高一希望杯hope1-2-13
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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛
高一 第2试
一、选择题
1．已知}20|{},31|{≤≤=≤≤?=y y B x x A ，从A 到B 的对应法则分别为
(1))1(2
1
+=→x y x (2)|1|?=→x y x (3)1+=→x y x (4)32+=→x y x 其中能构成B A →的映射的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
2．设}|{},2,1,0{B x x A B ?==，则A 与B 的关系是 A.B A ? B.A B ? C.B A ∈ D.A B ∈ 3．方程|1||3|22??+=+x x x 的解的个数为 A.1 B.2 C.3 D.无穷多
4．要得到函数x y 2sin ?=的图象，可将x y 2cos =的图象 (1)向左平移
4
π
(2)向右平移
43π (3)向左平移2π (4)向右平移2
3π
其中正确移法的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
5．已知命题P ：存在R x ∈，使0332
≤+?x x ，则 A.P ：存在R x ∈ ，使0332
>+?x x ，且P 为真 B.P ：存在R x ∈ ，使0332>+?x x ，且P 为假 C.P ：对任意R x ∈ ，都有0332>+?x x ，且P 为真 D.P ：对任意R x ∈ ，都有0332>+?x x ，且P 为假
6．如右图，三个圆分别表示集合M 、S 、T ，则阴影部分表示集合 (A))()(M T T S ∩∪∩ (B)T S M ∩∪)(
(C)},)(|{S M x T S M x x ∩∩∪?∈
(D)}),()()(|{T S M x M T T S S M x x ∩∩∩∪∩∪∩?∈ 7．若y x cos sin =，且y x sin cos =，则x 和y 的关系是（ ）
S
M
T
A.y x ?=
2
π
B.)(2Z k y k x ∈+=π
C.)()14(2
1Z k k y x ∈+=
+π D.)()14(21
Z k k y x ∈+=?π
8．已知函数)(x f 是R 上的增函数，他的图象经过点)2,3(),2,0(B A ?，则不等式2|)1(|≥+x f 的解集为
A.),2[]1,(+∞??∞∪
B.),2[+∞
C. ]1,(??∞
D.),3[+∞ 9．已知抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交于A 、B 两点，抛物线上的另一点C 与A 、B 是同一个正三角形的顶点，则ac b 42
?的值是 A.12 B.15 C.18 D.不确定的正数
10．将数列 ,12,,5,3,1?n 依次排成五列，如右图。最左边的一列叫做第1列，从左到右依次按列编号；把最上边的一行叫做第1行，
从上向下依次按行编号（如图中的第2行，第3列的数为19），则位于图中第251行、第2列的数为 A.2001 B.1997 C.1999 D.2003 二、填空题
11．=+++++|179tan |lg |178tan |lg |93tan |lg |92tan |lg |91tan |lg
_____. 12．设)1,,,0,,(),(log log ),(log log ),(log log ≠>===c b a c b a b z a y c x a c c b b a ，则z
y
x
c b a 的值是_____.
13．把函数)3
2sin(4π
?
=x y 的图象上各点的横坐标缩小为原来的51
，纵坐标放大为原来的5
倍，则所得曲线对应的函数是_____.
14．将函数)1lg()(2
+?=x x x f 写成一个偶函数及一个奇函数的和，其中的奇函数为_____. 15．函数x
y 1=
与2
4x y ?=的图象有两个交点),(),,(2211y x y x ，则=?+?2211y x y x _____.
16．已知集合}4|),{(},4|),{(2
2
2
≠?=≠+=y x y x B y x y x A ，若用列举法表示，则
=B A ∪_____.
17．四个学生参加一次数学竞赛，每人预测获奖情况如下：
甲：如果乙获奖，那么我就没获奖 乙：甲没有获奖，丁也没有获奖 丙：甲获奖或者乙获奖 丁：如果丙没有获奖，那么乙获奖
竞赛结果实际有1人获奖，且四人的预测中恰有3人正确，则获奖者是_____.
1 3 5715 13 11 9
17 19 21
2331 29 27 25
18．The number of positive integers from 1 to 500 that can be expressed in the form
b a with a and b being integers greater than 1 is _____.（英汉小字典：positive integer
正整数）
19．If the equation 02252
4
6
=?++qx px x has six real roots in arithmetic progression,then the value of q is _____.（英汉小字典：arithmetic progression 等差数列）
20．某村计划建一长方形水产养殖池，用两道隔墙将其分成3个容积相等的养殖池，如右图，不计池壁及隔墙厚度，池底总面积为800m 2
，池深10m，四周池壁及池底造价均为80元/m 2
，那么当总造价最低时，池的长度为_____m，宽度
为_____m. 三、解答题
21．从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x 的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。
（1）用x 表示圆锥的体积V ； （2）求V 的最大值。
22．一个等差数列}{n a 中的部分项}{k b a 成等比数列，已知12,4,2321===b b b ， （1）求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和n S
23．已知抛物线c bx ax y ++=2
与直线2=x 交于点A ，且A 点关于原点O 的对称点B 也在抛物线上；54||=AB 。又知函数c bx ax y ++=2
在区间]1,0[上的最小值为5?，求a 、b 、
第14届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第1试 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．设11 log 1 11log 111log 111log 15432+ ++= P ，则 A ．10<
希望杯数学竞赛小学三年级试题知识讲解
希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）．
（4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是．
10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？
15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：
希望杯全国数学邀请赛高一(二试)试题
2007年第18届希望杯全国数学邀请赛高一（二试）试题 一．选择题（40分） 1．角cos 2007α=?在（ ） （A ）第1象限（B ）第2象限（C ）第3象限（D ）第4象限 2．在△ABC 中，若21sin ,sin 7 5 A B = = ，则sin C 的取值有（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 3．在△ABC 中，若222sin sin sin 0A B C --=，且sin 2sin sin A B C =，则△ABC 是（ ） （A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形 4．当[0,1)x ∈时，若函数22()log (1)f x x ax a =++-有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）1a <（B ）1a ≤（C ）1a >（D ）1a ≥ 5．设命题甲：2x >或1y ≤；乙：3x ≥且2y <。则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 6．设点P 在△ABC 内，提出以下命题： （1）存在正数12,λλ，使12AP λAB λAC =+ ； （2）如果0AP BC = 且0BP AC = ，那么0CP AB = ； （3）如果3AP AB AC =+ ，那么3BP BC BA =+ ； （4）如果PA PB PC == ，那么△ABC 是锐角三角形。 在这4个命题中，正确命题的个数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 7．Let y =f(x) be a function on R , and 1()0(2) f x f x + =+,then ()f x is （ ） （A ）not aperiodic function （B ）a aperiodic function with the least period 4 （C ）a aperiodic function with the least period 8（D ）a aperiodic function with the least period 16 8．The minimum of 122007x x x x +-+-+++- is （ ） （A ）10032（B ）10042（C ）20062（D ）20072 9．O 是平面内一点，A 、B 、C 是平面内与O 不共线的三个点，P 是BC 的中点且使等式 ()AB AC λO A O P AB AC ++= 成立，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形（B ）等边三角形（C ）等腰三角形（D ）不等边三角形
历届(第1-21届)希望杯数学竞赛初一试题及答案(最新整理)
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2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 第一试 一、选择题 1．设S ＝{(x ，y )|xy ＞0}，T ＝{(x ，y )|x ＞0且y ＞0}，则( ) A 、S ∪T ＝S B 、S ∪T ＝T C 、S ∩T ＝S D 、S ∩T ＝Φ 2．若f (x )＝1 x 的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( ) A 、A ∪ B ＝B B 、A ≠?B C 、A ?B D 、A ∩B ＝Φ 3．已知ta nα＞1，且sinα＋cosα＜0，则( ) A 、cosα＞0 B 、cosα＜0 C 、cosα＝0 D 、cosα符号不确定 4．设a ＞0，a ≠1，若y ＝a x 的反函数的图像经过点( 22，－1 4 )，则a ＝( ) A 、16 B 、4 C 、2 D 、 2 5．已知a ≠0，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像关于原点对称的充要条件是( ) A 、b ＝0 B 、c ＝0 C 、d ＝0 D 、b ＝d ＝0 6．若△ABC 三条边长依次为a ＝sin 34，b ＝cos 34，c ＝1，则三内角A 、B 、C 的大小顺序为( ) A 、A ＜ B ＜ C B 、B ＜A ＜C C 、C ＜B ＜A D 、C ＜A ＜B 7．若实数x 满足log 2x ＝3＋2cosθ，则|x －2|＋|x －33|等于( ) A 、35－2x B 、31 C 、2x －35 D 、2x －35或35－2x 8．区间[0，m ]在映射f :x →2x ＋m 所得的象集区间为[a ，b ]，若区间[a ，b ]的长度比区间[0，m ]的长度达5，则m ＝( ) A 、5 B 、10 C 、2.5 D 、1 9．设数列{a n }(a n ＞0)的前n 项和是S n ，且a n 与2的算术平均值等于S n 与2的几何平均值，则{a n }的通项为( ) A 、a n ＝n 2＋n B 、a n ＝n 2－n C 、a n ＝3n －1 D 、a n ＝4n －2 10．函数f (x )＝－9x 2－6ax ＋2a －a 2在区间[－13，1 3 ]上的最大值为－3，则a 的值为( ) A 、－32 B 、6＋2或－ 2 C 、6＋2或2－ 6 D 、2－6或－ 2 二、A 组填空题 11．已知定义在非零自然数集上的函数f (n )＝???n ＋2 n ≤2005 f (f (n －4))，n ＞2005 ，则当n ≤2018时，n －f (n ) ＝____________；当2018＜n ≤2018时，n －f (n )＝____________. 12．若sinαcosβ＝1，则cosαsinβ＝____________. 13．化简 sin 7π 8 ＋sin 3π 8 的结果为______________. 14．There are 2018 balls lined up in a row . There are coloured to be red ，white ，blue and black in the following order :5 red ，4 white ，1 blue ，3 black ，5 red ，4 white ，1 blue ，3 black …….Then the last ball is coloured to be _______________.
(完整word版)希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数．
8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？
14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由．
第22届希望杯高一数学竞赛一试及答案
第22届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第一试 2011年3月13日 上午8：30至10：00 校名________________ 班_________ 姓名__________ 辅导老师_________ 成绩_____ 一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分 答案 1．已知()a f x kx =是幂函数，它的图像过点1 (4,)2 ，则k a +的值等于（ ） (A) 12-. ( B ) -2. ( C ) 1 2 . ( D ) 2. 2．设1 1 2 5 1111 log log 33A = + ，则A 属于区间（ ） ( A ) (2, 3) . (B) (l,2) . (C) （-2，-l) . (D)（-3，-2) . 3．图1中给出一枚骰子的三种不同放法，则图中“? ”处的数字是（ ） ( A ) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4. 4．己知sin cos 1αα+=-，则201201s i n c o s αα+的值的集合是（ ） ( A ) {1}. (B){0}. (C) {-1}. (D){-1,1}. 5．已知,,a b R a b +∈≠，设222,A a b B a b =+==+,则A 与B 的大小关系是（ ） (A) A ＞B (B) A
2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)
第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ）
数学希望杯竞赛
刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。
专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝
第10届“希望杯”全国数学邀请赛高一(1,2试)
第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（第一试） 班级 姓名 一、选择题 1、已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f 等于------------------------（ ） （A ）x 2 （B ）12+x （C ）22+x （D ）32+x 2、若}2log |{2x x x x -=∈，则有--------------------------------------（ ） （A ）12 >>x x （B ）x x >>12 （C ）x x >>2 1 （D ）2 1x x >> 3、已知222)(--=-x x x f ，0)(=a f ，则)(a f -等于------------------（ ） （A ）4--a （B ）―2 （C ）―4 （D ）a 2- 4、线段OA 、OB 、OC 不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60o，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC 是--------------------------------------------------------------------（ ） （A ）等边三角形 （B ）不等边的等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角三角形 5、已知函数???? ?? ? <-≥=2 3 , )3lg(2 3 , lg )(x x x x x f ，若方程k x f =)(无实数解，则k 的取值范围是------------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0,(-∞ （B ）)1,(-∞ （C ）)2 3lg ,(-∞ （D ）),2 3(lg +∞ 6、若?<> （B ）c b a >> （C ）c a b >> （D ）b a c >> 7、函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是------------------------------（ ） （A ）21<<-x （B ）20<
高一希望杯数学竞赛立体几何专题
高一数学竞赛（立体几何）专题一、有关概念、性质、定理 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点 ．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若b a=，则b a,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互 相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[??∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交） （3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线
年第届全国希望杯数学竞赛试题高一
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第1试 2006年3月19日 上午8:00至10：00 一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的4个选项中仅有一个是 １．设{(,)|0},{(,)|0,0},S x y xy T x y x y =>=>>则（ ） (A) S T S = (B) S T T = (C) S T S = （D ）S T S = ２．若1()f x x =的定义域为A ，()(1)()g x f x f x =+-的定义域为B ，那么（ ） （A ）A B R = (B) ＡＢ （Ｃ）A B ? （Ｄ）A B =Φ ３．已知tan 1,sin cos 0,()ααα>+<且则 （A ）cos 0α> （Ｂ）cos 0α< （Ｃ）cos 0α= （D ）cos α的符号不确定 ４．设10,1,(),24x a a y a >≠=-若的反函数的图像经过点则()a = （Ａ）１６ （Ｂ）４ （Ｃ）２ ５．已知0a ≠，函数32()f x ax bx cx d =+++的图像关于原点对称的充要条件是（ ） （Ａ）0b = （Ｂ）0c = （Ｃ）0d = （Ｄ）0b d == ６．若ABC 三条边的长依次为33sin ,cos ,144 a b c ===，则三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的大小顺序为（ ） （Ａ）A B C << （Ｂ）B A C << （Ｃ）C B A << （Ｄ）C A B << ７．若实数x 满足2log 32cos ,|2||33|()x x x x =+-+-则等于 （Ａ）352x - （Ｂ）３１ （Ｃ）235x - （Ｄ）235x -或352x - ８．区间[,0]:2m f x x m →+在映射所得的象集区间为[,]a b ，若区间[,]a b 的长度比区间 [0,]m 的长度大５，则m ＝（ ）
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析 题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则-- = - += <<的大小关系 是 . （第十一届高二第一试第11题） 解法1 b b a a b b a x + += - += ，a b b a a b b y -+ = --=. y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 . 解法2 b b a a b b a b b b b a y x + +-+= ---+= ，y x y x a b b a <∴<∴ ->+,1, . 解法3 a a b b a b b a a b b b b a y x -+ - + += -- - -+= -1111 = y x y x a a b b a <∴>-∴>-- +,011,0. 解法4 原问题等价于比较a b b a -+ +与b 2的大小.由,2 ) (2 2 2y x y x +≥ +得 b a b b a a b b a 4)(2)2 =-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴ . y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠ +,2, . 解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的 点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BC k k <，即 ) ()(a b b a b b b b a b b a ---- < -+- +， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <. 解法6 令()f t =，t t a a t f + += )( 单 调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<- +，y x <∴. 解法7 考虑等轴双曲线)0(2 2 >=-x a y x . 图1
最新高中数学：希望杯竞赛试题详解
高中数学：希望杯竞赛试题详解（1-10题） 题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 . （第十一届高二第一试 第11题） 解法1 b b a a b b a x ++= -+=，a b b a a b b y -+=--=. y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0Θ. 解法2 b b a a b b a b b b b a y x ++-+= ---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1,Θ. 解法3 a a b b a b b a a b b b b a y x -+- ++=----+=-1111 = y x y x a a b b a <∴>-∴>--+,01 1,0. 解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2 )(2 2 2 y x y x +≥ +得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2,Θ. 解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个 不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BC k k <，即 ) ()(a b b a b b b b a b b a ----< -+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x < . b+a 图1
解法6 令()f t =，t t a a t f ++= )(Θ单调递减，而a b b ->， )()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴. 解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB k ，即1>-+--b b a a b b ，从而 y x <. 解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD
第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试 班级 姓名 一、选择题 1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8 2、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ） （A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a + 3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ） （A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π3 4、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ） （A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）2 3 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ） （A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。 （B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。 （C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。 （D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。 6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ） （A ）),2 1(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ） （A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >> 9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5 10、有三个命题： ①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。 ②函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，若)(x f y =是区间D 上是增函数，则)(1x f y -=也是区间D 上是增函数。 ③函数)(x f y =在定义域A 上存在反函数，则)(x f 在A 上是单调函数。 以上三个命题中，正确的个数为----------------------------------------------------（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、A 组填空题 11、三棱柱的对角线条数为 。 12、方程x x 1.0log lg =的解集为 。
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