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冲刺100天江苏新高考数学选修40分加试题全套教学案含详细解答 苏教版

江苏08高考数学附加题教学案(选修部分, 40分)

一、圆锥曲线与方程

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1、θ取一切实数时,连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中

点为M ,求点M 的轨迹.

简答:轨迹为焦点在y 轴上的椭圆

22

x y 1818

+=。 2、已知平面上一个定点C (-1,0)和一条定直线L :x =-4,P 为该平面上一动点,作 PQ ⊥L ,垂足为Q ,(2)(2)0.PQ PC PQ PC +?-=(1)求点P 的轨迹方程;(2)求P Q P C ?

的取值范围.

解:(Ⅰ)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +?-=,22||4||PQ PC = 2分

设P (x ,y ),得222|4|4[(1)]x x y +=++,223412x y +=,

∴ 点P 的轨迹方程为22

143

x y +=. 3分 (Ⅱ)设P (x ,y ),(4,

0)P Q x =--,(1,)PC x y =---

2259

(4,0)(1,)54()24

PQ PC x x y x x x ?=--?---=++=+- 2分

由[2,2]x ∈-,故有[2,18]PQ PC ?∈- 3分

二、空间向量与立体几何

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1.(本小题满分12分) 如图,已知直二面角PQ αβ--,A PQ ∈, B α∈,C β∈,

CA CB =,45BAP ∠=,直线CA 和平面α所成的角为30.

(I )证明BC PQ ⊥;

(II )求二面角B AC P --的所成角的余弦值.

(Ⅲ)在线段AC 上是否存在一点M 使得直线BM 与平面β所成角为

6

π

。 证明:

(1)因为αβ⊥,CO PQ ⊥,PQ αβ=,所以CO α⊥,

又因为CA CB =,所以OA OB =.

而45BAO ∠=,所以45ABO ∠=,90AOB ∠=

OC OA ⊥,OC OB ⊥,OA OB ⊥

……………………………4分

(2)O 为原点,分别以直线OB OA OC ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如

图).因为CO a ⊥,所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角,则30CAO ∠=.

不妨设2AC =,则AO

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1CO =. 在Rt OAB △中,45ABO BAO ∠=∠=, 所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是

(000)

O ,,,0)B ,

,(0A ,(001)C ,

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,,OA=(0,3,0) 所以(3AB =,,(0AC =

=

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(3-,0,1)………6分 设1n {}x y z =,,是平面ABC 的一个法向量,由1100n AB

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n AC ?=??=??,得00z =+=?

?,

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取1x =,得1n =.

………8分

A

B

C

Q

α

β P Q

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易知2(100)n =,,是平面β的一个法向量. ………10分 设二面角B AC P --的平面角为θ,由图可知,12n n θ=<>,.

所以1212cos 5||||5n n n n θ=

==.故二面角B-AC-P 所成角的余弦值为55

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2.如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA 1=2,M 、N

分别是A 1B 1,A 1A 的中点,

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(1)求;的长BN (2)求;,cos 11的值>

(3).:11M C B A ⊥求证(14分)

解:(1)以射线oz oy ox CC ,,,,1分别为建立坐标系, ……

1分 则B (0,1,0)(1,0,1),N

||(1BN ∴=……4分

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1111(2)

(1,0,2)(0,1,2),(0,0,0)

(1,1,2),(0,1,2),

A B C BA CB

∴=-=

11

1111cos ,||||

BA CB BA CB BA CB ?∴<>=?=

=

……7分

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11111111111

(3)

(0,0,2),(,,2)(,,0),(1,1,2)222211

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(1)10(2)022

C M C M A B C M A B A B C M ∴==--?=?-+?+?-=∴⊥……10分

3、右图是一个直三棱柱(以111A B C 为底面)被一平面所截得到的几何体,

截面为ABC .已知11111A

B B

C ==,11190A B C ∠=,14AA

=,12BB =

,13CC =. (1)设点O 是AB 的中点,证明:OC ∥平面111A B C ; (2)求二面角1B AC A --的大小;

11