几类非线性微分-积分方程的解

目录

第一章绪论1

1.1研究背景，意义，现状 (1)

1.2预备知识 (2)

1.3本文主要定理 (2)

第二章一类中立型积分方程伪概自守正解的存在性6

2.1弓丨s (6)

2.2三变元不动点定理 (7)

2.3伪概自守正解的存在性 (12)

2.4 例子 (18)

第三章无穷区间上脉冲微分方程边值问题正解的存在性20

3.1 弓 s (20)

3.2边值问题解的构造 (21)

3.3算子的全连续性及不动点存在性 (23)

参考文献29

上海师范大学硕士学位论文第一章绪论

第一章绪论

§1.1研究背景，意义，现状

非线性分析是分析数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科，以生物学，物理学，经济学,工程技术等学科中出现的非线性问题为背景，建立处理问题的一般性理论及方法.运用变分法，半 序理论，拓扑度理论，解析法，得到非线性算子方程解的存在性，唯一性，多重解，近似解，构造收 敛于解的迭代算法，研究非线性算子理论以及对微分-积分方程的应用.因其能很好的解释自然界中各种自然现象，近年来受到了国内外数学界和自然科学界的高度重视，逐步形成了一门重要的学科.其丰富理论与先进方法在处理实际问题所对应的各种非线性微分-积分方程中发挥着不可替代的作用.

非线性方程起源于物理问题，1823年，N. H. Abel研究质点力学问题时，引入了阿贝尔方程.同年，J. LiouviUe提出一些微分方程的解可以通过相应积分方程的求解来得到.19世纪30年代, C. Sturm与J.LiouviUe研究了二阶两点边值问题，得到了关于特征值的系列结论，提出了著名的Sturm-Liouville理论.1927年，E. Fermi在研究原子电动势能时，提出无穷区间上的奇异边值问题.1930年，Hammerstein提出了Hammerstein型积分方程，至今已得到许多结论.20世纪50年代中期，Fredholm利用拓扑法与变分法研究了Fredholm型方程.1960年，M i l m a n与Myshkis研究了一类瞬时突变现象，即脉冲微分方程边值问题.1968年，C. Corduneanu全面阐述了概周期函数理论.1974年，A. M. Fink对概周期微分方程理论做了概括性总结.1976年，K. C o o k和J. Kaplan建立了疫情扩散数学模型，利用非线性积分方程理论，研究了疾病在种群中传播的周期性规律.2001年，G. M. N'Gu&^kata详细介绍与总结了概自守函数，渐近概自守函数的概念，性质及应用.

国内对非线性方程的研究始于20世纪50年代.陈传璋教授对马季欧积分方程的核，贝塞尔函数的级数展开与核的分解，对非线性积分方程和奇异积分方程做了细致深入的研究.随后，郭大钧 教授对非线性方程理论中若干重要课题，如Hammesrteni型积分方程，常微分方程与偏微分方程,迁移方程，锥理论与非线性算子方程正解，非线性算子拓扑度和不动点等作了系统的概括和总结.孙经先教授在Banach空间非线性微分-积分方程领域中得到了许多新成果，如锥理论，临界点理论,特征值问题，不动点定理等.刘兆理教授与杜一宏教授在脉冲微分方程解存在性及迭代解法，凸锥理论与非线性算子不动点等领域做了许多优秀工作.

脉冲现象与自然界中许多现象相吻合，脉冲微分方程在生物学，经济学最优控制和航天技术领域中有广泛的应用.另外，非线性常微分方程奇异边值问题在气体动力学，流体力学，边界层理论及传染病模型等实际问题中有着广泛且重要的应用.

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