数学建模——现实生活中的数学

§5 煤矸石的堆积问题一.问题的提出煤矿采煤时,会产出无用废料――煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度约为的直线型上升轨道。用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后倾倒。待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。矸石山的底面积为：于是，征地面积至少为矸石山的体积（1）（2）（3）2. 征地面积与采煤出矸率的关系设出矸率为p，年均出矸量为，则从而按矸石容重换算成每年增加的矸石体积：于是t年后矸石上的体积为（4）由（3）和（4）式可得矸石山高度与时间的关系：将（5）代入（2）得t年后占地面积为（亩）（6）这样可得20 年后矸石山高度与占地面积分别为：（亩）特别，当p=0.1 时，（亩）3. 征地计划因为地价涨幅10% 高于贷款利率5% 。所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费想银行贷款。当p=0.1 时，征地费为（万元）（二）堆积矸石的电费1. 运矸车的机械效率设坡道行程为x, 则2. 运矸车的机械功堆积体积为V的矸石山，所做的总功为：其中，运矸车的机械效率为：其中，（9）（8）按照1度电=3600000 焦耳，并利用和（9）式，可以计算出从开始到t 年的电费当p=0.1,t=1 到t=20 年度电费52.28 50.69 49.08 47.44 45.77 44.07 42.33 40.55 38.73 36.86 电费20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 t（年份）34.93 32.92 30.83 28.64 26.32 23.82 21.09 18.00 14.25 8.5 电费10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t（年份）（四）结论为了进行经费比较，将所有费用都按利率5% 折合成20 年后的值。（也可以折合成现值）* 数学建模――

现实生活中的数学胡学刚数学建模与数学建模竞赛§1. 关于数学模型与数学建模随着科学技术的进步，数学的应用已经不再局限于物理学传统领域，生态学、环境科学、医学、经济学、信息科学、管理科学、人文科学以及一些交叉学科都提出了大量涉及数学的实际问题。要解决这些问题，关键是要建立恰当的数学模型。数学模型（Mathematical Model ）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（Mathematical Modeling ）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。数学模型早就知我们从小就接触过数学模型：小学应用题应用题：“甲乙两地相距750 公里，船从甲到乙顺水航行需30 小时，从乙到甲逆水航行需50 小时，问航速，水速若干？”数学模型无所不在日常生活中，我们随处可见数学建模的问题。下面我们讨论生活中的几个数学建模实例一、模型假设1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形. 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续光滑曲面. 3. 相对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

§2 椅子能在不平的地面上放稳吗? 把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需挪动几次，就可使椅子四只脚着地，放稳了。试建立数学模型，并用该模型的结果解释这个现象。

二、模型构成（1）用变量表示椅子的位置椅脚四点ABCD 呈正方形,以正方形ABCD 的中心O为原点,对角线AC 所在直线建立x轴(如图). 当椅子绕中心O旋转角度θ后，正方形ABCD 转至位置，这时对角线与x轴的夹角θ表示了椅子的位置. （2）用数学符号表示椅脚的着地情况当椅脚位置为时，设A，C两脚与地面的距离之和为B，D两脚与地面的距离之和为显然有特别当A，C两脚着地（或B，D两脚着地）由假设（2）可知都是连续函数由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，至少有一个为0. 当θ=0 时，不妨设这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结为证明如下的数学命题：三、模型求解令显然根据连续函数的零点存在定理知，存在四、模型解释和验证五、评注这个模型的巧妙之处在于用一元变量θ表示椅子位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离. 利用正方形的中心对称性及旋转900 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形. §3 双层玻璃窗的功效问题我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示两层厚度为d的玻璃，中间夹着一层厚度为l的空气，据说这样做是为了保温。墙墙热传导方向试建立模型说明双层玻璃的保温效果，并给出定量分析。墙墙模型假设1. 假设窗户的密封性能良好，两层之间的空气不流动，这时热量的传播过程只有传导，没有对流. 2. 室内

温度T1 和室外温度T2 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即在热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数. 3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数. 模型构成在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为则单位时间通过单位面积的热量Q与△T 成正比，与d成反比，即k为热传导系数. 设双层玻璃的内玻璃温度为Ta ，外层玻璃的内侧温度为Tb ，玻璃的热传导系数为k1 ，空气的热传导系数为k2 ，由(1) 得对于厚度为2d 的单层玻璃，其热量传导为二者之比为从有关资料可知,常用玻璃的热传导系数为干燥空气的热传导系数为作保守估计;取(6) (6) 式说明,比值Q/Q’反映了双层玻璃窗的功效,它只于h=l/d 有关. 四. 模型应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗会增加一些成本.但他减少热量损失确是相当可观的. 通常建筑规范要求双层玻璃窗比同样多玻璃的单层窗相比节约热量97% 左右. 进一步思考1. 模型假设条件在实际环境下不可能完全满足.因此实际功效会比上述结果差一些. 2. 进一步讨论热传导非稳定情形下的规律,建立相应的模型. 问题经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183 分30 秒，计数器读数从0000 变到6152 。在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580 ，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。§4 录象机计数器的用途录象机计数器的工作原理主动轮压轮0000 左轮盘右轮盘磁头计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长

变慢问题分析观察计数器读数增长越来越慢！模型假设录象带的运动速度是常数v ；计数器读数n 与右轮转数m 成正比，记m=kn ；录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w ；空右轮盘半径记作r ；时间t=0 时读数n=0 . 建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w ,r 为参数）模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第i 圈的半径为r+wi, m 圈的总长度等于录象带在时间t 内移动的长度vt, 所以(注意w比r小得多) 考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即也可以按下列方法建立模型2. 模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。参数估计另一种确定参数的方法――测试分析将模型改记作只需估计a,b 理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n) 数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80 n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5 n 4068 4621 5135 5619 6152 用最小二乘法可得模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n = 4580 时t = 118.5 分，剩下的录象带能录183.5-118.5 = 65 分钟的节目。揭示了“t 与n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计a,b 即可。数学建模竞赛的迅速发展数学建模让数学进入生活数学建模进入大学课堂，符合教育改革的需要全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。本竞赛每年9月第三个星期五

至下一周星期一（共3天，72 小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生,不分专业（但竞赛分甲、乙两组，甲组竞赛所有大学生均可参加，乙组竞赛只有大专生（包括高职、高专生）可以参加）。2007 年全国有30 个省/市/自治区969 所院校、11742 个队（其中甲组9494 队、乙组2248 队）、3万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，重庆邮电大学学生参加全国大学生数学建模竞赛历史久，竞赛成绩优异。不仅获奖率高，而且获全国奖也多。如2005 年获得全国一等奖4个，全国二等奖3个，与山东大学并列第六，2007 年获得全国一等奖3个，全国二等奖8个，在全国处于前列。现给出下列数据：1. 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角）2. 运矸石车所需电费为0.50 元/度（不变）. 3. 矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3 4. 运矸石机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值约30% ，坡道每延长10 米，效率在原有基础上约下降2% ；5. 土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅10% ，银行的存贷款利率均为5% ；6. 煤矿设计原煤采煤量为300 万吨/年；7. 煤矿设计寿命为20 年；8. 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%―10% ；9. 为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10% ；现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费和堆积时运矸车用的电费）为100 万元/年。问这笔钱是否够用？试制定合理的年征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用？二.模型假设除了题中已给的数据外还做以下假设：（1）原煤产量理解为去掉矸石后的净煤产量；（2）年征地方案理解为最多每

年初征地一次；（3）煤矿用于处理矸石的经费100 万元/年为每年初一次拔出；（4）银行利息为复利，煤矿使用银行资金存贷自由；（5）征地费于当时拔出，电费于当年内拔出，不可拖欠；（6）20 年只堆积一个矸石山。三. 模型建立与求解（一）矸石山的底面积和征地费1. 矸石山的底面积、体积与高度的关系在题图中，A-SBOD 是棱锥部分；