2020专升本高数二知识点总结 (1)
目录
一、概率论
1.事件发生的概率选择题5分、2014，2019年8分大题
2.离散型随机变量大题8分
二、极限和连续
1. 极限选择、填空4-5分
2. 连续选择、填空4-5分
三、一元函数微分
1. 导数选择、填空、大题（重点）平均18.4分
2. 函数的应用选择或填空、大题17分
3. 微分选择、填空、大题（考查分散）平均4分
4. 洛必达法则2017年填空、8分大题必出
四、多元函数微分
1. 偏导数选择、填空、大题、平均1
2.4分
五、一元函数积分
1. 不定积分选择、填空，大题必出、平均15.2分
2. 定积分选择、填空、答题必出平均19.2分
六、补充
1. 全微分偶尔出题，选择或填空或结合偏导出大题
2. 二元函数的无条件极值 2013，2015，2016年出10分大题
3. 定积分的几何应用8分大题必出
一、概率论
1.事件发生的概率
①对立事件
例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1.
②独立事件
事件A概率的发生对事件B概率的发生没有影响，事件A、B相互独立，叫独立事件。例如，第一次掷骰子5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算)
A
P 。
P
(B
)
(
独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A，B相互独立，A，B发生的概率分别为0.6,0.9，A，B都不发生的概率，那么先看A和B分别不发生的概率是多少，A发生的概率是0.6，A不发生的概率就是1-0.6=0.4，B发生的概率是0.9， B不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A，B都不发生的概率就是A不发生的概率0.4乘以B不发生的概率0.1×0.4=0.04。
③条件事件（非独立事件）
假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第二次抓到黑球呢？因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10.
应试指导：对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。独立事件2013，2014，2017年考查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还是选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。
2. 离散型随机变量
随机变量举例来解释，假设事件A为一个选手射箭，其必能射中八环及以上，对他射箭进行统计，统计出他射中8环的概率为0.3，9环的概率为0.2,10环的概率为0.5.可以下列出表格表述此事件的概率分布，随机变量就是指射中的环数（8，9，10），虽然射中8环及以上是必然，但是具体射中8，9，10环是不确定的，所以叫做随机变量，用X来表示，因为射中8环及以上是必然事件，那么概率P加在一起就是1。
①数学期望E （X ）
用环数乘以发生的概率最后相加，也就是2.95.0102.093.08=?+?+?，叫做数学期望，用随机变量分别乘以概率相加，一般用大写E 来表示。 ②方差D （X ）：
用不同的环数减去平均数，例如8-9.2，能知道每次射箭和平均水平相差的数值，就能知道选手发挥是否稳定，方差的计算是用每次的随机变量减去数学期望的平方，乘以概率，最后相加，
76.05.0)2.910(2.0)2.99(3.0)2.98(222=?-+?-+?-，用大写字母D 来表示。
应试指导：这部分是出大题的考点，一道大题8分，2016，2017单独出题，2015和事件概率结合出题，只有数学期望和方差这两个知识点考查，计算也比较简单，同学们要尽量认真仔细计算核对，确保拿到这8分。
二、极限和连续 1.极限
极限的概念是建立在函数基础上的，假设函数x x f =)(，当x 无限地接近于1时，这时)(x f ，也无限地靠近1，1叫做是)(x f 的极限,用英文字母lim 表示极限，在lim 下面用x →表示x 趋近于几。 ①代入法
求极限最常用的方法就是将数值代入函数式。平均每年都会有一道这样的题目，就相当于是送分题。
②两个重要极限
（1）1sin lim 0=→x
x
x
（2）e x x x =+∞→)1
1(lim
③无穷小量
如果一个函数的极限是0，就把这个函数称为无穷小量。 应试技巧：
极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。我们在求极限的时候，基本就是上面三种方法：
第一，一般是直接代入趋近数字求值即可；
第二，我们看到求x 乘任何式子的函数求趋近于0的极限，肯定就是0，也就是无穷小量。因
为0乘以任何数都是0；
第三，当趋近数字没有定义或无穷大时，首先考虑是否为特殊极限或其变形。 2.连续
连续是基于函数极限基础上的一个定义，以图像举例，如图，这个函数图像在x=1时断开了，也就是说这不是一个连续的图像。
会有是否连续这个问题，主要是由于分段函数的出现，当然也有反比例函数这样定义域不是全集导致的。考试就是考分段函数的连续问题。判断分段函数是否连续就是两段函数求得的分段点极限值是否相等。分段点极限值相等就连续，不相等就不连续。考的分段函数一般定义域都为全集，也就是分段点肯定是有意义的，那么直接代入分段点数值到2个分段函数就可以得到分段点的2个极限值，再比较2个极限值是否相等。
例如分段函数()???-≥-=1,11,12πx x x x x f ，分段点就是1，1代入前段函数x-1求出第一个极限为0，1
代入后段函数x 2-1求出第二个极限还是为0，两个极限值相等，说明该分段函数在分段点处是连续的。
如果分段函数()???-≥-=1,21,12πx x x x x f ，那么第一个极限值还是0，第二个极限值变成-1了，两个
极限值不相等，说明该分段函数在分段点处不连续，我们就把这个分段点叫做间隔点。 应试技巧：2013，2014，2016年考查连续，2014年考查间隔点。在遇到这样的题目时，如果已知连续，直接将连续点代入两个函数式使两个数值相等可以了。
三、一元函数微分 1. 导数 ①导数的定义
比如李四到公园散步，以3.6km 每小时的速度匀速前行，用函数表示李四散步走了多长距离s
和时间t 的关系就是：s=3.6t ，而导数就是反应李四在散步过程中在任意一个位置的前进速度，前面说了他是以3.6km 每小时的速度匀速前行，因此任意位置的进行速度都是3.6km 每小时，而函数s=3.6t 的导函数s ’=3.6。
又比如李四到河边玩抛石子，水平抛出，石子落地的时间都相同，因为地球地表引力加速度都是g （9.8米/秒），水平抛出原垂直速度都为0，加速度g 是石子垂直方向速度变化反应，就是速度的导函数，速度的函数就是gt ，距离的函数是gt 2/2.
速度反应距离的变化情况，所以速度函数是距离函数的导函数，加速度反应速度的变化情况，所以加速度函数是速度函数的导函数。
导数就是反应函数的变化情况的，某点导数值就是反应函数在某个点的变化情况的。 某个点的变化情况(导数)，从极限理解，就是极其相近距离趋近于0的两点（x 1，y 1）（x 2，y 2）形成的一条切线斜率，y 2-y 1=△y ，x 2-x 1=△x ，切线斜率（导数）可写作
x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)
()(lim
lim
1100。 ②导数的基本公式：
最常见的求导是指数函数，以x 3为例，我们求导时用指数函数的次方数×其原函数指数减一个次方：（x 3）’=3x （3-1）=3x 2，那么如果是常数，例如常数5可以看作5x 0，它们求导等于0×x -1=0，0×5x -1
=0，因为其最前面的次方数为0就决定了，后面乘任何数都为0，所以任何常数的导数都为0。
正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，考试中还有遇到的是对数函数lnx 的导数是分式x
1
，特殊的导数e x 的导数还是e x 。一共这六种，需要同学们能够熟练运用。 （1）0)'(=C
（2）1)'(-=n n nx x ，（n 为实数） （3）x x e e =)'( （4）x x cos )'(sin = （5）x x sin )'(cos -= （6）x
x 1)'(ln = ③高阶导数
考试中还会有二阶导数，三阶导数，做法都是一样的，就是求出一次导数之后，用的得到的新的函数式再求一次导数就是二阶导数，三阶导数就是在二阶导数的基础上再求一次导数。考的
二阶导数用22dx
y
d 或者y ”表示，就像前面的例子，速度和距离是一阶导数关系，加速度和速度
是一阶导数关系，那么加速度和距离就是二阶导数关系。 ④复合函数的导数
复合函数的导数是我考试中最常出现的题型，所谓复合函数就是指几个函数复合在一起的形式，考试中常出现的是e x 的指数x ，或者三角函数的角度x ，被一个函数式代替。 例如：设）
（12sin +=x y ，则=y ' 。 解析：这道题就是三角函数角度x 被一次函数2x+1代替，遇到这样的题目的时候，要分开来看题目，先看括号内的2x+1，常数1导数为0，2x 的导数是2，那么（2x+1）’=2，然后再整体来看，整体上是一个正弦函数，正弦函数的导数是余弦函数，这时把括号内的一次函数当做是一个整体，那么sin （2x+1）的导数就是cos （2x+1），这里可以把2x+1设为a ，那么就是sina 的导数是cosa ，算到最后再把2x+1代回来。括号内的导数和括号外的导数都求出来的，然后相乘，就是2×cos （2x+1）=2cos （2x+1），可以把复合函数的导数运算记为“里导乘外导”（里面的导数乘以外面的导数）。 ⑤导数运算
两个函数f （x ）和g （x ）相乘，那么他们的导数[f （x ）g （x ）]’就是f ’（x ）g （x ）+f （x ）g ’（x ），前函数的导数×后函数的原函数+前函数的原函数×后函数的导数。
这个就像3×6=18和5×7=35的差量17，可以通过（5-3）×6+（7-6）×5=17得出，写出的前者差量（5-3）×后者原式的数字6+后者差量（7-6）×前者原式的数字5，把差量看作导数，原式的数字看作原函数。 ⑥隐函数求导
在考试中常给出一个函数，对隐函数求导。给出的函数式中有x 和y ，将x 当做未知数来看，正常求导，y 当做未知函数式来看，运用复合函数的求导法则也进行求导，最后求出dx
dy
y ='就可以。
例如：设y=y （x ）是由方程y=x-e y 所确定的隐函数，则
=dx
dy
. 解析：这道题给出了方程y=x-e y ，隐函数方程两端导数相等，我们对方程两端进行求导，x 的
导数直接求出来，y 当做函数式来看，导数写成y ’，那么左边就是y ’，右边x 的导数是1，-e y 的y 当做函数式来看就是复合函数（里导乘外导），先对y 求导是y ’，-e y 的导数是它本身，
最后函数两端就是y ’=1+y ’·（-e y ），题目要求求出
dx dy
就是指y ’，我们通过简单计算可以得出y ’的值。y ’+y ’·e y =1，（1+e y ）y ’=1，y ’=y e +11，所以dx dy =y ’=y e +11
。
应试技巧：导数是分值比较高并且比较简单的部分，2013，2015，2017年出三道小题，2014年两道小题，2016年四道小题，2014-2017年各一道大题，导数的分值由12-24分，是我们考试中拿分的重点。导数的考查主要集中在几个导数公式的运用上，其他只是简单的变形，所以我们只要能够熟练运用导数公式，这部分题目就不是问题。
2. 导数的应用 ①一阶导数的应用
（1）函数的驻点，单调性和极值
导数在函数图像上的体现，就是函数图像的单调性，单调性我们也可以叫做增减性，如图，函数的图像有增有减，增加、上升时就是单调递增，减小、下降时就是单调递减，下面我们从导数层面来看函数的递增递减。
导数值＞0，单调递增；导数值＜0，单调递减。
注：导数值=0时，就是函数的极值，该点叫做函数的极值点，也叫做驻点（函数图像在该点没有增减性，可以记忆为函数停留（驻点）在该点没有增减）。
（2）切线
切点就是切线和函数图像的交点，直线方程y=kx+b 的斜率（k ）=切点的导数值。切点、直线方程、函数，三者只要知道其中之二，通过交点和斜率=导数值两点就可以求出最后一个内容。
②二阶导数的应用
（1）拐点与凹凸性
对于凹凸性定义的理解：
凹时，切线斜率都是越来越大（递增），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递增时就是二阶导数＞0。
凸时，切线斜率都是越来越小（递减），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递减时就是二阶导数＜0。二阶导数结果为0的点是拐点。
③铅直渐近线。
例如：曲线2
)
1(1
-+=
x x y 的铅直渐近线方程是 。 解析：铅直渐近线方程就是使函数极限为无穷的x 值，在将极限的时候，讲过分母趋于无穷小0，分数就是趋于无穷大，所以使分母为0，就可以得到它的铅直渐近线方程，使（x-1）2=0，那么x=1，所以x=1就是函数2
)1(1
-+=
x x y 的铅直渐近线方程。对于分式来说，铅直渐近线方程
都是分母为0时的x 值，因为取的这个x 值，只能无限靠近却最终不能相等，所以叫渐近线。 知识点考查分布：
2013
2014
2015
2016
2017
选择 单调性
单调区间
单调区间，极值，切线
填空 拐点，切线 单调区间，切线
切线，拐点 铅直渐近线方程
解答 单调区间和极
值
驻点 单调区间，极值，凹凸性
单调区间，极值，凹凸区间
应试技巧：设函数)(x f y =，点0x 使0)('0=x f ，那么0x 就是函数的驻点，若0)('0>x f ，那么函数在此区间递增，若0)('0 把导数也叫做微分，是因为微分和导数的计算是一样的，把微分用dy 来表示，而导数是dx dy ，将 dx dy 看作是dy 除以dx ，那么导数dx dy =f ’（x ），所以dy=f ’（x ）dx ，所以微分就是求导之后在函数式后面加上dx 。 应试技巧：微分2013年出了一道大题，2014，2016年选择题，2015年填空题。因为微分和求导是一样的，所以只要我们掌握了求导，微分就没有问题。 4. 洛必达法则 洛必达法则是基于导数基础上对极限的求法，当分母为0，或者分母分子都为0，就要用洛必达法则。 洛必达法则考查都是分式，这些分式使用代入法的话分母是0，用洛必达法则，对分子和分母分别进行求导，在求导之后，再用代入法进行计算。如果求导一次使用代入法分母依然没有意义，也就是还是为0，再次进行求导，直到使用代入法分母不为0. 补充： 2019年洛必达法则增加∞比∞型，这样的题型的特征是∞ →x lim ，分子和分母都有x ，假 设∞代入上下还是趋近于∞，我们还是将这样的题目称之为“∞比∞型”。在遇到这样的题目的时候，我们有要注意的是分子分母有关x 的指数的最高次数，比较分子和分母的x 的指数的大小，如果分子大于分母，最后结果则为∞，如果分子小于分母，最后结果则为0，两个相等，则结果为分子关于x 的系数比分母关于x 的系数。 应试技巧：成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则，2017，2019年还额外出了一道填空题。简而言之，遇到用代入法分母为0的极限，就将分子分母分别求导，直至可以用代入法。所以说，只要掌握了导数，这部分的分值我们也很容易拿到。 四、多元函数微分 1. 偏导数 ①一阶偏导数 导数和偏导没有本质区别，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量 比值的极限，x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?) ()(lim lim 1100。但是一元函数，一个y 对应一个x ，导数只有一个。而原函数,一个z 对应一个x 和一个y （例如z=3x+2y ），那就有两个未知数，有两个导数了，一个是z 对x 的导数，一个是z 对y 的导数，称之为偏导。二元函数偏导数，函数中有两个元，求出偏导数时需要我们一个一个来求，那当求x 的偏导时，将y 当做常数计算，当求y 的偏导数时，将x 当做常数，然后正常用导数法则进行求导就可以。 ②二阶偏导数 T ：我们考试中最常考查的就是二阶函数偏导数，同学们还记得二阶导数的计算么？先求一阶导数然后再次求导。偏导数也是一样的，先求出一阶偏导数，然后再次求偏导，就可以求出二阶偏导数。 但是因为偏导数里面有一个未知数，除了可以两次都对x 和两次都对y 求偏导之外，我们还以先对x 求偏导，再对y 求偏导，或者先对y 求偏导再对x 求偏导（看分母哪一个在前面），我们把这种x 和y 混合求偏导的函数又叫混合偏导数，有的函数的混合偏导数是一样的，但是为了保险起见，我们还是正常按照要求来做题。 ③复合函数的偏导数 复合函数的偏导数是这里比较复杂的一个知识点，在复合函数中，给出三个函数式，关于x 和y 的函数式u 和v ，关于u 和v 和函数式z ，在计算的时候，如果求关于x 的偏导数，就是x v v z x u u z x z ????+ ????=??，求出函数z 中关于u 的偏导数（u 外导）×函数u 中关于x 的偏导数（u 里导）+函数z 中关于v 的偏导数（v 外导）×函数v 中关于x 的偏导数（v 里导）。复合函数的偏导数和复合函数的导数也是差不多的，也是“里导乘外导”，里面的导数乘以外面的导数，但是因为有两个元，都要求偏导数，所以在里导乘外导之后还要加在一起。那么如果是求关于y 的偏导数，就是 y v v z y u u z y z ????+????=??，求出函数z 中关于u 的偏导数乘以函数u 中关于y 的偏导数加上函数z 中关于v 的偏导数加上函数v 中关于y 的偏导数。总而言之，复合函数的偏导数就是分别里导乘外导再相加。 应试技巧：偏导数也是关于导数部分的学习，偏导数在2013-2015年考查以选择填空为主，在近两年考试出现对大题的考查。 2013年：两道选择 2014年：两道选择，两道填空 2015年：两道选择，一道填空 2016年：一道填空，一道解答 2017年：一道选择，一道解答 偏导数的重点是要理解当x 求偏导，y 做常数，y 求偏导，x 做常数。偏导数能够拿到10分没有问题。 五、一元函数积分 1.不定积分 ①不定积分的概念和性质 原函数，简单来说，一个函数就是它的导函数的原函数，原函数经求导变为导函数，求导之前的函数叫做原函数。 举例：函数23)(x x F =，导函数x x f 6)(=，则函数F(x)为f(x)的原函数。 不定积分，一个函数的原函数即为不定积分，求不定积分的过程就是求原函数的过程，原函数通过求导变为导数，导数通过积分变为原函数，不定积分就是导数或微分的逆推。不定积分的符号?就像是大F 去掉横线，中间是要求积分的导函数，后面d 表示求积分的对象x 。有时后面的x 也可以换成例如x 2一类的，那就把x 2当做一个整体来看，也相当于x ，不需要再对x 2 求积分。 举例：函数x x f 6)(=，C x xdx +=?236。 注：注意+C ，学导数时知道，任意常数的导数为0，所以在导数逆推求不定积分的时候不知道原函数是否有常数，就需要用+C 来表示不定积分的未知常数。 ②基本积分公式 （1）?+=C kx kdx （k 为常数） 3x 的导数是3，所以3的积分就是3x+C 。 （2）)1(1 1 -≠++= +?n C n x dx x n n 3 1 x 3的导数是x 2，x 2进行逆推，求导数的时候指数是减1，那么原函数指数就应该加1， 2+1=3，原函数指数应该是3提前，但是导函数没有3，只有3×31 =1，所以就是 3 123 112x x =+++C ，指数函数的积分就是函数指数+1/（指数+1）=x n+1/n+1。 （3）C x dx x +=?||ln 1 lnx 的导数是x 1，那么x 1 的积分就是ln|x|+C ，ln 是e （e>0）为底的对数，所以ln 的 平方或立方之后，得到的结果都是大于等于0的，所以后面要有绝对值。 （4）C e dx e x x += e x 的导数就是本身，所以积分也是本身e x +C 。 （5）+-=C x xdx cos sin 比如：余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，所以正弦函数sinx 的积分是负的余弦函数-cosx+C 。 （6）比如：正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，所以余弦函数cosx 的积分是正弦函数sinx+C 。 这些基本的积分公式大家可以选择记忆或者运用导数的进行逆推。 ③第一类换元法（凑微分法） 第一换元法，也叫作凑微分法，如果题目给出的已知函数，是由一个导函数和它的原函数构成的，也就是)(')]([x x f ??dx 形式，那么我们就可以将)('x ?提出，然后与dx 合并变为d )(x ?，以此来简化做答。 比如2 21122 2 2 )(2 111)(2x x dx x xdx x =+= =?+??，可以理解为复合函数求导，里导乘外导，里导先不乘的时候，就这么写。4 133 2 2 113222x x dx x xdx x =+? ==?+??，这原函数也可以写成复合函数() 2 242 121x x =。 考试题目一般不会直接给出)('x ?，所以就要自己来凑，所以叫凑微分法。 ④第二类换元法 不能凑微分的情况，我们就直接将复杂函数设定为其他元。 例如：计算dx x ? +) 1(31 3 解析：将要求的函数式中的复杂部分用字母代替，将被积变量x 变为包含t 的函数，已达到简便运算的目的。 未知数x 在函数式3x 里，设t x =3，那么3t x =，所以)(3t d dx =，我们把t 3变成t ，就把t 3求导放到被积函数里，和上面的凑微分的把)('x ?dx 变成d )(x ?刚好相反，dt t dx 23=，相当于dx 是一个关于t 的复合函数的里导，我把里导3t 2写出来，然后d 后面就变成了t ，所以 dt t t d dx 233)(==。 将导数中的3 x 替换成t ， 则dt t t dt t t x dx dx x ????+=+=+=+1)1(33) 1(3)1(312 23 3， 可导数式分子为t +1，而分母是2t ，两者难以约分，这里是平方，运用平方差公式，))((22b a b a b a -+=-，将分子-1，但是又不能凭空加一个数字，所以我们-1再+1，那就是 dt t t t dt t t dt t t ???+++-=++-=+11 )1)(1(111122，前部分分子和分母都有1+t ，可以约去， dt t t dt t t t ++-=++-+??11111)1)(1(，求原函数，t 的原函数是22t ，-1的原函数是-t ，t +11 原函数是ln|t+1|，所以最后得C t t t +++-)1ln(2 1 2。 应试技巧：不定积分每年必出一道大题。除了大题还会有一到三道小题。 2013年：只考查不定积分基本公式，一道选择，一道填空，一道大题。 2014年：一道填空查考定义，大题考查基本公式 2015年：一道选择考查基本公式，两道填空考查定义，大题考查凑微分法。 2016年：一道填空考查基本公式，大题考查凑微分法。 2017年：一道选择考查基本公式，一道填空考查定义，大题考查第二类换元法。 2018年：一道选择考查基本公式。一道选择考查定义，一道填空考查基本公式，一道大题考查分部积分法。 2019年：一道选择考查性质，一道选择、一道填空考查基本公式，一道填空考查原函数，一道填空、一道大题考查第二类换元法。 求不定积分一般遇到分母复杂分式一般使用平方差（a2-b2=（a+b ）（a-b ））或立方差（a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2））就可以约去分子。 凑微分就是复合函数里导乘外导，里导先不乘的写法)('x ?dx=d )(x ?。 第二类换元法就是凑微分的逆运算，把x 当成假设变量t 的复合函数，求里导， dt t t d dx )())(('??==。 2.定积分 ①牛顿-莱布尼茨公式 定积分的运算最基础的是掌握牛顿-莱布尼茨公式，这是定积分个不定积分的主要区别，根据牛顿—莱布尼茨公式，在求定积分的时候，正常按照不定积分求出被积函数的原函数，然后将给出的定积分的取值范围ɑ与b 的值代入，用)()(a F b F -求出被积函数的值。 )()()()(|a F b F x F dx x f b a b a -==? ，其中)(x F 为)(x f 的原函数。 ②奇、偶函数在对称区间上的积分 如果在考试中遇到积分区间是[-a ，a]这样的，前后是互为相反数，就可以根据函数的奇偶性在做题，奇函数（原点中心对称）就是指函数以原点为中心，x 轴上每两个正负对应的点，对应的y 轴数值是一正一负，也就是-f （x ）=f （-x ）。偶函数（y 轴轴对称）就是函数以原点为中心，x 轴上每两个正负对应的点，对应的y 轴数值相等。也就是f （x ）=f （-x ）。 若被积函数)(x f 在[-ɑ，ɑ]上为连续奇函数，则?-=a a dx x f 0)(。 如果被积函数)(x f 在[-ɑ，ɑ]上为连续偶函数，则??-=a a a dx x f dx x f 0 )(2)(。 指数函数奇偶性判定可以看指数，指数为奇数则为奇函数，指数为偶数，则为偶函数，其余需要特别记住的是，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 奇函数乘以偶函数，等于奇函数；奇函数乘以奇函数等于偶函数，偶函数乘以偶函数等于偶函数 ③分部积分法 分部积分法考查主要在定积分，求定积分时被积函数是两个相乘的形式，往往其中有一个没有原函数（常见lnx ），将这种形式看作是?b a dx uv '，一般来说，u 是没有原函数的，另一个给出 的函数看做是其原函数的导数v ’，例如给出的是2x ，就看做是（x 2）’，在计算的时候，令u 和v 相乘，（注意不是v ’），再减去一个定积分，这个定积分的被积函数是v （有原函数的变为原函数）乘以u ’的导数（没有原函数的进行求导）。然后还是用牛顿-莱布尼茨公式，将积分区间代入相减，那么就是?b a dx uv '=?-b a b a vdx u uv '|。这是根据函数乘积求导公式变形而来。 比如：3 16 388)3032(02|3|1|)(23 3332 320 32 02 2 22 0' 22 0= -=----=?-?=?=????x x dx x x x dx x x xdx x 如果不通过分部积分，直接算：3 160316232232|3222032 32 02 2 0=-=?-??==???x dx x xdx x 两种方式算出的结果一致，也应证了分部公式的正确性。 ④换元积分法 定积分的换元积分法和不定积分的第二类换元法相类似，遇到复杂函数式的时候，用字母代替复杂函数式来解答。 例如：已知函数f （x ）在区间[-3，3]上连续，则=?-dx x f )3(1 1？ 解析：设3x=t ，x=31t ，所以dx=3 1 dt ，关于x 的积分，x 在-1到区间1上，那么因为t=3x ， 所以t 的区间就是3到-3，所以 ?-3 3 )(31dt t f 。 ⑤反常积分 定积分函数积分区间有限，而反常函数往往积分上限（或积分下限）为+∞（或为-∞）。在求 反常积分的时候，我们可以设积分上限，即+∞为ɑ，变为定积分来求积分值。 ⑥变上限积分求导 变上限积分则是指积分上限为变量x 的积分，变上限积分求导则是最积分上限进行求导，变上限积分上限为x ，下限一般则为0，那么对上限x 求导，也就是对被积函数求导，求被积函数也就是求原函数，那么求原函数再求导相当于不变，所以变上限基本求导往往就是被积函数本身，但是要记得将被积函数的未知数字母换为积分上限的未知数字母。 知识点考查分布： 知 识点 题型 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 N —L 公式 填空 大题 两道选择 选择 两道填空 选择 奇偶函数积分 填空 填空 填空 填空 选择 分部积分法 大题 大题 大题 大题 大题 大题 换元积分法 选择 反常积分 填空 选择 填空 大题 变上限积分 选择 选择 选择，大题 选择 应试指导：定积分有一些比较基础的题目，知道计算出原函数代入积分上限减去积分下限就能做出来，我们要想办法拿到这部分分数，大概能得到小题的5分。大题也不要空着，不会做就抄一遍题目，试着简单的写一下，一般也能拿到1分。 六、其他 全微分 全微分就是分别求出x 的偏导和y 的偏导，后面分别加上dx 和dy ，加在一起dx+dy 。也就是： 对于函数),(y x z =，如果),(y x f 可微，那么有dy y z dx x z dz ??+??= . 全微分除了我们在2017年和偏导数结合考查大题之外，在2013，2016，2017年各出一道小题。 2. 二元函数的无条件极值 二元函数就是有x 和y 两个元，需要先求出函数的关于x 和y 的偏导数，然后使偏导数结果为0，得到驻点，我们讲过驻点不一定是极值点，所以需要检验驻点是否为极值点，将驻点代入 函数的二阶偏导数，求出),("),,("),,("y x y C y x y B y x y A yy xy xx ===，计算AC B -2的结果（混合偏导数的平方减去关于x 的二阶偏导数乘以关于y 的二阶偏导数），其中当结果小于0时，有极值点，A 小于0时，驻点为极大值点；A 大于0时，结果为极小值点。 因为二元函数这部分考查以大题为主，一般是10分题，给出标准得分步骤如下： 求二元函数的无条件极值的步骤 第一步：求),(),,(y x f y x f y x ，并解方程组???==0),(0),(y x f y x f y x ，求得一切驻点。 第二步：对于每一个驻点),(00y x 。求得二阶偏导数的值A ，B 和C 。 ),("),,("),,("y x y C y x y B y x y A yy xy xx ===. 第三步：定出AC B -2的符号，判定点),(00y x 是否极值点，若是，判定是极大值点还是极小值点，并求出极值),(00y x f 。 二元函数的极值，在2017年考查驻点，2013，2015，2016年考查大题。 3. 定积分的几何应用 ①定积分平面图形的面积 考试中常出现的题目是给出两条垂直于y 轴的直线（x=a 或y 轴），求曲线与这两条直线和x 轴组成的封闭图形。 如图16-1，将图形的最右侧坐标点为积分上限，最左侧最标点为积分下限，也就是大的数值为积分上限，小的数值为积分下限，以曲线)(x f y =为积分函数求值?=b a dx x f S )(即为面积。 如图16-2时，当曲线f （x ）在x 轴下方，f （x ）值为负数，而面积只能是正数，所以在f （x ）前面加负号，使最后得数为正，-1提到积分前面?-=b a dx x f S )(，而当图形如图16-3，既有在 x 轴上方，也有在x 轴下方时，分开来求面积，最后两个面积相加即可 ??-=+=c a b c dx x f dx x f S S S )()(21。总体来说，f （x ）应该取其绝对值，求得的面积才是正确的。 由曲线)(x f y =，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围图形面积为?=b a dx x f S |)(|。 （1）当0)(≥x f 时，?=b a dx x f S )(（如图16-1） （2）当0)(≤x f 时，?-=b a dx x f S )(（如图16-2） （3）当)(x f 有正有负时，??-=+=c a b c dx x f dx x f S S S )()(21（如图16-3） 图16-1 图16-2 图16-3 ②旋转体的体积 旋转体的体积主要有两种，一种是绕x 轴旋转，一种是绕y 轴旋转。 在x 轴上的旋转体，依然是把x 轴右侧坐标作为积分上限，左侧坐标做为积分下限，但是体积要记住是把曲线的平方作为积分函数，并且不要忘记前面乘π。 （1）由曲线)(x f y =，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所称的体积为dx x f V b a )(2?=π。 同理，当平面图形绕y 轴旋转时，旋转体的体积，还是把坐标轴上大的数字作为积分上限，小的数字做为积分下限，但在y 轴旋转，我们的积分对象就变成的y ，将关于x 的函数式y=...进行转化，变为x=...这样的形式，被积函数是曲线)(y x ?=的平方，前面要乘以π。 （2）由曲线)(y x ?=，直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围的平面图形绕y 轴旋转一周所称的体积为?=d c dy y V )(?π。 应试指导：二元函数的极值和定积分的几何应用是比较复杂的部分，我们将会的部分写在上面，或者简单的写一下已知题目，也可以得到1-2分。 无论基础好坏，总的来看80分目标大家一定要有，这个还是很容易的，冲刺目标是110分，基础比较好的同学完全可以向努力150分迈进。 天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin 第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8） ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ ------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020 高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换 成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线 性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们 贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ 高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特 征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000， 则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 |' x x y =，即)(0' x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c = 'y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e = 'x y e = (5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = (6)ln y x = 1'y x = (7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =- 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 [] ' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算 [] ' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 特别地：()()''Cf x Cf x =???? 商的导数运算 []' ''2 ()()()()() (()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? 特别地：()()2 1'()'g x g x g x ??-=???? 复合函数的导数 x u x y y u '''=? 微积分基本定理 ()b a f x dx =?F(a)--F(b) （其中()()'F x f x =） 和差的积分运算 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ?? 特别地： ()()() b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 积分的区间可加性 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在 高中数学必修2知识点 一：直线方程 1、直线的斜率 过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 且tan k α=，当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。天一专升本高数知识点
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