第七章弹性连续体振动的准确解
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第七章 弹性连续体振动的准确解
实际的振系都是弹性连续体系统，在很多情况下只是为了使问题简化，计算简便，才把它们简化成前几章所讨论的有限多的离散系统来分析。当需要对弹性体振动问题作严密的分析时，这时就需要作为连续系统来处理。
弹性连续体问题与离散体问题有不同的特点，弹性连续体的质量、刚度、阻尼是连续分布的，因之具有无限多个自由度，需用无限多个点的独立坐标来表确定，其运动微分方程需要用偏微分方程来描述，而离散体在力学模型上具有明显的集中质量和不计质量的弹性元件，其自由度有限，运动以与自由度个数相等的二阶常系数微分方程来描述。尽管如此，但两类问题在物理本质上是相同的，若把连续系统的质量分段聚集到有限个点上，各点之间用弹性元件连接起来便成为连续体，反之，离散系统当其质点数趋于无限多时就成为连续体，它们之间有相同的动力特性。n 自由度连续体系统有n 个固有频率及主振型，而连续体则有无限多个固有频率及主振型，连续体中也存在各个主振型之间关于质量矩阵、刚度矩阵的正交性，对弹性体的响应分析，主振型迭加法有效。
本章将研究具有以下三个条件的理想弹性连续体振动问题的求解：1.材料是均匀的，具有各向同性；2.应力不超过弹性极限、并服从虎克定律；3.变形是微小的且是连续的。具体是一维弹性体：轴、杆、梁等。至于其它类弹性连续体如板、壳等的振动问题，因涉及到弹性力学知识，本章将不予讨论。
7-1弦的横向振动
先研究最简单的弦的横向振动问题。设有理想柔软的细弦张紧在两个固定点之间，张力为T 0，跨长为L ，弦的单位体积的质量为ρ，橫截面面积为A ，如图7-1所示。建立xoy 坐标系如图示，以y （x ，t ）表示弦的位移，向上为正，由于是微振动，位移很小，弦的张力变换可忽略不计，即在整个振动过程中T 0保持不变。在弦上x 处取一微段dx ，其质量dm ＝ρAdx ，在任一微段两端作用着大小相等方向不同的张力T 0，根据牛顿运动定律，得
2200sin )sin(t
y
Adx T dx x T ??=-??+ρθθθ
由于微振动，有
dx dy tg /sin =≈≈θθθ
180
故有
2200)(t
y Adx T dx x T ??=-??+ρθθθ
代入x y
??=θ，简化后，即为 222
20t
y A x y T ??=??ρ 或写成
2
2
222t y a x y ??=?? （7-1） 式中A
T a ρ0
=
称为波沿弦长度方向传播的速度。 （7-1）式是弦的横向振动微分方程，通常称为一维波动方程。下面讨论波动方程解的具体形式。
波动方程的接通常用分离变量法得到，即假设解是由两个单变量函数的乘积构成，根据对有限自由度系统振动的了解，可设方程（7-1）的解为
y （x .t ）＝Y （x ）·T （t ） （7-2）
式中Y （t ）表示弦的振动，仅为x 的函数，而T （t ）表示弦的振动规律，是只与时间t 有关的待定常数。
将（7-2）式代入方程（7-1）式可得
2
22221dt T
d T dx Y d Y a = （a ）
上式中两个变量已分离，左边只依赖于t ，所以要使上式对任意的x 与t 都成立，则两边必须都等于同一常数，设此常数为－p 2（因为只有负值，才可得到谐振动方程），便得到如下两个常微分方程
02
22=+T p dt T d ，02222=+Y a
p dx Y d （b ） 由上列方程可分别解得
pt B pt A t T cos sin )(+= （7-3）
t a
p
D x a p C x Y cos sin
)(+= （7-4） 式中p 为弦自由振动的频率，A 、B 、C 、D 皆为积分常数。
波动方程的通解为
=?)(t x y )cos sin (pt B pt A + )cos sin
(t a
p
D x a p C + （7-5）
181
式中的p 及A 、B 、C 、D 可由弦振动的边界条件和初始条件来确定。对于图7-1所示的情况，弦的两边固定，边界条件为y （0·t ）＝0，y （L ·t ）＝0，因为0≠T ，所以Y （0）＝0及Y （L ）＝0。代入（7-4）式得D ＝0及
0sin
=L a
p
（7-6）
(7-6)式为弦振动的特征方程，即频率方程。解之得
πi a
L
p i = （i ＝1，2，……） 故得弦振动的固有频率
A
T L i L ia p i ρπ
π0
== （i ＝1，2，……） （7-7） 对应的主振型为
x L
i C x a p C x Y i i i π
sin sin
)(1== （7-8）
因为振型只确定系统中各点振幅的相对比值，故上式中无需带常数因C i 。前三阶主振型如图
7-2(a)、(b)、(c)所示。弦对应于各个固有频率的主振动为
L
x i pt B pt A t T x Y t x y i i i i i πsin
)cos sin ()()()(+==? 在一般情况下，弦的自由振动为无限多阶主振动的迭加
L
x
i pt B pt A t T x Y t x y i i i i i πsin
)cos sin ()()()(+==? （7-9） 其中A i 与B i 由振动的初始条件确定。设在初始时刻t ＝0，有
y(x,0)=f(x),
)()0,(x g x t
y
=??
x L
x Y π
sin
)(1=
x L x Y π
2sin
)(2=
x L
x Y π3sin
)(3=
于是有
182
)(sin )0,(),(sin )0,(1
1x g L x
i p A t x y x f L x i B x y i i i i i ==??==∑∑∞=∞
=ππ
由三角函数的正交性，有
?
?
??=≠=L
j i L j i L x j L x i 0
)(2/)(0sin sin ππ
由此可得
?
?
=
=L
i
L
i i dx L
x
i x g p L A dx L x i x f B 0
sin
)(1
2,sin )(ππ (7-10) [例7-1] 张紧弦如图7－3所示，现把弦从它的初始位形突然释放，求弦的自由振动响应。
解：弦的初始位形可表示为
???????≤≤-≤≤=)6).((56)6
0(,6)0,(00
L x L x L L
y L x x L y x y
0)
0,(=??t
x y 由（7-10）式求得
A i ＝0 （i ＝1，2，……,∞）
6sin )(572sin
)(512sin
126
/2
02
06
/0
2
0π
πππi i y dx L x i x L L y dx L x i x L y B L
L L i ?
?
=-+=
(i=1,2,……) 因而弦的自由振动响应可表示为
)4sin 16866.03cos 3sin 912cos 2sin 4866.0cos
sin 21(572),(0
00
020??????++++=
t A
T L
x
t A T L L x t A
T L
L x t A T L L x y t x y ρπρππρπ
πρπ
ππ
7-2杆的纵向自由振动
本节讨论均质等截面细长直杆的纵向自由振动。设杆长为L ，横截面积为A ，单位体积
质量为ρ，拉压弹性模量为E ，如图7-4所示。杆中心线为x 轴，杆左端为原点0，假设杆在振动过程中杆的横截面只有x 方向的位移，而始终保持平面，并略去由于杆的纵向伸缩引起的横行变形。以u （x ，t ）表示x 处截面的纵向位移。在x 处取微段dx ，分析其受力状态，在x 截面与x ＋dx 截面上的内力分别为N 与dx x
N
N ??+
，
183
微段的轴向应变x
u
??=
ε，微段的轴向应力x
u
EA
E ??==εσ，故 x
u
EA
A N ???＝＝σ 根据牛顿运动定律，可得
dx
x
u EA )dx x u (EA x N N dx x u N u Adx 2222??=????=??=??+=??dx x t －ρ
或 2
222x
u
EA t u A ??=??ρ 或 2
2222x u a t u ??=?? （7-11） 式（7-11）即为杆纵向自由振动微分方程，亦为波动方程，与方程（7-1）的形式完全相同。式中：a ＝E P /为波在杆件中沿X 轴的传播速度。将（7-1）式中的y 代以u ，就可直接得到（7-11）式的解为
u(X ，t)＝U （X ）T （t ）
式中U （X ）为主振型函数， T （t ）＝Asinpt+Bcospt ， U （x ）＝Csin
x a p +Dcos x a
p
)cos sin )(cos sin
()(pt B pt A x a
p
D x a p C t x u ++=? （7-12）
完全与弦的振动类似，（7-12）中的p 及积分常数由问题的边界条件与初始条件确定。
［例7－2］图7-5所示一端固定，另一端弹性支承，刚度系数为K 的直杆，求系统的纵向自由振动的固有频率与主振型。
解：系统振动微分方程的解由（7-12）式给出。以下根据杆右端的不同约束情况，分别给出相应的边界条件及对应的解。
1、杆右端为弹性约束情况
边界条件：在x=0处，u （0，t ）＝0即U （0）＝0，在x ＝L 处，杆受到弹簧力－Ku （L ，t ）的作用，即
),()
,(t L ku x t L u EA
-=?? 即 )()
(L kU dx
L dU EA -=
184
因 x a p D x a
p C x U c o s s i n )(+=，代入两个边界条件后得D=0，及频率方程
L a p K L a p a p EA sin cos -=
上式可写成
KL EA a
pL
a pL tg //
)/(= 令α＝－EA ／KL ，对应于给定的α值采用试奏法不难找到各个固有频率p i 值。也可采用下述作图法求出。
由方程 a a
pL a pL tg
-=，以 pL ／a 为横坐标，a
pL
tg =为纵坐标，作
出a pL tg =和－a a
pL
两个图形，如图
7-6所示，得到两个图形交点的横坐标
pL ／a 便可求出各阶固有频率。相应的主振型为
x a
p x U i
i sin
)(= 2.右端无弹力情况 此时杆右端自由，边界条件为00==x u ，
0=??=l
x x
u ，代入式a
pl
k l a p a p EA
sin cos -= 有 0c o s =l a p a p EA
，所以频率方程成为0cos =L a
p
，可得出 2
)12(π-=
i a L p i ，则ρ
π
πE
L i L a i p i 2)12(2)12(-=-= （i ＝1,2,…）
相应的主振型为
U x L
i x 2)12(sin
)(π
-= （i ＝1,2,…） 3.右端固定情况 边界条件为 U x ＝0＝0， U x ＝L =0。频率方程成为
,0sin
=L a
p
πi a L p i =
ρ
π
πE
L
i L a i p ==
1 （i ＝1,2,…）
185
相应的主振型为
x L
i x U i π
sin
)(= （i ＝1,2,…） ［例7-3］图7-7所示为一端固定，另一端带有集中质量的杆，求该系统的固有频率。
解：系统振动微分方程的解为（7-12）。由于在振动时杆端附加质量产生惯性力，故边界
条件：x=0处，U （0，t ）＝0，即U （0）＝0；X=L 处，2
2),(),(t
t L u M x t L u EA ??-=?? 代入（7-12）式，得
D=0
及频率方程
a
pL
Mp a pL a p EA
sin
cos 2= 由于ρ
E
a =
2
， E=ρa 2 代入整理后得
a
pL
tg
a pL M
AL
=
ρ 上式作变为杆的质量与附加质量M 的
比值，是给定的值。该频率方程的根可以用前述的作图法求出。设ρAL ／M ＝α，PL ／a ＝β，则频率方程为tg β=β/α。例如取α＝1，则以β为横坐标，作出tg β和1／β的两条曲线，如图7-8所示，得到两条曲线的交点β1、β2、……，便可求得各阶固有频率p i (i=1,2, ……∞)。从图中可得β1＝0.860，即第一阶固有频率为
ρ
βE
L
L a L a p 860
.0860.011===
第二、三阶固有频率相应为
ρ
E
L
p 460.32=
， ρ
E L p 437.63=
7－3 轴的扭转自由振动
本节讨论等截面直圆轴的扭转自由振动，圆轴长为L ，半径为r ，轴的单位体积的质量为ρ，
剪切模量为G ，截面的极惯性矩为J P 。取圆轴的轴心线为X 轴，如图7-9所示。以θ（X ，t ）表示x 处截面的转角，取微段dx ，则在x+dx 截面上的转角为dx x
??+
θ
θ
，故微段两端的相
186
对扭转角为 dx x dx x d ??=-??+
=θθθθθ)( ，由材料力学知，轴的扭转应变为x
??θ
，x 截面上的扭矩
x
GJ M P
t ??=θ
，在x+dx 截面上的扭矩为dx x
GJ M dx x M M P t t t 22??+=??+θ
，
圆截面微段对x 轴的转动惯性量 I P ＝ρJ P dx ，根据定轴转动微分方程
式可得
t P t P M dx x
GJ M t dx J -??+=??=)(2222θ
θρ
即 2222x
G t ??=??θ
θρ
令 a 2＝G ／ρ，a 为扭转弹性波的传播速度，则上式可写成
22222x
a t ??=??θθ （7-13） （7-13）式即为轴扭转自由振动微分方程，亦为波动方程，与前述杆的纵向自由振动及弦的
横向自由振动方程的形式完全一样。故解的形式也一样，只是以θ代替U 或Y ，现直接写出（7-13）的解
=),(t x θ○
H (x)pt B pt A x a
p
D x a p c t T cos sin )(cos sin ()(++= （7-14）
式中○H (x)为主振型函数，p i 及各个积分常数由边界
条件及初始条件来确定。
［例7-4］图7-10所示为一端固定，另一端自由的等直圆截面轴，在自由端作用有扭矩M 0，在t ＝0时突然释放，求系统的固有频率、主振型以及自由端的振幅。
解：1.轴端的边界条件：x ＝0处，θ（0，t ）＝0 ；x ＝L 处，自由端的剪应力为零，即
,0),(=??x t L θ 代入（7-14）式，可得 D=0及0cos =L a
P
。 由此可得固有频率
ρ
π
G
L
i p i 2)12(-=
( i=1,2，……
)
187
及相应的主振型
○
H （x ）＝x L
i π
)12(sin - （i=1,2，……） 2.求自由端振幅：求出一般情况下的运动规律。 代上式于（7-14）式得
x L
i t p B t p A t x i i i i i 2)12(sin
)cos sin (),(1
π
θ-+=∑∞
= （a ） 根据给定的初始条件
0)
0,()()0,()(0
=??=
=
=t
x x g x GJ M x x f p
θθ 代入（a ）式，有
x GJ M x L i B P
i i 0112sin
=-∑
∞
= （b ）
01
2sin
1
=-∑∞
=x L
i P A i i i （c ）
由（c ）式要求任意给定的x 都成立，必须A i ＝0，由（b ）式利用三角函数的正交性及（7-10）式，可得
P
i P L
P
i GJ M i L i i L LGJ M xdx L i x GJ M L B 0
221
22200
)12(8)1(2
)12(sin
)12(422)12(sin 2ππ
ππ--=
--=-=
-?
（i=1,2，……）
代回（a ）式，得系统响应
P
GJ L
M t x 208),(πθ=
x L i i i i 2)12(sin )
12()1(12
1π
---∑∞
=-·t G
L i ρ
π2)12(cos -
在自由端即x ＝L 处振幅极大，且当12)12(cos
=-t G
L
i ρ
π
时，θ为最大，即
2)12(sin )
12()1(82
1102max
ππθ---=-∞=∑i i GJ L M i i P P
P P GJ L
M GJ L M GJ L M 02020288)251911(8==+++=πππ
188
7－4 梁的横向自由振动
现在来讨论等截面细直梁的横向自由振动。所谓梁的横向振动是指细直梁作垂直于轴线方向的振动，其主要的变形是梁的弯曲，因此亦称弯曲振动。在分析这种振动时，假设梁具有对称平面，梁的轴线在振动过程中始终保持在此平面内，还假设梁的长度与横截面尺寸之比较大，可忽略转动惯量与剪切变形的影响。同时假设梁作微幅振动，故可采用材料力学中梁弯曲的简化理论。如图7-11所示，取梁未变形时的轴线方向为x 轴（向右为正），在对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正），以横向位移y 作为广义坐标，并设梁的横截面积为A ，单位体积的质量为ρ，EJ 为截面抗弯刚度。
现从梁上x 截面处截取微元段dx ，其受力状态如图示，图中所示弯矩M 、剪力Q 均按正方向表示，根据牛顿运动定律，在Y 方向的运动方程为
22)(t
y
A dx x Q Q Q ??=??+-ρ
即
22t
y
A x Q ??-=??ρ (a)
微元段dx 的转动方程（忽略截面转动惯量的影响）为
0=--??+
Qdx M dx X
M
M 即
x
M
Q ??=
(b) 将（b ）代入（a ）式得
222
2t
y
A x M ??-=??ρ （c ） 由材料力学知
2
2X y EJ M ??=
代入（c ）式得
189
222222)(t
y A x y EJ x ??-=????ρ 或
0)(222222=??+????t
y
A x y EJ x ρ (7-15) 方程（7-15）就是梁横向自由振动微分方程。对于均匀等截面梁则方程变为
02244=??+??=t
y A x y EJ ρ
若令
2a A
EJ
=ρ，则方程又可写成 o t y
x y a =??+??2
2442
（7-16）
方程（7-16）为四阶偏微分方程，采用分离变量法求解。设解的形式为
y （x,t ）=Y(x)T(t) （7-17） 将上式代入（7-16）式，得
0)()(244
42
=+dt
T
d x Y dx Y d t T a 分离变量法后，方程变为
)(/)(/2
2242
t T dt
T
d x Y dx Y d a -= 要使上面方程成立，方程两边必须等于同一常数，设常数为p 2，并令p 2／a 2＝λ4，于是有
022
2=+T P dt
T
d （7-18） 及
04
4
4=-Y dx
Y d λ （7-19） 如前所述，方程（7-18）的解为
T （t ）=AsinPt+BcosP （7-20）
方程（7-19）为四阶常微分方程，它的解可设为Y ＝e sx
，代入（7-19）式得
S 4－λ4＝0
它的四个根为
190
S 1，2＝±λ， S 3，4＝±i λ
于是（7-19）式的解为
x i x i x x
e D e D e D e D x Y λλλλ--+++=4321)( （d ）
因为
x i x e x sh x ch e
x i x
λλλλλλsin cos ,+=±=±±
所以（b ）式可改写成常用的形式
x ch c x sh c x c x c x Y λλλλ4321cos sin )(+++= （7-21） 将（7-20）、（7-21）式代回（7-17）式得
)cos sin ()cos sin (),(4321pt B pt A x ch c x sh c x c x c t x y +?+++=λλλλ （7-22）
式中有六个待定常数，其中A 、B 取决于振动的初始条件，c 1、c 2 、c 3、c 4取决于梁的边界
条件。
常见的等截面梁的边界条件有：
1．固定端：位移与转角等于零， 即 Y=0 及
0=dx
dY
2．简支端：位移与弯矩等于零， 即 Y=0 及 02
2=dx Y
d 3．自由端：弯矩与剪力等于零， 即
022=dx Y d 及 03
3=dx Y
d 在具体考察各种支承情况下梁的横向自由振动固有频率与主振型之前，先将边界条件中
要用的Y （x ）的各阶导数列出如下：
x
sh c x ch c x c x c x Y x ch c x sh c x c x c x Y x
sh c x ch c x c x c x Y λλλλλλλλλλλλλλλ43213432124321sin cos ()(cos sin ()(sin cos ()(+++-='''++--=''++-=' （7-23） 下面分别研究几种不同支承的梁的横向自由振动固有频率与主振型。
1.两端简支梁：
边界条件为Y （0）＝0，;0)(,0)(,0)0(=''==''L Y L Y Y 代入（7-21）式及（7-23）式得
C 2＝C 4＝0
及
0sin 31=+L sh C L C λλ
191
0sin 31=+-L sh C L C λλ
因为当λL ≠0时，Sh λL 不为零，故得C 3＝0，于是可得特征方程sin λL ＝0，它的根为
πλi L i = （i ＝1，2……）
因为 λ4＝p 2／a 2，故固有频率为
A
EJ
L i a p i
i ρπλ2
2
22=
= （i ＝1，2……） （7-24） 相应的主振型为
x L
i x x Y i i π
λsin
sin )(== （i ＝1，2……） （7-25）
其前三阶主振型如图7-12所示。
2. 两端固定梁：
边界条件为 Y(0)=0，Y （L ）＝0，Y'（0）＝0，Y'（L ）＝0。代入（7-21）式，得C 2
＋C 4＝0及C 1＋C 3＝0，故有C 2＝－C 4及C 1＝－C 3，代入（7-23）式，并利用上述关系，得
?
??
=++-=-+-0)(sin )cos (0cos ()sin (4343L sh L C L L ch C L L ch C L L sh C λλλλλλλλ （e ）
若上式对C 1、C 2有非零解，它的系数行列式必须为零，即
L
L ch L L sh λλλλcos sin --
0sin cos =+-L
sh L L L ch λλλλ
将上式展开简化后得频率方程
cos λLch λL=1
这是一个超越方程，常用图解法求它的根。为此将上式改写成
L
ch L λλ1
cos =
以λL 为横坐标，作出cos λL 和1／ch λL 的两条曲线，如图7-13所示；两条曲线的各个交点的横坐标，就是这个方程的解。由此求得固有频率。几个最低的特征根如表1示。
192
其中对应于i ≥2的各个特征根可足够准确地取为
πλ)2
1(+=i L i （i ＝2，3，……）
梁的固有频率相应取为
A EJ p i
i ρλ/2
= （i ＝1，2，……） （7-26）
求得各个特征根后由（e ）式可确定系数C 3、C 4的比值。即
L
L ch L
sh L L L sh L L ch C C i i i i i i i i i λλλλλλλλcos sin
sin cos )(
43-+-=---= 故与p i 相应的各阶主振型函数可取为
L
L ch L
L sh x x ch x Y i i i i i i i λλλλλλcos sin cos )(-+-
-=(sin λi x －sin λi x) (7-27)
它的前三阶主振型，如图7－14所示。
3. 一端固支，一端自由梁：
边界条件为Y （0）＝0，Y'（0）＝0，Y"（L ）＝0，Y"'（L ）＝0；代入（7-21）式得C 2＋C 4＝0，C 1＋C 3＝0；可得C 2＝－C 4，C 1＝－C 3 ，代入（7-23）式并利用上述关系，得
?
??
=--+=+++0)(sin )(cos 0)(cos )(sin 4343L sh L C L ch L C L ch L C L sh L C λλλλλλλλ （f ）
具有非零解的条件为
L
ch L L sh L λλλλ++cos sin
L
sh L L ch L λλλλ+-+sin cos ＝0
展开简化后得频率方程
1cos -=L Lch λλ
它的根可用作图解法求出如表2所示
193
表2
其中，对于i ≥3的各个特征根可足够准确地取为
πλ)2
1(-≈i L i
悬臂梁的固有频率相应地为
A EJ P i
i ρλ/2
= （i ＝1，2，……） （7-28）
求得各特征根后由（f ）式可确定系数C 3、C 4 的比值。即
L
ch L L
sh L L sh L L ch L C C i i i i i i i i i λλλλλλλλ+-=++-=cos sin sin cos )(
43 故与p i 相应的主振型可取为
L
ch L L
L sh x x ch x Y i i i i i i i λλλλλλ+--
-=cos sin cos )()s i n (s i n x x i i λλ- （7-29）
它的前三阶主振型如图7-15所示
4. 两端自由梁：
边界条件为Y"（0）＝0，Y'"（0）＝0，Y"（L ）＝0，Y"'（L ）＝0；代入（7-23）式得
－C 2＋C 4＝0，－C 1＋C 3＝0；
故有
C 2＝C 4，C 1＝C 3
?
??
=++-=-+-0)sin ()cos (0)cos ()sin (4343L L sh C L L ch C L L ch C L L sh C λλλλλλλλ （g ）
具有非零解的条件为
L
L ch L L sh λλλλcos sin --
L
L sh L L ch λλλλsin cos +-＝0
展开简化后得频率方程
194
cos λLch λL=1
上式与两端固定梁的频率方程完全相同，这表示两端自由梁的固有频率与两端固定梁相同，只是自由梁有对应于刚体运动的λi L=0的零根（见图7-13）。其特征根为
求出各特征根后，由（g ）式可确定系数C 3与C 4的比值。即 L
L ch L L sh L L sh L L ch C C i i i i i i i i i λ
λλλλλλλcos sin sin cos )(
43-+-=---= 故与p i 相应的主振型函数可取为
L
L ch L
sh x x ch x Y i i i i i i λλλλλcos cos )(--
+=)sin (x x sh i i λλ+ （7-30）
它的前三阶主振型如图7-6所示。
5. 一端固定、一端简支承
边界条件为：Y （0）＝0，Y'（0）＝0，Y （L ）＝0，Y"（L ）＝0；可解出这种梁的频率方程为
tg λ
L=th λL
亦可用图解法求出其特征根为
λi L ≈π)4
1
(+
i （i=1，2，……） 相应的固有频率为
A
EJ
L i P i ρπ2
2
2)41(+=
（i=1，2，……） （7-31） 相应的主振型函数为
195
L
L sh L
L ch x x ch x Y i i i i i i i λλλλλλsin cos cos )(++-
-=)sin (x x sh i i λλ- (7-32)
它的前三阶主振型如图7-7所示。
由以上分析可见，不同边界条件的梁在横向自由振动时的固有频率计算公式形式相似，均可表示为
A
EJ
L L p i i
ρλ2
2
2)(=
（i ＝1，2，……） 在不同的边界条件下只是（λi L ）2的形式有所不同。
［例7-5］设在悬臂梁的自由端具有横向弹性支承，其弹簧刚度为K ，如图7-18所示。试导出系统的频率方程。 解：取坐标如图所示，由固定端的边界条件Y （0）＝0，Y'（0）＝0可知，在（7-21）式中 C 1＝－C 3，C 2＝－C 4。在弹性支承端，弯矩为零，而剪力就是弹簧力，按截面剪力的正负号规定，当y （L ）为正（负）时，弹簧力向下（上），作为剪力应取正（负）号，故弹簧支承端的边界条件为：
Y"（L ）＝0 ，EJY'"（0）＝KY （L ） （h ）
代入（7-23）式并应用C 1＝－C 3，C 2＝－C 4的关系，可得
)]cos ()sin ([)]sin ()cos ([0)cos ()sin (433343=---++-+=+++c L L ch k L L sh EJ c L L sh k L L ch EJ L L ch c L L sh c λλλλλλλλλλλλλλ 具有非零解的条件为：
)
s i n ()c o s (s i n 3
L L sh k L L ch EJ L
L sh λλλλλλλ--++
)
c o s ()s i n (c o s 3
L L ch k L L sh EJ L
L ch λλλλλλλ---+＝0
展开化简后得
0)cos sin ()cos 1(3=-++L L sh L L ch k L L ch EJ λλλλλλλ
或写成
L
L sh L L ch L
L ch EJ k λλλλλλλcos sin cos 13
-+=-
（i ） 上式即为所求的频率方程。
196
注意到，当k ＝0时，上式转化为1＋ch λLcos λL ＝0，它就是悬臂梁的频率方程。又当k →∞时，弹性支承端就相当于铰支座端，这时又转化为0cos sin =-L L sh L L ch λλλλ，或写成tg λL=th λL ，即为一端固定、一端铰支梁的频率方程。
［例7-6］设在悬臂梁自由端附加集中质量m ，如图7-19所示。试求其频率方程。 解：取坐标系如图示，由固定端的边界条件Y （0）＝0，Y'（0）＝0，可知在（7-21）式中，C 1＝－C 3，C 2＝－C 4。在附加集中质量m 的梁端，弯矩为零，而剪力就是质量m 的惯性力，这一惯性力表示为
),()
,(22
2t L y mp t
t L y m =??- 按截面剪力的正负号规定，当y （L ）为正时，惯性力mp 2y （L ，t ）向上，作为剪力应取负号。故梁附加支梁端的边界条件为
Y"（L ）＝0，EJY"'（L ）＝－mp 2y （L ） （j ）（j ）式与例7-5中（h ）式相比，差别仅在于将（h ）式中的k 换成为－mp 2。于是，将例7-5中（i ）式的k 换成－mp 2就可得到本例的频率方程，即有
L
L sh L L ch L L ch EJ mp λλλλλλλcos sin cos 13
2-+= （k ） 如令
βρ=AL
m
，这表示为附加质量与梁质量之比，则 42
2λββρL EJ
ALp EJ mp == 代入（k ）式可改写成
L
L sh L L ch L
L ch L λλλλλλλβcos sin cos 1-+=
（1）
7－5 主振型的正交性
在第五章中讨论过有限自由度系统中主振型的正交性这一特征，在弹性连续系统中也同样有这一重要特性。但在弹性连续系统中主振型正交性为积分的表达形式。下面仅就梁的横向自由振动的主振型函数论证其正交性。在讨论中，设梁截面可以是变化的，即EJ 及ρA 可不必为常数。
设Y i （x ）及Y j (x)分别代表对应于第i 阶和第j 阶固有频率p i 及p j 的主振型函数，则它们必定满足下列方程。
0)(2
2222=AY p dx
Y d EJ dx d ρ （733） （7-33）式是根据方程（7-15），并假设解
197
)cos sin )((),(pt B pt A x Y t x y +=
代入方程而得到。故有
i i i AY p dx
Y d EJ dx d ρ2
222)(= 或写成
i i i AY p EJY ρ2)(=''"
（a ）
j j j AY P dx
Y d EJ dx d ρ2
2222)(= 或写成
j j j AY p EJY ρ2)(=''"
（b ）
用Y j （x ）乘（a ）式，并在梁全长进行分部积分，得
dx
Y AY p dx Y EJY EJY Y EJY Y dx Y EJY EJY Y dx EJY Y j L
i i i L
j L i j L i j j i L L i j L
i j ??
??
=""+"
'-
'"=''"-'"
=''"0
20
)
(])([)(]
)([)(ρ （c ）
再用Y i （x ）乘（b ）式，并在梁全长进行分部积分，得
dx
Y AY p dx Y EJY EJY Y EJY Y dx Y EJY EJY Y dx EJY Y j L
i j i L
j L j i L j i i j L L j i L
j i ??
??
=""+"
'-
'"
=''"-'"
=''"0
2
00
)
(]
)([)(]
)([)(ρ （d ）
将（c ）、（d ）两式相减得
L j i i j L j i i j j i L j i EJY Y EJY Y EJY Y EJY Y dx Y AY P P 0
22)]
(()[(]
)()([)("'-"'-'"-'"=-?ρ （e ）
上式右边实际上是梁的边界条件即X ＝0和X ＝L 的端点条件，对于梁的边界是固定、简支
或自由，上式右边都等于零。因此，只要i ≠j ，P i 2≠P j 2,便有
0)()(0
=?
dx X Y x AY j i L
ρ （i ≠j ） （7-34）
这就是在简单支承条件下梁的主振型对于质量ρA （x ）的正交性条件。
将（7-34）式代回（d ）式，便得
0:)()(])()[(0
="
"=''"
??
dx x Y x EJY dx x EJY x Y j i L j L
i （i ≠j ） (7-35)
这就是在简单支撑条件下，梁的主振型对于刚度EJ （x ）的正交性条件。
对于等截面梁，ρA 与EJ 均为常数，则主振型的正交性条件就简化为
0)()(0
=?
dx x Y x Y j i L
（i ≠j ）
（7-36）
198
0)()(0
="
"?
dx x Y x Y j i L
（i ≠j ）
（7-37） 当i ＝j 时，式（e ）自然满足。这时，可令
?
=L
i i M dx x AY 0
2)(ρ，i L
i K dx x Y EJ =?20
'')]([ （7-38）
M i 称为第i 阶主振型的主质量，K i 称为第i 阶主振型的主刚度。由式（c ）或（d ）可见
2/i i i p M K =。
通常，为了运算方便，将主振型正则化，可取
?
=L
i dx x AY 0
21)(ρ （7-39）
将（7-39）式代回（c ）式，得
220
''0
"")]([)()(i L
i L
i i p dx x Y EJ dx x Y x Y EJ
==?
? （7-40）
以下讨论不同支承情况时振型函数正交性的表达式。
1. 当梁的两端为弹性支承时，边界条件为
,0)()("=L Y L EJ )()]()(['"L kY L Y L EJ =
将它代入式（e ）及式（c ），可得
??
???
=+=??
L
j i j i L
j i L Y L kY dx x Y x EJY dx x Y x AY 0"
"0
0)()()()(0
)()(ρ (i j ≠) (7-41) 2. 当梁的L 端具有附加质量m 时，边界条件为
,0)()("=L Y L EJ )()]()([2'"L Y mp L Y L EJ -=
将它代入式（e ）及式（c ），可得
??
?
??==+?
?L
j i L
j i j i dx x Y x EJY L Y L mY dx x Y x AY 0
"''00
)()(0)()()()(ρ (i j ≠) （7-42）
上面讨论的是梁横向自由振动的主振型正交性条件。用同样的方法也可推导出在简单支承条件下杆纵向自由振动及圆盘扭转自由振动时的主振型正交条件为
对于杆纵向振动：
?
?
?
??==?
?L
j i L
j i dx x U x EAU dx x U x AU 0
''00)()(0)()(ρ (i j ≠) (7-43)
第6章--弹性体的一维振动题解
第6章--弹性体的一维振动题解
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ??得2 i D Al ρ= 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πη ρ=?&2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定；
127 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l i cos Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ?--==l i i i i i l AV C dx l x i AVC 0 2 1 )1(22cos )0(π ρπρη& ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2 1 2i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞ =-∞ =∞ =-== =πππππρπηi 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
第四章 连续体的振动
第四章连续体的振动 拉格朗日（https://www.wendangku.net/doc/7f17012137.html,grange):1762年建立了离散系统振动的一般理论． 对连续系统研究最早的是弦线的振动 达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解 伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解 1759年拉格朗日（https://www.wendangku.net/doc/7f17012137.html,grange):从驻波解推得行波解 1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究 伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数 奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．
本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件 ①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律 §4.1 弦的振动 T (,)q x t 讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力 的作用 (,) q x t y x dx x dm Ads ρ=第四章连续体的振动
设弦的密度为ρ（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。 则弦上的任意一点的位移y 应为位置x 与时间t 的函数，即 (,) y y x t =2 2 ()()dm Ads A dx dy Adx ρρρ==+≈(,) (,)y x t x t tg x θθ ?=≈?y [,]x x dx +沿方向作用在微小区间的外力之和为 (,) [(,)](,)(,)(,)(,)x t T x t dx T x t q x t dx x x t T dx q x t dx x θθθθ?+-+??=+?
弹性体的一维振动题解
习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ?? 得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πηρ=?2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 22i i ,... 3,1i i i ,... 3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2=
第三章 弹性体的振动
第三章 弹性体的振动 §3.1 弦的振动 3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程 在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。因而，它们的解法也不完全一样。除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。 弹性体按其构型可分为： （1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。 （2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。 （3）三维构型，三向尺寸相当。它是各类实体结构。 最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。受常张力作用的弦是一种一维弹性体。从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于 x T dx ),(t x w e df dx x w T df x e 2 2??= （3.1） 图3.1 弦的横向振动 设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是 m dx t w m df y 2 2???= （3.2） ·1·
根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是 02 22 2=+?????f t w m x w T x （3.3） 其中是作用在弦上的横向分布载荷。 ),(t x f 3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程 弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能 i U dx x w x w T U x L i ????= ∫210 （3.4） （2）弦的动能T dx t w t w m T L ????= ∫210 （3.5） （3）弦的外力功 e W L L L x L e w fwdx w x w T fwdx W 00 00 ||τ+=??+= ∫∫ （3.6） 其中τ=??x w T x 是张力的垂直分量。弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t )(0 +?= ∫ 由哈密尔登作用量原理给出 0}|]2121[{00 =++?????????=∫∫∫dt w dx fw x w x w T t w t w m Ldt L x L t t τδδ （3.7） 上式给出能量泛函的极值条件。经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。动能作用量的变分等于 dx w t w m wdx t w m dxdt x w t w m t t L t L }|{)(02 20 000 δδδ??+???=????∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于 dt w t w T wdx x w T dxdt x w x w T L x x L t x t L }|{020 000δδ??+??? =????∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得 ||)(}{0000222200 =??+???++?????∫∫∫∫ dx w t w m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L L x t x t L δδτδ （3.8） ·2·
第8章 弹性体振动
第八章 弹性体振动 §8-1 概述 任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。 多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。 x x ) a ) b (( 图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型 从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。 从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。 从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。 在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。
连续体振动讲解
Vibration of Countinuous System 1. Euler—Bernoulli Beam Euler—Bernoulli运动过程中没有考虑剪切效应的影响。 Euler—Bernoull Beam：变形前垂直于梁中心线的截面在变形后仍保持垂直于梁的中心线。 Timoshenko Beam：Euler—Bernoull 梁中并没有考虑梁的剪切变形，在实际工程中，会存在梁的剪切变形，变形后截面与中心线存在一个夹角，截面的转角变为 y x θγ ? =- ? 中性面定义：+++ 变形的几何关系： 假设距离中性层距离为h的层为b b -。根据平面假设，单元体d x变形后层面b b -为b b '' - 其中，dθ为变形的角度 b b o o h C C' dθ o o'o' b' b' M M R h A' B' A ?B?
M C 应变的表达式为 ()d -d d R h R h R R θθεθ+= = 弯矩的表达式为 2d d d A A A E EI M h A h E A h A R R σε=== =??? 其中，I 为截面的惯性矩。 转角的表达式，A 点的转角为A ?，B 点的转角为B ? A y x ??= ? 对于B 点，假定转角对位置坐标线性变化，有 2 2 d d A B A x x y y x x x ????=+ ???=+?? 因此，弯曲的角度d θ表示为 22d d B A y x x θ???=-=? 由于梁弯曲变形为小变形，有如下 d d R x θ= 得到 221y R x ?=? 得到弯矩的表达式
2M EI x =? 1.1 Newton 2th law Equation. y x 取长度为L 的梁中的微元体研究，单元体的长度为d x 。假定受到与位置坐标x 相关的载荷()p x 的作用，考虑到变截面梁，假定截面面积为()A x 。梁的密度表示为位置坐标x 的函数()x ρ。单元体受力情况如图++所示。其中M 为弯矩(bending)，V 为剪力(shear force) 这里认为弯矩M 与剪力V 在位置坐标系下随x 线性变化，因此单元体右端的弯矩和剪力分别表示为如下形式 d right M M M x x ?=+ ? (1)
第6章 弹性体的一维振动题解
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~i i ==π（ 由归一化条件2 sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ??? ? 得i D = 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2 x)U ~ i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i A V D xdx l πη ρ=? 2i l A V D i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,... 3,1i 2 2 i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ == = = πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,…
第三章 弹性体振动学
第3章弹性体振动学简介 在以上的讨论中，我们都包含着这样的假定：振动系统的质量是集中于一点的，即质量块的密度分布是均匀的；弹簧的压缩与伸长也是均匀的。当然，涉及的其他参量，例如摩擦阻尼的分布同样也应是均匀的。总而言之，描述系统的参量都作为同空间分布无关的集总参数处理的。这种系统，我们称之为集总参数系统②。在这种情况下，整个系统的运动只要 一个时间变量‘就可以完全描述。采取这种简化的方法处理问题，可以避免繁杂的数学运算，并可获得研究物体振动的一些基本规律。这在本章的开头就已经加以说明。 事实上，物体的大小是有限的，而且在一般情况下，其线度大多数都和声波的波长可以比拟。这时，“质点”的假定就不再成立。在许多情况下，质量在空间均有一连续的空间分布，甚至在空间某一部分的质量本身还具有弹性和阻尼，这种系统称为分布参数系统。具有这种性质的物体称为弹性体。例如，扬声器的纸盆与传声器的振膜，它们的质量在空间都是 连续分布的，而且质量的每一部分又具有弹性与阻尼的特性。描述这类物体的振动，如果只用时间一个变量，显然是不够的，还必须引入空间位置的变量。这时变量就将多达四个，即空间位置变量X、y、Z和时间变量‘，因此，问题的求解也比较复杂。 作为研究问题的理论基础，对于几何形状比较简单的弹性体，例如，弦、棒、膜等的分析研究。分析它们的振动规律，不仅具有重要的理论意义，而且对于实际问题的理解也是十分重要的。在录音中经常要遇到的各种乐器，从弦乐器、吹奏乐器直至打击乐器，无不涉及弹，r生体的振动问 本节不可能进行详细讨论，只想从物理意义上作某些介绍，以求有一概念 性的了解。需要深入了解的读者可参阅有关文献。 3.1 张紧的弦 所有的弦乐器，不论它是拉弦乐器、拨弦乐器还是敲弦乐器，几乎都是依靠张紧的弦振动发声的。一般地说，弦的振动方式有两种：一种是振动的方向与振动的传播方向(即与弦的方向)相一致，这种振动叫做纵振动；另一种是振动方向与振动的传播方向相垂直，这种振动称为横振动。尽管弦振动包含着这两种不同的振动形式，但在实际问题中，往往横振动 具有更加重要的意义。例如，对于拉弦乐器来说，重要的是应使其产生横振动，而应尽可能避免纵振动的产生。纵振动产生的音，比长度相同的弦的横振动产生的音要高得多。在演奏拉弦乐器时，如果同时激发了这两种振动方式，所发出的声音将会给人以一种很不愉快的感觉。初学小提琴者奏出的那种令人难受的声音就是一个典型的例子。 对于截面积与密度均匀、两断固定并张紧的弦而言，其振动方程是： (3．1．1) 31‘ C a2‘
第二章 弹性体动力学的变分原理
第二章 弹性体动力学的变分原理 §2.1 弹性体动力学的功能概念 第一章是从运动学、动力学、物理学等三个方面分析弹性体的各个力学量性质和相互关系，根据动量定理建立它的基本方程。这一章里将应用能量概念来分析弹性体动力学问题，根据能量变分原理来建立基本方程（控制方程）。首先介绍外力功、应变能、动能等三个弹性体的能量概念。 2.1.1 外力功的概念 弹性体上作用的外力一般地分为两类：一类分布在区域V 内的体积力f i ；一类作用在边界S 上的面积力i i 。在运动过程中弹性体发生微小位移du i ，外力在微小位移上所作的功，称为外力元功 ∫∫+=ΔV S i i i i e dS du t dV du f W (2.1) 弹性体在有限位移上外力所和的功是其元功的代数和，即 ∑Δ=e e W W (2.2) 一般情况下，外力可能是时间、速度和位移等的函数，（2.2）式不一定存在积分形式。只是外力是位移场变量的函数且具有位，积分形式才有意义。上述功的的对内力同样适合。 2.1.2 应变能的概念 弹性体的弹性性质是由它的本构关系所决定。它发生变形时，伴随产生力图恢复变形的弹性力，同时在弹性体内贮存一种位能，称为应变能。在1.5.2节已叙述了它的概念，应变能是个相对值，一般取初始构形（未变形构形）为零应变能构形，瞬时构形的应变能是该瞬时应变分量的函数，是变形过程中弹性恢复力所作的功，是个非负的标量。它为 ∫∫==V V kl ij ijkl ij ij ij i dV C dV U εεεσε21 21 )( （2.3） 它的一个重要特性是弹性体应变能与变形过程无关，取决于当时的应变状态。从热力学观点看，若弹性体变形过程是一个绝热过程，即它是与外界没有热交换的等熵可逆过程，它的应变能就是弹性体的内能。若弹性体变形过程是等温过程，则它的应变能是弹性体的自由能。 2.1.3 动能的概念 弹性体的惯性性质是弹性体的运动属性。它运动产生速度时，弹性体就具有一种运动