2020东城区高三二模数学试题及答案(理科)

北京市东城区 2020-2020 学年第二学期

高三 综合练习（二）

数学 （理科）

学 校 __________ 班 级 ___________ 姓 名 __________ 考 号

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至

5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，

在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）

、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。

① x R ，x 2

0；

② x 0 R ，使得 x 02

x 0 成立；

③对于集合 M,N ，若x MI N ，则x M 且x 其中真命题的个数是

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图

1）

若复数

z

x (x 2

x)i ( x

i

R ）为纯虚数，则 x 等于

2） A )0

B )1

C )-1

D ）0或1

给出下列三个命题：

N. A )0 B )1 C )2 D )3

3）

线交于 M,N 两点， O 为坐标原点 .若OM ON ，则双曲线的离心率为

(A ) 12 3 1 （B ）1 3

2 （C ） 15 1 （D ）1

5 2 2

uuur u uur uuur uuur

7）△ ABC

外接圆的半径圆心为 且 2OA A B AC 0 ，

|AB| uuur uuur

则 CA CB 等于

（A ） 3 （B ） 3

（C ） 3 （D ） 23 2

如图， BC 是半径为 2的圆 O 的直径，点 P 在BC 的延长线上，

PA 是圆 O 的

PB PC

4） 5） 6） A ） 极坐标方程 sin2

A ）两条直线 C ）圆

已知正项数列 a n A )16 B ） 0（ 0） 中， a 1 B )8 C ）

表示的图形是

D ）

B ）两条射线

D ）一条直线和一条射线

1，

a 2 2，2a n 2

a n 12

a n 12

(n 2)，则 a 6等于 C ) 2 2 D )4

2

已知双曲线 x 2 y 2 2

2

2

1(a 0,b 0） ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲

抽取人数

11) 在△ ABC 中，若 B 4π

,b 2a ，则 C

12) 切线，点 A 在直径 BC 上的射影是 OC 的中点，则 ABP =

线 3x 4y 10 0 距离的最大值为

Ⅰ）求 cosA 的值；

5

Ⅱ)求函数 f(x) cos2x sin Asin x 的值域．

2

（16）（本小题共 14 分）

如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， AB AC 5，D ，E 分别为 BC ， BB 1

的 中点，四边形 B 1BCC 1是边长为 6 的正方 形．

（Ⅰ）求证： A 1B ∥平面 AC 1D ； （Ⅱ）求证： CE 平面 AC 1D ；

（Ⅲ）求二面角 C

AC 1 D 的余弦值．

（17）（本小题共 13 分）

13) 已知点 P(2,t) 在不等式组 x y 4

x y 3

0,表示的平面区域内，则点 P(2,t) 到直

14 ) 对 任意 x R ， 函 数 f(x) 满 足 f(x 1) f(x) [f(x)] 1

2，设

a n [ f(n)]2

已知 sin(A π

) 7 2

4 10

ππ A

甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0

分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局

中获胜的概率为p（p 1），且 2 各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5．

9 （Ⅰ）求p 的值；

（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期

望 E ．

（18）（本小题共13 分）

已知函数f（x） x2 alnx（ a R）．（Ⅰ）若 a 2，求证： f （x）在（1, ）上是增函数；（Ⅱ）求 f （x）在[1，e] 上的最小值．19）（本小题共13 分）

1

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点 F （0, 1）的距离比点P

到x轴的距离大 4

1，设动点P的轨迹为曲线C，直线l:y kx 1交曲线C于A, B两点，M 是线段AB 4

的中点，过点M 作x轴的垂线交曲线C于点N．

（Ⅰ）求曲线 C 的方程；

（Ⅱ）证明：曲线C在点N 处的切线与AB平行；

（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k 的取值范围．

（20）（本小题共14 分）

在单调递增数列{a n}中，a1 2 ，不等式（n 1）a n na2n对任意n N*都成立. （Ⅰ）求a2 的取值范围；

（Ⅱ）判断数列{a n} 能否为等比数列？说明理由；

1 1 1

（Ⅲ）设b n （1 1）（1 2）L （1 2n），c n 6（1 2n ），

求证：对任意的n N*，bn cn 0.

a n 12

北京市东城区 2020-2020 学年第二学期高三综合练习（二）

3 所以 cosA 3

． ???????? 6 分 5

2

1 2sin x 2sin x

、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）C

（8）A

、填空题（本大题共 6 小题，每小题

5 分，共

30 分）

高三数学（理科）参考答案及评分标准

9)10

5

、解答题（本大题共 6 小题， 共 80 分）

（15

）（共 13 分）

解：（Ⅰ）因为 π A π 且 sin(A

π) 72

4

2 4 10

π A

π 3π π 2

．

所以

，

)

2

4 4

4

10

．

因为 cosA ππ cos[( A ) ] cos(A π π π π )cos sin(A )sin 14)34

注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 4 4 4 4 4 4

2 2 7 2 2

3 ． 10 2 10 2 5 ．

10)9 11)

7π 12

12) 30o

12

13)4

所以 f (x) cos2x sinAsin

x

1 2 3 2(sin x ) 2 ， x R ． 22

因为 sinx [ 1,1]，所以，当 sinx 1 时， f(x) 取最大值 3 ； 22 当sinx 1时， f (x)取最小值 3．

所以函数 f （x ）的值域为［ 3,2

3］．

（16）（共 14 分）

Ⅰ）证明：连结 A 1C ，与 AC 1交于O 点，连结 OD ．

因为 O ，

所以 OD ∥ A 1B ． 又 OD 平面 AC 1D ，

A 1B

所以 A 1B ∥平面 AC 1D ．

???????? 4 分

（Ⅱ）证明：在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，

BB 1 平面 ABC ，又 AD 平面

， 所

以

BB 1 AD ．

因

为 AB AC ， D 为 BC 中点， 所

以

AD BC ． 又 BC I BB 1 B ， 所以

AD 平面 B 1BCC 1． 又 CE 平面 B 1BCC 1 ，

所以 AD CE ．

因为四边形 B 1BCC 1为正方形， D ，E 分别为 BC ， BB 1的中点， 所以

Rt △ CBE ≌ Rt △ C 1CD ， CC 1D

BCE ．

所以 BCE C 1DC 90o

．

所以 C 1D CE ．

又 AD I C 1D D ，

13分

平面

D 分别

所以 CE 平面 AC 1D ． Ⅲ）解：如图，以 B 1C 1的中点 G 为原点，建立空间直角坐标系． 则 A(0,6, 4), E(3,3,0), C ( 3,6,0), C 1( 3,0,0) ．

uuur

由(Ⅱ)知 CE 平面 AC 1D ，所以 CE (6, 3,0) 为平面 AC 1D 的一个法向

量．

17）（共 13 分）

解：（Ⅰ）当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛停止，

故 p 2

（1 p ）2 5

，

9

12

解得 p 1 或

p 2 ．

33

12

又 p 1

，所以 p 2

． ??????? 6 分

23

9分

设n uuu

r 由

n n (x,y,z)为平面 ACC 1 的一个法向

量， uuuur ( 3,0, 4) ， CC 1 (0,

6,0) ． uuur AC 0, uuuur 可得 CC 1 0. 3x 4z 6 y

0.

令x 1，则 y 0, z

所以 n (1,0,

3

)

uuur 从而 cos CE, n

uuur

CE n

uuur |CE | |n|

285

5 ． 因为二面角 AC 1 D 为锐角，

所以二面角 AC 1 D 的余弦值为 8

255

．

14 分

Ⅱ）依题意知的所有可能取值为2，4，6．

5

P（ 2）5，

9

所以 f ( x)在[1,e] 上是增函数，

又 f (1) 1，故函数 f(x) 在[1,e] 上的最小值为 1．

若a 2e 2

，则当 x [1,e] 时， f (x) 0， 所以 f ( x)在

[1,e] 上是减函数，

又 f (e) e 2 a ，所以 f ( x)在[1,e] 上的最小值为 e 2 a ． 若2 a 2e 2

，则当1 x a

时， f (x) 0，此时 f(x) 是减函

数；

2

当 a x e 时， f(x) 0，此时 f (x)是增函数．

所以 的数学期望

E

2 5 4 20 9 81

6

81 266

81

13

18) 共 13 分)

证明：当 a 2时， f (x) x

2

2lnx ，

当 x (1, ) 时， (x) 2(x 2

1)

0， 所以 f (x)在(1, ) 上是增函数．

5分

解： f ( x) 2

2 x a

(x

0) ，当 x [1,e] 2x

2

[2 a,2e 2 a] ．

若 a 2 ，则当 x [1,e] 时， f (x) 0，

又f( a) a a ln a，

2 2 2 2 所以 f ( x)在［1,e］上的最小值为 a a ln a．

2 2 2 综上可知，当 a 2时，

f(x) 在［1,e］上的最小值为1；当2 a 2e2时， f (x)在

［1,e］上的最小值为 a a ln a；

2 2 2

当a 2e2时， f (x)在［1,e］上的最小值为e2 a ．??????

13 分

(19)(共13 分)

11 (Ⅰ)解：由已知，动点P到定点 F (0, 1)的距离与动点P到直线y 1的距

44 离相等．

由y x ,

得x

2

kx 1 0 ．

y kx 1,

所以x1 x2 k ，x1 x2 1 ．

k

设M ( x0 , y0 ) ，则x0 ．

2

因为MN x 轴，

所以N点的横坐标为k．

2

由y x2，可得y' 2x

k

所以当x k时，y ' k ．

2

所以曲线C在点N 处的切线斜率为k，与直线AB平行．??????8 分

Ⅲ)解：由已知，k 0 ．

由抛物线定义

可

知， 动点P

的轨迹为

以 (0, 1

)为焦

点，直线 y 1

为

准线的抛

物线．

44 所以曲线 C 的方程为 y x 2

． ?????? 3分 Ⅱ)证明：设 A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)． 2

设直线 l 的垂线为 l'： y 1

x b ． k

代入 y x 2，可得 x 2 1 x b 0

（*）

k

若存在两点 D （x 3,y 3）,E （x 4,y 4）关于直线 l 对称，

1 ，

y 3 y 4 1

2 2k 2

2k 2

又(x 3 x 4,y 3 y 4)在l 上，

22

由方程（ * ）有两个不等实根

所以 （1

）2

4b 0 ，即 1

2 2 2

2 0

k

k

2

k

2

（20）（共 14 分）

Ⅰ）解：因为 {a n } 是单调递增数列，

所以 a 2 a 1， a 2 2. 令 n 1 ， 2a 1 a 2 ， a 2 4 ，

所以 a 2 2, 4 . Ⅱ）证明：数列 { a n }不能为等比数列 .

用反证法证明：

假设数列{ a n }是公比为 q 的等比数列， a 1 2 0，a n

2q 因为{a n } 单调递增，所以 q 1.

因为 n N *

， （n 1）a n na 2n 都成立.

所以 n N *

， 1 1

q n

① n

因为 q 1，所以 n 0 N *

，使得当 n n 0时， q n

2.

所以 1 2k 2 1 1． b 2 2k 2 ．

b k( 1

) 1 ， 2k x 3 x 4

2 所以 k 12 2，解得 k

2

2或k 2

2

．

13分

4分

立.

因为

1

2 (n N*).

所以n0 N*，当

n

n0

时，

1

，

n

与①矛

盾，

故假设不

成

9分

Ⅲ）证明：观察：b1 c1 3 ，

b2

15

4

c

2

b

3

135

32

c

3

21，?，猜想：b n

c n .

用数学归纳法证

明：

1）当n 1 时，

b1

3 c1 3 成

立；

2）假设当n k

时，

b k

c k 成

立；

当

时，

b k 1 b k (1 2k11)

1 ck(1

2k

1

)6(

1

(

1

2

1

k1)

6(

1

1

2k 1

1

2k

221

k1) 6(

1

1

2k 1

221

k1) 6(

1

2

1k1)

所以

b

k 1

c

k 1.

根据（1）（2）可知，对任意n N*，都有b

n

c

n ，即b n c n 0.

由已知得，a

2n

1

(1 )a n.

n

所以a2n (1

2

1

n 1

)a

2n 1

L(

1

2

1

n 1) (1

1

1

2

)(1

1)a1.

所以当n 2 时，a2n 2b n 1 2c n 1 12(1 n

1

1

) 12.

2n 1

因为a2 a4 12

所以对任意n N*，a

2n

12.

对任意n N*，存在

因为数列｛a n ｝单

调递增，

m N*，使得n 2

所以a n a2m 12，a n 12 0. 因为b n c n 0 ，所

bn cn 0. ??

a n 12

x 1, x 0,

（8）已知函数f（x）则函数y f[ f（x）] 1

的零点个数是log2 x, x

0,

（A）4 （B）3 （C）2

（D）1

第Ⅱ卷（共110 分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题 5

分，共30分。

9）（x2 1）5的展开式中，x4的系数为

．（用数字作答）

x

10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业

者三个群体的相关人员中，抽取若干人

组成调查小组，有关数据见下表，则调

查小组的总人数为；若从调查小组中的

公务员和教师中随机选 2 人撰写调查

报告，则其中恰好有 1 人来自公务员的

概率为

．

3

1 f (n)，数列{a n} 的前15

项的和为31，则 f (15)

1

6 三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分。解

答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15)(本小题共13 分)

4

以14 分

Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A 4 5．

5