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205年数学小升初复习四年级第15讲《奇偶性》讲解

各种形式的构造问题,解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求,有时

应从简单情形入手寻找规律.本讲的论证问题,一般采用奇偶性或整除性的分析方法.

一、奇偶数的运算规律:

1.两个奇数相加减得偶数,两个偶数相加减得偶数,即同奇偶的两个数相

加减得偶数;

2.奇数与偶数相加减得奇数;

3.奇数个奇数相加得奇数,偶数个奇数相加得偶数,无论多少个偶数相加

都得偶数;

4.一串数相乘,只要有一个乘数是偶数,积就是偶数;只有当乘数都是奇

数的时候,积才是奇数;

5.有限个数之间无论如何添加加减号,奇偶性都不变.最简单的特例就是两

个数的和与差同奇偶.

二、与奇偶分析有关的“能与不能”的判定问题:

1.判断“能”:需要构造出满足题目条件的情形;

2.判断“不能”:常用反证法(详见例题)

每讲练习题题量8道,前5道题目难度较低,适合基础巩固;后3道题难度

中等,适合拓展提高。

1.一条线段上分布着n 个点,这些点的颜色不是黑的就是白的,它们将线段分为n+1 段,已知线段两端的两个点都是黑的,而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是

奇数还是偶数?

2.是否存在自然数a 和b,使得ab(a+b)=115?

3.是否存在自然数a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327?

4.你能不能将自然数1 到9 分别填入3×3 的方格表中,使得每一行中的三个数之和都是偶数。

5.沿着河岸长着8 丛植物,相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1 个.问:8 丛植物上能否一共结有225 个浆果?说明理由.

6.在一本400 页的书上,页码依次编号为1 ~ 400 ,能不能从中取出25 张纸,并把上面的5021世纪教育网版权所有

个编号加起来,使和为2008 ?

7.甲、乙两个哲人将正整数5 至11 分别写在7 张卡片上.他们将卡片背面朝上,任意混合之后,甲取走三张,乙取走两张.剩下的两张卡片,他们谁也没看,就放到麻袋里去了.甲

认真研究了自己手中的三张卡片之后,对乙说:“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数.”

试问:甲手中的三张卡片上都写了哪些数?答案是否唯一.

8.甲同学一手握有写着23 的纸片,另一只手握有写着32 的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题:请将左手中的数乘以3,右手中的数乘以2,再将这两个积相加,这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时,乙马上就猜出写有23 的纸片握在甲的左手中.你能说出是

什么道理吗?

1.解析:因为中间的每一个点的两边各有一黑一白,所以所有的点一定是两个黑点、两个白

点依次相邻(除了首尾可能出现一个黑点),所以白点都是成对出现的.所以白点的

个数为偶数.

2.解析:不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想,即2 个自然数在奇偶性的组

合上只有 3 种情况,“2 奇0 偶,1 奇 1 偶,0 奇 2 偶”,可以分别讨论发现均不成

立。

3.解析:不存在。可以分情况来讨论:3 奇0 偶,2 奇1 偶,1 奇2 偶,0 奇3 偶。但是比较21教育网

繁琐,可以根据45327 是一个奇数,只有奇数乘以奇数才能得到,所以a-b、b-c、

a-c 都为奇数,再根据奇偶性进行判断。

4.解析:不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题,其实不是。1 到9 中共有5 个奇数,分别分成 3 组后会分布在每一行里面,也就是说要想实现每一行都是偶数,就需要每

一行都有偶数个奇数,从而需要三行奇数的和是偶数,但是现在仅有 5 个奇数,所

以无法填入。

5.解析:不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题,可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数

目差 1 个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同,所以一定有 4 棵植物的果实为奇数个,

总和一定为偶数,不能为225.

6.解析:因为每一张纸上的页码之和为奇数,而25 个奇数之和为奇数,所以和不可能是偶

数2008 .

7.解析:甲手中的8 张卡片上分别写了6,8 和10.甲知道其余4 张卡片上分别写了哪些数,但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中.因此,只有在它们之中任何两张卡片上

的数的和都是偶数时,甲才能说出自己的断言.而这就意味着,这 4 张卡片上所写的

数的奇偶性相同,亦即或者都是偶数,或者都是奇数.但是由于一共只有 3 张卡片上

写的是偶数,所以它们不可能都是偶数,从而只能都是奇数.于是 3 张写着偶数的卡

片全都落入甲的手中.答案是唯一的.

8.解析:甲的两张纸片,23 是奇数,32 是偶数.因此,只要能判断出甲的左手中握的是奇数,即可知左手的是23.设甲左手握的数为 a ,右手握的数为b ,乙同学请甲计算

所得结果为 c ,则3? a + 2 ? b = c.⑴若c为奇数,则3 ? a 为奇数,所以左手握的

数 a 是奇数.⑵若 c 为偶数,则3 ? a为偶数,所以左手握的数a是偶数.因此,

从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性,从而确定左手握的数是23 还是

32.在本题中,c为奇数,因此合于第(1)种情况,a是奇数,即左手中握的是23.

莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一,堪称符号大师。他曾说:“要发明,

就要挑选恰当的符号,要做到这一点,就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质,从而最大限度地减少人的思维劳动”,正象印度——阿拉伯的数学促进了算术和代数发展一样,莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展,莱布尼兹的巧妙符号功不可没。除积分、微分符号外,他创设的符号还有商“

a b

”, 比“a:b”,相似“∽”, 全等“≌”、并“∪”、交“

”以及函数和行列式等符号。

莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。1671 年,莱布尼茨发表了《物理学新假说》

一文,提出了具体运动原理和抽象运动原理,认为运动着的物体,不论多么渺小,它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨,提出了能量守恒原理的雏型,并在《教师学报》上发表了《关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明》,提出了运动的量的问题,证明了动量不能作为运动的度量单位,并引入动能概念,第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观,认为“没有物质也就没有空间,空间本身不是绝对的实在性”,“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样,可是这些东西虽有区别,却是不可分离的”。这一思想后来引起了马赫、爱因斯坦等人的关注。(完)

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