第三节三角函数的图象与性质
第三节 三角函数的图象与性质
[备考方向要明了]
考
什 么
怎 么 考
1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间
? ??
??－π2，π2内的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．
2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等．
3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等.
[归纳·知识整合]
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图象
定义域 R R 错误! k ∈Z }
值域
[－1,1] [－1,1]
R
单调性
递增区间：
????
??2k π－π2，2k π＋π2(k ∈
Z ) 递减区间：
????
??2k π＋π2，2k π＋32π(k
∈Z )
递增区间：[2k π－π，
2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π
＋π] (k ∈Z )
递增区间：
? ??
??
k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )
最 值
x ＝2k π＋π2
(k ∈Z )时，y max
＝1 x ＝2k π－π2
(k ∈Z )时，
y min ＝－1
x ＝2k π(k ∈Z )时，y max
＝1 x ＝2k π＋π(k ∈Z )
时，y min ＝－1
无最值
奇偶性 奇函数
偶函数 奇函数 对称性
对称中心(k π，0)，k ∈Z
对称中心
? ??
??k π＋π2，0，k ∈Z 对称中心?
??
?
?k π2，0(k
∈Z ) 对称轴l x ＝k π＋π
2
，k ∈Z 对称轴l x ＝k π，k ∈Z
无对称轴 周期 2π
2π
π
[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？
提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间? ????k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？
提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π
2(k ∈Z )
时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π
2(k ∈
Z )时是奇函数．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ? ????2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π
2)＝－cos 2x ，
∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．
2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )
A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B ．在??????－π2，π2上是增函数，在??????－π，－π2和??????π2，π上都是减函数
C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D ．在??????π2，π∪??????－π，－π2上是增函数，在????
??－π2，π2上是减函数
解析：选B 由函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图象可知，该函数在????
??－π2，π2上是
增函数，在??????－π，－π2和????
??π2，π上是减函数． 3．函数y ＝
cos x －1
2
的定义域为( )
A.????
??－π3，π3 B.?
?????k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.??????2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R
解析：选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π
3
，k ∈Z .
4．(教材习题改编)函数f (x )＝3sin ? ????x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．
解析：函数f (x )＝3sin ? ??
??x 2－π4的最小正周期为 T ＝
2π
12
＝4π. 答案：4π
5．函数y ＝3－2cos ?
????x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.
解析：函数y ＝3－2cos ? ????x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．
答案：5 3π
4
＋2k π
(k ∈Z )
三角函数的定义域和值域
[例1] (1)求函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域； (2)求函数y ＝2cos 2
x ＋5sin x －4的值域． [自主解答] (1)要使函数有意义，必须有
?????
2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，
即?????
sin x >1
2，cos x ≤1
2
，
解得?????
π6＋2k π 6 ＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π 3 ＋2k π，(k ∈Z )， 即π3＋2k π≤x ＜5π 6 ＋2k π(k ∈Z )． 故所求函数的定义域为??????π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )． (2)y ＝2cos 2 x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2 x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋9 8. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ————— —————————————— 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的求法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋ c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函 数求值域(最值)． 1．(1)求函数y ＝ 2＋log 12 x ＋tan x 的定义域； (2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2 ? ????π2－x 满足f ? ?? ??－π3＝f (0)，求函数 f (x )在???? ?? π 4， 11π24上的最大值和最小值． 解：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 12 x ≥0， x ＞0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 k ∈Z ，即? ??? ? 0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π 2 k ∈ Z . 利用数轴可得： 所以函数的定义域是???? ??x |0＜x ＜π 2或π≤x ≤4. (2)f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2? ?? ??π 2－x ＝a sin x cos x －cos 2 x ＋sin 2 x ＝a 2 sin 2x －cos 2x . 由于f ? ?? ??－π3＝f (0)， 所以a 2·sin ? ????－2π3－cos ? ?? ??－2π3＝－1， 即－ 34a ＋1 2 ＝－1，得a ＝2 3. 于是f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ????2x －π6. 由于x ∈??????π4，11π24，所以2x －π6∈???? ??π3，3π4， 因此当2x －π6＝π2即x ＝π3时f (x )取得最大值f ? ?? ??π3＝2， 当2x －π6＝3π4即x ＝11π24时f (x )取得最小值f ? ?? ??11π24＝ 2. 三角函数的单调性 [例2] 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ? ????x －π4；(2)y ＝tan ? ?? ??π3－2x . [自主解答] (1)由2k π＋ π2≤x －π4≤2k π＋3π 2 ，k ∈Z ， 得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π 4 ，k ∈Z . 故函数y ＝2sin ? ????x －π4的单调减区间为 ???? ??2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)把函数y ＝tan ? ????π3－2x 变为y ＝－tan ? ????2x －π3. 由k π－π2<2x －π3 2，k ∈Z ， 得k π－π6<2x 6，k ∈Z ， 即 k π 2－π12 12 ，k ∈Z . 故函数y ＝tan ? ????π3－2x 的单调减区间为 ? ????k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 若将本例(1)改为“y ＝2??????sin ? ????x －π4”，如何求解？ 解：画出函数y ＝2??????sin ? ????x －π4的图象，易知其单调递减区间为??????k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． ————— —————————————— 1．三角函数单调区间的求法 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω＞0)”视为一个 “整体”； ②A ＞0(A ＜0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π |ω|， 单调区间利用ωx ＋φ∈? ????k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间． 2．复合函数单调区间的求法 对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性判定方法是：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数． 3．含绝对值的三角函数单调区间的求法 求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间??????0，π3上单调递增，在区间???? ??π3，π2上单调递 减，则ω等于( ) A ．3 B ．2 C.3 2 D.23 解析：选C ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π 2ω 时． y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π 2ω 时， y ＝sin ωx 是减函数． 由y ＝sin ωx (ω＞0)在? ?????0，π3上单调递增， 在???? ??π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，故ω＝32. 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 [例3] (1)(2012·福建高考)函数f (x )＝sin ? ????x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π 4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π 4 D ．x ＝－π 2 (2)(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4 是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( ) A.π 4 B.π3 C.π2 D.3π4 (3)(2012·大纲全国卷)若函数f (x )＝sin x ＋φ 3 (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝ ( ) A.π 2 B.2π 3 C. 3π 2 D. 5π3 [自主解答] (1)法一：(图象特征) ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π 4. 法二：(验证法) x ＝π 4 时，y ＝sin ? ?? ??π4－π 4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2 时，y ＝sin ? ?? ??π2－π 4 ＝ 22 ，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ? ????－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin ? ?? ??－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． (2)由于直线x ＝π4和x ＝5π 4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所 以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以 π4＋φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )． 又0<φ<π，所以φ＝π 4 . (3)若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π 2 (k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π 2(k ∈Z )．只有C 项符合． [答案] (1)C (2)A (3)C 本例(1)中函数f (x )的对称中心是什么？ 提示：令x －π4＝k π，k ∈Z ，则x ＝π 4 ＋k π，k ∈Z . 故函数f (x )＝sin ? ????x －π4的对称中心为? ?? ??π4＋k π，0(k ∈Z )． ————— —————————————— 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性及对称性 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 2 对于函数y ＝A sin ωx ＋φ ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点 x 0，0 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f x 0 的值进行判断. 3．(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)? ????|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. (2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. 解析：(1)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )， 得φ＝k π＋π 4 (k ∈Z )． 又|φ|＜π2，所以k ＝0，故φ＝π 4 . (2)由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π 2，(k ∈Z )． 答案：(1)π4 (2)k π＋π 2 ，k ∈Z 2个性质——周期性与奇偶性 (1)周期性 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π |ω| ，y ＝tan(ωx ＋φ) 的最小正周期为π |ω| . (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝ A cos ωx ＋b 的形式． 3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sin x 、cos x 的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题 (1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象． (2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． (3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x 系数的正负． (4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2 x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2 ＋1≥1，解法错误. 创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题 1．高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题． 2．解决此类交汇问题的关键有以下两点： (1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论． (2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题． [典例] (2012·上海高考)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7 (n ∈N * )，则在S 1，S 2，…， S 100中，正数的个数是( ) A ．16 B ．72 C ．86 D ．100 [解析] ∵函数f (x )＝sin πx 7 的最小正周期为T ＝14， 又sin π7＞0，sin 27π＞0，…，sin 67π＞0，sin 77π＝0，sin 87π＜0，…，sin 13 7π＜0， sin 14 7 π＝0， ∴在S 1，S 2，S 3，…，S 13，S 14中，只有S 13＝S 14＝0，其余均大于0. 由周期性可知，在S 1，S 2，…，S 100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数． [答案] C [名师点评] 1．本题具有以下创新点 (1)本题表面是考查数列求和问题，其实质考查了三角函数f (x )＝sin πx 7的周期性． (2)本题巧妙将三角函数值的符号、三角函数的诱导公式、三角函数的周期性及数列求和融为一体，考查了考生的数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力，难度较大． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)正确构造函数f (x )＝sin πx 7 ，并求得其周期； (2)正确利用诱导公式求出一个周期内S 1，S 2，…，S 14中是0的个数． [变式训练] 1．(2013·郑州模拟)已知曲线y ＝2sin ? ????x ＋π4cos ? ?? ??π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴 右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15PP |等于( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 解析：选B 注意到y ＝2sin ? ????x ＋π4cos ? ????π4－x ＝2sin 2? ????x ＋π4＝1－cos 2? ????x ＋π4＝1 ＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π 2 ＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如 图所示)可知，|15PP |＝2π. 2．若三角函数f (x )的部分图象如图，则函数f (x )的解析式，以及S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值分别为( ) A ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012 B ．f (x )＝12cos πx 2＋1，S ＝2 012 C ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012.5 D ．f (x )＝12cos πx 2 ＋1，S ＝2 012.5 解析：选A 根据已知图象，可设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1(ω＞0，A ＞0)．∵由T ＝4得2πω＝4，∴ω＝π2.A ＝f x 最大值－f x 最小值2＝1.5－0.52＝1 2 ， 又f (0)＝1 2 sin φ＋1＝1， ∴sin φ＝0得，φ＝0，∴f (x )＝12sin πx 2＋1. 又f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4， ∴S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝503×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝503×4＝2 012. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2 ＝ ( ) A ．0 B.2 2 C ．－1 D ．1 解析：选D 不妨设a ＝－π2，b ＝π2，则cos a ＋b 2＝cos 0＝1. 2．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ? ????2x ＋3π2 (x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π 4 对称 D ．函数f (x )在区间? ?????0，π2上是增函数 解析：选C f (x )＝sin ? ????2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知 函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4不对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在??????0，π2上是增函数，D 正 确． 3．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－ 3sin(ωx ＋ φ)? ????ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在? ????0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在? ????0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数 解析：选B 由已知可得f (x )＝2cos ? ????ωx ＋φ＋π3，T 2＝π2，得T ＝π，ω＝2.又x ＝0 是对称轴，故cos ? ????φ＋π3＝±1，由|φ|＜π2得φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x 在? ????0，π2上为减函数． 4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为??????－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A. π 3 B.2π 3 C ．π D. 4π3 解析：选A 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为?? ?? ??2π3，4π3. 5．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π 3对称，则 下列四个函数中，同时具有性质①②的是( ) A ．y ＝sin ? ?? ??x 2＋π6 B ．y ＝sin ? ????2x －π6 C ．y ＝sin ? ????2x ＋π6 D ．y ＝sin|x | 解析：选B 注意到函数y ＝sin ? ????2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝ sin ? ????2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②. 6．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4在? ????π2，π上单调递 减，则ω的取值范围是( ) A.??????12，54 B.???? ??12，34 C.? ?? ??0，12 D ．(0,2] 解析：选A 取ω＝54，f (x )＝sin ? ????54x ＋π4，其减区间为??????85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然? ????π2，π???????85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ? ????2x ＋π4， 其减区间为??????k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然? ????π2，π??????k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝1 tan x －3的定义域为________． 解析：由已知得??? ?? x ≠k π＋π2，k ∈Z ， tan x ≠3， 即????? x ≠k π＋π 2，x ≠k π＋π 3 ，k ∈Z . 故所求函数定义域为?????? ??? ?x ? ?? x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π 3，k ∈Z . 答案：?????? ??? ?x ? ?? x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π 3，k ∈Z 8．函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3－1，x ∈??????0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值 为________． 解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π 3≤π， ∴0≤sin ? ????2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ? ????2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]，且当sin ? ????2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1] π12 9．已知函数f (x )＝cos ? ????ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π 2 ，则函数在[0,2π]上的零点个数为________． 解析：∵由已知f (x )＝cos ? ????ωx ＋π6的周期为π， ∴ 2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝cos ? ????2x ＋π6. 当f (x )＝0时，2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π2＋π 6，则当x ∈[0,2π]时f (x )有4 个零点． 答案：4 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ? ????ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图 象相邻两条对称轴之间的距离为π 2 . (1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈? ????0，π2，f ? ?? ??α2＝2，求α的值． 解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π 2， ∴最小正周期T ＝π， ∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为 y ＝2sin ? ?? ?? 2x －π6 ＋1. (2)∵f ? ????α2＝2sin ? ????α－π6＋1＝2， ∴sin ? ????α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π 3， ∴α－π6＝π6，故α＝π 3. 11．设a ＝? ?? ??sin 2 π＋2x 4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式； (2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间??????－π2 ，2π3上是增函数，求ω的取值范围； 解：(1)f (x )＝sin 2 π＋2x 4 ·4sin x ＋(cos x ＋sin x )· (cos x －sin x ) ＝4sin x ·1－cos ? ?? ??π2＋x 2 ＋cos 2x ＝2sin x (1＋sin x )＋1－2sin 2 x ＝2sin x ＋1， 故函数解析式为f (x )＝2sin x ＋1. (2)f (ωx )＝2sin ωx ＋1，ω>0. 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π 2， 得f (ωx )的增区间是?? ?? ??2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . ∵f (ωx )在??????－π2 ，2π3上是增函数， ∴??????－π2，2π3???????－π 2ω，π2ω. ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π 2ω ， ∴ω∈? ?? ??0，34. 12．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx － sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中 ω，λ为常数，且ω∈? ?? ??12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点? ????π4，0，求函数f (x )在区间? ?????0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝sin 2 ωx －cos 2 ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ? ????2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin ? ????2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋1 3(k ∈Z )． 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝5 6. 所以f (x )的最小正周期是6π 5 . (2)由y ＝f (x )的图象过点? ????π4，0，得f ? ????π4＝0， 即λ＝－2sin ? ????56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ? ????53 x －π6－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π 6， 所以－12≤sin ? ????53 x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ? ????53 x －π6－2≤2－2， 故函数f (x )在? ?????0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]． 1．求下列函数的定义域： (1)y ＝lg sin(cos x )；(2)y ＝sin x －cos x . 解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1. 利用单位圆中的余弦线OM ， 依题意知0＜OM ≤1，∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为 ? ????? ??? ?x ??? －π2＋2k π＜x ＜π 2＋2k π，k ∈Z . (2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0. 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π 4，再结合正弦、 余弦函数的周期是2π，所以定义域为 ? ????? ??? ?x ??? π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z . 2．写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ? ????－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解：(1)y ＝－sin ? ????2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ? ????2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ? ????2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π 2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π 12 ，k ∈Z . 故所给函数的减区间为??????k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为??????k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是? ?????k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是 ? ?? ??k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π. 3．求下列函数的值域： (1)y ＝cos x ＋52－cos x ； (2)y ＝sin 2 x －4sin x ＋5. 解：(1)由y ＝cos x ＋52－cos x ，得cos x ＝2y －5 y ＋1. 因为－1≤cos x ≤1， 所以－1≤2y －5y ＋1≤1，解得4 3 ≤y ≤6. 因此，原函数的值域为???? ??43，6. (2)y ＝sin 2 x －4sin x ＋5＝(sin x －2)2 ＋1. 因为－1≤sin x ≤1，所以2≤y ≤10. 因此，原函数的值域为[2,10]． 4．设函数f (x )＝3sin ? ????ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式； (3)已知f ? ????α4＋π12＝9 5 ，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝3 2. (2)∵f (x )的最小正周期为π 2， ∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ? ????4x ＋π6. (3)∵f ? ????α4＋π12＝3sin ? ????α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±1－cos 2 α＝±45. 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 正弦、余弦的图象和性质 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，( ,1)2 π ， (,0)π，3( ,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间: 单调增区间: 单调增区间： 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的 最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π ω = ； ②函数tan()y A x ω?=+的周期T πω = ； ③函数sin y x =的周期=T π； 三角函数图象性质一览表 正弦定理、余弦定理及应用 设ABC △的外接圆的半径是R ，内切圆的半径是r ，()c b a p ++=2 1 是半周长。 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，或 C B A c b a sin :sin :sin ::= 变式：A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= R a A 2sin = ；R b B 2sin =；R c C 2sin = 2、余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=； B ac c a b cos 2222-+=； C ab b a c cos 2222-+= 推论：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= 3、面积公式：B ac A bc C ab S A B C sin 2 1 sin 21sin 21=== △ 变式：⑴C B A R abc R S A B C sin sin sin 241 2== △ ⑵()()()c p b p a p p S A B C ---=△（海伦秦九韶公式） 4、常用结论： ⑴B A B A b a sin sin >?>?> ⑵b a B A B A =?=?=sin sin ⑶若B A 2sin 2sin =，则B A B A =?=22或2 22π π=+?=+B A B A ⑷和诱导公式有关的变式： 2cos 2sin C B A =+；2cos 2sin B C A =+；2 cos 2sin A C B =+； 2sin 2cos C B A =+；2sin 2cos B C A =+；2sin 2cos A C B =+ ()C B A sin sin =+；()B C A sin sin =+；()A C B sin sin =+; ()C B A cos cos -=+；()B C A cos cos -=+；()A C B cos cos -=+ ⑸B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；A b B a c cos cos += 5、注意两角和与差公式、二倍角公式和半角公式、辅助角公式的应用。 6、注意函数()?ω+=x A y sin 的知识在三角形中的应用： 比如求()??? ??+ =82 1sin 2πA x f ，?? ? ??∈4,0πA 的最大值。 三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π 解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值 三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1- 而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6，④y ＝ tan ? ? ???2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ? ? ???2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ? ? ???2x －π3的单调递增区间是( ) A.?????? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.? ?? ???k π－π12，k π＋ 5π12(k ∈Z) D.? ? ???k π＋π6，k π＋ 2π3(k ∈Z) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋ 5π 12(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 答案 B 3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 高考复习正弦、余弦的图象和性质 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，( ,1)2 π， (,0)π，3( ,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 单调增区间: 单调增区间: 单调增区间： 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的 最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π ω = ； ②函数tan()y A x ω?=+的周期T πω = ； ③函数sin y x =的周期=T π； 三角函数的图象与性质（1） 教学目标 1、能借助正弦函数画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象； 2、借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质． 重点难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象及其性质； 难点：借助正弦函数画出正弦函数的图象． 教学过程 ]2,0[,sin π∈=x x y 的图象→R x x y ∈=,sin 的图象→余弦函数的图象→五点作图法 问题情境 学习函数我们需要研究它的图象和性质。借助三角函数线，我们已经得到了正弦、余弦函数的哪些性质？ “为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象．”怎样作出正弦函数的图象？ 学生活动 问题1：直接作出y = sinx ，x ∈ R 的图象有困难，我们该怎么作图呢？ 根据周期性，可以先作出y = sinx ，x ∈ [0,2π]的图象，再由周期性得到整个图象． 问题2：描点法的基本步骤是什么？在[0,2π]上需要找几个点？ ————列表描点连线。 比比看 ，看谁画的最快，最准确！ 归纳出1、列表描点法 建构数学 （一）正弦函数的图像 问题3：如何比较精确的作出这些点并且可以准确的反映函数的变化趋势呢？利用正弦线可以实现吗？ ————演示几何描点法和电脑描点法。 基本步骤详细化：（2、几何描点法） 先作单位圆，把⊙O1十二等分（当然分得越细，图象越精确）； 十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π ,…2π等角，并作出相应的正弦线； 将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”； 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合； 描图（连接）得y=sinx x ∈[0,2π]； 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 4.3三角函数的图象及性质应用 考纲定位 理解三角函数的性质，并利用其性质解决一些简单问题； 【典型例题】 1、如图所示，它是sin(),(0,0),||高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
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三角函数图象性质一览表
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三角函数的图象与性质
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4.3三角函数的图象及性质应用
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