工程数学教案

课程教案

2011~2012学年第一学期

课程编号

课程名称工程数学主讲教师胡丽姣职称助教

系（部）名称公共课部

20XX年09月28日

题目：数列极限的定义 函数的极限 课时：2

教学目的、要求：

理解数列极限的概念,会用数列极限的性质求一些数列的极限,理解函数极限的概念；会用函数极限的定义和性质求一些函数在某点处的极限；

重点：数列极限的定义，用数列极限的性质求一些数列的极限,函数极限的定义，求函数在某点处的极限；

难点：计算数列极限,函数在无穷远处的极限的概念的理解。 内容： 1．数列的定义 无穷多个数

,,,,,321n x x x x 按某些规律一个一个地进行排列，

n

x 为数列的第n 项，又

是通项。

例：（1） ,1,,41,31,21,1:n 1n ??????; 趋近于0 0

1lim n =∞→n （2 ,11,,411,311,211,2:n 11n ++++????

??

+; 趋近于1 111lim n =???

??+∞→n

（3）{} ,2,,8,6,4,2:2n n

（4）(){} ,0,2,,0,2,0,2:1

11

--+n

（5）{}()

是常数C C C C C ,,,,:C

C =∞

→n lim

分析以上五个数列的特性，得出数列的极限概念。 2、极限的定义：设有数列

{}n x ，A 为常数，当n 无限增大时，n x 无限趋近于A ，则数列极限存在或收敛，极限是A 或

{}n x 收敛于A 。记为

()

∞→→=∞

→n A A x n n x lim n 或

若

{}n x 极限不存在，则{}n x 发散。

数列的几何解释：将A 及

,,,,,321n x x x x 在数轴上一一表示出来，当n 无限增大时，数

列

{}n x 对应的点n x 聚集在A 点附近且无限趋近于A 点。

单调数列：

{}

n n x x x x x 321，则 ≤≤≤≤≤单调增加；

{}n n x x x x x 321，则 ≥≥≥≥≥单调减少； {}

n n x x x x x 321，则 <<<<<严格单调增加； {}

n n x x x x x 321，则 >>>>>严格单调减少。

例，??????n 1

3、数列极限的性质：（1）若收敛，则极限唯一。 （2）若数列收敛，则有界。

注：有界数列不一定有极限，如(){}1

1

1--+n 。

（3）单调有界数列必存在极限。 4、收敛数列运算法则：（1）若

,

lim lim B y A x n n n n ==∞

→∞

→，则

B

y x x n n n n n n n +=+=+∞

→∞

→∞

→A lim lim )y (lim 。

例：1lim

+∞→n n

n

（2）若,

lim lim B y A x n n n n ==∞

→∞

→，则B

y x x n n n n n n n A )lim )(lim ()y (lim ==∞

→∞

→∞

→。

例：23lim

n n ∞→ 推广：)

k (;lim 为正整数为常数，c n c

k

n ∞→。

（3）若,

0lim lim ≠==∞

→∞

→B y A x n n n n ，则

B A y x y n n n n n

n

n ==∞

→∞→∞→lim lim )x (lim 。

例

1

232lim 22+-+∞→n n n n ，

.

0,0a n ),,2,1,0,,2,1,0(,),,,(,lim 002211022110≠≠==≤N ∈+++++++++

----∞→b m j k i b a m k m k b n b n b n b a n a n a n a j i m m m m k k k k n 无关的常数，是与

．0x x →时函数)(x f 的极限

讨论抛物线2x y =在2=x 处的切线的斜率问题。

定义：设函数)(x f 在0x 的附近（在点0x 也可以无意义）有定义，A 是一个

确定的常数．若当x 无限趋近于0x 时，函数)(x f 无限趋近于常数A ，则称A 是

函数)(x f 在点0x 的极限（或)(x f 在点0x 的极限存在），记为

A x f x x =→)(lim 0

或)( )(0x x A x f →→．

两个常用结论：（1）()

为常数C C C x x =→0

lim ；

（2）0x lim 0

x x x =→.

例：（1）16x 4-x lim 24-→x （2）sinx

lim a →x （3）x

x 1

sin lim 0→ 2.单侧极限

左极限 如果函数)(x f 当x 从0x 的左侧(即0x x <)趋于0x 时以A 为极限，则A 称为)(x f 在0x 的左极限．记作

A x f x x =-

→)(lim 0或A x f =-)0(0．

右极限 如果函数)(x f 当x 从0x 的右侧(即0x x >)趋于0x 时以A 为极限，则A 称为)(x f 在

0x 的右极限．记作

A x f x x =+

→)(lim 0或A x f =+)0(0．

左极限与右极限皆称为单侧极限，它与函数极限(双侧极限)有如下关系：

A x f x x =→)(lim 0

的充要条件是A x f x f =+=-)0()0(00．

3.∞→x 时函数)(x f 的极限 例。讨论函数x

x 1

)(f =，当（1）()+∞∈,0x ；（2）()0,∞-∈x ;(3)()+∞∞-∈,x 的变化情况。

函数在正无穷远处的极限：A x f x =+∞

→)(lim 或者)( )(+∞→→x A x f 。

函数在负无穷远处的极限：A x f x =∞

→)(lim -或者)-( )(∞→→x A x f 。

函数在负无穷远处的极限：A x f x =∞

→)(lim 或者)( )(∞→→x A x f 。

题目：无穷大与无穷小，函数极限的运算法则，符合函数的极限，两个重要极限。 课时：2

重点：掌握极限的性质及四则运算法则。

了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 难点：无穷小的比较方法，两个重要极限的灵活运用。 内容：

1. 无穷小的定义：如果在自变量x 的某种趋向下，函数)(x f 以0为极限，则称在x 的这种趋向下，函数)(x f 是无穷小量。（书中例子）

注意：无穷小时一个以0为极限的函数，不能把它与很小的常数等同，在常数中（除0外）没有无穷小 无穷小的性质：

(1) 有限个无穷小的代数和是无穷小。 (2) 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。

2. 无穷大的定义：如果在自变量x 的某种趋向下，函数)(x f 的绝对值以∞为极限，则称在

x 的这种趋向下，函数)(x f 是无穷大量。（书中例子）

注：这时函数的极限不存在但仍记做∞=→)(lim 0

x f x x ，表示函数在x 的变化过程中的变化趋

势。

无穷大的性质：

（1） 两个无穷大的乘积仍然是无穷大。 （2） 有界函数与无穷大的和是无穷大； （3）无穷小和无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则

)

(1

x f 为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则

)

(1

x f 为无穷大 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当

≠n x 时：有

∞=?=∞→∞

←n

x x x 1

lim

0lim

3. 无穷小的比较：

设)(x f 和)(x g 都是同一变化过程下的无穷小，且0)(≠x g 。

（1） 若0)

()

(lim

=x g x f ，则称)(x f 是关于)(x g 的高阶无穷小，记为))((()(x g x f ο=，也称)(x g 是关于)(x f 的低阶无穷小；

（2） 若0)()

(lim

≠=a x g x f ，则称)(x f 和)(x g 是同阶无穷小，特别当1)

()(lim

=x g x f ，则称)(x f 和)(x g 是等价无穷小，记为)()(x g x f ～。

分析书中例题。 4. 函数极限的运算法则

定理1.9 若A x f x x =→)(lim 0

，B x g x x =→)(lim 0

，则有：

B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim ))()((lim 0

；

AB x g x f x g x f x x x x x x =?=?→→→)(lim )(lim ))()((lim 0

；

)0)(lim ()(lim )(lim )()(lim 0

00≠===???? ??→→→→B x g B A x g x f x g x f x x x

x

x x x x 。

推论1.3

黑板演示书中例题1.10，1.11，1.12. 5.复合函数的极限运算法则 回忆初等函数，复合函数的概念

设函数)}([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合而成，)]([x g f 在点0x 的 某去心邻域内有定义，若0)(lim 0

u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0

，且存在00>δ，当),(000

δx u x ∈

时，

有0)(u x g ≠，则

A

u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0

6.两个重要极限

通过书中的表格分析推出该结论。 （1）1sin lim

0=→x

x

x

例：

x x x tan lim

0→2

0cos 1lim x x

x -→

x

x x arcsin lim 0→ （2）x

x x

)11(lim +

∞

→ 例：x

x x

)11(lim -∞→，x x 1

0)x 1(lim +→

分析书中例题。

题目：函数的连续性 课时：2

重点：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、 最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 难点：判别函数间断点的类型，应用函数的性质解题。 内容：

1.左连续，右连续

左连续的定义：若函数f 在点0x 有)()0(00x f x f =-，则称函数f 在点0x 左连续； 右连续的定义：若函数f 在点0x 有)()0(00x f x f =+，则称函数f 在点0x 右连续； 连续的定义：函数f 在点0x 连续，当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 三者相等：

)0()()0(000+==-x f x f x f

或者：当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值 。

)()(lim 00

x f x f x x =→

函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续。

函数在区间［a,b ］连续指在区间（a,b ）连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连

续。

注：左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 连续函数的四则运算：

1）.)()(lim

00

x f x f x x =→且)()(lim 00

x g x g x x =→，

?{

})()()()(lim 000

x g x f x g x f x x ?+?=?+?→βαβα 2）.)()(lim

00

x f x f x x =→且)()(lim 00

x g x g x x =→，

?{})()()()(lim 000

x g x f x g x f x x *=*→

3).)()(lim

00

x f x f x x =→且0)()(lim 00

≠=→x g x g x x ，

?)

()

()()(lim

000

x g x f x g x f x x =→ 2.反函数连续定理：如果函数f D x x f y f ∈=)(:是严格单调增加（减少）并且连续的，

则存在它的反函数1

-f ：f D y y f

x ∈=-)

(1

并且1

-f

也是严格单调增加（减少）并且

连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成

1

)

(1

-∈=-f D x x f

y

3. 复合函数的连续性定理：

设函数f 和g 满足复合条件g ?f D ?，若函数g 在点x 0连续；00)(u x g =，又若函数f 在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

))(lim ())((lim 0

x g f x g f x x x x →→=

从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。 4.间断点

若：)0()()0(000+==-x f x f x f 中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、 第一类间断点：

)0()0(00-≠+x f x f

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 例：见教材。

2 、第二类间断点0x ：左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在 例：见教材。

3.若)0()0(00+=-x f x f ，但)()0(00x f x f ≠-，且)()0(00x f x f ≠+，则称0x 是函数)(x f 的可去间断点。 例：见教材。

5.闭区间上连续函数的性质

1）、（有界性定理）：如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。 2).（最大、最小值定理）设函数：D x x f y ∈=,

)(在上有界，现在问在值域

{}D x x f y y D ∈==),(1

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点D x ∈0的函数值 )(00x f y =，则记{})(max 0x f y D

x ∈=叫做函数在D 上的最大值。

类似地，如果 f D 中有一个最小实数，譬如说它是某个点f D x ∈2的函数值

)(22x f y =，则记{})(min 2x f y f

D

x ∈=称为函数在上的最小值 。 零点定义：若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点

3）.（ 零点定理）：如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且f 在区间[]b a ,的两个端点异号：

0)(*)(

4).（中值定理）：如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。 作业：见课后各章节练习。

题目：导数的概念 课时：2

教学目的、要求：

理解导数的概念和函数变化率的思想，会用导数定义求一些简单函数的导数，基本初等函数的导数。 教学重点、难点

重点：导数的定义，用导数的定义求一些函数的导数

难点:导数作为变化率的概念的理解

引入：物体沿直线运动的在某一时刻的瞬时速度问题

设某点沿直线运动，于时刻t 在直线上的位置的坐标为s ，这样，运动完全由某个函数)(t f s =所确定，这个函数称为位置函数。对于最简单的情形，即该动点在某一时间内做匀速直线运动，那么它的速度就是

所花的时间

经过的路程

，如果

运动不是匀速的，首先取从时刻0t 到t 这样的一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置)(00t f s =移动到)(t f s =的平均速度就是

000)

()(t t t f t f t t s s =-=--，如果时间间隔很短，这个比值也可用来说明动点在时刻0t 的速度。但对于动点在时刻0t 的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切的应当这样：令0t t →，取上式的极限，如果这个极限存在，设为v ，即0

0)

()(lim 0

t t t f t f v t t --=→，v 称为动点在

时刻0t 的（瞬时）速度。

1.导数的定义从上面讨论的问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率问题都归结为如下的极限：

0)

()(lim

x x x f x f x x --→，

（*）

这里0x x -和)()(0x f x f -分别是函数)(x f 的自变量的增量x ?和函数的增量

y ?：0x x x -=?，)()()()(000x f x x f x f x f y -?+=-=?，

因0x x →相当于0→?x ，故（*）式也可以写成

x y

x ??→?0lim

或x

x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 由以上内容，我们得出函数的导数概念。

定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量

x ?（点x x ?+0仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量)()(00x f x x f y -?+=? 如果y ?和x ?之比当0→?x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为)(0x f '，即

x

x f x x f x y

x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim

)(00000，

也可记作0x x y ='，

x x dx

dy

=或

)(x x dx

x df =。

注：（1）可导的等价概念

函数)(x f 在点0x 处可导?函数)(x f 在点0x 具有导数或导数存在。 （2）导数常见的不同形式的定义式

h

x f h x f x f h )

()(lim

)(000

0-+='→或000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→。

（3）如果极限不存在，就说函数函数)(x f 在点0x 处不可导。 2.由定义求导数的步骤:

);()()1(00x f x x f y -?+=?求增量

;)

()()2(00x

x f x x f x y ?-?+=??算比值

.lim

)3(0x

y

y x ??='→?求极限

习题：求一些函数的导数。 （1）、)()(为常数C C x f =

（2）、求函数)()(+∈=N n x x f n 在a x =处的导数。 （3）、)sin()(x x f =

3.函数的变化率问题

因变量增量与自变量增量之比

x

y

??是因变量y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数)(0x f '则是因变量在点0x 处的变化率，它反应了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 4.导函数的概念

如果函数)(x f y =在开区间I 内的每一点处都可导，就称函数)(x f 在开区间

I 内可导。这时，对于任一I x ∈,都对应着)(x f 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数)(x f y =的导函数。

导函数的定义式

x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim

或h

x f h x f x f h )

()(lim )(0-+='→

可导与连续的关系：若函数)(x f 在0x 处可导，则函数)(x f 在点0x 处连续，反之不然，函数)(x f 在不连续点上一定不可导。 5.基本初等函数的导数： （1）、)()(为常数C C x f =

（2）、求函数)()(+∈=N n x x f n 在a x =处的导数。 （3）、)sin()(x x f = （4）、)10(a y x ≠>=a a 且

题目：导数的四则运算，复合函数、反函数求导法则 课时：2

教学目的、要求：

熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解导数的四则运算法则和一阶了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数，会求反函数的导数。 教学重难点：

重点：用导数的四则运算法则计算函数的导数 难点：复合函数的导数，反函数的导数 内容：

1.导数的四则运算法则：

和的求导法则：设函数)(),(x v x u 在点x 处都可导，则函数)()(x v x u y +=在点x 处可导，且导数为)()('+'='x v x u y 或)()())()(('+'='+x v x u x v x u 。

积的求导法则：设函数)(),(x v x u 在点x 处都可导，则函数)()(x v x u y =在点x 处可导，且导数为)()()()(x u x v x v x u y '+'='。

商的求导法则：设函数)(),(x v x u 在点x 处都可导，且0)(≠x v 则函数)

()

(u x v x y =

在点x 处可导，且导数为)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u y '

-'='

???

? ??='。 2.反函数的求导法则：设函数)(x f y =在点x 的某个邻域内连续且严格单调增加（减少），)(x f '存在，且0)(≠'x f ，则函数)(x f y =的反函数)(y x ?=在点y 处可导，且)

(1

)(x f y '=

'?，即反函数的导数是其原函数导数的倒数。 3.导数基本公式表（见教材）。

4.复合函数的导数：()x u ?=在X 有导数dx

du ，()u f y =在对应点u 有导数du

dy ，

则复合函数()[]x f

y ?=在X 处也有导数，即()()x u f dx

du du dy dx dy //??=?=。

注：熟练掌握复合函数求导运算方法后，中间变量可以不写出，只要分清函数的复合关系并暗记心中，就能直接计算出复合函数的导数。

对数求导法：有些函数用对数求导法求导非常简便，其原理和方法由接下来的例题说明。

5.高阶导数：二阶导数：

()()x

x f x x f x x dx y d x f x ?-?+===

'

'→?0/0/0

22lim

)( ()()00//x x x x x f x f lim

--=→

同理函数)(x f ''在点x 处的导数为函数)(x f y =的三阶导数记为)(x f '''。 以此类推，函数)(x f y =在点x 处的1n -阶导数的导数为函数)(x f y =在点x 处

的n 阶导数。

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 例：自由落体运动瞬时速度和加速度的问题。

题目：微分 课时：2

教学目的，要求

理解导数和微分的概念与微分的关系，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的

不变性，会求函数的微分。

重点：微分的概念，微分的运算法则。

难点：微分与导数的关系，一阶微分形式不变性 内容：

1.微分：讨论当0→?x 时，)(0x x f ?+的近似求法.

先看一个例子：设2

)(x x f y ==，在点0x 的领域内给一增量x ?，计算)(x f 的增量y ?。

.

03)()(33)()()(2

3

2020303000）（当→???≈?+??+??=-?+=-?+=?x x x x x x x x x x x x f x x f y

这是因为0])(3[lim )()(3lim

2003

200=?+??=??+??→?→?x x x x

x x x x x 。即320)()(3x x x ?+??是关于x ?的高阶无穷小（当0→?x ）。亦即3

2020)()(33x x x x x y ?+??=??-?是无穷小（当0→?x ），用x x ??203代替y ?，计算方便且误差很小。

定义2.2 若)(x f y =在点0x 的领域内给一增量x ?，相应的函数)(x f y =的增量y ?可表示为：

.0)()()(00）（→??+??=-?+=?x x x A x f x x f y ο

其中，A 是与x ?无关的常数，0)

(lim

=??→?x

x x ο，

)(x ?ο是关于x ?的高阶无穷小（0→?x ）。则称函数)(x f 在点0x 处可微，x A ??称为函数)(x f 在点0x 处的微分，记为dy 或)(x df ，即x A dy ??=。

注意 x A ??是关于x ?的一次函数，当0→?x 时，x A dy y ??=?~，x A ??也称为

)(x x A y ?+??=?ο的线性主要部分。

可微与可导的关系

设)(x f y =在点0x 出可微，则有

)(x x A y ?+??=?ο，

所以

x

x A x y ??+

=??)

(ο，

A x x A x x A x y x x x x =??+=??+=??→?→?→?→?)(lim lim ))((lim lim

0000οο。

由导数的定义，则有

A x f =)(0'

从而有

x x f x A dy ?=??=)(0'。

反过来，若)(lim

0'0x f x y x =??→?，则有α+=??)(0'x f x

y

。当（0→?x 时，0→α；这是收

敛极限的一个定理，仅在此说明）

所以x x x f y ??+?=?α)(0'

。（当0→?x 时，0→α）

因为0lim lim

==???→?→?ααx x x

x

，由微分定义，有

.)(0'x x f dy ?=

综合以上情况，归纳出以下定理。

定理2.3 函数)(x f y =在点0x 可微的充要条件是)(x f y =在点0x 可导，且

.)(0'x x f dy ?=

解析例2.23

一般地，函数)(x f y =在任意点x 的微分.)(0'

x x f dy ?=称为函数的微分。

解析例 7

5x y =

微分的几何意义。（见教材）

2.微分的运算法则和公式见教材。

3.一阶微分形式的不变性：

设复合函数)(),(x u u f y ?==，于是按复合函数的求导公式，有

)()]([)()(''''x x f x u f dx

du du dy dx dy ???==?=， 所以

du u f dx u u f dx x x f dy )()()()](['''''=?==??.

可以看出，不论是自变量u ，还是函数)(x u ?=，都有du u f dy )('

=，这一特征称为一阶微分形式的不变性。这在不定积分的凑微分法中常需用到。 注： 可导?可微 解析例2.24

题目：中值定理与洛必达法则 课时：2

教学目的与要求：

掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

教学重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的运用。 难点：中值定理的灵活运用。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．（罗尔定理）：如()x f

满足：（1）在[]b ,a 连续. （2）在()b ,a 可导. （3）

()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈

ξ，使()0f /=ξ

例设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=

有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 2.（拉格朗日中值定理）：如()x f

满足：①在[]b a ,连续；②在()b a ,连续，

则存在()b ,a ∈

ξ，使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。

推论：如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f

=。

注：在拉格朗日中值定理中，如果()()a f b f ≡，则拉格朗日中值定理就转化成了罗尔中值定理，所以罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。

3.（柯西中值定理）如果函数()x f ，()x g 满足：（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,内可导且()0/≠x g ，则在开区间()b a ,内至少存在一点()b ,a ∈ξ，使得

)

()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=

--。

显然，当()x x g =/时，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理，所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。

4.洛必达法则：如下的函数极限都是未定形。

1、

型： 如：x x x x x --→tan sin lim 0型：

2、

∞

∞

型： 如：0ln lim >+∞→a x x a

x

3、∞*0型： 如：0ln lim >?+∞

→a x

x a x

4、∞-∞型：如：)1sin 1(

lim 0

x

x x -→ 5、0

0 型： 如：x x x arctan 0

lim

+→

6、0

∞ 型： 如：x

x ctgx ln 10

)

(lim +→

7、∞

1 型： 如：2

1

0)sin (lim x x x

x → 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，

且它们只表示类型，没有具体意义。 1）、

00（∞

∞

）型的洛必达法则a x →(同理∞→x ) 定理：对函数()x f ，()x g ，如果： （1）

0)(lim )

(=∞→→x f x a x , 0)(lim )

(=∞→→x g x a x

（2）在某个邻域),(δa N 内（X x >后）有导数'f 和'g ，且0)('≠x g ； （3）)

(')

('lim

)

(x g x f x a x ∞→→存在（或无穷），则成立： )()

(lim )

(x g x f x a x ∞→→=)(')('lim )(x g x f x a x ∞→→

2）、其它类型

1) 0

11

,

0∞

→

∞

?∞

2) 0

0000101?-→-→

∞-∞ 3)

)0(0

ln 0ln 00型∞??=→=y y

4) 0,1∞==∞

y y 解法同3）

定理：对函数()x f ，()x g ，如果：