随机信号处理考试1

《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一）

一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分）

1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)= 0，F(+∞)= 1。

2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。

3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。

4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。

5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。如果，则

我们称X(t1)和X(t2)是正交。如果，则称随机过程在和时刻的状态是独立。

6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。

7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。

8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。

9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。

10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。

二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）

1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（ b、d ）

（A）（B）

（C）（D）

2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（ a、c ）

?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比

?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比

?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢

?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈

3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用表示，那么，下列正确的有：（ a、d ）

（A）（B）

（C）（D）

4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d ）

（A）与的功率谱相等（B）

（C）（D）与在同一时刻相互正交

5、对于一个二元假设检验问题，判决表达式为：如果T(z)>g，则判成立，否则判成立。那么，虚警概率可表示为（ a、b ）

（A）（B）

（C）（D）

三、判断题（共10小题，每小题1分，共10分）

为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻，是一个确定值（ F ）

2、随机信号的均值计算是线性运算，而方差则不是线性运算。（ T ）

3、如果随机过程其时间平均和集合平均是依概率1相等的，则该随机过程具有遍历性。（ F ）

4、平稳随机信号在时刻起加入物理可实现线性系统，其输出为平稳随机信号；平稳随机信号在时起加入物理不可实现线性系统，其输出为非平稳随机信号。（ F ）

5、非线性变换不会增加新的频率分量而线性变换会增加新的频率分量。（ F ）

6、对于零均值的正态随机过程来说，两个时刻相互正交和相互独立是等价的。（ T ）

7、随机信号的解析信号只存在正的功率谱。（ T ）

8、窄带正态噪声的包络与相位在同一时刻相互正交。（ T ）

9、如果对随机参量的估计是有效估计，那么这个估计必定是最大似然估计。（ F ）

10、最小错误概率准则等价于最大后验概率准则。（ F ）

四、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）

已知平稳随机过程的功率谱密度为，

(1)、求出该随机过程的均值与方差；

(2)、相关时间（提示：）。

五、计算题（共1小题，每小题8分，共8分）

考虑随机过程，其中为常数，在上均匀分布，是随机变量，其概率

密度为偶函数，证明的功率谱密度为。

证明：

（4分）

（4分）

六、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）

已知平稳随机过程的自相关函数如右图所示。

计算：

(1)、功率谱密度；

(2)、噪声等效通能带。

解：1）不难得出，的自相关函数可表示为，如右图所示，而

所以（5分）

2）按噪声等效通能带定义

，

（可根据傅立业反变换在点的取值）

七、计算题（共1小题，每小题10分，共10）（5）

设线性滤波器输入为，其中的功率谱密度为的白噪声，

为与统计独立的矩形脉冲

求：(1)、利用匹配滤波器时，输出端的最大信噪比为多少？

(2)、如果不用匹配滤波器，而用滤波器为，则输出最大信噪比为多少，你认为的最佳值应该是多少？

解：

（1）根据匹配滤波原理，输出的最大信噪比为：

（4分）

（2）该系统为线性系统，满足线性可加性，输出包含两部分，一部分是信号通过系统后的输出信

号，另外一部分是白噪声通过系统后的输出噪声，两部分没有差拍项，假设输出的信号为：，

噪声为：，不难得出，输出信号的最大值在t=T时刻，此时

使得信噪比最大的值应该满足：

这时，正是匹配滤波器的情况。（6分）九、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）

设有如下两种假设，观测次数为N次，

其中服从均值为0方差为的正态分布，假设=0.5，=0.5，求(1)、最小错误概率准则下的判决表达式；

(2)、虚警概率与检测概率（结果由误差函数表示）。

解：两种假设下的似然函数为

对数似然比为：

判决表达式为

令，将上式整理后，得（5分）

检验统计量为样本均值，为了确定判决的性能，首先需要确定检验统计量的分布，在H0为真时，

，那么，

（3分）

在H1为真时，

所以，虚警概率为

（1分）

检测概率为

（1分）

十、计算题（共1小题，每小题12分，共12分）

设，通过取样对幅度作线性估计。设在处取样，并设：

求：

(1)、线性最小均方估计；

(2)、线性最小均方估计的均方误差。

解：1）

设，不难验证c=0，

由正交原理，

（9分）2）（3分）