概率统计练习册答案
第二章 随机变量及其分布
一、选择题
1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).
A..φ=AB
B.AB 未必是不可能事件
C.A 与B 对立
D.P(A)=0或P(B)=0
2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则
}2{>X P 的值为( ）.
A.2-e
B.2
5
1e -
C.2
41e -
D.2
21e -
. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4
}{a
b b X a P -=
≤≤ B.43}63{=< C.1}40{=< D.2 1 }31{=≤<-X P 4.设),4,(~μN X 则( ). A. )1,0(~4 N X μ - B.2 1}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX P D.0≥μ 5.设随机变量X 的密度函数为?? ?<<=其他 ,01 0,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三 次独立重复观察中事件}2 1{≤X 出现的次数，则（ ）. A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的 B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的 C ．64 9 }2{= =y P D.)2 1,3(~B Y 6.设=≥=≥}1{,9 5}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A. 27 19 B.91 C.31 D. 27 8 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为 ( ). A.13 ()22X y f --- B.13 ()22X y f -- C.1 3 ()2 2 X y f +-- D.1 3 ()22 X y f +- 8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x f B.)(x f 为偶函数 C.)(x f 单调不减 D.()1f x dx +∞ -∞=? 9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥ D.)()(x f x f -= 10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P = B.21P P < C.21P P > D.1P ,2P 大小无法确定 11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变. D.增减不定 12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.?-=-a dx x f a F 0)(1)( B.?-=-a dx x f a F 0)(2 1)( C.)()(a F a F =- D.1)(2)(-=-a F a F 13.设X 的密度函数为3 ,01()20,x x f x ?≤≤?=? ??其他，则1 {}4P X >为( ). A.7 8 B.1 4 3 2 xdx +∞ ? C.143 12 xdx -∞ -? D.3 2 14.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.8664 15.设X 服从参数为9 1的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F - B.)11(913e e - C.e e 113- D.?-9 39 dx e x 16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ). A.? ??≤>-=-0,00 ,1)(x x e x F x λ B.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有 C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有 D.λ为任意实数 17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A. )1,0(~2 N X σ μ - B.)( )(σ μ -Φ=x x F C.{(,)}( )( )a b P X a b μ μ σ σ --∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ 18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.5 19.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8 20.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率 {||}P X μσ-<（ ）. Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定 二、填空题 1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是 c c c c 161,81,41,21，则=c 3．当a 的值为 时， ,2,1, )3 2 ()(===k a k X p k 才能成为随机变量X 的 分布列. 4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(1 1 =+= i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数， 则________)2(==X p . 5.已知X 的概率分布为 ??? ? ??-4.06.011，则 X 的分布函数 =)(x F . 6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 . 7．设随机变量X 的概率密度为 ???? ?? ???∈∈=其它,0]6,3[,9 2 ]1,0[,31 )(x x x f ，若k 使得{}32= ≥k X p 则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为： ?????????≥+<≤-<≤--<=2 ,21,3211,1 ,0)(x b a x a x a x x F 且2 1)2(==X p ，则_______,________a b ==. 9．设]5,1[~U X ，当5121<< 的分布密度=)(x f . 若σ μ -= X Y ，则Y 的分布密度=)(y f . 11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p . 12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤ 13．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c . 14.设某批电子元件的寿命 ) ,(~2σμN X ，若160=μ，欲使 80.0)200120(=≤ = . 15.若随机变量 X 的分布列为??? ? ??-5.05.011，则12+=X Y 的分布列 为 . 16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ ≥１｝＝ . 17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ . 18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)( 0)N μσσ>， 且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２，则μ= . 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y) B.XY C.X+Y D.X －Y 2.设X,Y 独立同分布,1 1{1}{1},{1}{1},22 P X P Y P X P Y =-==-=====则（ ）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.2 1}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使 )()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b a B.32,32==b a C.23,21=-=b a D.2 3,21-==b a 4.设随机变量i X 的分布为1210 1~(1,2){0}1,11 1424i X i X X -?? ? === ??? 且P 则12{}P X X ==( ). A.0 B.41 C.2 1 D.1 5.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满足( ). A ．1=+b a B. 13 a b += C.32=+b a D.2 3,21-==b a 7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A.91,92==b a B.92,91==b a C.31,31==b a D.3 1,32=-=b a 8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b X Y A.1 {,},,1,2,636 P X i Y j i j === = B.361}{= =Y X P C.2 1}{=≠Y X P D.2 1 }{=≤Y X P 9.设(X,Y)的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则 下面错误的是( ). A.1}0{=≥X P B.{0}0P X ≤= C.X,Y 不独立 D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.2{(,)}6G P X Y G x ydxdy ∈=?? C.12 00{}6x P X Y dx x ydy ≥=?? D.??≥= ≥y x dxdy y x f Y X P ),()}{( 11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈?=?? 其他,若 {(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ). A.{,)(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.??-=≤-G dxdy y x f X Y P ),(1}02{ C.??=≥-G dxdy y x h X Y P ),(}02{ D.??= ≥D G dxdy y x h X Y P ),(}2{ 12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ). A.{(,)}D G S P X Y D S ∈= B.0}),{(=?G Y X P C.G D G S S D Y X P -=?1}),{( D.{(,)}1P X Y G ∈= 13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系 统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y += D.},m in{211X X Y = 14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0???>≤=?? ?>≤=Y X Y X V Y X Y X U 则==}{V U P ( ). A.0 B.4 1 C.2 1 D.4 3 15.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ). A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布 16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ). A.))(,(~22121σσμμ+++N Y X B.),(~222121σσμμ---N Y X C.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y X D.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X 17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（ ）. A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布 18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X == (1,2,3,4)i =，记1234 X X D X X = ,则==}0{D P （ ）. A.0.1344 B.0.7312 C.0.8656 D.0.3830 19.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+ ~Z 则( ). A.)5,0(N B.)12,0(N C.)54,0(N D.)2,1(-N 20.已知sin(),0,, (,)~(,)40, C x y x y X Y f x y π? +≤≤?=? ??其他则C 的值为( ). A.21 B. 2 2 C.12- D.12+ 21.设???? ?≤≤≤≤+=其他, 02 0,10,31 ),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A. 7265 B.727 C.721 D.72 71 22.为使???≥=+-其他, 00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度, 则A 必为( ). A.0 B.6 C.10 D.16 23.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ). A.不一定相互独立 B.一定不独立 C.也是相互独立 D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ). A.21 B.31 C.41 D.5 1 25.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立， 则Y X +( ). A.服从泊松分布 B.仍是离散型随机变量 C.为二维随机向量 D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ). A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布 B.0}{==Y X P C.Z 服从]2,0[上的均匀分布 D.)1,0(~N Z 27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ). A.)1(4 1 4--e B.414 e - C.4 34 14+-e D.2 1 28.设?????≤≤≤≤=其他,01 0,20,2 3),(~),(2 y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ). A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则 =≥≥--},{1 21 1λλY X P ( ). A.1-e B.2-e C.11--e D.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)] (,)~(,)x x y y X Y f x y Ae -+++-+-=,则A 为( ). A.3 π B.π 3 C.π2 D.2 π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A. 481 B.21 C.12 1 D.241 32.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2σμN ,则( ). A.12n X X X == = B.2 121 ()~(, )n X X X N n n σμ++ + C.)34,32(~3221+++σμN X D.),0(~222121σσ--N X X 33.设(,)0,(,)(,)~(,)0 ,g x y x y G X Y f x y ≠∈?=? ?其它,D 为一平面区域,记G,D 的面 积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ). A. G D S S B.G G D S S C.??D dxdy y x f ),( D.??D dxdy y x g ),( 二、填空题 1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率： （1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=< 2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是 . X Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/2 α β 3．设平面区域D 由曲线x y 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变 量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 . 4．设),,,,(~),(2 2 2121ρσσμμN Y X ，则Y X ,相互独立当且仅当 =ρ . 5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 . 6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布???? ??2.08.010 ，则∑==31 i i X X 服从 分布 . 7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= . 8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0 9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数 . 10.设两个随机变量X 与Y 独立同分布，且P （X=-1）=P （Y=-1）=1/2， P （X=1）=P （Y=1）=1/2，则P （X=Y ）= ；P （X+Y=0）= ； P （XY=1）= . 第四章 随机变量的数字特征 一、选择题 1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为 (),0,0(,)0,x y e x y f x y -+?<<+∞<<+∞ =? ?其它 ，则()E XY =( ). A. 0 B.1/2 C.2 D. 1 3. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ). A. EY EX XY E ?=)( B. DY DX Y X D +=+)( C. DY DX Y X D +=-)( D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( ). A.DY DX 32- B. DY DX 94- C. DY DX 94+ D. DY DX 32+ 5. 若X,Y 独立,则( ). A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ?=)( C. 0]}][{[=--EY Y EX X E D. 1}{=+=b aX Y P 6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( ). A. X,Y 独立 B. ()D XY DX DY =? C. DY DX Y X D +=+)( D. DY DX Y X D -=-)( 7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y( ). A. 独立 B. 不独立 C. 相关 D. 不相关 8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是( ). A. X,Y 不相关 B. X,Y 独立 C. 1xy ρ= D. 1xy ρ=- 9.下式中恒成立的是( ). A. EY EX XY E ?=)( B. DY DX Y X D +=-)( C. (,)Cov X aX b aDX += D. 1)1(+=+DX X D 10.下式中错误的是( ). A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+ B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-? C. ])([2 1),(DY DX Y X D Y X Cov --+= D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是( ). A. 22)(EX DX EX += B. DX X D 2)32(=+ C. b EY b Y E +=+3)3( D. 0)(=EX D 12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ). A. 4.0,6==p n B. 1.0,6==p n C. 3.0,8==p n D. 1.0,24==p n 13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ). A. 222)(C EX c X E -=- B. 22)()(μ-=-X E c X E C. DX c X E <-2)( D. 22)(σ≥-c X E 14.() ~(,),() D X X B n p E X =则 ( ). A. n B. p -1 C. p D. p -11 15.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n ===()D X 则= ( ). A. )1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(12 1 -n 16. 随机变量?? ???≤>=-0,00 ,10 1)(~10 x x e x f X x ,则)12(+X E =( ). A. 110 4 + B. 41014?+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方 差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（ ）. A. 22 ()2 1 (,)2x y f x y e π +-= B. 2 2()2 1(,)2x y f x y e π +-= C. 2 ()21(,)2x y f x y e π + -= D. 2 2 4 1(,)2x y f x y e π+-= 18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ). A. 2 1 B. 3 1 C.6 1 D. 12 1 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ). A. 2 B. n 43 C. 0 D. n 3 2 20. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ). A. EY=0 B. DY=2 C.~(0,1)Y N D.~(0,2)Y N 21. 设2(,),(,)X b n p Y N μσ，则( ). A.2()(1)D X Y np p σ+=-+ B.()E X Y np μ+=+ C.22222()E X Y n p μ+=+ D.2()(1)D XY np p σ=- 22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[n M M - - B. M n B. ])1(1[n M M - D. n M n ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ). A. 1 B.-2 C.21 D. 4 1 24. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ). A. 14 B.46 C.20 D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ). A. 1 B.0 C. 13 D. 43 26. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 3 1≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ). A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为0 28. 设随机变量1210,, X X X 相互独立,且1,2(1,2, ,10)i i EX DX i ===， 则下列不等式正确的是（ ）. A. 2 10 11}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 210 1 1}1{-=-≥<-∑εεi i X P C. 2 10 1 201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 210 1 201}10{-=-≤<-∑εεi i X P 29. 利用正态分布有关结论,?∞ +∞ ---+-dx e x x x 2 )2(22 )44(21 π =( ). A. 1 B.0 C.2 D. -1 30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为( ). A. 0 B.a 21 C. a 31 D. a 4 1 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)( =-DX EX X D B. ~(0,1)X EX N DX - C. 22)(EX EX = D. 22)(EX DX EX += 32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ). A. 1 B.2 n C. 2)1(+n n D. n n 1 - 33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X - ===??>? 则. A. 32 B. 31 C. 9 8 D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A. e 38 B. e 381- C. e 251- D. e 25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A. e 376 B. e 316 C. 9 D. 6 36. 设?? ?<<=其他 ,01 0,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中 “2 1≤X ”出现的次数，则DY=（ ）. A ． 169 B. 9 16 C. 43 D. 34 37. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概 率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). A. ()X EX xf x dx +∞ -∞=? B. ??+∞∞-+∞ ∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ??+∞∞-+∞ ∞-=dxdy y x f y EY ),(2 2 D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞ +∞ -∞-∞=?? 二、填空题 1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且 2 )(=X D ，则 {}==1X p . 2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且 2()0.1,() 0.9E X E X ==，则 X 的概率密度是 . 3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x = EX = ；DX = .若σ μ -=X Y ，则Y 的概率密度()f y = EY = ；DY = . 4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数 (24)0.3,p X <<=为 . 5.若随机变量 X 服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且 (24) 0.3P X <<=则 (2)P X <= . 6．已知随机变量X 的分布律为： X 0 1 2 3 4 p 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4 则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则. 8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 . 9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 . 10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= . 11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）= . 第五章 大数定理及中心极限定理 一、选择题 1. 已知的i X 密度为()(1,2, ,100)i f x i =,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率 ∑=≤100 1 }{i i x X P 的值为( ). A. 无法计算 B. 100 1 100 1 1001 [ ()]i i i i x x f x dx dx ==≤∑ ? ? C. 可以用中心极限定理计算出近似值 D. 不可以用中心极限定理计算出近似值 2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2 σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 3 1 ≥ 3. 设随机变量1X ,210,,X X 相互独立,且1,2(1,2, ,10)i i EX DX i ===，则（ ） A. 2 10 1 1}1{ -=-≥<-∑εεi i X P B. 210 1 1}1{ -=-≥<-∑εεi i X P C. 2 10 1 201}10{ -=-≥<-∑ε εi i X P D. 210 1 201}10{ -=-≤<-∑εεi i X P 4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为( ). A. (2.5)Φ B. 2(1.5)1Φ- C. 2(2.5)1Φ- D. 1(2.5)-Φ 5. 设 1X ,2, ,n X X 独立同分布,2,,1,2, ,,i i EX DX i n μσ===当30≥n 时,下列结 论中错误的是( ). A. ∑=n i i X 1近似服从2 (,)N n n μσ分布 B. 1 n i i X n n μ σ =-∑近似服从(0,1)N 分布 C. 21X X +服从)2,2(2 σμN 分布 D. ∑=n i i X 1 不近似服从(0,1)N 分布 6. 设12,, X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2, i X i =服从参数为 2的指数分布,则下面的哪一正确? ( ) A.()1lim ;n i i n X n P x x n =→∞?? -???? ≤=Φ???? ????∑ B. ()12lim ;n i i n X n P x x n =→∞??-???? ≤=Φ???? ????∑ C. ()12lim ;2n i i n X P x x n =→∞ ?? -???? ≤=Φ????????∑ D. ()12lim ;2n i i n X P x x n =→∞?? -???? ≤=Φ???? ???? ∑ ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率统计-习题及答案-(1) 习题一 1.1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A表示：平均得分在80分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A表示：第一颗掷得5点； 设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A表示：至多只要投50次。 （5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一 张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a）AB；(b) B A+；(c) B；(d) B A-； (e) BC；(f) C B+。 1.3 设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来： （1）A发生；（2）A不发生，但B、C至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生；（4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生；（6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设}10,,3,2,1{ Ω，}5,3,2{=A，}7,5,3{=B，}7,4,3,1{=C，求 = 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()( 一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 《概率论与数理统计》同步练习册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 161,169,166. 3. 2113. 4. 43,407. 5. 4 3 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,6 24612 11?C ,6246121112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21=-=b a ，（2）161 . 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 649,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 34. 6. 3 1. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解：() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?== = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解：() ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =， 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求： （1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） () P B A 。解：（1）()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1 ()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= . 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？ 解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())() ()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨= =+-= 0.660.750.60.50.60.58 ==+- 一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 概率统计练习题答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案：D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又12,,,,n c k k k ， 为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11 n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312x x e ?-= D 、()()4211x x ?π= + 答案：D 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 习题3-1 1. 而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1 和X 2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1 {0,2}35 35P X Y C C C === = ,111 322 6 {1,1}3535 P X Y C C C === = , 1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223 {2,0}3535P X Y C C C ====, 21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220 3223 {2,2}3535P X Y C C C ====, 3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 《概率论与数理统计》同步习题册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 4. 161,169,166. 3. 2113. 2. 4 3,407. 5. 43 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,62461211?C ,6 24612 1112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21 =-=b a ，（2）161. 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 6 49,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 3 4 . 6. 31. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . 第一章参考答案: （一） 一、选择：1.D 2. A 3.B 4.D 二、填空：1. 出现点数恰好是5； 2. 0.3； 3. 0.6； 4. 1，0.75； 5． (1) ABC （2）ABC (3) AB AC BC ?? (4) A B C ?? (5) ABC ABC ABC ?? (6) A B C ?? 三、计算 （1）,0.6A B ? （2）,0.3A B ?=Ω （3）()=0.4P AB ，()=0.9P A B ?，()=0.3P B A -，()=0.1P AB （二） 一、填空：1.a a b + 2. 32,55 3. 11260 4. 815 5. 16 二、计算： 1. （1）.4190 (2). 13 (3). 13 15 2. 11 ln 242+ 3. 391 81616 ；；（见教材第12页） 4. 111 1()k N N N --- 5. (1). 6121110987 112?????- (2). 2466 1112C ? (3). 61112- (4). 6 61112 （三） 一、填空：1. 0 2.0.9 3. 23 4. (1)(1)()(1) a a b b a b a b -+-++- 二、计算： 1. 1 4 2. （1）. 0.85 （2）. 0.941 3. 0.37（或 55149 ） 4. （1）. 0.192 （或23120） （2）. 0.391（或923 ） 5. （1）. 2990 （2）. 20 61 （四） 一、选择：1.D 2. B 3.C 4.B 二、计算： 1.(1) 2 3 (2) 11 2. 14 3. （1）. 4 0.9 （2）. 4 10.1- （3）4 3 0.90.40.9+? 三．证明。（略） 第二章参考答案: (一) 一. 填空 1. 31; 2. 0.95; 3. m n m m n p p C --)1(; 4. {}.,1,0,! == =-k k e k X P k λλ 二. 1.(1){};4,3,2,1,0,6 20 616 4===-k C C C k X P k k (2) {}.6,5,43,2,1,0,8.0)2.0(66，===-k C k X P k k k 2. {};,2,1,55.045.01 =?==-k k X P k {}.31 11 21 = =∑∞ =k k X P 3. 概率统计练习题答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0 sin 01 x F x x x x ππ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()()4211x x ?π=+ 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、~(0, 1)X N μ σ- C 、2221 ~(1)n n S X n σ-- D ~(1)n t n - 答案：B概率论与数理统计复习题带答案
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