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高考数学真题导数(文科)及答案

高考数学真题导数(文科)及答案
高考数学真题导数(文科)及答案

导数

1.【2015高考福建,文12】“对任意(0,

)2

x π

∈,sin cos k x x x <”是“1k <”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C . 充分必要条件

D .既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】当1k <时,sin cos sin 22k k x x x =

,构造函数()sin 22

k

f x x x =-,则'()cos 210f x k x =-<.故()f x 在(0,)2x π∈单调递增,故()()022

f x f ππ

<=-<,则

sin cos k x x x <; 当1k =时,不等式sin cos k x x x <等价于1

sin 22

x x <,构造函数

1()sin 22g x x x =-,则'()cos 210g x x =-<,故()g x 在(0,)2x π

∈递增,故

()()022g x g ππ<=-<,则sin cos x x x <.综上所述,“对任意(0,)2x π

∈,

sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件,选B .

【考点定位】导数的应用.

【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用,根据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 2.【2015高考湖南,文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数 【答案】A 【解析】 函数

()ln(1)ln(1)f x x x =+--,函数的定义域为(-1,1),函数

()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数.()2

111

'111f x x x x

=

+=+-- ,在(0,1)上()'0f x > ,所以()f x 在(0,1)上单调递增,故选A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质

【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ,b)内的单调性的步骤:(1)求()'f x ;(2)确认

()'f x 在(a ,b)内的符号;(3)作出结论:()'0f x >时为增函数;()'0f x <时为减函数.研

究函数性质时,首先要明确函数定义域.

3.【2015高考北京,文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

注:“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )

A .6升

B .8升

C .10升

D .12升 【答案】B

【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量

48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内,

该车每100千米平均耗油量为48

1008600

?=升,故选B. 【考点定位】平均变化率.

【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率,属于中档题.解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”,否则很容易出现错误.解此类应用题时一定要万分小心,除了提取必要的信息外,还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题.

4.【2015高考新课标1,文14】已知函数()3

1f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切线

过点()2,7,则 a = . 【答案】1 【解析】

试题分析:∵2

()31f x ax '=+,∴(1)31f a '=+,即切线斜率31k a =+,

又∵(1)2f a =+,∴切点为(1,2a +),∵切线过(2,7),∴

27

3112

a a +-=+-,解得a =1.

考点:利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;

【名师点睛】对求过某点的切线问题,常设出切点,利用导数求出切线方程,将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程,解出切点的横坐标,即可求出切线方程,思路明确,关键是运算要细心.

5.【2015高考天津,文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为

()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 .

【答案】3

【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.

【名师点睛】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.

6.【2015高考陕西,文15】函数x

y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e

=-

【解析】()()(1)x

x

y f x xe f x x e '==?=+,令()01f x x '=?=-,此时1

(1)f e

-=-

函数x

y xe =在其极值点处的切线方程为1y e

=- 【考点定位】:导数的几何意义.

【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义,利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识,

考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用:○1切点在曲线上;○

2切点在切线上;○3切点处导函数值等于切线斜率. 7.【2015高考安徽,文21】已知函数)0,0()

()(2

>>+=

r a r x ax

x f (Ⅰ)求)(x f 的定义域,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)若

400=r

a

,求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】(Ⅰ)递增区间是(-r ,r );递减区间为(-∞,-r )和(r ,+∞);(Ⅱ)极大值为100;无极小值.

【解析】(Ⅰ)由题意可知r x -≠ 所求的定义域为()()r r -∞--+∞,

. 2

222)()(r xr x ax

r x ax x f ++=+=

4

22222)

()

)(()2()22()2()(r x r x x r a r xr x r x ax r xr x a x f ++-=+++-++=' 所以当r x -<或r x >时,0)(<'x f ,当r x r <<-时,0)(>'x f

因此,)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ;)(x f 的单调递增区间为(),r r -. (Ⅱ)由(Ⅰ)的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增,在()+∞,r 上单调递减. 因此r x =是)(x f 的极大值点,所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为

()1004

400

42)(2

====

r a r ar r f ,)在(+∞,0)(x f 内无极小值; 综上,)在(+∞,0)(x f 内极大值为100,无极小值.

【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性,以及求函数的极值等基础知识.

【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意,求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式,在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意,本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.

8.【2015高考北京,文19】(本小题满分13分)设函数()2ln 2

x f x k x =-,0k >.

(I )求()f x 的单调区间和极值;

(II )证明:若()f x 存在零点,则()f x 在区间(

上仅有一个零点.

【答案】(I )单调递减区间是,单调递增区间是)+∞;极小值

(1ln )

2

k k f -=

;(II )证明详见解析.

2'

()k x k

f x x x x

-=-=

.

由'()0f x =解得x =.

()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下:

所以,()f x 的单调递减区间是,单调递增区间是)+∞;

()f x 在x =处取得极小值(1ln )

2

k k f -=

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )

2

k k f -=. 因为()f x 存在零点,所以

(1ln )

02

k k -≤,从而k e ≥.

当k e =时,()f x 在区间上单调递减,且0f =,

所以x =

是()f x 在区间上的唯一零点.

当k e >时,()f x 在区间上单调递减,且1(1)02f =>,02

e k

f -=<,

所以()f x 在区间上仅有一个零点.

综上可知,若()f x 存在零点,则()f x 在区间上仅有一个零点.

考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点,属于难题.利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤:①确定函数

()f x 的定义域;②对()f x 求导;③求方程()0f x '=的所有实数根;④列表格.证明函数

仅有一个零点的步骤:①用零点存在性定理证明函数零点的存在性;②用函数的单调性证明函数零点的唯一性.

9.【2015高考福建,文22】已知函数2

(1)()ln 2

x f x x -=-.

(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当1x >时,()1f x x <-;

(Ⅲ)确定实数k 的所有可能取值,使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()()1f x k x >-.

【答案】(Ⅰ) ? ?

;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)(),1-∞. 【解析】(I )()211

1x x f x x x x

-++'=-+=,()0,x ∈+∞.

由()0f x '>得2

10

x x x >??

-++>?解得0x <<

故()f x 的单调递增区间是? ?. (II )令()()()F 1x f x x =--,()0,x ∈+∞.

则有()21F x x x

-'=.

当()1,x ∈+∞时,()F 0x '<, 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减,

故当1x >时,()()F F 10x <=,即当1x >时,()1f x x <-. (III )由(II )知,当1k =时,不存在01x >满足题意.

当1k >时,对于1x >,有()()11f x x k x <-<-,则()()1f x k x <-,从而不存在01x >满足题意.

当1k <时,令()()()G 1x f x k x =--,()0,x ∈+∞,

则有()()2111

G 1x k x x x k x x

-+-+'=-+-=.

由()G 0x '=得,()2

110x k x -+-+=.

解得10x =

<,21x =

>.

当()21,x x ∈时,()G 0x '>,故()G x 在[)21,x 内单调递增. 从而当()21,x x ∈时,()()G G 10x >=,即()()1f x k x >-, 综上,k 的取值范围是(),1-∞. 【考点定位】导数的综合应用.

【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间,通过不等式'

()0f x >或'

()0f x <求解,但是要兼顾定义域;利用导数研究函数的单调性,再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式,注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价,

min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例,但是也可以利用它来证明,在2014年全国Ⅰ卷

理科高考21题中,就是使用该种方法证明不等式;导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研究基本初等函数方法所不具备的,而是其延续.

10.【2015高考广东,文21】(本小题满分14分)设a 为实数,函数

()()()2

1f x x a x a a a =-+---.

(1)若()01f ≤,求a 的取值范围; (2)讨论()f x 的单调性; (3)当2a ≥时,讨论()4

f x x

+

在区间()0,+∞内的零点个数. 【答案】(1)1,2

??-∞ ??

?

;(2))(x f 在),(+∞a 上单调递增,在),(a -∞上单调递减;(3)当2

=a 时,()4f x x +有一个零点2x =;当2>a 时,()4

f x x

+有两个零点. 【解析】

试题分析:(1)先由()01f <可得1≤+a a ,再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解,进而可得a 的取值范围;(2)先写函数()f x 的解析式,再对a 的取值范围进行讨论确定

函数()f x 的单调性;(3)先由(2)得函数()f x 的最小值,再对a 的取值范围进行讨论确定()4

f x x

+

在区间()0,+∞内的零点个数. 试题解析:(1)2

2

(0)f a a a a a a =+-+=+,因为()01f ≤,所以1≤+a a , 当0≤a 时,10≤,显然成立;当0>a ,则有12≤a ,所以21≤a .所以2

10≤

?

?-∞ ??

?

.

(2)()?????<++-≥--=a

x a x a x a

x x a x x f ,2)12(,12)(22

对于()x a x u 122

1--=,其对称轴为a a a x <-=-=

2

1

212,开口向上, 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增;

对于()a x a x u 2122

1++-=,其对称轴为a a a x >+=+=

2

1

212,开口向上, 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.

综上所述,)(x f 在),(+∞a 上单调递增,在),(a -∞上单调递减.

(3)由(2)得)(x f 在),(+∞a 上单调递增,在),0(a 上单调递减,所以

2min )()(a a a f x f -==.

(i)当2=a 时,2)2()(min -==f x f ,?????<+-≥-=2

,452

,3)(22x x x x x x x f

令()40f x x +

=,即x

x f 4

)(-=(0x >). 因为)(x f 在)2,0(上单调递减,所以2)2()(-=>f x f

而x y 4-

=在)2,0(上单调递增,2)2(-=

y 4

-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时,x

x x x f 4

3)(2-=-=,即04323=+-x x ,所以042223=+--x x x ,所

以()0)1(22

=+-x x ,因为2≥x ,所以2=x ,即当2=a 时,()4f x x

+有一个零点2x =.

(ii)当2>a 时,2

min )()(a a a f x f -==,

当),0(a x ∈时,42)0(>=a f ,2

)(a a a f -=,而x

y 4

-=在),0(a x ∈上单调递增, 当a x =时,a y 4-

=.下面比较2

)(a a a f -=与a

4-的大小 因为0)

2)(2()4()4(2232

<++--=---=---a

a a a a a a a a a

所以a

a a a f 4

)(2-

<-=

结合图象不难得当2>a 时,)(x f y =与x

y 4

-=有两个交点. 综上所述,当2=a 时,()4f x x +

有一个零点2x =;当2>a 时,()4

f x x

+有两个零点. 考点:1、绝对值不等式;2、函数的单调性;3、函数的最值;4、函数的零点.

【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点,属于难题.零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间,去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每段结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.判断函数的单调性的方法:①基本初等函数的单调性;②导数法.判断函数零点的个数的方法:①解方程法;②图象法.

11.【2015高考湖北,文21】设函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,

()()e x f x g x +=,其中e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)求()f x ,()g x 的解析式,并证明:当0x >时,()0f x >,()1g x >; (Ⅱ)设0a ≤,1b ≥,证明:当0x >时,()

()(1)()(1)f x ag x a bg x b x

+-<

<+-. 【答案】(Ⅰ)1()(e e )2x x f x -=-,1

()(e e )2

x x g x -=+.证明:当0x >时,e 1x >,0e 1x -<<,

故()0.f x >

又由基本不等式,有1

()(e e )12

x x g x -=+>=,即() 1.g x > (Ⅱ)由(Ⅰ)得

2111e 1

()(e )(e )(e e )()

2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤

2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥

当0x >时,

()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()

()(1)f x bg x b x

<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---,由⑤⑥,有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时,

(1)若0c ≤,由③④,得()0h x '>,故()h x 在[0,)+∞上为增函数,从而()(0)0h x h >=,即()()(1)f x cxg x c x >+-,故⑦成立.(2)若1c ≥,由③④,得()0h x '<,故()h x 在[0,)+∞上为减函数,从而()(0)0h x h <=,即()()(1)f x cxg x c x <+-,故⑧成立.综合⑦⑧,得 ()

()(1)()(1)f x ag x a bg x b x

+-<

<+-.

【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用,属高档题.

【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起,重点考查函数的综合性,体现了函数在高中数学的重要地位,其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解;第二问属于函数的恒成立问题,需借助导数求解函数最值来解决.

12.【2015高考山东,文20】设函数()()ln f x x a x =+,2

()e

x x g x =. 已知曲线()

y f x =在点(1(1))f ,处的切线与直线20x y -=平行. (I ) 求a 的值;

(II ) 是否存在自然数k ,使得方程()()f x g x =在(1)k k +,内存在唯一的根?如果存

在,

求出k ;如果不存在,请说明理由;

(III ) 设函数()min{()()}m x f x g x =,(min{}p q ,表示p q ,中的较小值),求()m x 的 最大值.

【答案】(I )1a = ;(II) 1k = ;(III) 2

4

e . 【解析】

(I )由题意知,曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2,所以'(1)2f =,

又'()ln 1,a

f x x x

=+

+所以1a =. (II )1k =时,方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.

设2

()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e

=-=+-

当(0,1]x ∈时,()0h x <. 又22

44(2)3ln 2ln 8110,h e e =-

=->-= 所以存在0(1,2)x ∈,使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x

x x h x x x e -=+

++所以当(1,2)x ∈时,1

'()10h x e

>->,当(2,)x ∈+∞时,'()0h x >,

所以当(1,)x ∈+∞时,()h x 单调递增.

所以1k =时,方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.

(III )由(II )知,方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ,且0(0,)x x ∈时,

()()f x g x <,0(,)x x ∈+∞时,()()f x g x >,所以02

0(1)ln ,(0,](),(,)x

x x x x m x x x x e +∈??

=?∈+∞??. 当0(0,)x x ∈时,若(0,1],()0;x m x ∈≤

若0(1,),x x ∈由1

'()ln 10,m x x x

=+

+>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时,由(2)

'(),x

x x m x e

-=可得0(,2)x x ∈时,'()0,()m x m x >单调递增;(2,)x ∈+∞时,'()0,()m x m x <单调递减;

可知2

4

()(2),m x m e ≤=

且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24

e

.

【考点定位】1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值;3.函数零点存在性定理.

【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等,解答本题的主要困难是(II )(III)两小题,首先是通过构造函数,利用函数零点存在性定理,作出判断,并进一步证明函数在给定区间的单调性,明确方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.其次是根据(II )的结论,确定得到()m x 的表达式,并进一步利用分类讨论思想,应用导数研究函数的单调性、最值.

本题是一道能力题,属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时,考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型,有利于优生正常发挥. 13.【2015高考四川,文21】已知函数f (x )=-2lnx +x 2

-2ax +a 2

,其中a >0. (Ⅰ)设g (x )为f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;

(Ⅱ)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞)

g (x )=f '(x )=2(x -1-lnx -a )

所以g '(x )=2-

22(1)x x x

-=

当x ∈(0,1)时,g '(x )<0,g (x )单调递减 当x ∈(1,+∞)时,g '(x )>0,g (x )单调递增

(Ⅱ)由f '(x )=2(x -1-lnx -a )=0,解得a =x -1-lnx

令Φ(x )=-2xlnx +x 2

-2x (x -1-lnx )+(x -1-lnx )2

=(1+lnx )2

-2xlnx 则Φ(1)=1>0,Φ(e )=2(2-e )<0 于是存在x 0∈(1,e ),使得Φ(x 0)=0

令a 0=x 0-1-lnx 0=u (x 0),其中u (x )=x -1-lnx (x ≥1) 由u '(x )=1-

1

x

≥0知,函数u (x )在区间(1,+∞)上单调递增 故0=u (1)<a 0=u (x 0)<u (e )=e -2<1 即a 0∈(0,1)

当a =a 0时,有f '(x 0)=0,f (x 0)=Φ(x 0)=0 再由(Ⅰ)知,f '(x )在区间(1,+∞)上单调递增 当x ∈(1,x 0)时,f '(x )<0,从而f (x )>f (x 0)=0 当x ∈(x 0,+∞)时,f '(x )>0,从而f (x )>f (x 0)=0 又当x ∈(0,1]时,f (x )=(x -a 0)2

-2xlnx >0 故x ∈(0,+∞)时,f (x )≥0

综上所述,存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.

【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点,由于连续两次求导后,参数a 消失,故函数的单调性是确定的,讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是:对于某个a ∈(0,1),

f (x )的最小值恰好是0,而且在(1,+∞)上只有一个最小值.因此,本题仍然要先讨论f (x )

的单调性,进一步说明对于找到的a ,f (x )在(1,+∞)上有且只有一个等于0的点,也就是在(1,+∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.

14.【2015高考新课标1,文21】(本小题满分12分)设函数()2ln x

f x e

a x =-.

(I )讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数; (II )证明:当0a >时()22ln

f x a a a

≥+. 【答案】(I )当0a £时,()f x ¢没有零点;当0a >时,()f x ¢存在唯一零点.(II )见解析 【解析】

试题分析:(I )先求出导函数,分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质,即可判断出零

点个数;(II )由(I )可设()f x ¢在()0+¥,

的唯一零点为0

x ,根据()f x '的正负,即可判

定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于2

2ln a a a

+,即证明了所证不等式.

试题解析:(I )()f x 的定义域为

,()2()=20x a

f x e x x

¢-

>. 当0a £时,()0f x ¢>,()f x ¢没有零点; 当0a >时,因为2x e 单调递增,a

x

-

单调递增,所以()f x ¢在()0+¥,

单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且1

4

b <时,(b)0f ¢<,故当0a >时,()f x ¢存在唯一零点.

(II )由(I ),可设()f x ¢在()0+¥,

的唯一零点为0

x ,当()0

0x x ?,时,()0f x ¢<;

当()0+x x 违,

时,()0f x ¢>. 故()f x 在(

)

00x ,单调递减,在(

)0+x ¥,

单调递增,所以当0

x x

=时,()f x 取得最小

值,最小值为0()f x . 由于0

202=0x a e

x -

,所以00022

()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a

++?. 故当0a >时,2

()2ln

f x a a a

?. 考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.

【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点,解决此类问题,要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题,利用导数研究函数的图像与性质,画出函数图像草图,结合图像处理;对恒成立或能处理成立问题,常用参变分离或分类讨论来处理.

15.【2015高考浙江,文20】(本题满分15分)设函数2

(),(,)f x x ax b a b R =++∈.

(1)当214

a b =+时,求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式;

(2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点,021b a ≤-≤,求b 的取值范围.

【答案】(1)2

22,2,4()1,22,2,24

a a a g a a a a a ?++≤-??

?=-<≤???-+>??;

(2)[3,9--

【解析】

(1)将函数进行配方,利用对称轴与给定区间的位置关系,通过分类讨论确定函数在给定上的最小值,并用分段函数的形式进行表示;(2)设定函数的零点,根据条件表示两个零点之间的不等关系,通过分类讨论,分别确定参数b 的取值情况,利用并集原理得到参数b 的取值范围.

试题解析:(1)当214a b =+时,2()()12a f x x =++,故其对称轴为2a

x =-.

当2a ≤-时,2

()(1)24

a g a f a ==++.

当22a -<≤时,()()12

a g a f =-=.

当2a >时,2

()(1)24

a g a f a =-=-+.

综上,2

22,2,4()1,22,2,24

a a a g a a a a a ?++≤-??

?=-<≤???-+>??

(2)设,s t 为方程()0f x =的解,且11t -≤≤,则s t a

st b +=-??=?

.

由于021b a ≤-≤,因此

212(11)22

t t

s t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时,22

2222

t t t b t t --≤≤++,

由于222032t t --≤≤+和2

12932

t t t --≤≤-+,

所以2

93

b -

≤≤-当10t -≤≤时,22

2222

t t t b t t --≤≤

++, 由于22202t t --≤<+和2

302

t t t --≤<+,所以30b -≤<.

综上可知,b 的取值范围是[3,9--.

【考点定位】1.函数的单调性与最值;2.分段函数;3.不等式性质;4.分类讨论思想. 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值,函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况,最后用分段函数的形式进行表示;利用函数与方程思想,确定零点与系数之间的关系,利用其范围,通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题,主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力,考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力,考查学生基本的运算能力.

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y =的定义域为( C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞,, B .(1)(01)-∞-, , C .(1)(1)-∞-+∞, , D .(10)(01)-,, 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A B C D

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

高考真题理科数学导数

2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分 一、选择题 1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a

5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 ( ) A . 2π 5 B . 43 C . 32 D . π2 7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 二、填空题 9 .(2012年高考(上海理))已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11.(2012年高考(江西理))计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12.(2012年高考(广东理))曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13.(2012年高考(天津理))已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1

人教版2017年高考数学真题导数专题

2017年高考真题导数专题   一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围. 5.设函数f(x)=(1﹣x2)e x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x (x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;

(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 8.已知函数f(x)=e x cosx﹣x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 9.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数. (Ⅰ)求g(x)的单调区间; (Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且 ∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥. 10.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R, (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x) =e x f(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0; (ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数

导数 一.基础题组 1. 【2010新课标,理3】曲线y = 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A .y =2x +1 B .y =2x -1 C .y =-2x -3 D .y =-2x -2 【答案】A 2. 【2008全国1,理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称,则( ) A . B . C . D . 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国,理21】已知函数f (x )满足f (x )=f ′(1)e x -1 -f (0)x + x 2 . (1)求f (x )的解析式及单调区间; (2)若f (x )≥ x 2 +ax +b ,求(a +1)b 的最大值. 【解析】(1)由已知得f ′(x )=f ′(1)e x -1 -f (0)+x . 所以f ′(1)=f ′(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f ′(1)e -1 ,所以f ′(1)=e. 从而f (x )=e x -x + x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12

由于f ′(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 从而,f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .① (ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立. (ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0. 所以f (x )≥ x 2 +ax +b 等价于 b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).② 因此(a +1)b ≤(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1), 则h ′(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)). 所以h (a )在(-1,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 故h (a )在处取得最大值. 从而,即(a +1)b ≤. 当,时,②式成立, 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =

校级:高考数学试题导数内容探究

高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值;以导数为工具,通过观察、分析三次函数图像的变化趋势,寻找临界状况,并以此为出发点进行推测、论证,实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常把高次多项式函数,分式函数,指数型,对数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来,以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值,切线,方程的根,参数的范围等问题,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新,方法新,是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有:导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、(理科)定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析,对导数的要求一般有三个层次:第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则;第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起,设计综合试题。本文以高考试题为例,谈谈高考导数的热点问题,供鉴赏。 一、函数,导数,不等式综合在一起,解决单调性,参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题;求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立,能成立,恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上(或实数集 )上的恒成立问题来解决,从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。

近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用

2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题(在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的) 1(2017北京文)已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x ( ) .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.(2017新课标Ⅱ文)函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( ) .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.(2017山东文)设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? ( )2.A 4.B 6.C 8.D 4.(2017山东文)若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是( ) x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.(2017新课标Ⅰ文数)函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为( ) б.(2017新课标Ⅰ文数)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则( ) .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.(2017天津文)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为( ) .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考数学文科导数真题汇编答案 一、客观题组 4 5. 7.设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是

8设函数f (x )= 2 x +lnx 则 ( ) A .x=12为f(x)的极大值点 B .x=1 2为f(x)的极小值点 C .x=2为 f(x)的极大值点 D .x=2为 f(x)的极小值点 9、函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 (A )(-1,1] (B )(0,1] (C.)[1,+∞) (D )(0,+∞) 11(2018年高考1卷) 12(2019年高考1卷) 一、 客观题答案1B ; 2.D; 3.y=x+1; 4.A . 5.y=2x-2 6D ,7C; 8D; 9B; 10.C 11.D; 12.y=3x 二、大题组 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (1)求a 、b 的值; (2)证明:当0x >,且1x ≠时, f (x )>ln x x -1 【解析】

(1)22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ,且过点(1,1), 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =,1b =。 (2)由(1)知f (x )=x x x 11ln ++,所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1 x ), 考虑函数,则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---=', 所以x ≠1时h ′(x )<0,而h (1)=0 故)1,0(∈x 时,h (x )>0可得,),1(+∞∈x 时,h (x )<0可得, 从而当,且时,. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 (1)求f (x )的单调区间 (2)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 【解析】 (1) f (x )的定义域为(,)-∞+∞,()x f x e a '=-, 若0a ≤,则()0f x '>,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >,则当(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '<;当(ln ,)x a ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增. (2)由于1a =,所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时,()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-,则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由(1)知,函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增,而(1)0h <,(2)0h >, 所以()h x ,在(0,)+∞存在唯一的零,故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ,则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时,()0g x '<;当(,)x a ∈+∞时,()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=,可得2a e a =+,所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <,故整数k 的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >-

【高考数学】含有三角函数的导数大题

(2)若函数f (x )在(0,)上存在两个极值点,求实数a 的取值范围. 2.(2019秋?汕头校级期末)已知函数f (x )=x cos x ﹣2sin x +1,g (x )=x 2e ax (a ∈R ). (1)证明:f (x )的导函数f '(x )在区间(0,π)上存在唯一零点; (2)若对任意x 1∈[0,2],均存在x 2∈[0,π],使得g (x 1)≤f (x 2),求实数a 的取值范围. 注:复合函数y =e ax 的导函数y '=ae ax . 3.(2020?开封一模)已知函数,a ∈R ,e 为自然对数的底数. (1)当a =1时,证明:?x ∈(﹣∞,0],f (x )≥1; (2)若函数f (x )在 上存在两个极值点,求实数a 的取值范围. 4.(2020?遂宁模拟)已知函数 (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)若函数g (x )=a (lnx ﹣x )+f (x )﹣e x sin x ﹣1有两个极值点x 1,x 2(x 1≠x 2).且不等式g (x 1)+g (x 2)<λ(x 1+x 2)恒成立,求实数λ的取值范围. 5.(2018秋?济宁期末)已知函数f (x )=(x ﹣a )cos x ﹣sin x ,g (x )=x 3 ﹣ax 2,a ∈R (Ⅰ)当a =1时,求函数y =f (x )在区间(0,)上零点的个数;(Ⅱ)令F (x )=f (x )+g (x ),试讨论函数y =F (x )极值点的个数. 6.(2019 秋?五华区校级月考)已知函数 ,f '(x )为f (x )的导数.(1)证明:f (x )在定义域上存在唯一的极大值点; (2)若存在x 1≠x 2,使f (x 1)=f (x 2),证明:x 1x 2<4. 7.(2019秋?五华区校级月考)定义在[﹣π,+∞)的函数f (x )=e x ﹣cos x 的导函数为g (x ).证明: (1)g (x )在区间(﹣π,0)存在唯一极小值点; (2)f (x )有且仅有2个零点. (1)当a =1时,证明:?x ∈(﹣∞,0],f (x )≥1; 1.(2020?开封一模)已知函数f (x )=a ?e ﹣ x +sin x ,a ∈R ,e 为自然对数的底数.二.解答题(共10小题) 含有三角函数的导数题目

高考数学——导数大题精选

高考数学——导数大题精选 6.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P (1,2),且在点P 处有公切线,试求a,b,c 值。 例2 求下列函数的导数: (1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++= (4)1 1-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x x y cos sin 2cos -= 1.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围 2.设a ≥0,f (x )=x -1-ln 2 x +2a ln x (x >0). (Ⅰ)令F (x )=xf '(x ),讨论F (x )在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当x >1时,恒有x >ln 2x -2a ln x +1. 3.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ,. (Ⅰ)求()f x 的最小值()h t ; (Ⅱ)若()2h t t m <-+对(02)t ∈, 恒成立,求实数m 的取值范围 4.设函数2()ln(23)f x x x =++ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)求()f x 在区间3144??-???? ,的最大值和最小值 6.已知函数2221()()1 ax a f x x x -+=∈+R ,其中a ∈R . (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.

20122017年高考文科数学真题汇编导数及应用老师版

学科教师辅导教案 学员姓名年级高三辅导科目数学 授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段 2018年月日:—: 1.(2014大纲理)曲线1x y xe- =在点(1,1)处切线的斜率等于( C ) A.2e B.e C.2 D.1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示, 则该函数的图象是(B) 4.(2012陕西文)设函数f(x)= 2 x +lnx 则( D ) A.x= 1 2 为f(x)的极大值点B.x= 1 2 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在,若 :()0 p f x=: :q x x =是() f x的极值点,则A.p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 6.(2012广东理)曲线33 y x x =-+在点() 1,3处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7.(2013广东理)若曲线ln y kx x =+在点(1,)k处的切线平行于x轴,则k= 【答案】-1 8.(2013广东文)若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a处的切线平行于x轴,则a=.历年高考试题汇编(文)——导数及应用

(完整版)导数最新文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1.(2014大纲理)曲线1x y xe- =在点(1,1)处切线的斜率等于( C ) A.2e B.e C.2 D.1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示, 则该函数的图象是(B) 4.(2012陕西文)设函数f(x)= 2 x +lnx 则( D ) A.x= 1 2 为f(x)的极大值点B.x= 1 2 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在,若 :()0 p f x=: :q x x =是() f x的极值点,则A.p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 6.(2012广东理)曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7.(2013广东理)若曲线在点处的切线平行于轴,则 【答案】-1 8.(2013广东文)若曲线在点处的切线平行于轴,则. 【答案】 1 2 9.(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10.(2013江西文)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

年高考数学试题知识分类大全函数与导数

2007 年高考数学试题汇编 函数与导数 (07广东) 已知函数x x f -=11)(的定义域为M ,)1ln()(x x g +=的定义域为N ,则= ?N M ( ) C. B. ) A A .充要条件 B .充分而不必要的条件 C .必要而不充分的条件 D .既不充分也不必要的条件 B (07江西) 设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线y =f(x)在x =5处的切线的斜率为 A .- 51 B .0 C .5 1 D .5

B. (07浙江) 设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ,()x g 是二次函数,若()[]x g f 的值域是[)+∞,0,则()x g 的值 域是( ) A.(][)+∞-∞-,11,Y B.(][)+∞-∞-,01,Y C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 C. B. A. (07湖南) 函数()? ? ?>+-≤-=1,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 B. (07湖南)

设集合{ }6,5,4,3,2,1=M ,k S S S ,,,21Λ都是M 的含有两个元素的子集,且满足:对任意的 {} i i i b a S ,=、 {} j j j b a S ,=( {} k j i j i ,,3,2,1,,Λ∈≠)都有 ?? ? ???????≠?????j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min , ({}y x ,m in 表示两个数y x ,中的较小者) ,则k 的最大值是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 B. C. D B. (07山东) 设? ?? ??? -∈3,21, 1,1α,则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 A. (07江西)

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