当前位置：文档库 › 组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题1

组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题1

习题一（排列与组合）

1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的

方案数；

（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；

（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；

（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；

（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；

由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？

（1）每位的数字全不同；

（2）每位数字不同且不出现数字2与7；

解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；

按正整数的位数可分为以下几种情况：

① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；

② 两位数。十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数

字中选取，根据乘法法则，共有9981?=个；

③ 三位数。百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数

中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ?=个；

④ 四位数。又可分三种情况：

? 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选

3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ?=个；

? 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩

下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ?=个；

? 千位上的数取5，百位上的数取4，剩下的两位数从剩下的8个数

字中选2个进行排列，共有2856P =个；

根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；

（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；

按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =

① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；

② 两位数。十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7

个数字中选取，根据乘法法则，共有7749?=个；

③ 三位数。百位上的数可从{0}A -中选取，剩下的两位数可从A 其余7

个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有277294P ?=个；

④ 四位数。又可分三种情况：

? 千位上的数从1，3，4中选取，剩下的三位数从A 中剩下的7个

数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有373630P ?=个；

? 千位上的数取5，百位上的数从0，1，3中选取，剩下的两位数从

A 中剩下的6个数字中选2个进行排列，共有26390P ?=个；

根据加法法则，满足条件的正整数共有：749294630901070++++=个；

3．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，

各有多少种做法？

（1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；

（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。

5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ，

剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种，

根据乘法原理，就座方式总共有：

(8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种）

（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。

可分成三种情况分别讨论：

① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ；

② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ；

③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；

各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为：

(14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000

C P P C P P C P P ++= ? 典型错误：

先选6人坐前排，再选4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6个座

位。故总的入坐方式共有：()()()(14,6)8,6(8,4)8,46,4C P C P P 种。

但这样计算无疑是有重复的，例如恰好选6人坐前排，其余8人全

坐后排，那么上式中的()(8,4)8,4C P 就有重复。

4．一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，

问共有多少种安排方案？

解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程

123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。

该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。

故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种）

? 另解：

因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有：

212019181716(,6)(1661,6)54264654321

RC C ?????∞=+-==?????（组）即共有54 264种安排方案。

5．若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆周就坐有多少种方式？

解：12个人围圆周就坐的方式有：(12,12)11!CP =种，

设不愿坐在一起的两人为甲和乙，将这两个人相邻而坐，可看为1人，则这样的就坐方式有：(11,11)10!CP =种；由于甲乙相邻而坐，可能是“甲乙”也可能是“乙甲”；所以

则满足条件的就坐方式有：11!210!32659200-?=种。

6．有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名只能打前锋或后

卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？

解：用A 、B 、C 分别代表5名打后卫、8名打前锋、2名可打前锋或后卫的集合，

则可分为以下几种情况：

（1）7个前锋从B 中选取，有78C 种选法，4个后卫从A 中选取，有45C 种，

根据乘法法则，这种选取方案有：7485

C C 种；（2）7个前锋从B 中选取，从A 中选取3名后卫，从C 中选1名后卫，

根据乘法法则，这种选取方案有：731852

C C C 种；（3）7个前锋从B 中选取，从A 中选取2名后卫，C 中2名当后卫，

根据乘法法则，这种选取方案有：7285

C C 种；

（4）从B 中选6个前锋，从C 中选1个前锋，从A 中选4个后卫，

根据乘法法则，这种选取方案有：614825C C C 种；

（5）从B 中选6个前锋，从C 中选1个前锋，从A 中选3个后卫，C 中剩

下的一个当后卫，选取方案有：613825

C C C 种；（6）从B 中选5个前锋，C 中2个当前锋，从A 中选4个后卫，

选取方案有：5485

C C 种；根据加法法则，总的方案数为：

7473172614613548585285825825851400C C C C C C C C C C C C C C C +++++=

7．求8(2)x y z w --+展开式中2222x y z w 项的系数。

解：令,,2,a x b y c z d w ==-=-=，则8()a b c d +++中2222a b c z 项的系数为

88!7!22222!2!2!2!2

??== ???，即8(2)x y z w --+中，2222()(2)x y z w --的系数，因此，2222x y z w 的系数为：227!2(1)(2)10080--=。

8．求4()x y z ++的展开式。

解：4,3n t ==，展开式共有(,4)(431,4)15RC C ∞=+-=（项），所以，

444433222223322344444()400040004310301444220202211444413010311212144013031x y z x y z x y x z x y x z x yz xy xz xyz xy z yz ??????????++=++++ ? ? ? ? ???????????

??????+++ ? ? ???????

????????++++ ? ? ? ?????????

???++ ? ???3224443333332222222224022444444666121212y z y z x y z x y x z xy xz yz y z

x y x z y z x yz xyz xy z

???+? ????

=++++++++++++++

9．求1012345()x x x x x ++++展开式中36234

x x x 的系数。解：36234x x x 的系数为： 1010!840031603!1!6!??== ???

11．证明(1,)(1)(,1)nC n r r C n r -=++，并给出组合意义。

证明：因为(,)(,)(,)(,)C n k C k l C n l C n l k l =--，现令1k r =+，1l =，则可得 (,1)(1,1)(,1)(C n r C r C n C n r ++=-，即(1,)(1)(,1)nC n r r C n r -=++ 组合意义：将n 个元素分为3堆，1堆1个元素，1堆r 个元素，1堆1n r --个

元素。可以有下面两种不同的分法：

（1）先从n 个元素中选出1r +个元素，剩下的1n r --个作为1堆；再将

选出的1r +个元素分为两堆，1堆1个，1堆r 个。

（2）先从n 个元素中选出1人作为1堆，再从剩下的1n -个中选出r 个作

为1堆，剩下的1n r --作为1堆。

显然，两种分法是等价的，所以等式成立。

12．证明 11(

,)2n n k k C n k n -==∑ 。

证明：采用殊途同归法。

? 组合意义一：

考虑从n 个人中选出1名正式代表和若干名列席代表的选法（列席代表人数不限，可以为0）。可以有以下两种不同的选法：

（1）先选定正式代表，有1n C n =种选法；

然后从1n -人中选列席代表，这1n - 个人都有选和不选的两种状态，共有12n -种选法；

根据乘法法则，共有 12n n - 种选法；

（2）可以先选出1(0,1,2,,1)k k n +=-人，然后再从中选出1名正式代表，

其余k 人作为列席代表，对于每个k ，这样的选法有：111k n k C C ++，

从而总选法有： 1011(,1)(1,1)(,)(,1)(,)n n n

k k k C n k C k C n k C k kC n k -===++==∑∑∑

显然，两种选法是等价的，所以等式成立。

? 组合意义二：

将n 个不同的球放入标号为A 、B 、C 的3个盒子，其中要求A 盒只放1个球，其余两盒的球数不限。那么，有两种不同的放法：

（1）先从n 个不同的球中选出1个，放入A 盒，再将其余1-n 个球放入另

外两盒，有11122n n n C n --=种放法；

（2）先从n 个球中选出k 个(1,2,,)k n =，再从所选的k 个球中选出1个

放入A 盒，将其余的1k -个球放入B 盒，剩下的n k -个球放入C 盒，

根据乘法法则，对于不同的k ，有1k n k k n k n k n C C C kC --=种放法。

当1,2,,k n =时，各种情况互不重复，且包含了所有放法，

根据加法法则，总的放法有：1(,)n

k kC n k =∑。

显然两种放法是等价的，故等式成立。

? 另法：

根据二项式定理：

21(1)1(,1)(,2)(,1)(,)n n n x C n x C n x C n n x C n n x -+=+++

+-+，

两边求导，得： 121(1)(,1)2(,2)(1)(,1)(,)

n n n n x C n C n x n C n n x n C n n x ---+=+++

--+，令1x =，即得11(,)2n n k kC n k n -==∑

14．六个引擎分列两排，要求引擎的点火次序两排交错开来，试求从某一特定引

擎开始点火有多少种方案？

解：第一次点火仅有一种选择，即点某个特定引擎的火；第二次点另一组某个引

擎的火，有三种选择；第三次有2种,……。

所以方案数为：13221112?????=（种）

? 如果只指定从第一排先开始点火，不指定某一个，则方案数为

33221136?????=（种）

? 如果第一个引擎任意选，只要求点火过程是交错的，则方案数为

6322117?????=（种）

16．n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？

若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？

解：排成男女相间的队伍：

先将n 个男的排成1行，共有n n P 种排法；

再将n 个女的往n 个空里插，有n n P 种排法；由于可以先男后女，也可以先

女后男，因此共有2n n P 种排法；

根据乘法法则，男女相间的队伍共有：22!!n n n n P P n n =种方案。

若围成一圆周坐下，同理

先将n 个男的围成一圆周，共有(,)CP n n 种排法，

再将n 个女的往n 个空中插，有n n P 种排法，

根据乘法法则，围成圆周坐下，总的方案数有：(,)!(1)!n n CP n n P n n =-种。

17．n 个完全一样的球，放到r 个有标志的盒子，n r ≥，要求无一空盒，

试证其方案数为11n r -?? ?-??

。

证明：因为没有空盒，可先每盒放入一个球，再将剩余的n r -球放入r 个盒子中，即将n r -个无区别的球，放入r 个不同的盒子中，每盒的球数不受限制，因此方案数有：(1,)(1,)(1,1)C r n r n r C n n r C n r +---=--=--。 ? 另法：插空法。

问题可看为：n 个球排成1行，球与球之间形成1n -个空，再在这1n -个空中，插入1r -个隔板，这样就可形成r 个盒子，每盒球不空的方案，其方案数为(1,1)C n r --。

18．设1212k k n p p p ααα=，12,,,k p p p 是k 个素数，

试求能整除尽数n 的正整数数目。

解：能整除数n 的正整数即n 的正约数，其个数为：

12(1)(1)

(1)k ααα+++。

19．试求n 个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案？

解：每个骰子有六个面，每个面的点数可以是1,2,,6中的一种。由于n 个骰子完全一样，故这样相当于将n 个完全一样的球放到6个不同的盒子中，每盒球数不限。故方案数有

)1)(2)(3)(4)(5(!

51)5,5(),16(+++++=

+=-+n n n n n n C n n C （种） 21．试证一整数n 是另一整数的平方的充要条件是除尽n 的正整数的数目为奇数。

证明：必要性：整数n 可表示为1212k a a a k

n p p p =，i p n ≤，且i p 为素数，1i α≥，则除尽n 的正整数个数为：12(1)(1)

(1)k a a a +++，若12(1)(1)

(1)k a a a +++为偶数，则必存在i α为奇数，

则n 不可能写成令一个数的平方。所以n 是另一整数的平方的必要条件是除尽n 的正整数数目为奇数。

充分性：若除尽n 的正整数的数目为奇数，则(1,2,

,)i i k α=均为偶数，则 1212122222222222121212k k k a a a a a a

a a a k k k

n p p p p p p p p p ??=== ???

可写成另一整数的平方。证毕。

22．统计力学需要计算r 个质点放到n 个盒子里去，并分别服从下列假定之一，

问有多少种不同的图像？假设盒子始终是不同的。

（1）Maxwell-Boltzmann 假定：r 个质点是不同的，任何盒子可以放任意个；

（2）Bose-Einstein 假定：r 个质点完全相同，每一个盒子可以放任意个。

（3）Fermi-Dirac 假定：r 个质点都完全相同，每盒不得超过一个。

解：（1）问题即：将r 个不同的质点放到n 个不同的盒子，每个盒子放的质点数

不受限制，即相异元素允许重复排列，其方案数有：

(,)r R P r n

∞= （2）问题即：将r 个没有区别的质点放到n 个不同的盒子，每个盒子方的质

点数不受限制，即相异元素允许重复组合，其方案数有：

(1)!(,)(1,)!(1)!

n r RC r C n r r r n +-∞=+-=- （3）问题即：将r 个没有区别的质点放到n 个不同的盒子，每盒不超过一个，

即相异元素不允许重复的组合，其方案数有：

!(,)!()!

n C n r r n r =-

23．从26个英文字母中取出6个字母组成一字，若其中有2或3个母音，

问分别可构成多少个字（不允许重复）？

解：母音指元音，即a ，e ，i ，o ，u

（1）有2个元音。先从5个元音中取出2个，再从剩下的21个字母中选出

4个，再将6个字母进行全排列，则可构成的字总共有：

2465216

43092000C C P =（个）（2）有3个元音。先从5个元音中取出3个，再从剩下的21个字母中选出

4个，再将6个字母进行全排列，则可构成的字总共有：

33652169567000C C P =（个）

28．（1）用组合方法证明 (2)!2n n 和 (3)!23

n n n 都是整数。（2）证明21()!(!)

n n n +是整数。证明：（1）考虑2n 个有区别的球放入n 个不同的盒子里，每盒两个，盒中球不

计顺序，则方案数为：(2)!(2)!2!2!2!2

n n n n =个

，方案数是整数，所以

(2)!2n

n 是整数。同理，考虑3n 个有区别的球放入n 个不同的盒子里，每盒3个，盒中球不计顺，则方案数为：(3)!(3)!3!3!3!23

n n n n n =个

，方案数是整数，所以(3)!23

n n n 是整数。（2）考虑2n 个不同的球放入n 个相同的盒子，每盒n 个，盒中球不计顺

序的方案。

先假设盒子是不同的，则这样的方案数为：2(2)!()!!!!(!)

n n n n n n n n =个

，又盒子是相同的，所以方案数应为：221()!()!(!)(!)(!)

n n n n n n n +=，方案数必然是整数，所以21()!(!)

n n n +是整数。

29．（1）在2n 个球中，有n 个相同，求从这2n 个球中选取n 个的方案数。

（2）在31n +个球中，有n 个相同，求从这31n +个球中选取n 个的方案数。解：（1）问题即：从集合121{,,

,,}n n S n e e e e +=中，选取n 个的方案数，即多项式2(1)(1)n n x x x x +++

++中n x 的系数，即 101112n n n n n n C C C -?+?++?=

从这2n 个球中选取n 个的方案数为2n 种。

（2）问题即：从集合1222122{,,

,,,}n n n S n e e e e e ++=中，选取n 个的方案数，即多项式221(1)(1)n n x x x x ++++

++中n x 的系数，即 1021212121210111224n n n i n n n n n n i C

C C C -+++

++=?+?++?===∑

31．5台教学仪器供m 个学生使用，要求使用第1台和第2台的人数相等，

有多少种分配方案？

解：

? 方法一：

先从m 个学生中选取k 个使用第1台机器，再从剩下的m k -个学生中选取k 个使用第2台机器，其余2m k -个学生可以任意使用剩下的3台机器，

按乘法原理，其组合数为23m k m m k k k --???? ???????，这里0,1,2,()2m k q q ??==????

，于是，按加法原理，共有203q m k k m m k k k -=-???? ???????∑种使用方案。 ? 方法二：

先从m 个学生种选出2k 个，再将选出2k 个学生平均分到1、2台机器上，其余的2m k -个学生可以任意使用剩下的3台机器，

按乘法法则，其组合数为2232m k m k k k -???? ???????，这里0,1,2,

()2m k q q ??==???? 于是，按加法原理，共有20232q m k k m k k k -=???? ???????∑种使用方案。

组合数学题库答案.docx

填空题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法． 2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法． 3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___． 6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列 10 7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10． 8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2． 9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946 10 ．计算P4(12) 4 P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8) k1 34 P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515 k1k 1 11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ） A． 800 B. 780 C. 900 D.850 3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D） A. 100 C. 50 4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C） B. 60 5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C） A． 78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解 A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n 8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理 A. 4n 3n ( 1)n B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n 4433

(完整版)排列组合练习题3套(含答案)

排列练习一、选择题 1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（） A、81 B、64 C、12 D、14 2、n∈N且n<55，则乘积（55-n）（56-n）……（69-n）等于（） A、 B、 C、 D、 3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（） A、64 B、60 C、24 D、256 4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（） A、2160 B、120 C、240 D、720 5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（） A、 B、 C、 D、 6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（） A、 B、 C、 D、 7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（） A、24 B、36 C、46 D、60 8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（） A、B、C、D、二、填空题 1、（1）（4P 84+2P 8 5）÷（P 8 6-P 9 5）×0！=___________（2）若P 2n 3=10P n 3，则n=___________ 2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为 __________________________________________________________________ 3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法 4、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_________种不同币值。

组合数学第二章

课堂中的“空白”艺术所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。 [片段一] 课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下：第一种用符号表示：…… 第二种用画图表示：…… 第三种用实物表示：小棒、学具卡片……

第四种用数字表示：1、2、3、…… 第五种用“正”字表示。学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。 [评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。] [片段二] 课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？生：因为有一双鞋就等于有一个人。师：（数出人数后）你们想对屋里的小朋友说些什么吗？生1：你们乱放鞋子，出门时容易被鞋子拌倒，不安全。生2：你们应该做文明的好孩子。生3：你们要养成把东西摆放整齐的好习惯。 [评析：作为变式统计练习，这里一方面留有学生逻辑推理的空白，即“有一双鞋就等于有一个人”，渗透“透过现象看本质”的辨证思想；另一方面又留有学生情感、态度的空白，即“你们想对屋里的小朋友说些什么吗？”，由题及事，以事为载体，培养学生正确看待问题的态度以及要做文明好孩子的情感。] 以上两个片段，在教师的巧妙布白之中，学生们各抒己见，主动

组合数学题目及标准答案

组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。证：由于每一次握手均使握手的两人各增加一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。例４从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。证设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k h ，使得 ah+1+…+ ak= 39 证令Sj= ，j =1 , 2 , …,100。显然 ∑=j i i a 1 ∑=h i i a 1

排列组合习题-(含详细答案)

圆梦教育中心排列组合专项训练 1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？ (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类： 2 1 33C C +(种) (法2——挡板法) 相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共： 246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别) 同类题一题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：6 9C 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。 2.题2 (插空法，三星) 题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48 同类题一题面： 6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种. 详解：任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 6 6·A 4 7种不同排法．同类题二题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．96种答案：C. 详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 2 4＝72种排法，故选C. 3．题3 (插空法，三星) 题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位． 1]没有坐人的7个位子先摆好， [2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有： 58A =6720种排法. (法2)[1]5个男生先排好：55A ； [2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，

组合数学试题集

组合数学试题集一.简单题目可以根据需要改成选择题或者填空题 1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页）解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有4 5P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页）（1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。 5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ，剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种，根据乘法原理，就座方式总共有： (8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种）（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。可分成三种情况分别讨论： ① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ； ② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ； ③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；

各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为： (14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000 C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页）解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程 123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种） ? 另解：因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有： 212019181716(,6)(1661,6)54264654321 RC C ?????∞=+-= =?????（组）即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页）母函数为： 2 323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ? 方法二： ()()()()()220 22220 02222023 ()(1)00121121n n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞ +==∞+==-=++-"=++=""????== ? ?-???? =-∑∑∑∑∑

组合数学习题4(共5章)

第四章生成函数 1. 求下列数列的生成函数：（1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4 }= 235 (11111) 1x x x x x +++-（）（2）343,,,333n +?????????? ? ? ????? ???? 解：3n G n +?????? ?????=4 1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=2 1 1x -. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…= 1 1kx -. 2. 求下列和式：（1）14+24+…+n 4 解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为 A(x)=235 (11111)1x x x x x +++-（）=0 k k k a x ∞=∑，此处a k =k 4 .令b n =14 +24 +…+n 4 ，则b n =0n k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生成函数为 B(x)= 0n n n b x ∞ =∑=() 1A x x -=34 125(1111)i i i x x x x x i ∞ =++++?? ??? ∑. 比较等式两边x n 的系数，便得 14+24+…+n 4 =b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ? ???????? 321 (1)(691)30 n n n n n =+++- （2）1·2+2·3+…+n (n +1) 解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)= 3 2(1)x x -=0 k k k a x ∞ =∑，此处a k = n (n +1). 令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0 n k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成函数为B(x)= n n n b x ∞ =∑= () 1A x x -= 4 2(1)x x -=032n k k k x x k =+?? ?? ?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得

李凡长版组合数学课后习题答案习题1

1 第一章排列组合 1、在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10；千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。 2、在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？解：（1）串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。（2）串中有5个1，除去0111110，个数为()6 2 -1＝14。（或： ()()41 42 *2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53 -1 种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有 ()()2*)2,2(41 52 -P 种。（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。所以满足条件的串共48个。 3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则 m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故 a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。 5、从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数字有多少个？解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数： ()())4,4(2)5,5(53 5 3 P P ??-? 只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)

组合数学与图论复习题及参考答案

组合数学与图论复习题及答案 1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2. 从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到 2n之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。 2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100. 设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj ＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。 3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质 4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q). 令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有 R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤ R(p,q-1)+R(p-1,q) 5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats? 6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。 7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A? What if B only refuses to sit on A right?

(完整版)排列组合练习题(全集)

排列组合复习题型总结一、特殊对象问题：优先进行处理 1.有5人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？ 2.有5人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？二、名额分配问题：名额插挡板法 3.有10个三好学生的名额分给3个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？ 4.有7个三好学生的名额，分给3个班，怎么分？三、分组分配问题：分配等于先分组，再把组分配出去 5.有6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？ 6.有6本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？ 7.有6本不同的书，分甲1本，乙2本，丙3本，有多少种分法？ 8.有6本不同的书，分三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少分法？ 9.有6本不同的书，分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？ 10.有9本不同分成三组，一组5本，另外两组各2本，有多少种分法？ 11.有9本不同的书，分给甲乙均2本，丙5本，有多少种分法？ 12.有9本不同的书，分给两人各2本，另一人5本，有多少种分法？四、相邻问题：捆绑法 13.8人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？ 14.8人排成一列，甲乙两人必须相邻，且都不和丙相邻，有多少种排法？ 15.一排8个座位，3人坐，5个空座位相邻，有多少种坐法？ 16.一排8个座位，3人坐，其中恰有4个空座位相邻，有多少种坐法？五、不相邻问题：插空法 17.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好没有任何2枪连续命中，有多少情况？ 18.8人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？ 19.8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？ 20.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好2枪连续命中，有多少种情况？六、成双成对问题：先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双 21.从6双不同鞋子中取出4只，要求都不许成双，有多少种方法？ 22.从6双不同鞋子中取出4只，要求恰好有一双，有多少种方法？七、可（不可）重复使用的对象：问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准（住店、投信、映射、冠亚军等） 23.5人住3家店，有多少种住法？ 24.若有4项冠军在3个人中产生，没有并列冠军，问有多少种不同的夺冠可能性。

李凡长版组合数学课后习题标准答案习题

第二章容斥原理与鸽巢原理 1、1到10000之间（不含两端）不能被4，5和7整除的整数有多少个？解令A={1,2,3,…,10000}，则 |A|=10000. 记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，则有： |A 1| = L 10000/4」=2500, |A 2| = L 10000/5」=2000, |A 3| = L 10000/7」=1428, 于是A 1∩A 2 表示A 中能被4和5整除的数,即能被20 整除的数，其个数为 | A 1∩A 2|=L 10000/20」=500；同理， | A 1∩A 3|=L 10000/28」=357, | A 2∩A 3|=L 10000/35」=285, A 1 ∩A 2 ∩ A 3 表示A 中能同时被4,5,7整除的数，即A 中能被4,5,7的最小公倍数lcm(4,5,6)=140整除的数，其个数为 | A 1∩A 2∩A 3|=L 10000/140」= 71. 由容斥原理知，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为 ||321A A A ?? = |A| - (|A 1| + |A 2| +|A 3|) + (|A 1∩A 2| + |A 1∩A 3| +|A 3∩A 2|) - |A 1∩A 2∩A 3| = 5143 2、1到10000之间（不含两端）不能被4或5或7整除的整数有多少个？解令A={1,2,3,…,10000}，记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为 ||321A A A ?? = |A| - ||321A A A ?? - 2 = 10000 - L 10000/140」- 2 = 9927 3、1到10000之间（不含两端）能被4和5整除，但不能被7整除的整数有多少个？解令A 1表示在1与10000之间能被4和5整除的整数集，A 2表示4和5整除，也能被7整除的整数集。则： |A 1| = L 10000/20」= 500, |A 2| = L 10000/140」= 71, 所以1与10000之间能被4和5整除但不能被7整除的整数的个数为：500-71=429。 4、计算集合{2·a, 3·b, 2·c, 4·d }的5组合数. 解令S ∞={∞·a, ∞·b,∞·c,∞·d}，则S 的5组合数为()1455 -+ = 56 设集合A 是S ∞的5组合全体，则|A|＝56，现在要求在5组合中的a 的个数小于等于2，b 的个数小于等于3，c 的个数小于等于2，d 的个数小于等于4的组合数. 定义性质集合P={P 1,P 2,P 3,P 4},其中： P 1：5组合中a 的个数大于等于3； P 2：5组合中b 的个数大于等于4； P 3：5组合中c 的个数大于等于3； P 4：5组合中d 的个数大于等于5. 将满足性质P i 的5组合全体记为A i (1≤i ≤4). 那么，A 1中的元素可以看作是由 S ∞的5－3＝2组合再拼上3个a 构成的，所以|A 1| =()142 2 -+ = 10.

排列组合练习题及答案

排列组合习题精选一、纯排列与组合问题： 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（） A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有（） A.12个 B.13个 C.14个 D.15个答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。4、22 58m n m A A +-= 选C. 二、相邻问题： 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？ 2. 有8本不同的书，其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.242448A A = (2) 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题： 1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？ 2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）

组合数学练习题_带答案

组合数学练习题第一章排列组合 1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？本题分为四种情况: 1位整数有4个: 2, 4, 6, 8 2位整数有4*4种方案, 有16个 3位整数有4*4*3种方案, 有48个 4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个总共有4+16+48+96=164个这样的整数. 2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 (1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3 名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来就是结果. C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+ C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9) (2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14 名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5 种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5 名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果. C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案? (1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以方案数为--- 2 (n!)2 (2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数除以2n, 所以方案数为--- (n!)2/n (3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以方案数为--- 2n n!/n 4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案

组合数学课后答案

习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

组合数学题库答案

填空题 1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法． 2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法． 3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．6()x y +所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程1232++=x x x 的非负整数解的个数为_ 6 ___． 6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系)()1()2(n f n f n f ++=+确定的数列 f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列 7．（3x-2y ）20 的展开式中x 10y 10的系数是 10101020 )2(3-c ． 8．求6的4拆分数P 4(6)= 2 ． 9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数f (20)=10946 10．计算P 4(12)= k k P P P P P P 4 412341 (12)(12)(8)(8)(8)(8) ===+++∑k k k k P P P P 34 121 1 (8)(8)(5)(4)145515===+++=+++=∑∑ 11．P 4(9)=（ D ）A ．5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合A a a a 1210{,,,}=的非空真子集的个数为（ A ）A.1022 B.1023 C. 1024 D.1021 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ） A ．800 B. 780 C. 900 D. 850 3．设x y (,)满足条件x y 10+≤，则有序正整数对x y (,)的个数为（ D ） A. 100 B.81 C. 50 D.45 4．求60123(32)+++x x x x 中x x x 23 012项的系数是（ C ） A.1450 B. 60 C.3240 D.3460 5．多项式40123(24)x x x x +++中项2 2012x x x ??的系数是（ C ） A ．78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 D.378 7．递推关系f n f n f n ()4(1)4(2)=---的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解 A ．n n c c 11222-+ B. n c c n 12()2+ C. n c n (1)2+ D. n n c c 1222+ 8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n n (1)>位数（）运用指数生产定理 A.n n n 43(1) 4 -+- B. n n 4314-+ C.n n 4213 -+ D. n n n 43(1)3-+-