直线与直线方程复习2015年10-24

直线与直线方程复习

【知识点梳理】

直线?????

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??三角函数与直线问题

距离最值问题对称问题线系点线系直线系二级结论与直线的距离到直线的距离的位置关系直线与种方程形式

直线的直线的倾斜角、斜率_________-________________ 【基本问题】

考点一：直线的倾斜角、斜率（斜率公式）

例1：已知过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为45°,则m 的值为() (A)1

(B)2 (C)3

(D)4

训练：直线方程为xcos α+y+1=0,直线的倾斜角的范围_______________. 考点二：直线的五中方程形式（利用条件求出方程、方程形式之间转化） 例2、；已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A.一、二、三象限

B.一、二、四象限

C.一、三、四象限

D.二、三、四象限

训练：过点(5,4)A --作一直线l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.

考点三：直线与直线关系（平行（线系）、垂直）

例3.已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为（）

A 、4x ＋2y ＝5

B 、4x －2y ＝5

C 、x ＋2y ＝5

D 、x －2y ＝5

训练：1若直线1210l x my ++=：　

与直线231l y x =-：平行，则m=___ 2求经过两条直线x+y -4=0和x-y +2=0的交点，且分别与直线2x-y -1=0

（1）平行，

（2）垂直的直线方程。

考点四：对称问题（x,y 原点对称点关于直线、直线关于点、线线关于直线对称） 例4.（1）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）.

A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)- (2) 与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x -2y -6=0 B.2x +3y +7=0 C. 3x -2y -12=0 D. 2x +3y +8=0

训练：直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ、210x y +-=

Ｂ、210x y +-=Ｃ、230x y +-=

Ｄ、230x y +-=

考点五：交点问题（过定点）

例5.若直线l ：y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，－1]

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

训练.直线mx-y +2m +1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）

A （-2，1）

B （2，1）

C （1，-2）

D （1，2）

考点六：线系的运用

例6：求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直032=-+y x

的直线方程.

考点七：点与直线、直线与直线距离求解和运用

例7:1已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（）.

A B ． C ． D 2.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）

A ．052=-+y x

B ．042=--y x

C 073=-+y x

D ．053=-+y x 训练：1.已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是______

2.①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;

②求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是1053

的直线的方程.

考点八：数形结合解决最值问题。 例8.1.点A （x ，y ）满足x+y-3=0,[]21x ，∈

，求x

y

的最大值和最小值

2.点A （x,y ）满足[]1,1-x 2x 2-x y 2

∈+=，，求

2

x 3

y ++的最大值和最小值 3.点A （1，3），B （5，－1），点P 在x 轴上使|AP |+|BP |最小，则P 的坐标为（） A.(4,0)B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 【变式】点A （1，3），B （5，1），点P 在x 轴上使|AP |+|BP |最小，则P 的坐标为____ 训练 1.点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为（） A.(4,0)B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)

2点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22

x y +的最小值是________________

圆的方程、直线与圆的位置

【知识点】

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??内含内切方程求解弦长相交弦判断方法相交外切外离圆与圆垂半径定理

直线与圆距离

切线方程的求解判断方法相离相切相离直线与圆点圆距离的最值在圆内在圆上在圆外点与圆位置关系

圆方程的求解径表示圆的条件，圆心半圆的一般方程：

优点圆的标准方程：圆的方程直线与圆__________________________-----------------------____________________ 基本问题：

考点九： 圆的方程（定义法、待定系数法、消参（交轨）数法、点代入法、直译法） 例9. 圆心为C ????－1

2，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →

＝0，则圆C 的方程为 ( )．

A.????x －122＋(y －3)2＝52

B.????x －122＋(y ＋3)2＝52

C.????x ＋122＋(y －3)2＝254

D.????x ＋122＋(y ＋3)2＝254

训练：

（1）若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),M(a,3)共圆,求a 的值.

（2）已知一动点P 到两个定点A(0,0),B(3,0)的距离之比为12

,求动点P 的轨迹方程,并说明轨

迹的图形.

（3）:已知定点A(4,0),P 点是圆x 2+y 2=4上一动点,Q 点是AP 的中点,求Q 点的轨迹方程.

考点十：对称问题

例10．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2

的方程为( )

A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1

训练：（1）已知点A 是圆054:22=-+++y ax y x C 上任意一点，A 点关于直线

012=-+y x 的对称点也在圆C 上，求实数a 的值.

（2）将圆2

2

2410x y x y +--+=平分的直线是（ ）

（A ）10x y +-= （B ）30x y ++= （C ）10x y -+= （D ）30x y -+= 考点十一：直线与圆的位置关系的判定

例11.(1) 当m 为何值时,直线mx-y-1=0与圆x 2+y 2-4x=0相交、相切、相离?

(2)（2013陕西，5分）已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆

O 的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

跟踪训练111:(1)(2013年高考陕西卷)已知点M(a,b)在圆O:x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是( )

(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)不确定

(2)(2014福州八县高一联考)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,直线l:x+my-3=0,则( ) (A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切

(C)l 与C 相离

(D)以上三个选项均有可能

11-2已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点,若OP ⊥OQ(O 是原点),求m 的值

考点十二 直线被圆截得的弦长问题

例12 已知圆C:x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对m ∈R,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;

(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点,若求m 的值.

题后反思 涉及圆的弦长问题,一般采用几何法,即由半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形,建立等式求解,也可运用代数法,先求直线与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式求弦长.

跟踪训练121:(1)(2013年高考安徽卷)直线=0被圆x 2+y 2-2x-4y=0截得的弦长为( )

(A)1 (2)(2014吉林一中高一期末)直线y=

2

m

x 与圆x 2+y 2+mx+ny-4=0交于M 、N 两点,且M 、N 关于直线x+y=0对称,则弦MN 的长为 .

12-2(2014三明联考期末)已知圆C 的圆心是直线x+y+1=0与直线x-y-1=0的交点,直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB|=6,则圆C 的方程为( )

(A)x 2+(y+1)2=18 (B)x 2+(y+1)2

(C)(x+1)2+y 2=18 (D)(x+1)2+y 212-3(2014太和二中高一期末)已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离之比等于5.

(1)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;

(2)记(1)中的轨迹为C,过点A(-2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8,求直线l 的方程.

考点十三 直线与圆相切问题

例13 (10分)若直线l 过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l 的方程.

跟踪训练3-1:(1)(2013年高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.

(2)(2014清远市高二期末)已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=10,则过圆C上的点A(3,2)且与圆C相切的直线的方程是.

13-2(2014吉林一中高一期末)过点P(2,3)作圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的切线,设T为切点,则切线长|PT|等于()

(B)5 (C)1 (D)2

13-3 已知圆x2+(y-1)2=1上任意一点(x,y),使不等式x+y+m≥0恒成立,求实数m的取值范围.

13-4. 4．一束光线从点A（－1，1）出发经x轴反射到圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝1的最短路程是．

考点十四圆与圆位置关系的判断

【例1】已知圆O1:(x-1)2+(y+2)2=m2,圆O2:(x+1)2+(y-1)2

=(m+1)2(m>0),试求m为何值时,两圆(1)有唯一公共点;(2)有两个公共点;(3)无公共点.

题后反思判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代数法简便,因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤如下:

(1)将两圆的方程化为标准方程.

(2)求出两圆的圆心距d和半径r1,r2.

(3)根据d与|r1-r2|、r1+r2的大小关系作出判断.

跟踪训练11:圆C 1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0的位置关系为()

(A)相交(B)内切(C)内含(D)外离

题后反思求两圆(相交)的公共弦所在的直线方程,只需把两个圆的方程相减即可,这是因为若两圆相交,其交点坐标必定满足相减后的方程;另一方面,相减后的方程为二元一次方程,即直线的一般方程,故此方程即为两圆公共弦所在直线方程,而求两圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想方法的灵活运用.

跟踪训练21:求经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

【例1】已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0,C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B两点,求经过A、B 两点且面积最小的圆的方程.

3.点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:(x+3)2+(y-4)2=4上,则|PQ|的最大值为()

(A)8 (B) (C)10 (D)2

2.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+y2=1相切,则a的值为()

(A)±3 (B)1或3 (C)±1 (D)±3或±1

考点十五直线和圆的方程的应用

例15.已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的最大高度为多少?

题后反思 利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤:(1)认真审题,明确题意;(2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与圆的方程;(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题;(4)把代数结果还原为实际问题的解释. 训练.1.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为________值时，直线l 与圆C 相切；

(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，直线l 的方程_____．

2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点， b 的取值范围；(2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求 |AB |的最大值和最小值．

3.若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ( )．

A.?

???－

33，

33 B.????－33，0∪????0，3

3 C.?

???－

33，

33 D.????－∞，－33∪???

?3

3，＋∞ 4. 7．(2014北京，5分)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0) (m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

5．（2002·北京高考）已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆

012222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的

最小值为 ．

6．曲线)2|(|412≤-+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是

（ ） A ．]43,125(

B ．),125(+∞

C ．)4

3

,31( D ．)125,0( 7．若实数y x ,满足04222=+-+y x y x ，则y x 2-的最大值为

8．已知圆16)1()2(22=++-y x 的一条直径通过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）

A ．052=-+y x

B ．02=-y x

C ．032=-+y x

D ．042=+-y x

(推荐)高中数学直线与方程知识点总结

直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，

如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2

高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

教案《直线与方程小结复习》

直线与方程小结复习 教学目标: (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式． (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． （4）掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一 般式），了解斜截式与一次函数的关系. （５）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标. （６)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离． 教学方法：探究、交流、讲授结合 教学计划：2课时 教学过程: 第一课时: 知识点梳理: 1.倾斜角:一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为[)0,π. 斜率:当直线的倾斜角不是90?时，则称其正切值为该直线的斜率,即tan k α=； 当直线的倾斜角等于90?时，直线的斜率不存在。 说明:（１)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; （２） 斜率为倾斜角的函数： 2．斜率的求法: （１)定义法:tan k α=（?≠90α) （2)坐标法:过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率 公式:21 21 tan y y k x x α-== - 若12x x ≠，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90?．

(3）由直线方程求其斜率：直线0Ax By C ++=的斜率为B A k - = 3.直线方程的几种形式： 基本题型: 问题1:斜率与倾角 : 例1：已知两点()1,2A -，(),3B m . （1）求直线AB 的斜率k ; (2）若实数1m ?? ∈???? ，求AB 的倾斜角α的范围. 例2．已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --,()1,1B -为端点的线段相交, 求直线l 的斜率及倾斜角α的范围． 问题2．直线l 的方程 例3:求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过两点()2,3A ,()6,5B ;(2）过()1,2A ，且斜率为2 3= k ; （3）过()3,2P ,倾斜角是直线30x +=的倾斜角的2倍; (4)过()5,2A -，且在x 轴，y 轴上截距相等; （５）在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6.

直线系圆系方程

直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例1求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1， 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方 程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题 时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习： 过点(1 4)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1， 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时

高一数学必修2直线与方程知识点总结

高一数学必修 2 直线与方程知识点总结 (一)高一数学必修2 直线与方程知识点总结一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，; 当时，; 当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1) 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k 与P1、P2 的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是y=y1 。 当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l 上每一点的横坐标都

等于x1 ，所以它的方程是x=x1 。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点，④截矩式： 其中直线与轴交于点, 与轴交于点, 即与轴、轴的截距分别为。 ⑤ 一般式：（A ，B 不全为0） 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：（b 为常数）; 平行于y 轴的直线：（a 为常数）; （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ ）斜率为k 的直线系：，直线过定点; （ⅱ ）过两条直线，的交点的直线系方程为 （为参数），其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直

直线与圆常见公式结论

直线与圆常见公式结论 1、斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式） （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠；11112222A B C l l A B C ?==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 当12121210k k A A B B =-+=或时， 直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2 π.

直线与方程例题解析

第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

直线与方程知识点总结(学生版)

I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系

(完整版)必修二第3章直线与方程题型总结

必修2 第3章 直线与方程 理论知识： 1直线的倾斜角和斜率 1、倾斜角： 2、 倾斜角α的取值范围： .. 3、直线的斜率: k = 记住特殊角的正切值 ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k = 2两条直线的平行与垂直 1，L1∥L2则 注意: 2、 则 注意： 3.直线方程 1、 直线的点斜式方程： 2、、直线的斜截式方程： 3 直线的一般式方程： 4.了解斜率和截距的性质 4.两条直线的交点坐标求法：联立方程组。 5.距离 1.两点间的距离公式： ． 2.点到直线距离公式： 3、两平行线间的距离公式： 6.对称问题 1.中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为 2.若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称；求解方法： 3.点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，求解方法：

直线与方程测试题 题型一（倾斜角与斜率） 1.直线053=-+y x 的倾斜角是( ) A.120° B.150° C.60° D.30° 2．若直线x ＝1的倾斜角为 ，则( )． A ．等于0 B ．等于 C ．等于2π D ．不存在 3．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )． A ．k1＜k2＜k3 B ．k3＜k1＜k2 C ．k3＜k2＜k1 D ．k1＜k3＜k2 4.求直线3x ＋ay ＝1的斜率为 题型二（直线位置关系） 1．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l1∥l2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 2．已知直线l 与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π 3.设直线 l1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m 的值 4.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时l1与l2①相交②平行 5.. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a —2)x+(a+4)y —7=0垂直，求a 值。 题型三（直线方程） 1：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是1 2-，经过点A(8，—2)； . (2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； . (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3 ,32-； . 4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .

直线方程与圆的方程(含详细答案)

直线方程与圆的方程 例1（江西理数）.直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若 MN ≥k 的取值范围是 A. 304??-????， B. []304??-∞-+∞??? ?，， C. 33?-?? ?， D. 203??-????， 【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用. 解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y 轴相切. 当 |MN |=，由点到直线距离公式，解得3 [,0]4 -； 解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取+∞，排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值，选A 例2（全国卷1理数）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 4- (B)3-+ (C) 4-+ 3-+

真题练习 1．（陕西理）已知圆2 2 :40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 2．（重庆文）设A,B 为直线y x =与圆2 2 1x y += 的两个交点,则||AB = （ ） A ．1 B C D ．2 3．（陕西文）已知圆2 2 :40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可 能 4．（山东文）圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 5．（辽宁文）将圆x 2 +y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是 （ ） A ．x+y-1=0 B ．x+y+3=0 C ．x-y+1=0 D ．x-y+3=0 6．（湖北文）过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{} 22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分 的面积之差最大,则该直线的方程为 （ ） A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -= D ．340x y +-= 7．（广东文）(解析几何)在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相 交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于 （ ） A ． B ． C D ．1 8．（福建文）直线20x +-=与圆2 2 4x y +=相交于,A B 两点,则弦AB 的长度等于 （ ） A ． B ． C D ．1 9．（安徽文）若直线10x y -+=与圆2 2 ()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是 （ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]- C ．[3,1]- D ．(,3][1,)-∞-+∞ 10．（重庆理）对任意的实数k,直线y=kx+1与圆22 2 =+y x 的位置关系一定是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心

高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结

高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程 一、知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两 点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直， 斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

聚焦直线系、圆系方程的应用

聚焦直线系、圆系方程的应用 【直线系方程的应用】 一、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆2 2 (2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习： 过点(1 4)P -，作圆22 (2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）. 例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，

高二数学知识点总结大大全(必修)

高二数学会考知识点总结大全(必修) 第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl Sπ π+ = 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl Sπ π π π+ + + = 5 球的表面积2 4R Sπ = （二）空间几何体的体积 1柱体的体积h S V? = 底 2锥体的体积h S V? = 底 3 1 3台体的体积h S S S S V? + + =) 3 1 下 下 上 上 （ 4球体的体积3 3 4 R Vπ = 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 2 2 2r rl Sπ π+ =

1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 D C B A α L A · α C B · A · α α 共面 =>a ∥c

直线与方程知识点总结

直线与方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

直线与方程知识点总结 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率 ①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则21 2121 ()PQ y y k x x x x -=≠- ②斜率的范围：k R ∈ (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式： 11 12122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+