？说说你的理由.

7.如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.

(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数.

直角三角形中成比例的线段(2)

直角三角形中成比例线段（二）一、教学目的和要求 1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。 2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。二、教学重点和难点掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。三、教学过程（一）复习、引入直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。（1）两锐角互余（2）勾股定理（3）斜边中线等于斜边一半（4）?30角所对的直角边等于斜边的一半（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。（二）新课今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。我们知道ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1） CB AC CBD ACD BC AB CBD ABC AC AB ACD ABC ??????,~)3(,~)2(, ~)1(边的比例式改写成等积式是(1)AB BD BC AB AD AC ?=?=22)2(中AD BD CD ?=2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系

分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。如图2，CD 是ABC Rt ?的斜边AB 上的高，设h CD c AB b CA a BC ====,,,，p DB q AD ==,，用q p h c b a 、、、、、表示图中的关系。 1. 勾股定理 2222 222 22)3()2()1(a p h b q h c b a =+=+=+ 2. 比例中项关系 ()3(()2()1(222p q c q b p c p a q p h =?==?=?= 3. 面积关系 ch ab = 4. 其它 22 b a q p = 通过以上关系,我们可以分析出在ABC Rt ?的六条线段q p h c b a 、、、、、中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。例1 如上图CD 是ABC Rt ?的斜边AB 上的高。（1）已知：h b a 求：,4,3== 解：AB CD ACB ⊥?=∠,90 5 125 43222==∴==+=+=∴2c ab h ch ab b a c

北师大版九年级数学上册 4.1.1线段的比和成比例线段同步测试题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第四章 4.1.1线段的比和成比例线段同步测试题一、选择题 1．在下列四组线段中，不能构成比例线段的是(C) A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3 C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3 2.已知a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，则d 的长度为(A) A ．4 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．9 cm 3．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则CA CB 为(A) A.34 B.23 C.35 D.12 4．已知在比例尺为1∶40 000的工程示意图上.2012年正式通车的成都地铁二号线的长度为54.3 cm ，那么它的实际长度为(C) A ．0.217 2 km B ．2.172 km C ．21.72 km D ．271.2 km 5．如果a ×0.2＝b ×0.75(a ，b 均不为0)，那么下列比例中正确的是(C) A ．a ∶b ＝0.2∶0.75 B ．a ∶0.2＝b ∶0.75 C ．a ∶b ＝0.75∶0.2 D ．a ∶b ＝2∶75% 6．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AD 为高，则AD ∶AB 为(D) A ．2∶1 B ．1∶1 C ．1∶3 D ．1∶2 7.已知x ∶y ＝3∶2，则下列各式中正确的是(A) A.x ＋y y ＝52 B.x －y y ＝13 C.x y ＝23 D.x ＋1y ＋1＝43 8.如果x ∶y ＝3∶5，那么x ∶(x ＋y)＝(B)

4.1 成比例线段(1) 教案(公开课)

第四章图形的相似 1．成比例线段（第1课时）制作人班级：姓名：2015年月日教学目标：1、了解线段的比概念。2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。教学重点：理解线段的比的概念及其求解。教学难点：求线段的比，要注意线段的长度单位一致。教学过程：一、认识线段的比：线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成AB m =其中,AB,CD分别叫做这个CD n 线段比的前项和后项.如果把m AB 表示成比值k,那么 n CD =k,或AB=k·C D.两条线段的比实际上就是两个数的比。想一想：两条线段长度的比与采用的长度单位有没有关系？例如：数学课本长为21cm，宽为15cm，则长与宽的比为______________;如果把单位改为mm，则数学课本长与宽的比为________________;如果把单位改为m，则数学课本长与宽的比为________________. 结论：两条线段长度的比与采用的长度单位_________. 【基础练习一】 1、线段a=5cm,b=50cm,则a:b=_____. 2、线段a=3cm,b=12mm,则a:b=_____. 3、已知点P在线段AB上，且AP:PB=2:5,则AB:PB=_____,AP:AB=___ 二、比例线段：（1）什么是比例线段？四条线段中，如果其中两条线段的比________另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（2）若a、b、c、d是比例线段，则________ 【基础练习二】 1、下列四组线段中，成比例线段的是（） A3cm,4cm,5cm,6cm B4cm,8cm,3cm,5cm C5cm,15cm,2cm,6cm D8cm,4cm,1cm,3cm 2、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a的长度是多少？如果改成四条线段b、c、d、a成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a的长度是多少？

4.1 第1课时线段的比和成比例线段2

第四章图形的相似 4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段教学目的： 1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念 2、会计算两条线段的比。 3、掌握成比例线段的判定方法。重点：线段的比与成比例线段的概念。教学过程：一、自主预习（一）阅读课本，思考并回答下列问题： 1、一般地，如果选用量得两条线段AB ，CD 的长度分别为m,n ，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB ∶CD= m:n,或写成 ,n m CD AB =其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么CD k AB k CD AB ?==或,。（1）在比b a 或a ∶ b 中，a 是，b 是。 ⑵两条线段的要统一。 ⑶在同一单位下线段长度的比与选用的无关。 ⑷线段的比是一个没有的数。（二）比例尺 1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。 2、比例尺为1：50000，意思为：。（三）成比例线段的概念 1、一般地，在四条线段中，如果等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明）如： 2、四条线段a,b ,c,d 成比例，有顺序关系。即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：a:b=c:d ；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：a:b=d:c 3思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析：例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。

4.1.1 成比例线段

一、复习回顾，引入新课（1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为：。（2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。二、自探：阅读课本Pa76---Pa78; 三、自探：1、做一做(1)在下面的格点图中，如果设水平（或竖直）的相邻两格点间的距离为1cm ，那么 AB= ,BC= ,A ′B ′= ,B ′C ′= ; (2) 计算B A AB ''= ,C B BC ' '= (3)你能发现B A AB ''与C B B C ''之间有什么关系四、线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n,那么这两条线段的比就是，即或n m CD AB =,其中AB,CD 分别叫做这个线段比的如果把 n m 表示成比值k,那么k CD AB =,或 .两条线段的比实际上就是两个数的比。五、如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算值。科目课题 4.1.1 成比例线段授课时间 2014.10 设计人学案序号 24 学习目标 1、通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段； 2、掌握并会推导比例的性质；会用比例的性质实行解题。重点成比例线段、比例的性质。难点比例性质的推导与应用。教师寄语美，是智慧，是静谧。 EF EH AD AB EF AD EH AB ,,,

六、比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做，简称比例线段. 上图中AB,EH,AD,EF 是成比例线段，AB,AD,EH,EF 也是成比例线段。七、议一议：如果a,b,c,d 四个数成比例，即 d c b a =，那么ad=bc 吗？反过来如果ad=bc ，那么a,b,c, d 四个数成比例吗？八、比例的基本性质如果d c b a =,那么如果ad=bc(a,b,c, d 都不等于零)，那么九、例题：如图，一块矩形绸布的长AB=a m,AD=1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值理应是多少？ AB AD AD AE = 导（学）后记：练习：判断下列线段a 、b 、c 、d 是否成比例线段（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ；

北师大版初三数学上册成比例线段二(20210204004327)

第四章图形的相似 1．成比例线段（二）山东省青岛实验初级中学刘涛一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。难点处理：比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。二、教学任务分析教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。

教学目标：（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。（二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。教学重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。教学难点：运用比例的基本性质解决有关问题。三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：知识应用；第四环节：随堂练习；第五环节：巩固提高；第六环节：知识回顾；第七环节：布置作业。第一环节：温故知新活动内容: 复习：（1）成比例线段定义（2）比例的基本性质（3）若3m = 2n ，你可以得到m 的值吗？-呢？ n m 更好的进入本节课的学习。第二环节：探究新知活动内容: 活动目的：学生思考回顾上节课的内容, ⑴女口图， AB BC CE 程中，你有什么发现？的值吗？如果知聖二CE AD AE AB ，那么 1 2 AB -BD BD 你能求出譬=譬皆有怎么样的关系？在求解过

《成比例线段(1)》教学设计

第九章图形的相似 1．成比例线段(一) 一、学生知识状况分析相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级上册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。二、教学任务分析（一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。（二）能力训练要求通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。（三）情感与价值观要求 1．、．有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心； 2．、．通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 3．、．在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。教学重点：理解线段比的概念及其求解。教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。教学方法：探索、发现法教学准备：多媒体课件三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。

第一环节设置情境，引入新课活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。第二环节：新课讲解活动内容： 1.请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n,那么就说这两条线段的比（ratio ）AB:CD=m:n,或写成n m CD AB 其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项 .如果把 n m 表示成比值k,那么 k CD AB ,或 AB=k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。AB: A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。

4.1成比例线段(1)

第30 课时课题：成比例线段（1）学习目标：了解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段比；理解并掌握比例的基本性质，能用比例的基本性质解决一些实际问题 2水平目标：通过自主，合作探究新知的过程能感受观察，分析，归纳等获取知与课堂活动重点：成比例线段的理解和应用。难点：应用比例的基本性质解决实际问题。导学过程活动1 独学教材77页前三段内容完成知识点一和知识点二知识点一：形状相同的图形形状相同的图形是指两个图形形状完全（），但（）并不一定相同。知识点二：两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们（）的比，即AB：CD=m：n或写成 n m CD AB = 线段AB,CD分别叫做这个线段比的（）项和（）项，如果把 n m表示成比值K,那么k CD AB =，或? =k AB（）思考：（1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位有什么要求？（2 针对演练1（考察）某地图册上靖边县到户县的直线距离AB=8cm,而靖边县到户县的实际直线距离CD=400km,求 CD AB 。解：活动2：二人对学教材77页做一做完成知识点三如下图所示，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，（1）通过数格子或利用勾股定理可求得AB=______，AD=______， EF=_____，EH=_____；（2）由（1）中结果，可计算出 ______; ______, ______, ______,= = = = EH EF AD AB EH AD EF AB 所以：；知识点三：成比例线段四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即____________，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段；注意：（1）成比例的线段是指（）条线段的关系，而不是两条线段的关系。（2）在比例式a：b=c：d中，b,c叫作两（）项，a,d叫作两（）项，其中d叫作a,b,c的（）项。（3）如果 c b b a =，那么b叫做a和c的（）。（4）成比例线段是有（）的，即a,b,c,d是成比例线段，则a：b=c：而不能写成a：b=d：c. 针对演练2（考察）备注

4.1成比例线段(一)教学设计

第四章图形的相似 1．成比例线段(一) 一、学生知识状况分析相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。二、教学任务分析（一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。（二）能力训练要求通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。（三）情感与价值观要求 1、有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心； 2、通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 3、在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。教学重点：理解线段比的概念及其求解。教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。教学方法：探索、发现法教学准备：多媒体课件三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。第一环节设置情境，引入新课活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。

第二环节：新课讲解活动内容： 1.请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（ratio ）AB:CD =m:n ,或写成 n m CD AB =其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 n m 表示成比值k ,那么k CD AB =,或AB =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。五边形 ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB =5cm ，A ’B ’=3cm 。AB : A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。 3.想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.但要采用同一个长度单位. 4.做一做：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，CD ，EH ，EF 的长度分别是多少？分别计算值。 EF EH AD AB EF AD EH AB ,,,

4.1成比例线段(1)

九年级数学教案

、出示学习目标: 、新课讲解 1. 请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同? 2. 引入线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m n,那么就说这两条线段的比（ratio）AB:CD=m:n,或写成些m其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m表示成比值k,那么心k,或AB=kCD两条线段的比实际上就 CD n n CD 是两个数的比。五边形ABCDE与五边形A' B' C' D' E'形状相同，AB=5cm A B =3cm AB: A' B' =5 : 3，就是线段AB与线段A ‘ B'的比。这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。

你发现了什么？四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a/b=c/d ，那么这四条线段a ，b 段? 上图中AB,EH,AD,EF 是成比例线段，AB,AD,EH,EF 也是成比例线段。 3. 想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识：两条线段长度的比与所采用的长度单位无关 4. 做一做： ?但要采用同一个长度单位如图，设小方格的边长为 1,四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB, CD EF 的长度分别是多少？分别计算 c ， d 叫做成比例线段，简称比例线￡ A

5. 议一议：如果a,b,c,d四个数成比例，即a/b=c/d，那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗？比例的基本性质 a c 如果7=；那么ad=bc。 b d a c 如果ad=bc（a,b,c,d 都不等于零），那么「~= b d 6. 例题1：如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1,按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即,如那么a的值应当是多少？ AD AB D F _________________ C A ￡■ B 三、随堂练习 1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是________ 2、 ___________________________________________________________________ 一条线段的长度是另一条线段长度的3，则这两条线段之比是 5 3、 ___________________________________________________________ 已知a、b、c、d 是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=

成比例线段(二)教学案例

成比例线段（二）一、学生知识状况分析这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题二、教学重点：让学生理解并掌握比例的合比、等比性质及其简单应用。教学难点：合比、等比性质的推理及性质的灵活应用。三、教学过程 1.探究新知活动内容： (1)如图，已知21==AE CE AD BD ，你能求出AE AE CE AD AD BD +=+ 的值吗？如果CE AB BC AB = ,那么CE CE AC BD BD AB -=-有怎么样的关系？在求解过程中，你有哪些方法？（预设：特值法、设k 法、同分母加减法则逆用法）你有什么发现？（2）已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数。成立吗？为什么？和那么如果d d c b b a d d c b b d c b -=-+=+=a ,a

(3) 如图，HG AD FG CD EF BC HE AB ,, ,的值相等吗？HG FG EF HE AD CD BC AB ++++++ 的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？（4）已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数。 1、合比性质有两种形式：如果 d c b a =，那么b b a +＝d d c +；如果d c b a =，那么 d d c b b a -=-，要灵活应用。 2、要强调等比性质中，分母b+d+……+n ≠0 。 2.知识应用题组一题组二成立吗？为什么？那么如果b a f d b e c f d b f e d c b =++++≠++==a ),0(a 的周长。求，的周长为且中，若与、在；与求、已知DEF ABC FD CA EF BC DE AB DEF ABC b a ??===??+=cm 18,43)2(b b -a b b a ,32)1(.),0(.,b a n d b m c a n d b n m d c b a d d c b b a d c b a =++++++≠++===±=±= 那么等比性质：如果那么合比性质：如果的值。、已知d c ),0(321++≠+==b a d b d c b a

4.1.2成比例线段第二课时教案

运城市实验中学教案首页执教_________ _______年_____月_____日教学目标： 1.知识与技能了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 2.过程与方法经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。 3.情感态度和价值观通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。教学重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。教学难点：运用比例的基本性质解决有关问题。教学方法：合作、探究学习方法：合作、探究教学创意：

§4.1 成比例线段(2) 一、复习回顾１、设线段ＡＢ＝２cm ，ＡＣ＝４cm,两条线段的长度比是___ 21____。 2、设线段ＡＢ＝200cm ，ＡＣ＝４m,两条线段的长度比是___ 2 1___ . 3.若a=3,b=4,c=5,d=6,则a,b,c,d 是否成比例线段? 二、探究新知 1.活动1：在四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段. 如果作为比例内项的是两条相等的线段即 d c b =a 或a ：b = b ：c ，那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项. 2.活动2：如图，,HE AB ,EF BC ,FG CD GH DA 的值相等吗？GH FG EF HE DA CD BC AB ++++++ 的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？分析：由于2====GH DA FG CD EF BC HE AB ,则有AB=2HE ，BC=2EF,CD=2FG,DA=2GH, 2=++++++∴GH FG EF HE DA CD BC AB 议一议:已知a,b,c,d,e,f 六个数，如果f e d c b a ==（b+d+f ≠0），那么b a f d b e c =++++a 吗？解：设k f e d c b a ===，则a=kb,c=kd ，e=k f ，

成比例线段教案1

教学目标： 1．结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段． 2．借助几何直观，掌握比例的性质及其简单应用． 3．通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系．教学重、难点：重点：了解线段的比和成比例线段的概念，了解比例的基本性质及其应用．难点：了解线段的比和成比例线段的概念．课前准备：制作多媒体课件．教学过程：一、美图欣赏，情境导入导语：同学们，色彩斑谰的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过和全等形（多媒体出示图1）；有的只有形状相同，这就是相似图形（多媒体出示图2）．你知如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们学习第四章，本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：4.1成比例线段(1)】图1 图2

处理方式：学生观看生活中的存在的全等形及相似形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形．设计意图：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫．二、探究学习，获取新知活动1：两条线段的比 1．考考你的眼力（多媒体出示）你能在下面的这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？处理方式：学生先自主观察这些图形的特点，然后在小组内交流自已的看法，交流后借助多媒体展示自己的成果．教师在学生交流展示时可作以下引导：（1）图中形状相同的图形，大小有什么不同？（2）形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？（多媒体动画演示图形的放大与缩小）（3）形状相同的图形对应的线段如何变化的？（4）形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何来描述它们的大小关系？设计意图：通过以上引导性问题引导学生共同总结出：对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．适时引出两条线段的比的概念．2．引入线段的比（多媒体出示）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比（ratio）就是它们的长度比，即AB∶CD=m∶n，或写成AB m CD n ．其中，线段AB，CD分

4.1线段的比

直角三角形中成比例的线段(2)

北师大版九年级数学上册 4.1.1线段的比和成比例线段 同步测试题(含答案,教师版)

4.1 成比例线段(1) 教案(公开课)

4.1 第1课时 线段的比和成比例线段2

4.1.1 成比例线段

北师大版初三数学上册成比例线段二(20210204004327)

《成比例线段(1)》教学设计

4.1成比例线段(1)

4.1成比例线段(一)教学设计

4.1成比例线段(1)

成比例线段(二)教学案例

4.1.2成比例线段第二课时教案

成比例线段教案1

最新4.1成比例线段(一)汇编

北师大版九年级数学上册 4.1.1线段的比和成比例线段同步测试题(含答案,教师版)

4.1 第1课时线段的比和成比例线段2