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初中数学竞赛专题选讲
三角形的边角性质
一、内容提要
三角形边角性质主要的有：
1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三
角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-???
????????>+>+>+?＜
推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180
；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180
六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，
△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中??
??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中??
??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 二、例题
例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得??
???<->>51135.1a a ∴1.5 答当1.5 例2.如图 A B C D AB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？ ① x<2z , ②y z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组： ?????>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即?????>>+>x z y z x z y 2222∴???? ?????<+<>222z x z x y z y 答y z 必须满足。 例3.已知△ABC 的三边都是正整数，a=5, b ≤a ≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。 解：由已知a=5，1≤b ≤5，∵c ∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c 排列) 它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458； 555，556，557，558，559。 例4. 如图求角A ，B ，C ，D ，E ，F 的度数和 解：四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ∠1＋∠2＋∠E ＋∠F ＝ 360度 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度 C 例5.△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，2∠C=5∠A ，求∠B 的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题) 解：根据题意，得 ?? ???=∠+∠+∠∠=∠∠≤∠≤∠ 18052C B A A C C B A 得∠C=75(180 －∠B)，∠A ＝72(180 －∠B) ∴72(180 －∠B)≤∠B ≤7 5(180 －∠B) ∴ 40 ≤∠B ≤75 例6.在凸四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ，∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2 求各内角的度数 解：作∠BCD 的平分线交AD 于E ， △BCE ≌△DCE （SAS ） ∴∠D ＝∠CBE △BCE ≌△BAE （SSS ） ∴∠CBE ＝∠ABE ＝∠D 设∠D ＝X 度，则2X ＋2X ＋4X ＋X ＝360 ∴X ＝40（度） 答∠DAB ＝∠ABC ＝80 ，∠B ∠D ＝160 ，∠D ＝40 三、练习 1. △ABC 中，a=5,b=7,则第三边c 和第三边上的高h c 的取值范围是＿＿ 2. a,b,c 是△ABC 的三边长，化简22)()(c b a c b a --+-+得＿＿ 3. 已知△ABC 的两边长a 和b （a 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题） 5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的 ① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6.如果等腰三角形的周长为S ，那么腰长X 的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ 7.四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，CD ＝7，边AD 的适合范围是＿＿＿ 8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角 （1986年泉州市初二数学双基赛题） 9.△ABC 中，a>b>c,那么∠C 的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿ （1987年泉州市初二数学 双基赛题） 10.△ABC 中，∠C 、∠B 的平分线相交于O ，∠BOC ＝120 ，则∠A ＝＿＿ 11.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40 ，点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，CE ＝BD ，BF ＝DC ，则∠EDF ＝＿＿（1986年泉州市初二数学双基赛题） 12.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝＿＿＿＿＿度 （1986年泉州市初二数学双基赛题） 13.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠H ＝＿＿度 14.如图△ADE 中，∠ADE ＝140 且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则∠A ＝＿＿ 15.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠AED ＝＿度（1988年泉州市初二数学双基赛题） （这里∠AED 是指射线EA 绕端点E 按逆时针方向旋转到ED 所成的角） 16.△ABC 的AB ＝AC ＝CD ，AD ＝BD ，则∠BAC ＝＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛题） 17.△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，∠B ＝60 ∠B 的平分线交AC 于D ，点D 到边BC 的距离为2cm,则边AC 的长是 ＿＿cm (1988年泉州市初二数学双基赛题) C B A E B C D D A 18.△ABC 中，AB ＝AC ，M 是AC 的中点，则BM AB 的值是（ ） A （A ） 大于21（B ）大于32（C ）大于31（D ）大于4 3 19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大 边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （1989年泉州市初二数学双基赛题） 20.菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且△AEF 为等边三角形，求∠C 的度数。 练习题参考答案 1. 2＜c<12, h c ≤5 2. 2c 3. 2b 4. 31个 5. ①3个 ②15个 6. s 21＜x 1 7. 1 8. 2个 9. 0 ＜∠C ＜60 10. 60 11. 70 12. 360 13. 540 14. 10 15. 540 16. 108 17. 6 18. （B ） 19. 3个 20. 100