第二章 关联函数与场的相干性

第二章 关联函数与场的相干性

主要是解决一个问题：关联函数与场的相干性的关系问题 回忆2.1：

在第一节主要是讲一阶关联函数与光的相干性的问题

光的相干性的经典解释：就是能产生干涉，光相干性就好，可见度V=1极大值，相干性介于0

目前的光探测器都是基于光电效应的原理，光场的量子特性通过光电效应的量子特性体现出来。对于大多数探测器，基本上是只发生光的吸收过程，即吸收一个光子，同时产生一个光电子。

现以量子化的行波场为例：

),(?),(?)1()](?)(?[2])(?)(?[2),(?)()(,0,0t r E t r E

kr e t a t a V

i e e t a e t a V

i t r E

s

k ks

ks ks k s

k ks

ikr ks ikr ks k -++

-+

+=<<-=-=∑

∑εωεω

E （+）为电磁场的正频项，他只包含电场的湮灭算符，而E （-）称为电磁场的负频项，他只含有产生算符。在光的吸收过程中，只有场的正频项起作用，因而，探测过程在E （+）与E （-）之间就引入了一个不对称性，一直以来人们实际上探测到的是场正频部分的算符E （+），而不是整个场算符E （-） ，这正是光场测量的量子理论与经典理论的根本区别。

为此，探测某个光场的量子理论结果为：

)},(?),(??{),(?),()()(2

)(t r E t r E Tr t r E t r I f

f +-+==ρ

ψψ 从关联函数的定义去解释：(以双缝干涉为例)

),(?),(?)1()](?)(?[2])(?)(?[2),(?)()(,0,0t r E t r E

kr e t a t a V

i e e t a e t a V

i t r E

s

k ks

ks ks k s

k ks

ikr ks ikr ks k -++

-+

+=<<-=-=∑

∑εωεω

(+)表示场的正频部分，与湮灭算符有关，（—）表示场的负频，对应产生算符部分

2

22222)(2111111)

(1

)

/,()},(?,)/,(),(?S c S t r E t r E S c S t r E t r E -=

-=+

+++ )],(?)(?[1),(?),(?)},(?2

)(21)(122)(211)(1)(x E x E R

t r E t r E t r E p ++++++=+= 假定R S S ≈≈21

)}(?)(??{),(),()

,(Re 2),(),()],(Re 2),(),([1)](?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?[1)},(?),(??{),(2)(1)(21)1(21)1(21)1(22)1(11)1(21)1(22)1(11)

1(1)(12)(22)(21)(12

)(22)(21)(11)(1)()(x E x E Tr Cos x x G x x G x x G x x G x x G I x x G x x G x x G R

x E x E x E x E x E x E x E x E Tr R

t r E t r E Tr t r I +-+-+-+-+-+-=ψ=++∝++=

++==ρρ

归一化：)

,(),(),(),(22)

1(11)

1(21)1(21)

1(x x G x x G x x G x x g =

与经典干涉对比，当x1和x2相等时，其实g 反映的就是可见度，为此可以说，g 越大，相干性越好，同时注意，根据正定性条件有：

S2

),(),(),(0

),(22)

1(11)

1(2

21)

1(21)1(x x G x x G x x G x x G ≤≥

所以有：0≤g （1）≤1 举例： 对单模行波场:

)()(0)(??2),(?t kr i t kr i e a iK e a V

i t r E

ωωεω

--+== 1) 对Fock 态：

)]1()([2)]1()([2)()(22)(11)(21)

1(22)1(22)()(1

1)(11)(11)1(22122122111111????)(),(?),(?),(),(????)(),(?),(?),(t t r r k i t t r r k i t kr i t kr i t kr i t kr i ne K n a a

n e K n e a iK e a K i n n t r E t r E n x x G x x G n K n a a

n K n e a iK e a K i n n t r E t r E n x x G ----+-------++-+---++-==-=====-==ωωωωωω

显然：1),(21)1(=x x g 2) 对相干态：

)]1()([2

2

)]1()([2)()(22)(11)(21)

1(22)1(2

22)()(1

1)(11)(11)1(22122122111111????)(),(?),(?),()

,(????)(),(?),(?),(t t r r k i t t r r k i t kr i t kr i t kr i t kr i e K a a e K e a iK e a K i t r E t r E x x G x x G K a a

K e a iK e a K i t r E t r E x x G ----+-------++-+---++-==-=====-==ωωωωωωαααααααααααααα

显然：1),(21)1(=x x g

所以从一阶关联函数的角度看，光子数态和相干态的相干性是一样的，也即从干涉的角度看是一样的，我们叫经典方法。但是，从量子角度看，应该有所不同，否则，我们量子光学对这一问题的了解就该结束？为什么？因为它的光子数分布就不同，它的不同体现在下面的讨论中。

2.2二阶关联函数

一、二阶关联函数的背景及定义：

关于二阶关联函数的问题，我们首先要提到HBT 实验，它一直被称其为量子光学的奠基性实验（Birth of quantum optics ）, 因为它打破了传统关于相干性即

为能产生干涉的概念。说到这里，我们还得提到另一个人，Glauber，那么他被成其为full quantum theory developed by Glauber

Radio stars: R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss,

"A New Type of Interferometer for Use in Radio

Astronomy", Philosophical Magazine (7) 45 p663

(1954)

Optical:R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss, "A

Test of a New Type of Stellar Interferometer on

Sirius", Nature 178 p1046 (1956)

HBT实验的最初想法是，探测来自星球的信号（主要是干涉信号），因为弱，另外，对星球来说，距离地球很远，所以用传统的干涉，很容易受到大气干扰（距离不稳定对应相位不稳定），所以就产生了这一想法，探测强度信号，其工作原理与图，2探测器接收来自星球的强度信息，然后再将信号相乘，结果是，虽然相位信息丢失，但是依然观察到信号，叫做强度干涉信号。比较他与双缝干涉的差别：

1）探测器1到2;

2）信号相加变为信号相乘;

3）将场的关联（E）变为强度(I)关联;

4）由相位函数变为时间函数；

5）导致干涉发生质的变化？什么变化？下面我们从理论推倒出发.

其测量结果为：

)

,(),(),(),(),(),())(,),((),(),(),(2121221121ττττττ+-+=+-+-=+??=+t r I t r I t r I t r I t r I t r I t r I t r I t r I t r I t t D

)

,()()()()()()()()()},(),(?{)()(),(21)2(****x x G t E t E t E t E t E t E t E t E t r I t r I Tr t I t I t t C =++=++=+=+=+τττττρ

ττ 这里为了配合后面的量子习惯用法，或者探测原理，把打*号的放（负频部分）最前面

称其为二阶关联函数

归一化：

)

,()

()()

()()()(21)2(**x x g t I t I t E t E t E t E =+++τττ

二：二阶关联函数的特性：

1）当延时为0，

根据0)()()()()(22221221≥-+≤y x t I t I t I t I

则有：)()

(22

t I t I ≤

所以有∞≤ )0(1)2(g

2）对延时不为0的情况，那么可能的结果为∞≤ )(0)2(τg

但根据柯西不等式：...][....][2222z y x xyz ++≤（经典统计） 所以有)0()()2()2(g g ≤τ------经典场特性（这就叫聚束效应） 如果：)0()()2()2(g g ≥τ我们就叫量子效应（反聚束效应） --------这2点构成经典与非经典场的判据

三、讨论二阶关联函数的重要性，对比一阶情况

那么下面我就回到二阶关联函数的特点上： 举例： 1）Fock 态：

),(????)(),(?),(?),()2)(1(???????)(?)(),(?),(?),(?),(?),(22)1(22)()(11)(11)(11)1(44)()()()(11)(22)(22)(11)(11)2(1111112122211x x G n K n a a

n K n e a iK e a K i n n t r E t r E n x x G n n n K n a a a a

n K n e a iK e a iK e a K i e a

K i n n t r E t r E t r E t r E n x x G t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i ===-==≥-==--==+---++-++----+--+++--ωωωωωω

所以当n 大于等于2时，n n

K n K n n K x x g 1

1)1(),(2

2421)

2(-=?-= 当n=1时，

),(1??11??)(11),(?),(?1),(00??01????11???)(?)(11),(?),(?),(?),(?1),(22)1(22)()(1

1)(11)(11)1(44)()()()(11)(22)(22)(11)(21)2(1111112122211x x G K a a K e a iK e a K i t r E t r E x x G a a n K a a a a

K e a iK e a iK e a K i e a

K i t r E t r E t r E t r E x x G t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i ===-=====--==+---++-+++----+--+++--ωωωωωω

所以有：

0),(21)2(=x x g

当n=0时，

00??00??)(0),(?),(?0),(0

0???)(?)(00),(?),(?),(?),(?0),(2)()(11)(11)(11)1()()()()(11)(22)(22)(11)(21)2(1111112122211==-===--==+---++-----+--+++--a a

K e a iK e a K i t r E t r E x x G e a iK e a iK e a K i e a K i t r E t r E t r E t r E x x G t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i ωωωωωω

这时??),(21)2(=x x g

结论：对n ≥2的场，g2<1, 不满足第一条，所以是非经典场）；对n=1的场，g2=0, 不满足第一条，所以是非经典场；另外要注意n=0时，g2=0的情况，此时的值与单光子类同，在实际操作和实验中必须有鉴别方法。这就是为什么大家都知道的单光子的二阶关联度越接近于0越好的问题，当然实际中不可能完全等于零，为什么？（=0都和能量不是无限值有关）思考一下这个问题。另外要注意n=0时，g2=0的情况，此时的值与单光子类同，在实际操作和实验中必须有鉴别方法。

2）相干态：（经典场的2个特性都满足）

),(????)(),(?),(?),(???????)(?)(),(?),(?),(?),(?),(22)1(2

2

2)()(11)(11)(11)1(4

44)()()()(11)(22)(22)(11)(11)2(11111

1

21

2

2

2

1

1

x x G n K a a

K e a iK e a K i t r E t r E x x G K a a a a

K e a iK e a iK e a K i e a

K i t r E t r E t r E t r E x x G t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i t kr i ===-====--==+---++-++----+--+++--ααααααααααααωωωωωω

所以1),(2

2

2

2

4421)2(=?=

α

αα

K K K x x g

相干态的二阶关联度依然为一，满足判据第一条的最低极限值，这是一个证据说明相干态是经典场，准确地说是经典与非经典的界限。

另外：从这2个态可以看出，它们的二阶关联函数和时间没关系。这是因为单模、纯态，把指数因子全部消掉所造成的。 课后作业：

1、继续关于Fock 态和相干态g two 的计算，并对结果进行讨论和区别，不知道第一章又没有讲到压缩态，有的话，压缩态的g two 也要计算，并分析特点；

2、对比双缝干涉和HBT 实验，得出你自己的一些相同和不同的看法。

2.3 经典和量子关联函数

补充内容：在开始这一章节的讲述之前，我要提一下，关于书本里提到的量子关联函数和经典关联函数，事实上，我们在推导过程中，一直用的是关于量子化的场，所以有理由说我们的推导已经是量子关联函数，也许大家没注意，经典和量子的差别仅在于测量塌缩的问题，所以： 经典：

)

()()()()()()()()},(),(?{)()(),(*

*

*

*

21)2(t E t E t E t E t E t E t E t E t r I t r I Tr t I t I x x G τττττρ

τ++=++=+=+=

量子：

=

++≠++=)()()()()()()()(),(*

*

**21)2(ττττt E t E t E t E t E t E t E t E x x G

测量2个光子的过程，是一起淹没2个光子，所以对应的是

)},(?),(?),(?),(??{),(?),(?),(1

1)(22)(22)(11)(2

11)(22)(t r E t r E t r E t r E Tr t r E t r E t r I f

f

++--++==∑ρψψ另外量子化中我们把电场量子化成关于产生淹没算符问题，不考虑空间变化的情况，在单模场情况下，常数能分子分母约掉，时间的指数项也能约掉，所以经常会化简成：

)(?)(?)0(?)0(?)0(?)(?)(?)0(?)()2(τττττa a a a

a a a a

G +

+

++≠=

事实上针对二阶以上关联函数的讨论，都是量子关联导致的结果，所以在二阶以上讨论经典关联函数没什么必要。

2.4热光场的相关函数

以上我们对2类典型的光场的一阶，二阶关联函数进行了举例讨论，在光学里还有一类比较典型的光场，那就是热光场，也叫混沌光，它的关联函数特性是我们了解后面有关聚束与反聚束效应的基础

在这里，我们分别单模热光场和多模热光场进行讨论：态？？不知道，因为它是混合态。 一、密度算符

但描述它用到第一章讲到的密度算符： 单模热光场：

n n e

e n n P n

t

k n n

t

k n B B ∑∑-

-

-==ωω

ρ

}1{?

11

]1[,)

1()(?-+-=+=∑t

k n n n

B e

n n n n n ωρ

t

k a a t

k B B e

e +-

--=?}1[?ωω

ρ

1?)

1(?)(?++++=a a

n a a

n ρ

多模：

11

]1[,)1()(?-+-=+∏=∑t

k l n l l n l

n l l B l l

e

n n n n n ω

ρ

二、一阶关联函数

1、单模：

)()(0)(??2),(?t kr i t kr i e a iK e a V

i t r E

ωωεω

--+== ∑∑∑

∑-+--+-+--+---++---+++-+=+=+=-+==n t t i r r ik n n n m t t i r r ik n n t kr i t kr i n

m n n t kr i t kr i n n n ne n n K ne n m n n K m e a e a n n n n m K

e a iK e a K i n n n n Tr x E x E Tr x x G )()(1

2

,)()(12

)()

(,1

2

)()

(1

2

)(1)(21)1(2121212111111111)

1()()1()(??)

1()(??)()1()()}(?)(??{),(ωωωωωωρ

),()

1()(),(22)1(1

2

11)

1(x x G n n n K x x G n n n

=+=∑+ 所以：ωτωi t t i r r ik e e x x G x x G x x G x x g --+--===

)()(22)1(11)1(21)1(21)

1(2121)

,(),(),(),(

结论：单模热光场为一阶相干场

2、多模：

)()(0)(??2),(?t kr i l l l

t kr i l l

l

l l e a iK e a V i t r E

ωωεω--+∑∑== V K e m m m K s u m n m e a e a n n m n n K K m e a e a n n n n m K K e a iK e a

K i n n n n Tr x E x E Tr x x G u u

m

i u m m u

u

s

l

m

n

m l n m t kr i s t kr i u l l n l n l s u u

s

l

t kr i s

t kr i u n m l l n l n l s u u

s

l

t kr i s s s

t kr i u u u

n l

l n l n l l u l

s u l l s u l

l l s u l l l

02

1

2

,,)()

(1

)

()(,1)()(1

2)(1)(21)1(2,)1()(1

,1,,,??)

1()(??)1()(??)()1()()}(?)(??{),(111111111111εωρτωωωωωωω =+→→→==+∏=+∏=-+∏==∑∑

∑∏

∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑

∑-+---++---++---+

++-

V K m m m K x x G x x G u u

m

u m m u

u

02

1

2

22)1(11)1(2,)1()()

,(),(εω =+=∑∑

+ 所以：∑∑

∑∑∑∑-+-+=++==

u

u

u i u u u

m u m m

u u

m i u m m u

u

m e m m m m K e m m m K x x G x x G x x G x x g u u ω

ωτωτω1

21222)1(11)1(21)1(21)

1()1()()1()()

,(),(),(),(

三、二阶关联函数

结论：

1）多模热光场的二阶关联度：,2)(1)2(≤≤τg

2）对罗伦兹线宽型热光场：1)()(2

)1()2(+=ττg g ，λτωττ--=i e g )()1( 所以有0/)2(/1,11)(0

τγττττγ=+=+=--e e g

这说明什么问题呢？回到下一节看

2.5 光子的聚束与反聚束效应 一、聚束效应

根据热光场的二阶关联度，我们可以这么来理解，gama 是衰变率，什么造成的衰变率？那就是光的自然展宽或碰撞展宽。

当0ττ<<时，也即探测时间很短，短到比随机宽度小很多，这时有

)()(0)2()2(ττg g >，这一结果说明什么呢？说明我们在比自然线宽小的时间里观察时，获得2个光子的几率比自然分布要小，，--------聚束效应

所以，热光场是聚束的-------经典效应 二、反聚束效应

反之，如果对一个场，其)()(0)2()2(ττg g <，就叫反聚束效应

演化到现在的结论：是与相干态的二阶关联度（1)()2(=τg ）相比，所以有：

1)()2(>τg --------聚束效应 1)()2(<τg ---------反聚束效应

举例：单光子是反聚束的-------非经典效应

三、聚束反聚束与泊松亚泊松分布的区别：

对一个单模场：

22

222)

2(?)?(1?)1?(?????????????)0(><><->?<+

=><>-<=

><>-<=><><=++++++n

n n

n

n n n a a a a a a a a a a a a g >>=

2)?(-------=泊松分布 >><

2)?(--------亚泊松分布 >>>

2)?(--------超泊松分布 如果亚泊松场：

>><

2)?(也即此时1)0()2(

那么问题是：泊松统计分布和局束效应等效？？答案是：否。因为这里用的前提条件是单模场。因为只有在单模场，有关延时因子才能销掉。这点也可以从之前的推导看出。关键的一点是：二阶关联度是针对2个光子的分布而言，泊松分布是不受光子数分布限制。

2.6 高阶关联函数

高阶关联函数的一般表达式就该是：

)()()2()...)1(())1(()...2()()()()()2()...)1(())1(()...2()()(),()()()()(****21)(t E t E t E n t E n t E t E t E t E t E t E t E n t E n t E t E t E t E x x G n ττττττττττττ++-+-+++=++-+-+++=----

类似的经典与非经典判据类同于二阶关联函数，另一方面，

光源的时间相干性和空间相干性对干涉、衍射的影响

109-光源的时间相干性和空间相干性对干涉、衍射现象的影响 摘要：光波作为一种概率波，其波动性已早已为我们所熟知，并且基于其波动特性的干涉和衍射现象已用于科学研究和生产实践的各个领域。因此，提高光波的相干性对充分利用干涉和衍射现象具有重要意义。光波的相干性与光源的性质有着密切的联系，因此搞清楚光源的时间相干性和空间相干性具有重要意义。 关键词：时间相干性；谱线宽度；空间相干性 正文： 光源的时间相干性体现为其单色性，即所发射光子频率的离散程度。其具体数值指标为谱线宽度，其值越小说明发射光子频率的离散程度越小，光源的单色性越好，其时间相干性越好。普通单色光源的谱线宽度的数量级为千分之几纳米到几纳米，而激光的谱线宽度只有nm,甚至更小，因此，激光的相干性要远远优于普通单色光源。也正是基于激光的强相干性，光学全息技术、非线性光学、激光制冷技术、原子捕陷等近代物理技术才获得了快速的发展。并且，多光子吸收等在普通单色光源下不可能发现的现象也在激光出现后被发现，极大地促进了人们对原子更为精系结构及能级跃迁机理的认识。 光源的空间相干性体现为光源的大小对相干性的影响。由于从普通光源的不同部位发出的光是不相干，因此光源的大小必然影响到其相干性。其具体临界数量关系式为：bd=R λ,其中λ为单色光的波长，R 为光源 与衍射孔的距离，b 为光源的宽度， d 为衍射孔的距离。当d,R, λ固定 时，光源的宽度b 必须小于R λ/d, 才可以在衍射屏上观察到干涉条 纹。同样，当b,R,λ固定时，d 必须 小于R λ/b,称该值为相干间隔，以 此来衡量光源的空间相干性。由于激光光源各处发出的光都是想干的，所以激光光源的光场相干间隔的限制，这也是激光具有强相干性的原因之一。迈克尔逊侧性干涉仪巧妙地利用了空间相干性原理来测得恒星的角直径，便是利用空间相干性的典型例子。 在光栅光谱仪的实验中，减小光入射缝的宽度实际上是相当于减小了b ，从而提高了光源的空间相干性，故得到原子光谱的谱线更加精细，体现在电脑图谱上就是突起变得更加尖锐。 参考文献 [1].张三慧.大学物理:第四册.北京:清华大学出版社,2000. [2].张三慧.大学物理:第五册.北京:清华大学出版社 ,2000.

时间相干性

光波的时间相干性 摘要：该文介绍光的时间相干性的原理，并作了定量分析，得出了相干时间及相干波列长度与干涉条纹清晰度关系的结论。 关键词：相干时间相干长度 从一无限小的点光源发出无限长光波列,用光学方法将其分为两束,再实现同一波列的相遇叠加,得到稳定的干涉条纹,这样的光源称为相干光源。我们知道，任何光源发射的光波只有在有限的空间范围内并且在一定的时间范围内才可以看作是稳定的。即光源向外发射的是有限长的波列，而波列的长度是由原子发光的持续时间和传播速度确定的。 我们以杨氏干涉实验为例讨论，如图所示。光源S发射一列波，被杨 b' a" b a S S' S" P P' a' r r r' r"

氏干涉装置分为两列波a'、a "，这两列波沿不同的路径r'、r "传播后，又重新相遇。由于这两列波是从同一列光波分割出来，他们具有完全相同的频率和一定的相位关系，因此可以发生干涉，并可以观察到干涉条纹。若两路的光程差太大，致使S'、S "到达考察点P 的光程差大于波列的长度，使得当波列a "刚到达P 点时，波列a'已经过去了，两列波不能相遇，当然无法发生干涉。而另一发光时刻发出的波列b 经S'分割后的波列b'和a "相遇并叠加。但由于a 和b 无固定的相位关系，因此在观察点无法发生干涉。故干涉的必要条件是两列波在相遇点的光程差应小于波列的长度。 我们知道，λ λλλδ?≈?+=2 max )(j 式中考虑到当λλ? ，该式表明， 光源的单色性决定产生干涉条纹的最大光程差，通常将max δ称为相干长度。 再由上述讨论可知，波列的长度至少应等于最大光程差，由上式 得波列的长度L 为λ λδ?==2 max L ，此式表明，波列的长度与光源的谱 线宽度成反比，即光源的谱线宽度λ?就小，波列长度就长。下表是几种光源的相干长度。 发光物质 )(o A λ )(o A λ? L （m) a N 5893 ~0.1 ~3.4*210- g H 5460.73 ~0.1 ~3*210- r K 6057 ~0.0047 ~1.0 e e N H -激光 6328 ~610- ~4*410

非相干光学处理习题

第八章 非相干光学处理 习题 [8-1]试讨论相干光学处理，非相干光处理和白光光学处理的特点和局限性。 [8-2]就已经介绍的数种假彩色编码方法：半色调屏调制，空间滤波图像反转和位相调制假彩色编码，说明每种方法的特点，讨论在每种方法中图像密度信息转变成彩色信息的过程，处理的实时性以及彩色化效果。 [8-3]图X8-1为一投影式非相干光卷积运算装置，由光源S 和散射板D 产生的非相干光照明，),(y x m 和),(y x O 是两张透明图片，在平面P 上可以探测到),(y x m 和),(y x O 的卷积。 （1）写出此装置的系统点扩散函数。 （2）写出P 平面上光强分布的表达式。 （3）若),(y x m 的空间宽度为1l ，),(y x O 的空间宽度为2l ，求卷积的空间宽度。 图X8-1 习题[8-3]图示 [8-4]参看图X8-2，要设计一个“散焦”的空间滤波系统，使得它的传递函数的第一个零点落在的cm /0线f 频率上。假定要进行滤波的数据放在一个直径为L 的圆形透镜前面距离2f 处，问所要求的“误聚焦距离”?为多少()0f L f 用、和表示？对于010/cm f =线， 10cm f =和cm 2=L ，?的数值是多少？ 图X8-2 散焦滤波系统 [8-5]用一个单透镜系统对图像进行调制假彩色编码，如图X8-3所示。已知调制物m O 的光栅空间频率为100线/mm ，物离透镜的距离为20cm ，图像的几何尺度为6cm ×6cm ，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作？设工作波长范围为650.0~444.4nm 。

第6章_电磁场的相干性

第6章电磁场的相干性 电磁场的相干性是电磁场的重要性质之一。本节介绍电磁场相干性的经典理论和量子理论。将引入光子反聚束这一重要的物理概念。 .1 经典一阶相干函数 一阶相干性反映的是在两个时空点光场幅度之间的关联，即，称为一阶关联函数，其中表示两个时空点。通常引入一阶相干函数： 其中为在时空点光场的强度。 下面具体考虑杨氏双缝干涉实验，如图6-1所示。在满足某些条件时，在接收屏上会观测到干涉条纹。设光源的频宽为，两条光程之差为，则当时产生干涉条纹。这里称为光源的相干长度。称为相干时间。 图6-1 杨氏双缝干涉实验 时刻在屏上处的电场来自早些时刻和在两个狭缝处的电场的叠加，即 （6-1）其中和是两个依赖于和的几何因子。为了简单起见，这里我们假设两个场的偏振方向相同。 一般来说，探测器测到的只是平均光强 （6-2）这里的平均是对时间平均，即 （6-3）根据各态历经假设，时间平均等价于系综平均。由（6-1）式和（6-2）式可得 （6-4）前两项分别表示来自两个狭缝的光强，而第三项引起干涉效应。在上式中引入了缩写和。 定义经典一阶相干函数 （6-5）其中称为经典一阶关联函数。注意到 及 ， 因此有， （6-6）

利用和，（6-4）式可以写成 （6-7）设，以及 （6-8）则有 （6-9）其中表示由光程差引起的位相差。当时将产生干涉。根据的大小可对相干性进行分类： （一阶完全相干）（6-10） （一阶部分相干）（6-11） （一阶完全不相干）（6-12）定义干涉条纹的对比度（可见度：visibility）： （6-13）其中 （6-14）于是有 （6-15）可见，对完全相干光，对比度取极大值，而对完全不相干光，。 下面考虑经典一阶相干性的几个例子。首先考虑在空间某固定点光场的时间相干性。假设有一束单色平面光沿z方向传播，时刻和时刻z处的电场分别为 （6-16） （6-17）可求得 （6-18） （6-19）因此单色平面光具有完全时间相干性。 然而，绝对的单色光是不存在的。我们考虑具有洛仑兹线型的光源，对这种光源 其中为谱线的中心频率，为谱线（半）宽度。可求得 （6-20） （6-21）其中为相干时间。可见，一般来说，这种光源发出的是部分相干光。这种光场称为混沌光（由大量原子独立辐射的光）。当延迟时间时，光场趋于完全相干光；当时，光场趋于完全非相干光。

第七章 频响函数的估计

7. 频响函数的估计（相干分析） 7.1. SISO 系统的频响函数及其估计 对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。但是实际上，由于不可避免的存在噪声，三种估计有所差异。 本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。 7.1.1. 随机激励下的频响函数 考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。设随机输入和响应信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有 ()()()ωωωX H Y = 上式两端乘以()ω*X ，取时间平均及集合平均，并注意()ωH 与平均无关，则 ()()[]()()()[]ωωωωω* * 1lim 1lim X X T H X Y T T T ∞ →∞ →= 即 ()()()ωωωx xy S H S = 如果()ωx S 不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式 ()()() ωωωx xy S S H = 1 同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ，取时间平均和集合平均，得 ()()()ωωωyx y S H S = 如果()ωyx S 不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式 ()()() ωωωyx y S S H = 2 将系统输入/出频谱式两端取共轭，得

() ()()ωωω** * X H Y = 乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得 ()()()ωωωx y S H S 2 = 可得系统的频响函数的幅值计算式 () ()() ωωωx y a S S H = 2 7.1.2. 频响函数的估计方法 考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。设系统的实际输入和响应信号分别为)(t u 和)(t v ，其傅立叶变换分别为)(ωU 和)(ωV ，它们的测量信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY 。 (t) (t) (1) 输出端噪声的影响 若只有输出端受到噪声信号)(t n 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。则有 ()()t u t x = ()()ωωU X = ()()()t n t v t y += ()()()ωωωN V Y +=

小波相干性分析

综 述 小波相干分析及其应用 摘 要：将小波变换与相干分析相结合构成的小波相干分析，探测Fourier 相干无法探测的特征信息，小波相干分析不仅能提供傅立叶分析类似的谱图，还能捕捉信号之间短时相互作用，因此小波相干分析在临床上的应用越来越广泛。本文主要介绍小波相干分析方法以及在生活中的应用。 关键词：小波分析；相干分析；小波相干；脑电信号；肌电信号 1 引言 随着科技的进步，信号处理在我们的生活中的作用越来越明显。在临床方面，脑电信号和肌电信号的分析，不仅有助于医师诊断病人的身体状况，而且还可以帮助医师进行康复工作。但因为生理信号是一种非常复杂的信号，信号本身非常微弱，稳定性较差，随机性很强，因而传统的Fourier 相干在分析这些信号时存在一定的局限性[1-2]。小波分析方法对非平稳信号的特殊处理能力，使其在脑电和肌电信号的分析和处理中显示出极大的优越性。因此与相干分析相结合构成小波相干分析，既能够获取待分析信号的幅值和相位信息，又能够衡量相干性随时间的变化规律[3-4] 。 2 相干分析 对于两个复随机信号x 和y ，相干性系数定义为功率谱密度(power-spectrum density ，PSD) 和互谱密度(cross-spectrum density ，CSD ) 的函数，计算公式如下: (1) 公式(1) 中,P xx (f)和P yy (f)分别表示信号x 和信号y 的PSD,P xy (f)表示信号x 和y 之间的CSD ，PSD 是频率f 的实函数，而CSD 是f 的复函数。Coh xy 表示信号x 和信号y 在频率f 处的相干性系数，式中0≤Coh xy ≤1，且Coh xy =0，x 和y 不相干;Coh xy =1，x 和y 完全相干。 相干性系数反映的是两信号之间的同步性相似性，或两信号的变化规律是否 具有线性关系，该理论在地球物理雷达通信等方面都有着重要的应用，近年来也越来越多地应用于医学信号，如EEG 和EMG 。 当公式( 1) 中的信号x 和y 分别为EEG 中两个通道信号时，即可实现EEG 信号的相干性分析，按照经典的频谱分析方法，设计步骤如下： (1) 对记录到的EEG 时域信号进行傅立叶变换( FFT) ,得到F(x)和F(y) ； )()()(Coh 2 xy 2f Pyy f Pxx f Pxy ?=

§33分波前干涉光场的空间相干性.

3. 光的干涉与相干性 §3.3 分波前干涉光场的空间相干性

主要内容 1. 杨氏双孔干涉实验 2. 光源宽度对干涉条纹图样的影响 3. 光场的空间相干性 4. 其他分波前干涉实验装置

(1) 实验装置 图3.3-1 杨氏双孔干涉实验原理 S 2 r 1 S 1 D S R P d O R 2R 1 x 1 z x n 1' n 2'n 2 r 2 n 1 单色光源 3.3.1杨氏双孔干涉实验 S ：小孔；S 1，S 2：一对相同小孔；d ：小孔间距

叠加光波强度分布：(3.3-1) 相位差：(3.3-2) 若装置处于空气中，且双孔相对于光源对称放置，n 1=n 2 =n 1 '=n 2 '=1，R 2 =R 1 ， (3.3-3) (2)干涉图样特点

图3.3-2 两球面光波形成的干涉条纹图样（xz 平面） (c) 仿真实验结果 (b) 干涉条纹的形成原理 S 1 S 2 D O z x x 1 (a) 干涉条纹的几何图示 ①杨氏双孔干涉是一种等强度的双球面波干涉，场点的叠加光强度随两光波相位差呈现余弦平方型周期变化，且条纹衬比度等于1。 ②等相位差点的轨迹（干涉图样）是以点源S 1和S 2连线为旋转轴（且亮暗相间）的空间旋转双曲面族。 结论：

假设：场点P 和双孔S 1、S 2共面且分别沿x 和x 1轴，P 点的坐标为x ，D>>d ,x ， 由傍轴条件得： (3.3-4a) (3.3-4b) (3.3-5) (3.3-6) (3.3-7) (3)傍轴近似条件下的干涉光场强度分布 P 点处两光波光程差：P 点处两光波相位差：

光的时间相干性

目录 中文摘要 Abstract 引言 (1) 1.光的相干 (1) 1.1干涉条纹的对比度 (1) 1.2 空间相干性 (1) 1.3 时间相干性 (2) 2.迈克尔孙干涉仪 (5) 2.1迈克尔孙干涉仪装置 (5) 2.2迈克尔孙干涉仪原理 (5) 3.应用 (5) 3.1用迈克尔逊干涉仪测量汞相干长度 (7) 3.1.1实验方法 (8) 3．1.2数据记录 (8) 3.1.3 实验结果 (9) 3.2用迈克尔逊干涉仪测量钠相干长度 (9) 3.2.1 实验数据结果 (9) 致谢 (10) 参考文献 (10)

引言 虽然光学是物理学中最古老的一门基础学科，但是在当前科学研究中依然活跃，具有很强的生命力和研究价值。从十七世纪开始，人们发现彩色的干涉条纹并开始对其进行观察研究，一直以来以光的直线传播观念为基础的光的本性理论动摇了，从此开始进入了光的波动理论的萌芽期。十九世纪初，波动光学初步形成，产生了很多一系列的干涉方面的理论，光源的时间相干性概念也就是此刻被提出并引入了干涉理论当中去的。 光源的时间相干性是掌握光的干涉和衍射现象的一个很重要的方面，它用相干长度和相干时间来表示。光源时间相干性主要是与干涉现象中条纹的清晰度有着很大的关联，知道了它们之间内在的影响关系之后，就可以很容易的，通过改变某些条件来得到清晰的对比度较好的条纹，从而便于我们观察，加深认识，也更容易对波动光学理论的基础进行理解跟掌握。在当今，社会生活中的很多方面都与光的时间相干性有着紧密的联系，在光的时间相干性的基础上运用光的干涉进行精度的评估，如长度的精密测量，及检验工件表面的差异等。 1.光的相干 1.1干涉条纹的对比度 为了描述两波交叠区域内的干涉条纹的清晰程度，引入对比的概念。干涉条纹对比定义为 min max min max I I I I V +-= (1.1) 式(1.1)中max I ，min I 分别为条纹光强的极大值和极小值。当max I =0时， 1=V ，此时条纹的反差最大，对比度最大，干涉条纹最清晰；当max min I I ≈时，0≈V ， 此时条纹模糊，对比度为0，甚至不可辨认，看不到干涉条纹。一般的， V 总是在1~0之间。 关于干涉条纹的对比度，影响因素有很多，主要因素有产生干涉的两束光的光强比、光源的大小以及光源单色性的好坏等，本论文就是主要研究每个因素所产生的影响进行讨论。 1.2光源的相干极限宽度 空间相干性 在讨论杨氏双缝干涉实验时，假设光源S 宽度很小，可以看作是线光源。实验表明，随着光源宽度增大，干涉条纹的对比度将下降，当光源宽度达到某一个值时，对比度为零，此时干涉条纹消失。为什么会出现这种现 ？这是因为任何一个有一定宽度的光源S ，都可以看成有更细的光线光源组成的。由于光源上不同部位发出的光彼此不相干（激光光源除外），所以每个线光源各自都在屏上产生一组干涉条纹。这些干涉条纹彼此错开，产生非相干叠加，结果是屏上的条纹变得模糊不清以至消失，条纹的对比度下降为零。 定义干涉条纹的对比度下降为零时，光源的宽度0b 称为光源相干的极限宽度。光源相干的极限宽度0b 可如下求出，如图1.1 ，射光源到双缝屏G 的距离为B ，光源发

光电141-付广来-140901440110-基于Matlab相干与非相干照明成像系统的仿真

东北石油大学课程设计 2017年7月10日

东北石油大学课程设计任务书 课程Matlab光学仿真课程设计 题目基于Matlab相干与非相干照明成像系统的仿真 专业光电信息科学与工程姓名付广来学号140901440110 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容： 信息光学课程中光的相干、非相干照明情况下成像系统较为抽象，为形成直观视觉效果，加深对课程的理解。本设计要求采用Matlab软件对相干与非相干照明下衍射受限成像系统进行仿真，对两种成像效果进行比较及分析。 基本要求： (1)理解相干传递函数、光学传递函数的概念。 (2)掌握Matlab的使用流程，熟悉常用语句的使用方法。 (3)采用Matlab软件分别对在相干和非相干照明下衍射受限系统的成像进行仿真，分析成像现象，分析各参数对实验结果的影响，撰写课程设计报告。 主要参考资料： [1]王仕璠编著. 信息光学理论与应用[M].北京邮电大学出版社, 2013.3. [2]钱晓凡编著.信息光学数字实验室[M].科学出版社,2015.7. [3]徐金明,张孟喜,丁涛.MATLAB实用教程[M].清华大学出版社,2005. [4]郎海涛,钱晓凡.相干与非相干照明衍射受限系统成像仿真[J].激光杂志.2014, 35(4): 17-19. 完成期限2017.7.1~2017.7.10 指导教师 专业负责人 2017年6月28日

目录 第1章概述 (1) 1.1 成像系统的普遍模型 (1) 1.2 衍射受限系统的点扩展函数 (1) 1.3 Matlab在光学仿真中的应用 (2) 第2章相干照明下衍射受限系统的成像 (3) 2.1 相干照明 (3) 2.2 相干传递函数 (3) 2.3 相干传递函数与系统物理性质的联系 (3) 2.4本章小结 (4) 第3章非相干照明下衍射受限系统的成像 (5) 3.1非相干照明 (5) 3.2光学传递函数 (5) 3.3OTF与CTF的关系 (6) 3.4 光学传递函数一般性质及意义 (7) 3.5本章小结 (8) 第4章Matlab程序设计、运行结果及分析 (9) 4.1相干照明衍射受限成像系统的程序设计 (9) 4.2非相干照明衍射受限成像系统的程序设计 (9) 4.3 程序运行结果及分析 (10) 4.4本章小结 (11) 结论 (12) 参考文献 (13) 附录 (14)

第七章 频响函数的估计(课件)-2010

7.频响函数的估计（相干分析） 7.1.SISO系统的频响函数及其估计 对于SISO系统，其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。但是实际上，由于不可避免的存在噪声，三种估计有所差异。 本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。 7.1.1.随机激励下的频响函数 H。 考虑一个SISO时不变线性系统，其频率响应函数为()ω ASDL of JLU 7-1

ASDL of JLU 7-2 设随机输入和响应信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有 ()()()ωωωX H Y = 上式两端乘以()ω*X ，取时间平均及集合平均，并注意()ωH 与平均 无关，则 ()()[]()()()[] ωωωωω* *1lim 1lim X X E T H X Y E T T T ∞→∞→= 即 ()()()ωωωx xy S H S = 如果()ωx S 不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式

试验数据谱分析 吉林大学汽车动态模拟国家重点实验室 ASDL of JLU 7-3 ()() ()ωωωx xy S S H = 1 同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ，取时间平均和集 合平均，得 ()()()ωωωyx y S H S = 如果()ωyx S 不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式 ()()()ωωωyx y S S H = 2 将系统输入/出频谱式两端取共轭，得 ()()()ωωω* * * X H Y = 乘以原输入/出频谱式，并取时间平均和集合平均，得

论光场相干性的条件.

论光产生相干的条件 【摘要】本文详细讲述了光波干涉的相干条件，又简述了如何获得相干光的方法 【关键词】相干光相干条件相干光的获得 一、引言 光的干涉及应用是物理光学的一个重要的研究内容。一方面，对干涉现象的研究，促进了波动光学理论的发展，另一方面，光的的干涉作为一种重要的检测手段，在生产实践和科学研究中得到了广泛的应用。光的干涉虽并不难实现，但并非任意两光波相遇都能产生干涉现象。两支蜡烛发出的光波即使相遇，无论如何都不能产生干涉，两个人同时唱歌也绝不会产生声的干涉，为了产生光的干涉，相遇的光波必须满足某些条件，为了产生光的干涉，相遇的光波必须满足某些条件，我们称这些条件为相干条件，满足相干条件的光称为相干光。 二、光波干涉的三个相干条件 对于实际的光源，只有满足下列各条件才能产生干涉。 1、两列光波的频率必须相同。 2、两列光波的频率相同，在相遇点的振动方向必须相同，或者有振动方向相同的分量。 3、两列光波在相遇相遇的区域内，必须保持稳定的位相差。 要产生光的干涉现象，这三个条件缺一不可。下面我将引用一点简单的数学，着重来说明这三个条件。

三、 对光波干涉的三个条件的说明 下面以两个单色平面波叠加为例，来分析干涉的基本条件。设在空间一点P(r)叠加的两个两个平面波1E 和2E 的波函数分别为： )(1t r E ? =)cos(101110?ω+-?t r k E (1) )(2t r E ? =)cos(202220?ω+-?t r k E (2) 应用波得叠加原理，可知t 时刻，P （r ）点处的合扰动为： )()()(21t r E t r E t r E ?+?=? 代入公式E E r I ?=)(，干涉场的强度为： )()()(2121E E E E r I +?+= 2122112E E E E E E ?+?+?= 21212)()(E E r I r I ?++= (3) 式中)(1r I 和)(2r I 是1E 和2E 单独存在时P(r) 处的强度。所以，按照光 的干涉的定义，只有当212E E ?不为零时，才能说明该处发生了光的 干涉，因此，称212E E ?为两束光干涉的干涉项。不难看出，干涉项 的出现是光波叠加的结果。下面具体分析干涉项不为零的条件。 将1E 和2E 的波函数代入干涉项的表示式，可得: [{ ])()()(cos 210201*********??ωω+++-?+?=?t r k k E E E E + []})()()(cos 10201222??ωω-+--?-t r k k （4） 在上式中第一项为和频项，由于其时间周期1 22ωωπ+远小于探测器的响应时间τ，所以第一项的时间平均值为零。第二项为差频项，只有当时间周期满足1 22ωωπ->>τ时，其时间平均值才不为零。迄今所知相应

用MVDR方法估计相干函数

用MVDR 方法估计相干函数 一、MVDR 谱 用MVDR 方法做信号的谱估计是基于滤波器分解。 设输入X(n)是一组均值为0的随机数，作为长度为N ，的K 阶滤波器的输入。 滤波器k g 的输出为()k y n ,输出信号的能量为： 其中，[()()]H xx R E x n x n =。 考虑这样一个L*K 的矩阵 并且有2/k k K ωπ=，k=0,1,2…K-1，K=L 。矩阵叫做傅里叶矩阵并且是酉矩阵，则 H H F F FF I ==。在MVDR 谱中为了使滤波器的输出方差最小，所以滤波器系数必须满 足下面的约束条件： (1) 在这个约束条件下，输入X(n)在频率Wk 处无失真，在其他频率处被衰减。这也相当于是使下面的公式最小： [1]H H k k xx k k k J g R g g f μ=+- (2) μ为拉格朗日乘数。使(2)式最小的解为： 1 1xx k k H k xx k R f g f R f --= (3) 定义X(n)在Wk 的谱为 2 (){()}H xx k k k xx k S E y n g R g ω== (4)

把3式代入4式可得 1 1 ()xx k H k xx k S f R f ω-= (5) 由3式和5式可得出： ()xx k xx k k R g S f ω= 考虑所有的向量fk ，总的表达式变为： ()xx xx k R G FS ω= ， ，为对角阵。 二、MVDR 交叉谱 这里假设有两个0均值的稳态随机信号1()x n 和2()x n ，他们各自的谱分别为 11()x x k S w 和22 ()x x k S w 。由前面的公式可得出两个滤波器为 （6） 1()x n 和2()x n 在Wk 出的谱为： (7) 其中： (8) 设1,()k y n 和2,()k y n 分别为1,k g 和2,k g 的输出。定义1 ()x n 和2 ()x n 的交叉谱： (9) 由公式9可以的出 (10) 其中 是1()x n 和2()x n 的互相关矩阵。把6式代入10式中可得：

第八章 非相干光学处理N

第八章 非相干光学处理 习题 [8.1] 附图8.1为一投影式非相干光卷积运算装置，由光源S 和散射板D 产生的非相干光照明，),(y x m 和),(y x O 是两张透明图片，在平面P 上可以探测到),(y x m 和),(y x O 的卷积。 （1）写出此装置的系统点扩展函数。 （2）写出P 平面上光强分布的表达式。 （3）若),(y x m 的空间宽度为1l ，),(y x O 的空间宽度为2l ，求卷积的空间宽度。 附图8.1 习题[8.1]图示 解：（1）坐标为（-x,-y ）点的单位强度点源，投射到O （x,y ））上，在P 平面上造成的分布即为系统的点扩展函数，其中心位置在(,)d d x y ，由图X8.1易可知有 d y y d x x d d -=?-=? , 即 , d d x x y y d d ?? =- =- 以()d d y x ,为中心的函数O 的形式为： ()?? ? ? ??+?+=--y d y x d x O y y x x O d d d d d d ,, 再考虑到投影面积每边的放大倍数()d d /?+，于是系统的点扩展函数为： () ????????? ???+?+??? ? ??+?+=y d y d d x d x d d KO y x y x h d d d d ,,;,2 （2）P 平面上点()d d y x ,所接收到的强度响应为物函数()y x m ,与以()d d y x ,为中心的点扩展函数乘积的积分，即 ()()d x d y y d y d d x d x d d O y x m K y x I d d d d p ????? ?????? ???+?+??? ? ??+?+=∞ ∞-,,, （3）由附图8.2可知

相干成像和非相干成像的比较

相干成像和非相干成像的比较 1.成像系统的一般分析方法 1.1普遍模型 由几个共轴透镜构成的系统，一般光学成像系统看作是由入射光瞳、出射光瞳边端的黑箱 。 1.2衍射受限成像系统 （1）黑箱边端性质是将投射到入瞳上的发散球面波变换成出射光瞳上的会聚球面波 。 （2）衍射效应发生物入瞳，出瞳像的传播中衍射效应由入瞳孔径有限引起，或来自于出曈。 （3）成像系统没有几何像差（理想成像系统） 1.3求系统的脉冲响应函数 概念：成像系统的作用是将由任何一个物点（x0，y0）发出的发散球面波变换成以理想像点（xi=Mx0, yi=My0 ）为中心的会聚球面波。 由于出曈对会聚球面波的限制作用，将在像面上得到以理想像点为中心的出曈的夫朗和费衍射图。因此，物点通过系统后在像面上的复振幅分布是以理想像点为中心的夫朗和费衍射图。 dxdy y My y x Mx x d j y x p k y x y x h i i i i i ]})()[(2exp{),(),,,(0000-+--?? =??∞ ∞ -λπ

结论：表征衍射受限成像系统的脉冲响应函数是出射光瞳的Fourier 变换。 2.衍射受限相干系统的频率响应－CTF 2.1 CTF 的定义 复振幅脉冲响应的傅里叶变换定义为相干传递函数 表征了衍射受限相干成像系统在频域中的作用它决定于系统本身的物理结构 。 2.2相干成像系统 由复振幅脉冲响应h 是以理想像点为中心的出射光瞳的FT ) ,(),(),(),(),(~~~)~,~()~,~(~),(])(2exp[),(~),(000000y x g y x y x i i i g i i g i i i i i i i i y i x i i y x f f G f f H f f G y x U y x h y d x d y x U y y x x h y x U dy dx y f x f j y x h f f H ?=*=--=+-=????∞∞-∞∞-π),(y x f f H )~,~()}} ~,~({{)},(~{),(y d x d p y d x d p y x h f f H i i i i i i y x λλλλ--===F F F 的物理意义 )~,~(),(y d x d p f f H i i y x λλ=