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高考数学复习专题 数阵与杨辉三角

高考数学复习专题 数阵与杨辉三角
高考数学复习专题 数阵与杨辉三角

高考数学复习专题 数阵与杨辉三角

数阵与杨辉三角主要考查我们视图、寻找规律的能力,要解好此类题目我们一定要从多方位结合题目表述来寻找规律。 一、高考例题

题目1:(2004上海春季高考)如图,在由二项式系数 所构成的杨辉三角形中,第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为3:2.

【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。 【规律总结】杨辉三角的性质和二项式定理的内容是 相同的,注意通项共式的使用。

【标准答案】根据题目表述,该数阵满足杨辉三角形,即

第n 行中从左至右第14与第15个数的比为13142

343n n C n C =?=

故答案为34.

题目2:(2004北京春季高考)下表给出一个“等差数阵”:

其中每行、每列都是等差数列,a ij

表示位于第i 行第j 列的数。

(1)写出a 45的值; (2)写出

a ij

的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。

(3)证明:正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 【命题意图】本题考查数阵、等差数列、数的分解问题。

【规律总结】研究数阵我们必须要就其规律性,主要是从某列或是某行入手。 【标准答案】(I )

4945=a

(2)该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列:)

1(341-+=j a j

第二行是首项为7,公差为5的等差数列:

)

1(572-+=j a j

第i 行是首项为)1(34-+i ,公差为21i +的等差数列,因此

j

i ij j i i a ij ++=-++-+=2)

1)(12()1(34

要找2008在该等差数阵中的位置,也就是要找正整数i ,j ,使得20082=++j i ij 所以

122008+-=

i i

j ,当1=i

时,得669=j

所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列

(3)必要性:若N 在该等差数阵中,则存在正整数i ,j 使得N i j j =++()21 从而2122121N i j j +=+++()=++()()2121i j 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

充分性:若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数k ,l ,使得212121N k l +=++()() 从而N k l l a kl =++=()21,可见N 在该等差数阵中

综上所述,正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 二、经典例题。

例1:如下图,它满足:

(1)第n 行首尾两数均为n ; (2)表中的递推关系类似杨辉三角. 则第n 行(n ≥2)第2个数是________.

【命题意图】本小题考查数阵中的规律问题。

【规律总结】要寻找数阵中数的规律,我们要从多方位入手,本题需要考虑每行中的第二个数即可。 【标准答案】由题意我们取出每行的第二个数2、4、7、11、16…….,其中令

22a =,则

32435424,37,411,a a a a a a =+==+==+=即()1(1)3n n a a n n -=+-≥

因此根据数列的知识可得:22

2n n n a -+=

例2:定义如下运算:

???????? ??=???????? ??????????? ??mk mk mk mk k k k nk n n n k k k mn m m m n n n z z z z z z z z z z z z z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x x x 333323122322211131211321333323122322211131211321333323122322211131211

其中

i

n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ,1,1(.332211≤≤≤≤++++= .

)*

∈N j . 现有n 2

个正数的数表A 排成行列如下:(这里用

ij

a 表示位于第i 行第j 列的一个正数,

),*

∈N j i nn

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a a a a a

321333323122322211131211,,,且各个等每竖列的数成等比数列数列其中每横行的数成等差比数列

的公比相同,若

,

163

,81,1434224===a a a (1)求

ij

a 的表达式(用i ,j 表示);

(2)若

????

???

?

??=?????

???? ??

????????? ??21

3231

2221

1211

32

321333

323122322211131211333

3231n n n nn n n n n n n b b b b b b b b n a a a a a a a a a a a a a a a a

1i b .),,1(2表示用n i n i b i ≤≤

【命题意图】本题考查数阵的规律探索问题以及错位相减求和。

【解法指导】要寻找数阵中数的规律,我们要从多方位入手,本题需要考虑行再考虑该行对应的列。

【标准答案】解:(1)

424313

,816a a ==

,且每横行成等差数列, ∴

442311(2)(

)16816j a j j a =+--=,

4441164a =

=,又244411,,4a a ==∴12q =(0q >)

441()2

2i ij j i j a a -==

(2)

11231232222i i i i i n n b =

?+?+?++?……

=222211(21)(1)(123)232i

i n n n n +++++++=?……

23

212333332222n

i i i i i n b =

?+?+?++

? ①

23

1

2121333322

22

3n n i i i i i n n b +-=

?+?++

?+? ②

②-①得

231211(333)332222n

n i i i i n b +=-

++++?-?……

21113313321322n n i i i n ++-?+?-?-=-111[(21)33]

2n i n ++-+=

1

221[(21)33]

2

n i i n b ++-+=

.

例3: (2003年高考卷)

Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a s

n 中所有的数从小到大排列成的数列, 即

.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a

将数列

}{n a 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:

3 5 6 9 10 12

- - - -

- - - - -

(i )写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; (i i )求100a .

【命题意图】本题考查数阵的规律探索问题。

【解法指导】我们只需要求出

t {22|0,s,t Z}s

s t +≤<∈且的子集个数即可。 【标准答案】(i )第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48

(i i )解:设0

022100t s a +=,只须确定正整数.,00t s

数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为

},0|2{20t t t s s <<≤+

其元素个数为

.1002)

1(,2)1(000020

<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14,所以取.140

=t

因为100-

.1664022,8s ,18

1410000214=+=∴=+=a s C 由此解得 三、强化训练

1.如果称图中所表示的杨辉三角为5阶杨辉三角,

依次命名,那么n 阶杨辉三角中的所有数之和等于______。 【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。 【解法指导】本题只需借助二项式定理即可。 【标准答案】12

1

-+n

提示:根据二项式定理得,第n 阶杨辉三角中的所有数之和等于

2()n

n a n N =∈ 那么n 阶杨辉三角中的所有数之和等于

1

11212221

12n n

n n S ++-=++

==--。

2.如右图所示:在杨辉三角形中,第一行为1, 1 第二行为1,1,第三行为1,2,1,则在前10行中 1 1 除数字“1”以外的其它数字之和为( ) 1 2 1

A. 1929-

B. 2029

- 1 (1)

C. 192

10

- D. 20210-

【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。

【解法指导】本题只需借助二项式定理即可,但要注意每行少一个1. 【标准答案】D

提示:根据1题知前9阶杨辉三角中的所有数之和等于

10

921S =-,但因该10行中有29119?+=个1,故满足题目条件的数为202

10

-。进一步推广我们可以得到以下命题:

在杨辉三角形中,从上往下数共有n (n ∈N*)行,在这些数中非1的数字之和为n 22n

-.

3.将正偶数按下表排成5列:

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26 则2004在( )

A .第251行,第1列

B .第251行,第3列

C .第250行,第2列

D .第250行,第5列 . 【命题意图】本题考查数阵的规律的探求。

【解法指导】该数阵我们只要抓住第五这个列等差数列即可获解。 【标准答案】B

提示:很显然第五列为等差数列,第251行的值为8(1261)162008+-?=,故2004在第251行,第3列,选择答案B 。

4.将正奇数按下表排成5列

那么2003应该在第 行,第 列. 【命题意图】本题考查数阵的规律的探求。

【解法指导】该数阵我们只要抓住第五这个列等差数列即可获解。 【标准答案】251,3

提示:和3题一样,我们还是看第五列为等差数列,即:第251行的值为

7(1261)162007+-?=,故2003在第251行,第3列。

5.观察下列数表,问此表最后一个数是什么,并说明理由.

1 2 3 4 97 98 99 100 3 5 7 195 197 199 8 12 392 396 20 788

【命题意图】本题考查数阵的规律的探求。

【解法指导】我们需要将每行中的第一个数看作是前面一行前两个数的和,从而利用递推关系,求解数列通项。

【标准答案】若记第k 行的第n 个数为(,)

k n b ,

则有

298

(,1)(1,1)(1,2)(1,1)(100,1)(99,1)22,22k k k k k b b b b b b ----=+=+∴=+,

(100,1)(99,1)(98,1)(2,1)98

97

96

1298398101

2222b b b b ∴

=+=

+==

+=+=,

98

(100,1)1012b ∴=?,即此表最后一

个数是98

1012?.

6.已知64个正整数排成如图所示的8行8列,在符号

*)

,,81,81(N j i j i a ij ∈≤≤≤≤中,i 表示该数所在行数,j

表示该数所在列数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比都等于q .若

.41,1,21322411===

a a a

(1)求

}

{ij a 的通项公式;

(2)记第k 行各项和为k A ,求1A 的值及数列

{

k A }的通项公式;

(3)若

k A <1,求k 的值.

【命题意图】本题考查数阵的规律的探求,等差数列的求和公式。 【解法指导】我们应先定位行后定位列。 【标准答案】

(1)设第一行公差为d ,则

1)3(111424=+==q d a q a a ,

.41

)(21121232=

+==q d a q a a

解得

21,21==

q d .)21(])1([111i i n i j ij j q d j a q a a ?=-+=?=∴--

(2).

184)421

(1812111=?+=+++=a a a A k k k k k k a a a q a a a A 236

)(1812111821=

+++=+++=-

(3)

.

8,6,1236,

1≤≥∴<∴

k 又 8,7,6值为k ∴

7.

【命题意图】本题考查数阵的规律的探求,等差数列的求和公式。 【解法指导】我们应先定位行后定位列。 【标准答案】

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中,认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支,要注意与其它知识的联系。 一、研究考题,探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中,和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于:①课本是试题的基本来源,是高考命题的主要依据,大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴,有先例可循。 二、典例剖析 例1:函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A .2(,)33ππ B .(,)62ππ C .(0,)3π D .(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --,从复合函数的角度看,原函数看作2()1g t t t =--,cos t x =,对于2()1g t t t =--,当1[1,]2t ∈-时,()g t 为减函数,当1[,1]2 t ∈时,()g t 为增函数,当2(,)33x ππ∈时,cos t x =减函数,且11(,)22 t ∈-, ∴ 原函数此时是单调增,选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时,需掌握复合函数的性质,以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是:①求定义域;②确定复合过程;③根据外层函数f(μ)的单调性,确定φ(x)的单调性;④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并解出x 的范围;⑤得到原函数的单调区间(与定义域求交).求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=. (Ⅰ)求tan 4πθ??+ ??? 的值; (Ⅱ)求cos2θ的值. 【解析】 (Ⅰ)∵tan 2θ=, tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:

函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式:

2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做

2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一:在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(),2a c b =-m ,()cos ,cos C A =n ,且⊥m n . (1)求角A 的大小; (2)若5b c +=,ABC △a . 例题二:如图,在ABC △中,π 4A ∠=,4AB =,BC =点D 在AC 边上,且1cos 3 ADB ∠=-. (1)求BD 的长; (2)求BCD △的面积. 例题三: ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos 0a c B b A ++=.

(1)求B ; (2)若3b =,ABC △的周长为3+ABC △的面积. 例题四:已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-. (1)求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()1f C =,2c =,()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.

例题一:【答案】(1)π3 A =;(2 )a = 【解析】(1)由⊥m n ,可得0?=m n ,即2cos cos cos b A a C c A =+, 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即()2sin cos sin B A A C =+, ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=,∴2sin cos sin B A B =,即()sin 2cos 10B A -=, ∵0πB <<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2 A = , ∵0πA <<,∴π3A =. (2 )由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△,∴4bc =, 又5b c +=,由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=, ∴a = 例题二:【答案】(1)3;(2 ) 【解析】(1)在ABD △中,∵1cos 3 ADB ∠=-, ∴sin 3ADB ∠=, 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠, ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠. (2)∵πADB CDB ∠+∠=, ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=. ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ,sin CDB ∠= 在BCD △中,由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠, 得21179233 CD CD =+-??,解得4CD =或2CD =-(舍). ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=. 例题三:【答案】(1)2π3 B =;(2 )ABC S =△ 【解析】(1)∵()2cos cos 0a c B b A ++=, ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=,()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,

最新上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习 1.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解:(1) ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ (2) 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增,在区间[,]32 ππ 上单调 递减, 所以 当3 x π= 时,()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=,当12 x π =-时,()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2.已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? (0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;

(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03 ?????? ,上的取值范围. 解:(Ⅰ)1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?. 因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以 2π π2ω =,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?. 因为2π03 x ≤≤, 所以ππ7π2666 x --≤≤, 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤, 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤,即()f x 的取值范围为302?????? ,. 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-,m ·n =1,且A 为锐角. (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解:(Ⅰ) 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = (Ⅱ) 由(Ⅰ)知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ,所以[]sin 1,1x ∈-,因此,当1sin 2x =时,f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时,()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ,

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系:1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换:令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式: 2cos 12 sin αα -± =;2cos 12cos αα+±=; αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

高考数学三角函数与解三角形练习题

三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题

高中数学三角函数练习题

高一数学第一次月考试题 一. 选择题(每题5分,共60分) 1.函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是( ) A .π4 B .π2 C .π D .2 π 2.0sin300=( ) A .1 2 B . 32 C .-12 D .-32 3.如图,在直角坐标系xOy 中,射线OP 交单位圆O 于点P ,若∠ AOP =θ,则点P 的坐标是( ) A .(cos θ,sin θ) B .(-cos θ,sin θ) C .(sin θ,cos θ) D .(-sin θ,cos θ) 4.如果sin α-2cos α 3sin α+5cos α =-5,那么tan α的值为( ) A .-2 B .2 D .-2316

5.函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是( ) A .2 π-=x B .4 π-=x C .8 π = x D .4 5π= x 6.将函数y =sin(x -π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移π 3个单位,得到的图象 对应的解析式是( ) A .y =sin 1 2x B .y =sin(12x -π 2) C .y =sin(12x -π 6 ) D .y =sin(2x -π 6 ) 7.已知α是第二象限角,且4tan =-3 α,则( ) A .4sin =-5α B .4sin =5α C .3cos =5α D .4cos =-5 α 8.已知3 cos +=25πθ?? ???,且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ,则tan θ=( ) A .43 B .-43 C .34 D .-34 9.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象如

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

高考文科数学真题大全解三角形高考题学生版

高考文科数学真题大全解 三角形高考题学生版 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

8.(2012上海)在ABC ?中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.(2013天津理)在△ABC 中,∠ABC =π 4 ,AB =2,BC =3,则sin ∠BAC 等于( ) 10.(2013新标2文) △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2,B = π6,c =π 4 ,则△ABC 的面积为( ) A .23+2 +1 C .23-2 -1 11、(2013新标1文) 已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 12.(2013辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2b ,且a >b ,则∠B =( ) 13.(2013山东文)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若B =2A ,a =1,b =3,则c =( ) A .2 3 B .2 D .1 14.(2013陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 15、(2016年新课标Ⅰ卷文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =, 2 cos 3 A = ,则b= (A )2 (B )3 (C )2 (D )3 16、(2016年新课标Ⅲ卷文)在ABC △中,π4B ,BC 边上的高等于1 3 BC ,则sin A (A )3 10 (B )1010 (C )55 (D )31010 17、(2016年高考山东卷文)ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知22,2(1sin )b c a b A ,则A = (A ) 3π4(B )π3(C )π4(D )π6

高考全国卷三角函数大题训练

三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式;令n n b na =,求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--= (1)求A (2)若2a =,ABC ?的面积为3;求,b c 。 4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 5.已知数列{}n a 满足11a =,131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)证明:1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1A C B -+=,2a c =,求C 。

7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ,求C 8.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90° (1)若PB=1 2,求PA ;(2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA 9.在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边, 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小;(Ⅱ)求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8= -10 (I )求数列{a n }的通项公式;(II )求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c 。角A ,B ,C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值。 12.设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 13.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c ,已知? =2,cosB=, b=3,求:(Ⅰ)a 和c 的值;(Ⅱ)cos (B ﹣C )的值. A B C P

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、(2009)函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为 2π的奇函数 D .最小正周期为2 π 的偶函数 2、(2008)已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.(2009浙江文)已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能... 是( ) 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.(2009江西卷文)函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A .2π B . 32π C .π D . 2 π 6.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称,那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.(2008海南、宁夏文科卷)函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3, 3 2 D. -2, 32 8.(2007海南、宁夏)函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ,的简图是( )

高考解三角形大题(30道)

专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知 b a c B C A -= -2cos cos 2cos . (1)求A C sin sin 的值; (2)若2,4 1 cos ==b B ,求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知2 sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值; (2)若8)(42 2 -+=+b a b a ,求边c 的值. 3.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+ π ,求A 的值; (2)若c b A 3,3 1 cos ==,求C sin 的值. 4.ABC ?中,D 为边BC 上的一点,5 3 cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD .

5.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知4 1cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ?的周长; (2)求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且24 1b ac = . (1)当1 ,4 5 ==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围. 7.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值; (2)求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知4 12cos -=C . (1)求C sin 的值; (2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长.

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高三文科数学三角函数专题测试题

A .30° B .45° C .60° D .90° 2.在△ABC 中,已知A =75°,B =45°,b =4,则c =( ) B .2 6 C .4 3 D .2 3.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B =45°,BC =32,则AC =( ) A .4 3 B .2 3 在△ABC 中,AC sin B =BC sin A ,∴AC =BC ·sin B sin A =32× 22 3 2=2 3. 4.在△ABC 中,若∠A=30°,∠B =60°,则a∶b∶c=( ) A .1∶3∶2 B .1∶2∶4 C .2∶3∶4 D .1∶2∶2 5.在△ABC 中,若sin A>sin B ,则A 与B 的大小关系为( ) A .A> B B .A

三角函数与解三角形大题部分-高考数学解题方法训练

专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2)

∴当时,,∴. 当时,,∴. 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知中,角所对的边分别是,且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1.(2016?白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知= (1)求角C的大小, (2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值. 2.(2016?广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 3.(2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合; (Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值. 4.(2016?台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab. (1)求角C的值; (2)若b=2,△ABC的面积,求a的值. 5.(2016?惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=. (Ⅰ)求△ACD的面积; (Ⅱ)若BC=2,求AB的长. 6.(2015?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin (A+B)=,ac=2,求sinA和c的值. 7.(2015?新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB; (Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 8.(2015?湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C. 10.(2015?湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A=; (Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围. 11.(2015?四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值.

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示,则?的值为( ) A 2.为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象( ) A C 3 ,则sin cos αα=( ) A 1 D -1 4 ) A 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A . C .21k k -- 6 .若sin a = -a ( ) (A )(B (C (D 7,则α2tan 的值为( )

A 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在 C .)(x f 的最大值为.)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数y=2sin (ωx+φ),φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2,φ D.ω=2,10的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A B C D 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象( ) A 个单位,再向上平移1个单位 B 个单位,再向下平移1个单位 C 个单位,再向上平移1个单位 D 个单位,再向下平移1个单位 12.将函数()cos f x x =向右平移个单位,得到函数()y g x =

于() A 13.同时具有性质①最小正周期是π; 增函数的一个函数为() A C 14则tanθ=() A.-2 D.2 15) A 16.已知tan(α﹣)=,则的值为() A. B.2 C.2 D.﹣2 17) A.1 D.2 18.已知角α的终边上一点的坐标为(,则角α值为 19) A 20) A..

2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)

4 2 ) 三角函数 1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x + (Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期; ) -1. 6 (Ⅱ)求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 6 4 2、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3 + sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R . (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 4 4 3、已知函数 f (x ) = tan(2x + ), 4 (Ⅰ)求 f (x ) 的定义域与最小正周期; ? ? (II )设∈ 0, ? ,若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小 ? ? 4、已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) sin 2x . sin x (1) 求 f (x ) 的定义域及最小正周期; (2) 求 f (x ) 的单调递减区间. 5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2 x . 2 4 (I )求函数 f (x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 1 g (x ) 对 任 意 x ∈ R , 有 g (x + 2 = g (x ) , 且 当 x ∈[0, ] 时 , 2 g (x ) = - f (x ) ,求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式. 2 2 ) )

3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x - 称轴之间的距离为 , 2 ) +1( A > 0,> 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对 6 (1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)设∈(0, ) ,则 f ( ) = 2 ,求的值. 2 2 7、设 f ( x ) = 4cos( ωx - π )sin ωx + cos 2ωx ,其中> 0. 6 (Ⅰ)求函数 y = f ( x ) 的值域 (Ⅱ)若 y = f ( x ) 在区间?- 3π , π? 上为增函数,求 的最大值. ?? 2 2 ?? 8、函数 f (x ) = 6 cos 2 x + 2 3 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为 图象的最高点, B 、C 为图象与 x 轴的交点,且?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求的值及函数 f (x ) 的值域; 8 3 (Ⅱ)若 f (x 0 ) 5 ,且 x 0 ∈(- 10 2 , ) ,求 f (x 0 1) 的值. 3 3 9、已知 a , b , c 分别为?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, a cos C + 3a sin C - b - c = 0 (1)求 A ; (2)若 a = 2 , ?ABC 的面积为 ;求b , c . 10、在 ? ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 cos A cos C . = 2 ,sin B = 5 3 (Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a = 2 ,求? ABC 的面积.

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