已知三角形三点坐标求三角形的面积的各种方法
已知三角形三点坐标,求三角形的面积 先介绍一下三维中的两点之间距离之式,和二维的几乎一样: d=sqrt((x0-x1)^2+ (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2) 再介绍叉乘,中心内容!叉乘在定义上有: 两个向量进行叉乘得到的是一个向量,方向垂直于这两个向量构成的平面,大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。 在直角座标系[O;i,j,k]中,i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量。 设P0(0,0,0),P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)。因为是从原点出发,所以向量 P0P1可简记为P1,向量P0P2可简记为P2。依定义有: |i j k | P1×P2 = |x1 y1 z1| |x2 y2 z2| 展开,得到: 上式= iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2 = (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k 按规定,有: 单位向量的模为1。可得叉积的模为: |P1×P2| = y1z2- y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1 = (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1) 开始正式内容。我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2)。我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。然后,我们以A为原点,进行坐标平移,得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0),向量
C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。 ①在三维的情况下,直接代入公式,可得向量B和向量C叉乘结果的模为: |B×C| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))| 1 1 1 | = |x1-x0 y1-y0 z1-z0| |x2-x0 y2-y0 z2-z0| 它的一半即为所要求的三角形面积S。还有一种比较简单的写法。将向量AB和AC平移至原点后,设向量B为(x1,y1,z1),向量C为(x2,y2,z2),则他们的叉乘所得向量P为(x,y,z),其中: |y1 z1| |z1 x1| |x1 y1| x = | | y = | | z = | | |y2 z2| |z2 x2| |x2 y2| 然后用三维中的两点之间距离公式,求出(x,y,z)与(0,0,0)的距离,即为向量P 的模,它的一半就是所要求的面积了。 以上公式都很好记: x分量由y,z分量组成,y分量由z,x分量组成,z分量由x,y分量组成,恰好是循环的。坐标平移一下就好了。 ②在二维的情况下,我们可以取z = 0这个平面,即令z1 = z2 = 0,且 |P1×P2| = x1y2- x2y1 |x1 y1| = | | |x2 y2| 所以:
探究三角形面积公式的向量表示
探究三角形面积的向量表示 陕西省洛南中学 殷冬生 一、问题提出 三角形面积公式的表示形式有多种,常见形式有 公式1:111222ABC a b c S ah bh ch ?===(,,a b c h h h 依次是a ,b ,c 边上的高) 公式2:111 sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?=== 公式3:4ABC abc S R ?=(R 是ABC ?的外接圆圆半径) 公式4:1 ()2 ABC S a b c r ?=++(r 是ABC ?的内切圆半径) 公式5 :ABC S ?=1 ()2 p a b c =++是ABC ?的内切圆半径) 高中数学中引入了平面向量后,三角形的面积又可以用向量的坐标表示。在北师大版教材高中《数学5(必修)》中,第48面的例3给出了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式,并给出了证明过程。具体如下: 例3如图2-8,在ABC ?中,(,),(,),AB x y AC u υ== 求证:ABC ?的面积1 ||2 S x yu υ=-. 分析:已知向量的坐标,可以求出三角形的两边 长度及夹角余弦,于是可依据上述三角形面积公式2进行证明. 证明:22211||||sin |||| sin 2S AB AC A AB AC =?=? 221 ||||(||||cos ) AB AC AB AC A = =?-? 因为(,),(,),AB x y AC u υ==所以 1||2 S x yu υ===-. 这就得到了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式:
公式6:在ABC ?中,若1122(,),(,),AB x y AC x y ==则12211 ||2 ABC S x y x y ?=-. 学生思考:1.上述三角形面积公式6推导过程中使用了哪些数学知识?公式推导的依据是什么? 2.学习了空间向量后,你能用空间向量的坐标表示三角形的面积吗? 二、师生探究 1.公式6的推导过程中用到了三角形的面积公式2、向量的数量积的定义、性质极坐标表示。公式6推导的依据是三角形的面积公式 2. 2.可以仿照平面向量表示三角形的面积公式的方法,用空间向量的坐标表示三角形的面积. 三、问题解决 在ABC ?中,若111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==求ABC ?的面积S. 解析: 22211||||sin ||||sin 2S AB AC A AB AC = ?=? 221||||(||||cos )AB AC AB AC A ==?-? ∵111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z == ∴S = = = 即ABC S ?= 公式7:在ABC ?中,若111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==则ABC ?的面积为 ABC S ?=. 四、应用举例
三角形面积公式
1.已知三角形底a,高h,则S=ah/2 2.已知三角形三边a,b,c,则 (海伦公式)(p=(a+b+c)/2) S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2 * absinC 根据正弦定理推出来的: S三角形ABC=absinC/2 S三角形ABC=acsinB/2 S三角形ABC=bcsinA/2 4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e, f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小! 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积: S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径。 9.根据向量求面积: SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)²
浅谈高中数学三角形面积向量求法
浅谈三角形面积的向量求法 向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广 泛应用.三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题.向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景,下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用. 公式 ABC ?中,若向量CB a =,CA b =,则22 2()ABC S a b a b ?=-?. 证明 1 sin ,2 ABC S a b a b ?= <>22 2(1cos ,)a b a b = -<>2 2 2()a b a b = -?. 1.利用公式求三角形的面积. 例1.已知ABC ?,点(1,1)A ,(4,2)B ,(3,5)C ,求ABC ?的面积. 解:∵(3,1)AB =,(2,4)AC =,∴2 10AB =,2 20AC =,10AB AC ?=, ∴22 2()ABC S AB AC AB AC ?=-?5= =. 例2.已知ABC ?中,向量00(cos 23,cos 67)BA =,00 (2cos 68,2cos 22)BC =,求ABC ?的面积. 解:由已知,得00(cos 23,sin 23)BA =,00 (2sin 22,2cos 22)BC =,∴1BA =,2BC =, ∴0000 2(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ?=+02sin 45== ∴22 2()ABC S BC BA BC BA ?=-?= 2.利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值. 例3.平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ,(cos ,sin )Q x x ,[,]2412 x ππ ∈-,O 为坐标原点,求OPQ ?面积的最值. 解:22 2()OPQ S OP OQ OP OQ ?=-?= =1cos 22 x =. ∵[, ]2412x ππ ∈- , ∴当12 x π = 时,OPQ ?面积的最小值为 4;当0x =时,OPQ ?面积的最大值为1 2 . 3.利用公式和均值不等式求三角形面积最值. 例4.已知OAB ?中,OA a =,OB b =,且3,2a b a b +=-=,求OAB ?面积的最大值.
例谈三角形面积的向量方法
例谈三角形面积的向量方法 向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以 得到广泛应用.三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题.向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景,下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用. 公式 A B C ?中,若向量CB a = ,C A b = ,则ABC S ?= 证明 1sin ,2A B C S a b a b ?=<> == . 1.利用公式求三角形的面积. 例1.已知A B C ?,点(1,1)A ,(4,2)B ,(3,5)C ,求A B C ?的面积. 解:∵(3,1)A B = ,(2,4)AC = ,∴2 10AB = ,2 20AC = ,10AB AC ?= , ∴ABC S ?= 5= =. 例 2.已知A B C ?中,向量00 (cos 23,cos 67)B A = ,00(2cos 68,2cos 22)B C = ,求A B C ?的 面积. 解:由已知,得00(cos 23,sin 23)B A = ,00 (2sin 22,2cos 22)BC = ,∴1B A = ,2BC = , ∴0000 2(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ?=+ 02sin 45== ∴ABC S ?= 2 = . 2.利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值. 例3.平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ,(cos ,sin )Q x x ,[, ]2412 x π π ∈- ,O 为坐标原点, 求OPQ ?面积的最值. 解:OPQ S ?= = = 1cos 22 x = .
巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比
E D B A C 巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比 我们知道在ABC ?中,若O 是其重心,则有0=++OC OB OA ,反之亦成立。教学中我们遇到过很多习题,都是有关重心的应用问题,一类求面积比的习题引起笔者的注意。通过几个小题把这个问题展现的淋漓尽致。给同学们留下了深刻的印象。思维得到了锻炼。下面是此问题解决的具体过程。仅供参考。 习题1、已知点O 在ABC ?内部,且有02=++OC OB OA 。 求AOC ?与AOB ?的面积比。 解析:如图D 是AB 的中点,由平行四边形法则得: ==+2,由题意知2-=+, 所以O 是CD 的中点,即OC=OD ,由平面几何知识得 OAB ABC S S ??=2,AOC ADC ABC S S S ???==42,因此AOC ?与AOB ?的面积比为1:2 习题2已知点O 在ABC ?内部,且有32=++,求BOC ?与AOB ?的面积比 解析:把032=++OC OB OA 变形得() OC OB OC OA +=+2 如图再由平行四边形法则得,点O 在三角形ABC 的中位线DE 上, 且2=由平面几何知识得OAB ABC S S ??=2,又因为 OAB BOC AOC S S S ???=+且BOC AOC S S ??=2因此OBC ABC S S ??=6 所以BOC ?与AOB ?的面积比为1:3 习题3已知点O 在ABC ?内部,且有42=++,求OAB ?与OBC ?的面积比。 分析:此题与上两题的区别是系数不容易分配,从共线的角度入手很难。而下面的方法恰好弥补了 上述解法的不足 解析:如图O 是三角形ADE 的重心,取B 为OD 的中点,C 为 OE 的四等分点,这样才有42=++成立,不妨设三角形 ADE 的面积为24,由重心的性质知8===???EOA DOE AOD S S S 所以 4,1,2===???OAB BOC AOC S S S ,所以OAB ?与OBC ?的面积比4:1 通过上述三道习题的展示,我们不难发现面积比与系数有很大的联系,于是大胆的猜想 面积比就是对应的系数比,下面用重心的向量式来证明: 已知点O 在ABC ?内部,且有321=++λλλ不妨设321,,λλλ均大于1
三角形面积公式
三角形面积公式 三角形面积公式 1.已知三角形底a,高h,则S=ah/2 2.已知三角形三边a,b,c,则 (海伦公式)(p=(a+b+c)/2) S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)] =sqrt[(1/2)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] =√2/2sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2 * absinC,即两夹边之积乘夹角的正弦值。 4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小! 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积: S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径。 9.根据向量求面积: SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)² . 10.在直角坐标系中,三角形ABC面积为 S=|AB×AC|/2 即面积S等于向量AB与AC向量积的模的一半 扩展阅读: 1.根据正弦定理推出来的:
平面向量、三角形“四心”与三角形面积的关系及其证明
一、知识要点 1、若O 为ABC ?内一点,则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=?=++???→ → → 2、若O 为ABC ?的重心,则ABC OBC OAC OAB S S S S ????= ==3 1 3、若O 为ABC ?的垂心,则A B C S S S OBC OAC OAB tan :tan :tan ::=???, 故0tan tan tan =?+?+?→ → → OA A OB B OC C 4、若O 为ABC ?的内心,则a b c S S S OBC OAC OAB ::::=???, 故0 =?+?+?→ → → OA a OB b OC c 5、若O 为ABC ?的外心, A B C BOC AOC AOB S S S OBC OAC OAB 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::==???故02sin 2sin 2sin =?+?+?→ → → OA A OB B OC C 二、要点证明 1、若O 为ABC ?内一点,则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=?=++???→ → → 证明:先证充分性,即已知0 =++→ →→OC r OB n OA m ,求证m n r S S S OBC OAC OAB ::::=??? 如图所示,分别在射线OA ,OB 上去点1A ,1B ,使得→ → =OA m OA 1, →→=OB n OB 1,并以→ →11,OB OA 为邻边作平行四边形11DB OA ,连接OD ,11B A 故→ → → → → → -=+=+=OC r nOB OA m OB OA OD 11,因此OC r OD =。 设S S DB OA 211=,则S S S S S DB A B OA ODB D OA ====111111, mn S OB A n OB m OA AOB OB OA S OAB =?=??=1111sin 21sin 21,同理mr S S nr S S OAC OBC = =,。 所以m n r S S S OBC OAC OAB ::::=??? 再证必要性,即已知则m n r S S S OBC OAC OAB ::::=???求证0 =++→ → → OC r OB n OA m 如图所示分别在射线OA ,OB 上去点1A ,1B ,使得→ → =OA m OA 1,