2017_2018学年高中数学考点2命题及其关系、充分条件与必要条件(含2013年高考试题)新人教A版

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ5）已知命题:P x x R x 32,<∈?；命题

231,:x x R x q -=∈?，则下列命题中为真命题的是（ ）

A. p ∧q

B.￢p ∧q

C.p ∧￢q

D.￢p ∧￢q

【解题指南】对命题:P 采用特值法判断为假命题，命题q 利用存在零点的条件0)1()0(

【解析】选B.对于命题:P 取1-=x ，可知为假命题，命题q ：令1)(23-+=x x x f ，且0)1)(0(

2. （2013·湖南高考文科·Ｔ2） “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】若A B ≠

?,则A 是B 的充分不必要条件，反之，A 是B 的必要不充分条件， 若A=B ，则A 是B 的充要条件。

【解析】选A ，因为集合(1,2)是(-∞,2)的真子集,所以“1

3.（2013·安徽高考文科·Ｔ4）“(21)0x x -=”是“0x =”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】解出一元二次方程的解,根据充分必要条件的概念判定.

【解析】选B. 由12

T（2x-1）x=0x=0或x=，所以应选B. 4.(2013·北京高考理科·T3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】先将φ=π代入,得出曲线是否过原点,再求出过原点时φ的值,进而判断充分必要条件.

【解析】选 A.φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,过原点,但是函数过原点的时候φ=k π(k ∈Z).

5.(2013·福建高考文科·T2)设点(),P x y ,则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l :x+y-1=0上”的 ( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】先判断是否充分,再判断是否必要.

【解析】选A.由P ()2,1-在l 上,但l 上的点不止P,故选A.

6.（2013·湖北高考文科·Ｔ3）与（2013·湖北高考理科·Ｔ3）相同

在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）

A.（﹁p ）∨（﹁q ）

B. p ∨（﹁q ）

C. （﹁p ）∧（﹁q ）

D.p ∨q

【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.

【解析】选A. 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则﹁p 是“没有降落在指定范围”， ﹁q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ?∨()q ? .

7.（2013·陕西高考理科·Ｔ3）设b a ,为向量, =”是“//”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【解题指南】根据充要关系的概念从两个方面进行推理.

【解析】选 C..a ,,θ的夹角为与设为向量b b a 由==θcos 从而得1cos ,1cos ±==θθ,所以πθ或0=，能够推得//，反之也能够成立，为充分必要条件.

8.(2013·天津高考文科·T4)设a,b ∈R,则“(a-b)a 2

<0”是“a

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】依据充分必要条件的定义进行判断.

【解析】选A.由(a-b)a 2<0知,a 2>0,a-b<0,即a

9.(2013·天津高考理科·T4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;

③直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12

相切. 其中真命题的序号是 ( )

A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

【解析】选C.命题①由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的

12,则其体积缩小到原来的18

,正确;命题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们的标准差也不相

等,故该命题错误;命题③圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离

=

=d ,与圆x 2+y 2=12

的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确. 10.(2013·浙江高考理科·T4)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“2π?=

”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

命题与条件

第三讲 命题与条件 一、课前练习 已知函数2()1,,f x ax a R x R =-∈∈，集合 {}()A x f x x ==，集合[]{} ()B x f f x x ==， 且A B =≠?，求实数a 的取值范围。 解： 二、知识要点 1、命题与推出关系 （1）命题：表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成. （2）推出关系：如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，记作：αβ?. （3）正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明，即证明满足命题条件能推出命题结 论；错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例，即举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子. 例1、判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？ (1) 你是高一学生吗？ (2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线． (3) 个位数是5的自然数能被5整除． (4) 互为余角的两个角不相等． (5) 竟然得到5＞9的结果! (6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 解： 由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”． 要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论． 一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号 α?β表示，读作“α推出β”．换言之，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题． 如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作α β．换言之，α β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．

高中数学 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题

充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．选择题： (1)“1、x 、9成等比数列”是“x ＝3”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (3)若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．填空题 (4)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a ＋b i )(c ＋d i )为实数的充要条件是________ (5)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、或“既不充分又不必要”填空) (6)???>>1121x x 是???>>+122 121x x x x 的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、或“既不充分又不必要”填空) 3．解答题 (7)下列四个命题 ①设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题2)2 (:2 22b a b a q +≤+，则p 是q 成立的充分不必要条件； ②“tan α ＝1”是“4 π=α”的充要条件； ③“a ＝1”是“函数f (x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞)上为增函数”的必要不充分条件； ④设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分而不必要的条件中．写出正确命题的序号并说明理由． (8)已知数列{a n }和{b n }满足)(21221*N ∈++++++= n n na a a b n n ，求证：{a n }是等差数列的充要条件是{b n }是等差数列．本题可利用公式为： 6 )12)(1(21222++=+++n n n n (9)已知p ：｜x －4｜≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范 围． 答案：充分条件、必要条件与命题的四种形式 (1)C (2)B 提示：a ＝－2时，两直线平行． (3)C (4)ad ＋bc ＝0 (5)解：a ＝－1时，函数y ＝cos2ax －sin2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x 的最小正周期为π成立，所以答案充分不必要．

高中数学 命题知识点考点典型例题

高二数学选修1－1知识点 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 答案（找作业答案--->>上魔方格） 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的， 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q

高中数学基础知识体系及重难点分析

高中数学知识体系及重难点分析 初中与高中数学的学习差异 一、知识的不一样 初中数学知识面少、难度小，高中知识面广泛，将对初中的数学知识的推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：高中数学把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。在初中数学中，对一个负数开平方无意义，但高中数学却把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。 二、学习方法不一样 A、初中课堂教学量小、知识简单，教师通过课堂较慢的讲解速度，争取让同学们全面理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课内外练习、课外指导，达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握，而高中课程开设多，各科平均学习时间较少，学生做作业的时间也相对大大减少，进而造成了学生不能很快的消化掉新知识。 B、模仿与创新的区别，初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理较多，而高中随着知识的难度增加和知识面广泛，学生不能全面模仿，现在高考数学旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和学生创造能力培养，而学生恰恰在初中养成了模仿和定势思维，封闭了学生的丰富和创造能力，典型的是：学生对分类就没有很好的把握能力。 三、学生自学能力的差异 初中学生自学能力低，大凡考试中的解题方法和教学思维，教师基本上已反复训练，老师要把学生自己深刻理解的问题，都几种表现在他的耐心讲解和大量的训练中，而且学生听课只需熟记结论就可以做题，学生不需自学，但高中的知识面广，要教师训练高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、教典型的一两道题讲解如何融会贯通这一类习题，如果不自学，不靠大量的做题和阅读理解，将会是学生失去这一类题型的解题技巧。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全国的改革在不断的深入，教学题型的开发在不断的多样化，今年来提出了应用题型、探索题型和开放题型，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代教学的发展。 四、思维习惯上不一样 初中学生由于教学知识的范围小，知识层次题，知识面窄，对实际问题的思维收到了局限，就几何来说，接触的是现实生活中的三位空间，但初中只学习了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断，代数中数的范围只局限在实数范围内思考，就不能深刻的解决方程跟的类型等，高中数学知识的多元化和广泛性，将会是学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题，也将培养学生高素质思维，提高学生思维的递进性。 五、定量与变量的不同 初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般答案是常数和定量。学生在分析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在高中数学学习

高二会考数学重点知识点梳理五篇

高二会考数学重点知识点梳理五篇 高二会考数学知识点1 空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

(线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行. (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行) 高二会考数学知识点2 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x 在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的

线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也****于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 高二会考数学知识点3 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

高中数学充分条件与必要条件-例题解析

充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?

高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练

高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练 1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 3．直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．必要不充分 D．充要 5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件． 8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件． 9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程 x2－2x＋m＝0，(1) x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2) 求方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件．

(完整word版)高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总

目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21)

第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等

高三数学知识点重难点梳理最新5篇

高三数学知识点重难点梳理最新5篇 与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。 高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.

(5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明

高中数学充分条件、必要条件判断的三种方法学法指导

高中数学充分条件、必要条件判断的三种方法 对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。 1. 利用定义判断 如果已知p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。根据定义可进行判断。 例1. 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 是q 的_________条件；r 是q 的_______________条件；p 是q 的____________条件。 解：根据题意可表示为：r p r q s r q s ????，，， 由传递性可得图1 图1 所以s 是q 的充要条件；r 是q 的充要条件；p 是q 的必要条件。 2. 利用等价命题判断 原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。这一点在充要条件的判断时经常用到。 由p q ?，容易理解p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件却有点抽象。p q ?与???q p 是等价的，可以解释为若q 不成立，则p 不成立，条件q 是必要的。 例2. 已知真命题“若a b ≥则c d ≤”和“若a b <则e f ≤”，则“c d ≤”是“e f ≤”的____________条件。 解：“若a b ≥则c d >”的逆否命题为“若c d ≤则a b <”。 又“若a b e f <≤则” 所以“若c d e f ≤≤则”为真命题。 故“c d ≤”是“e f ≤”的充分条件。 3. 把充要条件“直观化” 如果p q ?，我们可以形象地认为p 是q 的“子集”；如果q p ?，我们认为p 不是q 的“子集”，根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下。 图2反映了p 是q 的充分不必要条件时的情形。图3反映了p 是q 的必要不充分条件时的情形。图4反映了p 是q 的充要条件时的情形。图5、图6反映了p 是q 的既不充分也不必要条件时的情形。 例3. 若p x x q x x ：或，：==-=-1213，则p 是q 的什么条件？ 解：由题设可知q x ：=2 参照图3，可得p 是q 的必要不充分条件。

【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点

【高中数学,四种命题及其关系】高中数学 命题及关系知识点 四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明； 而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.

即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2． 【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.

高中数学重难点图表

1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 — 以上必修是高中生必学的，选修部分安排如下： 理科学习选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。 选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。 选修2－3：计数原理、统计案例、概率。 选修4-5：不等式选讲。 文科学习选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 ) 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 ￥ 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 : 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。

高中数学—命题和充要条件—学生版

命题和充要条件 知识梳理 一、命题的概念 1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出 ，记作βα?。 相反的，如果 成立不能推出 成立，那么就说由 不可以推出 ，记作α β。 4、如果 ，并且αβ?，那么就说与 等价，记作βα?。 二、四种命题形式 1、一个数学命题用条件，结论 表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如 果 ，那么 ”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。 2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如 果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。 3、命题 、 的否定分别记作α、β。 4、如果把原命题“如果 ，那么 ”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题， 我们将它叫做原命题的逆否命题。 5、四种命题形式及其相互关系: 6、常见结论的否定形式：（拓展内容）

三、充要条件 1、充分条件与必要条件： 一般地，用α、β分别表示两个命题，如果 成立，可以推出 也成立，即 ，那么 叫做 的充分 条件。叫做 的必要条件。 2、充要条件： 如果既有，又有 ，即有βα?，那么 既是 的充分条件又是 的必要条件，这时我们就说 是 的充要条件。 例题解析 一、有关命题的概念 【例1】判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷2 60x +>；⑸112+>； 【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012 =++x x 无实根. （4）5>x （5）人类在2020年登上火星. 【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ， ，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11， ．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

高中数学知识要点：充分条件和必要条件

高中数学知识要点：充分条件和必要条件 高中数学知识要点：充分条件和必要条件 一、充分条件和必要条件 当命题“若 A 则B”为真时，A 称为 B 的充分条件，B 称为 A 的必要条件。 二、充分条件、必要条件的常用判断法 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A 或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 3.集合法 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆ B，则p是q的充分条件。 若A⊇B，则p是q的必要条件。 若A=B，则p是q的充要条件。 若A ?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 三、知识扩展 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

高中数学选修2-1知识点

高二数学选修2－1 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?”. ?，则q 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?”。 ?，则p 6、四种命题的真假性： 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧ ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q 是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．

高一数学必修一重点难点分析

一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础． 2．关于集合的概念分析

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界． 3．关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然 数集包含0；

高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂导学

1.3.1 推出与充分条件、必要条件 课堂导学 三点剖析 一、充分条件与必要条件的判断 【例1】在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由. (1)A：|p|≥2，p∈R.B：方程x2+px+p+3=0有实根； (2)A：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切.B：c2=(a2+b2)r2. 解析：(1)当|p|≥2时，例如p=3，则方程x2+3x+6=0无实根，而方程x2+px+p+3=0有实根，必有p≤-2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件. (2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，所以c2=(a2+b2)r2；反过来，若c2=(a2+b2)r2，则=r成立，说明 x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，故A是B的充分必要条件. 温馨提示 对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断. 二、探究充分条件与必要条件 【例2】设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0 有7个不同实数解的充要条件是( ) A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0 C.b＜0且c=0 D.b≥0且c=0 解析：f(x)= 故函数f(x)的图象如右图. 由图知，f(x)图象关于x=1对称，且f(x)≥0, 若方程f2(x)+bf(x)+c=0 ①有7个解，则方程t2+bt+c=0 ②有两个不等实根，且一根为正，一根为0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有8个解. ∵f(x)=0满足方程，则c=0,

全国百强名校 ”2020-2021学年高三数学重难点训练 (91)

第一讲 等差数列、等比数列 [高考导航] 1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解． 2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题． 3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节． 考点一 等差、等比数列的基本运算 1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ； S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； S n ＝????? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).

1．(2019·大连模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5 ＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [解析] 由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列 方程组，得????? 2a 1＋7d ＝24， 6a 1＋6×5 2d ＝48， 即?? ? 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16， 解得?? ? a 1＝－2，d ＝4， 故选C ． [答案] C 2．(2019·济南一中1月检测)在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148 [解析] 由题意可知， ?? ? a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即?? ? a 1(1＋q )＝9，a 1(1＋q ＋q 2)＝21， 解得?? ? q ＝2，a 1＝3 或????? q ＝－23， a 1＝27 (舍)． ∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A ． [答案] A 3．(2019·广东珠海3月联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 9＝15，则S 8－S 3＝( ) A ．30 B ．25

高中数学充分条件与必要条件 例题解析

充分条件与必要条件例题解析 能力素质 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q 的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? 对．且，即，是的充要条件．选． D p q q p p q p q D 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B

由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件； 当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ” “A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)”“A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．