漫谈数学分析的学习
漫谈数学分析的学习
我读的第一套数学分析教材是北京大学数学系自编教材《数学分析》（方企勤、沈燮昌、廖可人、李正元编写）【1】。这套教材的优点是叙述严谨、覆盖面广，风格上沿袭扎实冷峻的俄式风范，对学生的训练比较充分。缺点是写得太严谨，有时稍显直观不足，尤其是第三卷讲述高维空间的积分理论时，没有及时引入微分流形的语言，使积分的处理显得琐碎繁杂。但总体说来，这是一套值得精读的教材，能够帮助大学生打下坚实的基础。
与这套教材配套的习题集，最早是北大数学系自编的一套习题集：《数学分析习题集》（林源渠、方企勤、李正元、廖可人编著）【2】。这套习题的好处是比较精炼，所收习题主要依据北大数学系数学分析习题课资料编撰，也吸收了专门化课中遇到的数学分析问题以及 1983 年前的历届研究生考试的部分试题。我个人体会，这套习题对于磨练大学生的精细思维以及与分析相关的几何直观颇有裨益，值得全做。
数学分析习题集中，在中国比较有名的是《吉米多维奇数学分析习题集》。这套习题集后来也出了完整的习题解答：《数学分析习题集题解》（吉米多维奇著，费定晖、周学圣编演，郭大钧、邵品琮主审）【3】。个人感觉这套习题集有不少题目过于重复，尤其是关于计算方面的题目太多，似乎更适合工程物理类大学生使用，对于数学专业的人来说则有些过时。我大学时代利用课余时间研读这套习题集，前后花了近两年的时间才把习题逐一做完，费时太长而不利于拓宽视野、尽快掌握现代数学的全貌。所以从个人经验出发，我建议现在的大学生只把这套习题作为一个参考，可精研其中的证明题，对计算题则挑选代表性题目练手即可。至于培养分析直观和逻辑严密性，一本非常有用的经典参考书是《分析中的反例》（盖尔鲍姆、奥姆斯特德著，高枚译）【4】。
北大数学系的这套教材成书于1986年。由于数学分析这门课程已经比较成熟，科研上并无什么新突破，所以年代久远并不是问题，但就易读易懂性而言，还是有可以改进之处的。出于这一考虑，我在此向大学生们推荐另外一套北大的教材，张筑生先生所著三卷本《数学分析新讲》【5】。有一位网友是如此评价他对该书的印象的：
“所谓‘新讲’就是把所有不相关的细枝末节统统删除，只用最精炼的语言讲述最核心的思想；用最简明的表达式传递最根本的解题方法和技巧；从最低的起点出发，用了最少的预备知识，构建了微积分这座大厦。”
我大体同意这位网友的观点：张先生的这本书和他的《微分拓扑讲义》一样，讲究最直观自然的处理方式，而非最精巧的阐述方式；大多数中文数学分析教材只是材料的生硬堆砌，而张先生的书则可说是水乳交融的有机整体。从材料的组织和问题的分析解构，读者可以隐约体会到独立做科研的脉络和范式（paradigm）——不追
求依赖于个人聪明才智的奇技淫巧，而力图阐述做学问的一般性规律，让资质中等以上的普通人也能学会分析的思考模式，我认为是这本书最大的优点。
除此之外，书中的某些结果也作了较精细的处理。例如其中对泰勒展开各种余项的阐释，就为后面数值分析的学习铺平了道路。我个人还感觉张先生在该书的章节处理上煞费苦心，就好象他亲自把前方道路来来回回仔细走了几遍、并在关键节点上逐一插上了标识一样，对读者什么时候会感到心理疲劳，作了非常仔细精准的分析判断。这一点和美国数学家、沃尔夫奖得主彼得·拉克斯（Peter Lax）的《泛函分析》【6】一书很有些相似。
和张先生的这套教材配套的习题集，是林源渠、方企勤编写的《数学分析解题指南》一书【7】。这本书我并未读过，但二位先生编写教材的经验和功力已有前文提及的教材和习题集以为佐证，再加上该书序言中专门提及它特别适合于作为《新讲》的配套辅导教材使用，所以我特此推荐一番。
或许有同学担心《新讲》和86版的《数学分析》教材覆盖内容有所不同。实际上86版教材涉及的内容在《新讲》中都有详尽阐述。唯一不同的，就是后者可能更切合大学生学习数学分析的心理历程，更直观易懂而已，我对此举一个例子。一位朋友本科就读于清华大学，曾参加过理科试验班（具体的名目已经忘了，大概就是加强包括数学在内的基础科学的训练），所使用的数学分析教材就是《数学分析新讲》。当时他的一位同学看完《新讲》之后意犹未尽，想看看北大数学系科班出身的都使用什么教材，于是找来86版老教材研读。不料读完之后却身心俱疲，对数学分析彻底失去了兴趣，虽然这两套教材覆盖的内容几乎一模一样。
我大学期间读过的第三本数学分析教材是斯皮瓦克的《流形上的微积分：高等微积分中一些经典定理的现代化处理》【8】。我学习这本书的动机是感觉张筑生先生的《新讲》虽好，唯有对高维空间的积分，尤其是复杂曲面上的积分，处理得还不够简洁，很好奇应该如何用微分流形和微分形式的语言来阐述清楚。
但遗憾的是，我感觉斯皮瓦克的这本书对流形上的积分理论还是没有予以清楚的阐释——书的前半部分其实很好，就是第四章“链上的积分”讲得颇有些含混不清。这个缺憾在我出国学习后读的第四本数学分析教材中得到了完美的解决，这本书就是麻省理工学院的芒克勒斯教授的《流形上的分析》一书【9】。在仔细研读一遍并将该书后半部分（第五章至第八章）的习题都做了之后，我才确实感到已经把数学分析的方方面面都学清楚了，并与现代的流形上的分析学理论有了一个很好的衔接（参见斯皮瓦克的另一本书，A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volume 1【10】）。
回过头来，如果有才入大学校门的大学生询问我学习数学分析的路线图，我会建议先读张筑生先生的《数学分析新讲》以及配套的《数学分析解题指南》（林源渠、方企勤）和《数学分析习题集》（林源渠、方企勤、李正元、廖可人），然后再读
芒克勒斯的《流形上的分析》（习题全做）。《吉米多维奇数学分析习题集》则仅作为课外参考书，研读其证明题部分即可。
我想解释一下这种读书方法的思路。中国现在科学教育的一个弊端，是把科学放到了一个“术”的层次上来讲解，看成是一种聪明人才能玩的“奇技淫巧”（tricks）的集合，似乎那些科学问题的解决方案，都是聪明人凭空想出来的，并无一种具有普遍性的方法论在后面指导。这种“得其形而不得其神”的做法，具体就体现在大学高等数学的教学，例如数学物理方法的教学，满足于各种解题方法和技巧的罗列，而忽视用一些基本的数学思想加以简化统一的重要性。又比如中国现在流行的奥赛培训，就是集中向学生灌输一些技巧，学生只需要把这些技巧学会、用熟，就能在奥赛中取得高分。
依此道理，《吉米多维奇数学分析习题集》固然能帮助学生巩固知识，但是过于重视它的作用，就是只学到了俄国学派做学问的皮毛。关键是要在基础已经巩固的情况下，及时地学习更为高级的理论，用高观点来简化我们对技巧的理解。我举一个具体例子以为说明。
在数学、物理和工程里，常有最优化问题需要解决。一个通常的工具是拉格朗日乘子法。问个简单的问题，这个大家经常使用的方法，有谁能一口说出它的直观，并在脑子里画一个形象的图出来？下面这句话是什么意思：“光滑的限制条件给出一个光滑流形；目标函数在此流形的某点上取得极值的必要条件是目标函数的梯度向量垂直于此流形在该点的切空间”？
大家不妨按照我下面给出的顺序，读一下拉格朗日乘子法证明的四个版本：
1.86年北大版《数学分析》教材的证明，第三册第163页。我初读时逻辑上
都能理解，就是不明白证明的整体思路是什么。换言之，让我自己给人讲解该证明，我脑海中缺乏一个清晰的图景，讲起来有困难。
2.张筑生先生的《数学分析新讲》第二册第275页。这个证明已经很直观了，
但读者可能还是觉得证明太“聪明”了，无法一下子想到，读完后复述仍有一定困难。
3.美国达特茅斯大学有一个微积分课程的课件，《拉格朗日乘子法和隐函数定
理》【11】。这个课件是个课堂讲义，其来历颇为有趣：讲课的老师在讲义上抱怨，教材没有把问题讲清楚，所以老夫我只好自己写个证明给学生们看了。我前面所说“光滑流形”的几何直观即来自于这个版本的证明。至此，证明的几何直观已经很清楚了，需要复述时，只需将脑海中的图像转化成严格的形式语言就行了。
4.在斯皮瓦克所著《流形上的微积分》一书中，习题5-16给出了一个更好的
证明。“更好”就更好在揭示出了一种一般性的思想方法：限制条件通过隐含数定理定义了一个流形，而流形局部上看都是欧氏空间，所以我们可以把限制条件看作投射，从而把问题平凡化（具体细节见我所作的习题解答）。
这种“流形局部是平直空间”的思想不但简化了我们看问题的方法，而且有助于把特定的技巧推广到其他问题中，例如这个观点就可用于非线性最优化问题的简洁阐释。方法论的关键是“以道统摄术”，而非迷恋于“不列方程求解鸡兔同笼问题”的低级奇技淫巧。
又例如数学家陶哲轩有一本书，Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective，搜集了一些其青少年时期参加奥赛时做过的数学题。对于一个学习过高等数学的普通大学生来说，即使他没有受过专门的奥赛训练，这本书上的大多数题目也应该难不倒他。这并非是因为他学会了使用什么高级的工具，而是因为经年的数学阅历，使得他对问题的内在结构有一种敏感，可以一针见血地看出关键所在，从而以庖丁解牛似的轻松解决问题。作为例子，我们可以看看北大数学系《数学分析习题集》第一章的一道习题（见图1）
Figure 1
对于第（1）小题，我们只需注意到如下关系式即可：
这个解法一方面来自于条件的几何直观，一方面则来自于凸函数性质的启示。这就是贯通大本源的好处：“君子务本，本立而道生”。这个“本”，就是唯物主义的“本”——通过理解理论的来龙去脉，通过考察原始发明者的思考，来学习一个理论最精髓、最本质的思想。
所有的青年大学生们（无论文理科），乃至中小学生们，都可以仔细读一读波利亚的《如何解题》【12】。我上面所述的思想方法并非我的发明，而是前辈数学家早已在此书中阐述总结清楚了的——解决数学问题确实有一些一般性的普遍规律可以总结传承，这些一般性的普遍规律也可以推广到实际生活中，用于解决生活中遇到的问题，用于思考社会现象的本质，等等。其精髓，就是“实践”二字。苏联数学家（后移居美国）叶甫盖尼 B. 邓金是如此阐述数学教学中的实践学的：
In order to grasp new mathematical concepts, one must be aware of their power and visualize how they operate. This is best initiated not with general theorems, but with specific problems. The problems must be realistic and the situation typical, but not
cluttered with the kind of incidental technical difficulties that arise in a more pedantic systematic framework.
Evgenii B. Dynkin and Aleksandr A. Yushkevich, Markov Processes: Theorems and Problems - Foreword
“为了掌握新的数学概念，我们必须了解这些新概念的威力，并能对他们如何使用有个栩栩如生的体会。要达到这种境界，最好的办法不是一上来就讲普适性的定理，而是从具体的问题开始。这些具体问题必须是有代表性的现实问题，同时这些问题的本质也不会被一些偶然的技术困难所模糊——这些偶然的技术困难往往在需要建立一个严格系统的理论框架时出现。”
——叶甫盖尼 B. 邓金，亚历山大 A. 尤什科维奇，《马科夫过程：定理与问题》-前言【13】。
说明邓金教授这一观点的一个绝好例子，就是傅立叶关于傅立叶级数和积分理论的原著，《热的解析理论》【14】。这本书任何一个懂微积分的人都能读懂，而把数学理论看得过于神圣的青年学生们读后则可能会大吃一惊：原来傅立叶级数和积分理论就是这么连蒙带猜地搞出来的！
欧拉的《无穷分析引论》（欧拉著，张延伦译）【15】也同样具备这种戏剧性。该书以一种娓娓道来的方式，通过揭示数学家做科研的实践活动，展示了数学是如何被发现的。这本书和波利亚的《如何解题》可谓相映成趣，读起来颇有代入感。
用一句话总结前面邓金教授的教学心得，那就是“任何理论都必须从问题中来，到问题中去”。实际上，这也是俄国学派讲授数学的基本范式：从一个重要的实际问题讲起，把这个问题彻底解决；然后揭示问题的本质，进而将解决方案上升为一个理论-- In the beginning, it's a trick; then the trick becomes a methodology; eventually, the methodology evolves into a theory。就我个人体会而言，这种“从实践中来，到实践中去”的唯物主义方法论的确有助于科研教学，现代数学“把脚手架都拆掉”的讲法实在是害死人。
文章结尾引用两段前辈的经验谈作为总结：
“通过实践而发现真理，又通过实践而证实真理和发展真理。从感性认识而能动地发展到理性认识，又从理性认识而能动地指导革命实践，改造主观世界和客观世界。实践、认识、再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环的内容，都比较地进到了高一级的程度。这就是辩证唯物论的全部认识论，这就是辩证唯物论的知行统一观。”
——毛泽东：《实践论》【16】
“在《书经》的《洪范》篇上，有‘沉潜刚克，高明柔克’两句话。这两句话，是被向来讲身心修养的人，看作天性不同的两种人所走的两条路径的。其实讲研究学问的方法，亦不外乎此。这两种方法：前一种是深入乎一事中，范围较窄，而用力却较深的。后一种则范围较广，而用功却较浅。这两种方法：前一种是造就专家，后一种则养成通才。固然，走哪一条路，由于各人性之所近，然其实是不可偏废的。学问之家，或主精研，或主博涉，不过就其所注重者而言，绝不是精研之家，可以蔽聪塞明，于一个窄小的范围以外，一无所知，亦不是博涉之家，一味的贪多务得，而一切不能深入。
专门研究的书，是要用沉潜刚克的方法的。先择定一种，作为研究的中心，再选择几种，作为参考之用。‘一部书的教师，是最不值钱的。’一部书的学者，亦何莫不然。这不关乎书的好坏。再好的，也不能把一切问题包括无遗的，至少不能同样注重。这因为著者的学识，各有其独到之处，于此有所重，于彼必有所轻。如其各方面皆无畸轻，则亦各方面皆无所畸重，其书就一无特色了。无特色之书，读之不易有所得。然有特色的书，亦只会注重于一两方面，而读者所要知道，却不是以这一两方面为限的。这是读书所以要用几种书互相参考的理由。这一层亦是最为要紧的。每一种书，必有若干问题，每一个问题，须有一个答案，这一个答案，就是这一种学问中应该明白的义理。我们必须把他弄清楚，而每一条义理，都不是孤立的，各个问题必定互相关联。把他连接起来，就又得一种更高的道理，这不但一种学问是如此，把各种学问连接起来，亦是如此，生物学中竞争和互助的作用，物理学生质力不灭的法则，都可以应用到社会科学上，便是一个最浅显的例子。学校的教授，有益于青年，其故安在？那缘其所设立的科目，必系现今较重要的学问；缘其所讲授的，必系一种学问中最重要的部分；而随着学生的进修，又有教师为之辅导，然即无缘入学的青年，苟能留意于学问的门径，并随时向有学问者请益，亦决不是不可以自修的。
基础的科学，我们该用沉潜刚克的法子，此外随时泛滥，务求其所涉者广，以恢廓我们的境界，发抒我们的意气的，则宜用高明柔克的法子。昔人譬喻如用兵时的略地，一过就算了，不求深入。这种涉猎，能使我们的见解，不局于一隅，而不至为窗塞不通之论。这亦是很要紧的。因为近代的专门学者，往往易犯此病。
两途并进，‘俛焉日有孳孳’，我想必极有趣味。‘日计不足，月计有余’，隔一个时期，反省一番，就觉得功夫不是白用的了。程伊川先生说：‘不学便老而衰。’世界上哪一种人是没有进步的？只有不学的人。”
——吕思勉：《为学十六法》【17】
（正文完）
【补记】略评另外几本基本流行的数学分析教材。
卓里奇的《数学分析》【18】、柯郎和约翰合著的《微积分和数学分析引论》【19】、以及菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》【20】：这几本书都是百科全书式
的数学分析教材，不但讲理论，也讲应用，说明了微积分发生发展的源泉和历史过程，对于大学生了解微积分和数学分析的全貌非常有帮助。缺点则是大而全，对于天赋一般（如我自己）的初学者，啃起来可能会较吃力。我的建议是将之作为参考书，在读完《数学分析新讲》之后，再有目的地进行翻阅。这也符合吕思勉先生“先精读后略读，再两者并用”的读书策略——先“沉潜刚克”一两本好书，再“高明柔克”若干参考本，随后再融会贯通。
Apostol的Mathematical Analysis【21】和Rudin的Principles of Mathematical Analysis【22】：这两本书的内容和北大版《数学分析》以及《数学分析新讲》多有雷同，其中前者风格更接近中文教材一些。Rudin的诸多教材中，我读过其关于数学分析、实分析和复分析、以及泛函分析的三本教材，对于其讲授风格持保留态度——太端着讲理论的架子，太形式化而掩盖了背后的直观，与其他类似教材相比，不够juicy。我认为国内对Rudin的教材捧得太高了——从教育心理学的角度看，实分析我认为周民强的书更好，泛函分析则是拉克斯（Peter Lax）的更好。
（补记完）
【参考文献】
【1】方企勤、沈燮昌、廖可人、李正元：《数学分析》1-3册，高等教育出版社，1986年。新浪爱问网下载：第一册，第二册，第三册。
【2】林源渠、方企勤、李正元、廖可人：《数学分析习题集》，高等教育出版社，1986年。新浪爱问网下载。
【3】里斯·帕夫洛维奇·吉米多维奇著，费定晖、周学圣编演，郭大钧、邵品琮主审：《数学分析习题集题解》，山东科学技术出版社，1999年。VeryCD下载。
【4】伯纳德·盖尔鲍姆、约翰·奥姆斯特德著，高枚译：《分析中的反例》，上海科学技术出版社，1980年。新浪爱问网下载。
【5】张筑生：《数学分析新讲》，北京大学出版社，1990年。新浪爱问网下载：第一册，第二册，第三册。
【6】Peter Lax. Functional Analysis, Wiley-Intersciecne, 2002. 新浪爱问网下载。
【7】林源渠、方企勤：《数学分析解题指南》，北京大学出版社，2003年。新浪爱问网下载。
【8】麦克·斯皮瓦克著，齐民友、路见可译：《流形上的微积分：高等微积分中一些经典定理的现代化处理》。新浪爱问网下载：中文版，英文版，习题解答。
【9】James Munkres. Analysis on Manifolds, Westview Press, 1997. 新浪爱问网下载：英文版，习题解答。
【10】Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volume 1, 3rd Edition, Publish or Perish, 1999. 新浪爱问网下载。
【11】达特茅斯大学微积分课件：拉格朗日乘子法和隐函数定理。新浪爱问网下载，达特茅斯大学网页下载。
【12】乔治·波利亚著，阎育苏译，张公绪校：《怎样解题》，科学出版社，1982年。新浪爱问网下载，豆瓣书评。
【13】Evgenii B. Dynkin and Aleksandr A. Yushkevich, Markov Processes: Theorems and Problems, Plenum Press, 1969. 新浪爱问网下载。
【14】让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶著，桂质亮译：《热的解析理论》，武汉大学出版社，1993年。新浪爱问网下载。
【15】莱昂哈德·欧拉著，张延伦译：《无穷分析引论》，山西教育出版社，1997年。新浪爱问网下载：中文版，英文版（上、下）。
【16】毛泽东：《实践论（论认识和实践的关系——知和行的关系）》，1937年7月。
【17】吕思勉：《为学十六法》，中华书局，2007年。新浪爱问网下载。
【18】弗拉基米尔·安通诺维奇·卓里奇著，蒋铎、王昆扬、周美珂、邝荣雨译：《数学分析》，高等教育出版社，2006年。新浪爱问网下载：中文版（上、下），英文版（上、下）。
【19】理查德·柯郎、弗里茨·约翰著，张鸿林、周民强译：《微积分和数学分析引论》，科学出版社，1979年。新浪爱问网下载：中文版（第一卷第一分册、第一卷第二分册、第二卷第一分册），英文版（第一卷、第二卷）。
【20】菲赫金哥尔茨著，杨弢亮、叶彦谦译，郭思旭校：《微积分学教程》第八版，高等教育出版社，1954年。新浪爱问网下载：第一卷、第二卷、第三卷。
【21】Tom Apostol. Mathematical Analysis, 2rd Edition. Addison Wesley, 1974. 新浪爱问网下载。
【22】Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition. McGraw-Hill, 1976. 新浪爱问网下载。
【附录·祭文】
为了忘却的纪念
想为张筑生先生写篇祭文，斟酌酝酿许久，却仍然不得下笔。只能摘抄一些先生自己和他人的话，以为祭祀。
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微积分的创立是人类思想史上光辉灿烂的成就，为了让学生在学习过程中就能感受到这一点，就必须讲一些重要的应用。记得自己当学生的时候，就曾产生过这样疑 惑：花费这么多的时间和精力学微积分，学完之后究竟能做哪些事？好像除了求极值、求面积体积而外，就什么也不会了。笔者写这套书，就是想或多或少改变一下 这种状况。
。。。
从编写教学改革实验讲义到整理改写成书，前后花费了五年最宝贵的时间。笔者做这件事可以说是“知其不可为而为之”。明知是“吃力不讨好”，却硬着头皮做了，也许是因为想起了自己的学生时代。每当学到某处，因为教材上说得不清 楚，害得学生花费很多时间最后才弄明白“原来不过如此”的时候，总是希望有一本更可心的书。当了教师之后才知道，要想把书学得清楚明白，绝 对不是一件容易的事情。有时候费了半天口舌，本想把事情说得更清楚一点，反而让人糊涂了。写这本书已经费了这么多事，究竟效果如何，也只能留给学生们与教 师们去评论了。《红楼梦》作者的诗句道出了每一个用心血写书的人的感概：“都云作者痴，谁解其中味”！
——张筑生：《数学分析新讲》后记
【评】“老吾老以及人之老，幼吾幼以及人之幼”。张先生悲天悯人，有菩萨心肠。
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张 筑生，北京大学数学教授，2002年2月因病去世。他具有很高的学术天分和创造才能，却甘于从事最基础的教学和教材编写工作；他身体有残疾，12年前得了 严重的鼻咽癌，却以惊人的毅力战胜自我，带领中国数学奥林匹克竞赛选手，连拿五届总分第一；他忘记自我，诲人不倦。张筑生是了不起的教授，他的精神值得大 力弘扬。
。。。
在外人看来有些奇怪的是，张筑生在教师进修学校开了8年课，一些年轻教师就跟着他上了8年学。如人大附中的彭 建平、20中学的刘运河、101中学的白雪等。进修学校副校长赵大悌说：“大家在教学中遇到的问题，通过这个研讨班都能得到解决，而张先生则是研讨班的出 题人和解决方法的归纳者。”白雪说：“国际数学大赛的题，一般答案都有两三页之长，而张老师只用四、五行算式就解决了，简直神了。更主要的是他教会了我用 中学生能够接受的方法解决问题。他对我的影响很大，我们都很佩服他。”
2001年下半年，张筑生的病情更重了，严重的结肠炎闹得他一天要上几十次厕所。为了上好一堂课，他要提前一天节食，上课当天则禁食禁水。院领导劝他全休养病，他不同意。刘玲玲代他向领导解释：“他要以这样的方式来度过生命的最后日子。与其让他在痛苦中煎熬，不如让他在工作中忘掉痛苦，在思考中享受快乐。”
就这么痛并快乐着，张筑生工作到了生命的最后一刻。2002年1月11日下午2点30分，已经失去方向感的张筑生被几位研究生抬进北大第一教学楼 208室，这是他的微分拓朴学考场，他要亲自为38名学生监考。很快学生的成绩和评语都出来了。紧接着张筑生就住进了医院。
2月6日，张筑生与世长辞。
。。。
张筑生去世后，北大校园网的BBS上贴满了悼念文章：
“张老师也许是我一生中再难遇到的顶尖级的老师……当他讲到几何，我才知道自己以前没有学过真正的几何；当他讲到代数，我就开始怀疑自己是否学过真正的代数。张老师的数学思想深刻但极其清晰，使我这样智力平常的人都能懂。”
“我曾经数次拜访了张老师以前在蔚秀园的家，真的是非常清贫，看过后我一度放弃了要从事科学研究的打算。2000年的夏天，最后一次拜访，张老师高兴地拿出蓝旗营的结构图，说：用我和刘老师的积蓄，也可以住进去了。我难过得哭了。”
“张老师，是您让我明白了，思考的乐趣比物质的享受更加高贵。张老师，您走好。”
——《百度百科：张筑生》
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“自欺”也并非现在的新东西，现在只不过日见其明显，笼罩了一切罢了。然而，在这笼罩之下，我们有并不失掉自信力的中国人在。
我们从古以来，就有埋头苦干的人，有拼命硬干的人，有为民请命的人，有舍身求法的人，……虽是等于为帝王将相作家谱的所谓“正史”，也往往掩不住他们的光耀，这就是中国的脊梁。
这一类的人们，就是现在也何尝少呢？他们有确信，不自欺；他们在前仆后继的战斗，不过一面总在被摧残，被抹杀，消灭于黑暗中，不能为大家所知道罢了。说中国人失掉了自信力，用以指一部分人则可，倘若加于全体，那简直是诬蔑。
要论中国人，必须不被搽在表面的自欺欺人的脂粉所诓骗，却看看他的筋骨和脊梁。自信力的有无，状元宰相的文章是不足为据的，要自己去看地底下。
——鲁迅：《中国人失掉自信力了吗》
对数学教学心得体会
对数学教学心得体会 数学教学的根本目的，就是要全面提高学生的“数学素养”，新的课程标准已将基本的（数学思想和方法）作为数学的基础知识来要求，搞好的研究与教学是增强学生数学观念，形成良好的 “数学素养”的重要措施之一。然而，让人痛心的是，长期以来，一些本来生动活泼的，由于被淹没在大量的“加、减、乘、除和 乘方、开方运算”、“分式、繁分式的化简”、“解方程的技能 训练”以及“大量的人为编造的以致脱离实际的所谓应用题”和“各种各样的解题技巧、解题模式的训练”中，而失去了其应有 的魅力和价值，学生也许学到了不少具体的数学知识，但却很少 甚至根本没有领悟到其内在的本质，只有知识的“躯体”而无思 想的“灵魂”，谈何“素养”？ 那么，究竟如何通过的渗透与应用来对学生进行思想观念层 次上的数学教育呢？我的体会有三： 一、要重视数学思想史的介绍。 教学中要尽可能多地向学生展示数学知识的形成和演变过程 中的功能，使学生学习到数学家们探索和研究数学的思想方法， 让学生感受到的巨大价值。如小学阶段平行四边形面积的求法、 圆周率的推导、素数理论的建立……，初中阶段无理方程、高次 方程的解法、变量与函数的概念、正边形和圆的关系等等、等等……
二、要倡导“问题解决”的教学模式。 未来的数课程将力求形成“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的基本模式，以大众化、生活化的方式反映重要的 现代数学观念和。“问题解决”的教学模式要求教师为引导学生 学习某个问题，必须精心设计出关于教学内容的问题系列，让学 生围绕这些问题进行积极的探索性的思维活动，设置的问题，要 启发引导学生去发现、分析并解决。这样不仅能使学生成功地学 到知识，而且学到统摄知识的，从中让他们发现数学真理的奥妙 和体验成功的愉悦。 三、重点突出基本的的介绍和渗透。 我有幸教过八年的初中和近三年的小学，较详细地了解义教 育阶段的数学教材，深感在数学教学中应该渗透以下几种类型 的： （）、宏观型的如抽象概括、化归、数学模型、数形结合、方程与函数、归纳猜想等； （）、逻辑型的如分类、类比、完全归纳、反证法、演绎法、特殊化等； （）、技巧型的如换元法、配方法、待定系数法等。 据我的统计，义务教阶段数学教材中频数分布排列前六位的是：数学模型、演绎、抽象概括、化归、特殊化和归纳猜想。值 得注意的是，在当前数学教学和教学检测中，我仅对以上六种中 的演绎法有一定程度的重视，而对其它方法的重视则不够。事实
小学数学教学反思
小学数学教学 在小学数学教学中，教师通过观察、回顾、反思等方式，对教学实践进行思考、反馈、评价、探索，解决教学中的的实际问题，针对教学中的“教”与“学”两方面活动的过程及效果，对它们的合理性做出准确的判断，查找自己缺陷，扬长避短，不断改进教学，提升我们的教学水平。 教师在教学实践中，在先进的教学理论指导下，批判地观察自我的主体行为表现及其行为依据。通过观察、回顾、反思等方式，对教学实践进行思考、反馈、评价、探索，解决教学中的的实际问题，针对教学中的“教”与“学”两方面活动的过程及效果，对它们的合理性做出准确的判断，查摆自己缺陷，扬长避短，不断改进教学。所以反思在教学中是非常必要的。 一、教学设计 教师设计教学方案，要坚持以学生为本的精神，设计教案时，要预测学生遇到的问题，那些地方学生不容易理解，根据学生要遇到的问题，设计出解决这些问题的策略和方法，因此，教师在备课时，先要对过去的教学经验进行反思，反思自己或他人以前在讲授这一教学内容时曾遇到过那些问题，有那些经验，应该采用什么策略和方法解决的，效果如何？然后进行新的教学设计。 在设计新的教案时，要根据自己所教班级学生的实际情况，在学习这一内容时，可能会遇到那些新问题，针对出现的这些新问题，可采取那些策略和方法。 例如：在教学“有余数的除法”一课时，根据以往经验，学生对“余数都比除数小”这一规律不够理解，出现余数比除数大的现象，在教学设计时，为加深学生的理解，突破这一教学难点，我让学生分小组合作学习，动手操作，进行分铅笔试验，并引导学生观察、比较、讨论，最后让学生在操作实验中自己得到了“余数都比除数小”这一规律。 二、课堂教学 再好的教学总有它不足的地方，总有须待进一步改进，进一步优化的地方，在教学过程中，要根据教学效果反馈信息不断地反思，反思解决课堂教学中出现的问题，根据出现的问题，及时反思自己的教学行为，调整教学策略，只有这样，才能
高中数学学习心得
高中数学学习心得 经历过20XX年高考的磨砺，我终于如愿以偿的考入了北京科技大学，我很荣幸在这里与大家分享我的数学学习心得。 我认为，从一开始就应该摆正学习的心态，重视数学这门学科，并从一开始就树立严谨，认真，踏实的态度，要知道，态度决定一切！ 态度决定一切，有课良好端正的态度以后，还要有勤奋，毅力，方法，理想这几个必备条件。想要少走弯路，提高学习效率。关键讲究方法：首先一个系统的方法框架大致分为五步，课前预习，课上认真听，课下认真复习，考前复习，考后总结，这一系统的方法框架不只适用于学习数学，也适用于所有学科。下面，是我在学习数学这门学科上的具体方法： 首先是知识基础。用最少的东西，去解答最多的东西，这里最少的东西就是基础，而如果你能很好掌握这些最少的东西，那么就砖瓦兼备，只要一些方法技巧，很快，一幢知识体系大厦便可建起，而这些砖瓦都是从书本中来的。这里有一个学习误区，有很多人认为学习数学不用看书，抛开书本一味“瞎”做题，为什么是“瞎”做题呢？因为她根本就把书本和习题集本末倒置了，习题集只是为书本服务的，真正精华所在还是书本。这些精华就是那些分式吗？不，不完全，更重要的是那些例题，课后习题。在这里，我不得不强调课后习题的重要性，记得高三那年，我从外学美术回来，数学第一次考试才60多分，因为习题集太多，我又无从下手而焦急万分，老师就建议我做课后习题，我听从老师建议，一本本认真做，因课后题量不大，我还认真做了纠错本。果然一个月不到，数学成绩边恢复到一百左右。有些人可能认为课后习题少，简单，但是我想说，最简单的才是精华所在，书上的一到习题往往代表一类习题，而如果你真的做透了那怕只是这一到习题，往往很多问题都会迎刃而解。
小学数学教学心得体会
小学数学教学心得体会 对于小学生来说，数学学科相比其他学科显得抽象、理论，学习起来枯燥乏味，有困难。很多教师也反映，学生普遍对数学学习没有积极性，学习效果不突出，这成了数学教师面临的一大难题。 小学数学教学心得体会 一、好的数学课堂教学，应具备知识性 课堂教学一般是40分钟左右，在这个过程中，有情境的 导入，新知识的讲授，学生和老师的互动，以及简要的课堂小结，这每个过程都离不开一个中心，那就是知识性，在每个环节都不可以疏忽它，它的存在才不至于偏离本节课堂主要讲的内容，因此要授课的知识点始终贯穿于整个课堂的始末。 例如，在讲对称轴的一节公开课中，刚开始上课时，老师应用多媒体展示了各种对称的风筝。老师就问同学们：从这些图片中，你们有什么想法呢?一名学生举手回答道：老师，谁 最先发明的风筝。这个问题显然与今天要讲的内容不相符，老师就给学生们讲自己也不清楚，因此布置了任务让学生们放学了回家搜索是谁最早发明的风筝。然后教师又问还有其他学生有其他想法吗?另一位同学答道：老师，风筝为什么能飞上天?这个问题也脱离了要讲的主要内容，因此，老师又解释道现在你们的知识还不能解决这个问题，也许到你们上高中大学学习了物理和数学知识，你们就可以解答这个问题了。在这个过程中，老师发现他的引导提问方式出现了问题，导师学生的发现与新知的讲授(即对称轴)没有联系。因此，老师赶紧转变发问：同学们，从几何图形上看，这些风筝有什么区别呢?因此很快
就有同学回答他们左右对折可以重叠。这样，就引入了对称轴的相关教学，从而老师才能顺利进行教学。 在这个教学片断中，我们可以知道，老师在刚开始发问时由于提出问题出现失误，导师学生偏离了即将讲授的新知，最终导致教学过程中浪费了至少5分钟的时间。 从这个过程中，我们可以看出，新知识必须贯穿整个教学过程中，不管是刚开始的教学情境引入，还是新知的讲授过程。如果哪个过程偏离了新知识，那么课堂都是美中不足的，以上例子就是很好的证明。 二、好的数学课堂教学，应具备思维性 思维是高级的心理活动形式，是人脑对信息的处理包括分析、抽象、综合、概括、对比系统的和具体的过程。这些是思维最基本的过程。 笛卡尔曾说过，“我思故我在”。数学课堂要具有思维性，教师教学不仅仅是传授知识，还要让学生学会思考，培养他们的数学逻辑思维能力，在课堂中，让学生们思考，通过提出问题、解决问题过程让学生们对问题的不同讨论碰撞火花，相互探讨，尽管在这个过程中，学生有千奇百怪的思绪，但是教师不应遏制学生的想法，应顺着他们的思考和推理，让学生们最终自己发现自己的解决方案有问题，这样才能达到发展。在这个过程中，不仅传授了知识，而且长期下来，还会让学生的思维更加活跃，更能成为课堂的主体。 例如，在讲授《位置的确定》时，教师一般采取的是在多媒体上展示网格图，然后在上面相应的标出一些点，让学生们回答这些点该如何表达，在这些题上，学生是纯粹的根据老师的对应方法直接给出点的表示，而不知道为什么用数对表示，在这个过程中，老师只有问学生怎么样表示这个点，而没有为
小学数学教学反思20篇简短
教学反思 一、角的度量 1.在学习过程中，感受数学与生活密切联系，激发学生学习数学的兴趣。 2.通过联系生活，使学生理解量角的意义。 二、轴对称 本节微课的设计切合学生的认知水平，内容设计科学合理，能够采用技术手段达到图形的变化和演示到位，教学重难点突出，使学生学习起来很轻松，有助于学生掌握所学知识。 本节微课注重联系生活，注重学生的体验和感受，注重培养学生的审美情趣。 微课制作的目的是让学生观看的，所以在设计时采用背景音乐，目的是给观者一个轻松愉悦的学习环境，这一做法还是有必要的。但老师的语言表达上过于严肃，少了一点童趣，如果讲解声音再亲和一点，个性一点效果会更好。 微课设计缺乏大胆创意，要勇于做出自己独一无二的东西。 三、8、9的分与合教学反思 通过本节课的教学，学生对分与合的意义已有了初步的认识，在教学2到5的分与合时，我一直认为有序地说出一个数的分与合才是最重要的，也只有有序才能做到不遗漏，况且有序也是一种非常有价值的数学思维方式。因此，我在教学时，重点强调有序的操作，引发有序思维。而在教学6和7的分与合是出现了虚线框，要求学生用联想的方式得到 6 7的另外的分式，可以培养学生的推理能力，在教学8 9的分与合时已没有了虚线框， 数的分与合教学，对于学生进一步理解数的实际大小，数与数的之间的关系，渗透加、减法的意义以及掌握10以内的加、减的基本计算方法，都是十分重要的。通过实践探索与合作交流由学生自己完整的说出：8 9能分成几和几，几和几合成8 9两句话是本课的重点，有序的掌握“8 9的分与合”是本课的难点。多媒体动画分苹果的设计，突破了这一难点。 根据内容安排，孩子们的年龄特点等原因，我在本课一开始就安排了“开火车”的游戏，通过游戏学生对猜谜的奥秘产生了极大的好奇，从而对新知识的学习热情空前的高涨。接着是在把授课的内容讲完之后加了一个“点子数”的练习和一个“抢答题”的游戏，把所学的内容加深巩固了一遍。然而，他们毕竟只是 小孩子，到下半节课的时候，注意力就不那么集中了，如何让学生“跟着老师走”？
高中数学新课标学习心得体会1
高中数学新课标学习心得体会 高中数学课程是义务教育或普通高级中学的一门主要课程，它从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展的高度出发，是对于数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题，分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 高中数学课程力求将教育改革的基本理念与课程的框架设计、内容确定以及课程实施有机结合起来。 一、课程的基本理念 总体目标中提出的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）本人认为可以简单的这样表述：数学知识是“数与形以及演绎”的知识。所谓数学事实指的是能运用数学及其方法去解决的现实世界的实际问题，数学活动经验则是通过数学活动逐步积累起来的。 1、基本的数学思想 基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号与变换的思想”、“集合与对应的思想”和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。 2、重视数学思维方法 高中数学应注重提高学生的数学思维能力，着是数学教育的基本目标之一。数学思维的特性：概括性、问题性、相似性。数学思维的结构和形式：结构是一个多因素的动态关联系统，可分成四个方面：数学思维的内容（材料与结果）、基本形式、操作手段（即思维方法）以及个性品质（包括智力与非智力因互素的临控等）；其基本形式可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 3、应用数学的意识 这个提法是以前大纲所没有的，这几年颇为流行，未见专门的说明。结合当前课改的实际情况，可以理解为“理论联系实际”在数学教学中的实践，或者理解为新大纲理念的“在解决问题中学习”的深化。 4、注重信息技术与数学课程的整合 高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致，尽可能的使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 二、课程设置 1、高中数学课程分为必修课程与选修课程两部分. 2、设置了数学探究、数学建模、数学文化内容 3、模块的逻辑顺序 必修课程是选修课程的基础，学校应在保证必修课程，选修系列1、2开设的基础上，开设其他系列课程，以满足学生的基本选择需求，并积极开发、利用校外课程资源。教师也应根据自身条件制定个人发展计划。 三、内容标准 高中课程的内容是数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程、和实际应
小学数学教育心得体会(通用3篇)
小学数学教育心得体会（通用3篇） 小学数学教育心得体会（通用3篇） 当我们对人生或者事物有了新的思考时，应该马上记录下来，写一篇心得体会，这样可以帮助我们总结以往思想、工作和学习。那么你知道心得体会如何写吗？下面是小编精心整理的小学数学教育心得体会（通用3篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。小学数学教育心得体会1 课程改革活跃了我们的课堂，新的理念、新的课标、新的教材、新的教法，使教师充满激情，学生充满活力，课堂教学变得更为精彩。但在一些“热闹”的课堂之后，冷静下来，反思那些已经被广大教师认同并积极采用的新的教学方法，比如情境设置、动手实践、主动探究、合作学习、算法多样化等，感到我理解新课程、新理念上还有误区。有些过于追求课堂教学改革的形式，而忽略了数学教学的基本出发点，丢掉了教学方法中的一些优秀传统，失去了课堂教学的“有效性”。如何提高课堂教学的“有效性”呢？下面结合教学实例谈谈本人的点滴看法。一、激发兴趣，增强课堂效率数学教学不仅仅是一个认知过程，同时也是师生情感交流的过程。只有在教学的同时，调动学生积极的心理因素，才能挖掘学习潜力，促进智慧更加有效地发展。在数学教学中，主要可以激发学生学习动机和兴趣来增强效率。 1、在教学《分数的初步认识》时，我先创设一个故事情景：孙悟空、猪八戒分饼，最后只剩下1块饼，怎样才能平均分成2分呢？这样自然的引入到新课，先请学生猜每人分得多少块饼，再实践操作分一分，分得半块就要用分数1/2表示。让每一个学生动手动脑，初步感知分数的产生，知识的过渡水到渠成。既可以活跃课堂气氛，又顺利地直观地完成了预设目标。 2、这样的环节设计在实际操作活动中，动手、动脑、动口促进学生主动地学习。但并非所有的操作都是有效的，教师要放得开，收得拢，紧紧围绕课堂学习的目标、内容，激活学生原有的知识经验，张弛有度，才能收到预测的效果和目标。如《认识人民币》这一课学完后，在班上组织了“小小商店”活动，让孩子们在活动中选择不同的角色，如当售货员或顾客，使每个孩子对人民币的互换以及使用都更加熟练。二、灵活机动，选择适当教学方法在教学实践中我们发现，教学中存在着一些好的教学方法，但教无定法，在教学中要根据不同的教学内容和不同的学生选择恰当的教学方法。只有
小学数学教学心得体会
小学数学教学心得体会我是一名小学数学教师。自从来到小学任教以来，我才发现：不仅是隔行如隔山，就算是同一个行业的不同阶段工作方式也有着如此明显的不同。所以现在我只能算是一个新手，在数学教学方面存在很多不足的地方，缺少经验。作为一名新教师，我需要学习很多教育教学方面的知识，还要学习跟学生相处之道，因此工作十分的忙碌辛苦。但这几年也是我教学生涯最快乐的。真正进入工作的状态后，我的身心都重新得到了洗练。在这几年的时间里我得到了一些教训，并且对小学教学工作有了一些体会和个人理念。 1、培养和提高学生学习数学的兴趣 我在教学中，主要以鼓励为主，如一年级的小朋友，很常见的问题是计算的速度慢和正确率低。而这两个问题对孩子的数学学习影响最大，也最容易打击孩子的信心。我考虑从培养孩子的计算能力开始。利用数字卡片、算式条、速算本来对孩子进行训练，提高孩子的口算能力。如果孩子上课时能第一个算出结果，那肯定是一件很光荣的事，会激发孩子的学习热情。不过，计算训练比较枯燥，我还用星级方式进行鼓励，比如三十题正确二十五算3星，积累星星可以换奖品、兑红旗等。"兴趣"是孩子各种创造力，求知欲的原动力，只要孩子对某种事物发生兴趣，就会无止境地去追求、去实践、去发展。在数学教学中，我们体会到，凡是能积极、主动地参与获取知识过程的学生,他们学习数学的兴趣浓厚,求知愿望强烈,数学素质会得到较快发展。因此数学教学必须从转变学生的学习态度、学习情感入手，使学生由
机械、被动学习转变为创造、主动学习。 生活是最好的教师，现在小学数学教学目标也强调让孩子在学习中感知生活中处处有数学。确实，认识人民币，认识钟表，加减，统计，质量单位，长度单位等低年级孩子的学习内容，都在生活中可以得到很好的练习。 2、好孩子是夸出来的 赏识教育是对孩子的保护。老师是孩子最直接、最亲密的保护者，我们不仅要保护孩子的身体健康和人身安全，更要保护孩子的心理安全。可能孩子与孩子之间存在着差异，也可能有的孩子在学习成绩上不如别的孩子那么优秀，同时也可能学习起来缺乏自信，调皮捣蛋，与老师对抗等等，在这些方面我们作老师的反思过自身吗？比如我们与孩子的问题之间有什么联系呢？我们是如何想象孩子的呢？在他稚嫩的肩膀上能扛些什么呢？他的小脑袋里究竟在想些什么呢？他的眼睛滴溜溜、骨碌碌的转着在寻找着什么呢？在孩子每天所表现出的行为之中我们发现了孩子的什么，以及我们对孩子抱着什么幻想呢？等等等等，这些都需要我们对孩子付出更多的耐心和爱心。一个孩子生活在鼓励之中，他就能学会自信；一个孩子生活在认可之中，他就能学会自爱。有时我们一个真诚的微笑，一句热情的表扬，都可以在孩子身上转化为无穷的动力。因此，我们一定要精心呵护每一颗美好而脆弱的心灵。当我们的爱注入孩子心田时，我们的爱就会转化为孩子对知识和世界的热爱，从而促进孩子良性发展。 赏识教育是对孩子的期待。孩子的学习不是单纯的、封闭的、没
数学教学反思总结
数学教学反思总结 一学期的工作又将结束了，可以说紧张忙碌而收获多多。回顾这学期的工作，我执教的数学学科，工作中有收获和快乐，也有不尽如人意的地方，为了更好地总结经验，吸取教训，使以后的工作能够有效、有序地进行，现工作总结如下： 一、热爱教师工作，思想进步，团结同志，每天早来晚走，无私奉献，能全面贯彻党的教育方针，以党员的要求严格要求自己，认真完成学校交给的任务和工作，严格遵守学校的各项规章制度，做到不迟到，不早退，不请病、事假，脚踏实地地执行学校的各项要求。 二、积极参加各类学习培训，努力提高自己的教育教学水平 本年度我们每位教师都要参加县里教师业务能力考试，结合自身特点制定了业务学习计划，本学期我严格按照学习计划，有序有效地进行了学习，我觉得自己的业务水平又上了一个新的台阶，特别是我又认真学习了几本教育教学丛书，我觉得自己有了很大的提升。在平时我阅读了《蔡林深与洋思教育》等书，领悟其中的教学艺术，努力提高自己的教育教学水平，并能在日常教学工作中很好的应用。 三、教学工作和科研工作 在教学工作方面，在备课过程中认真钻研教材，深刻理解教材，灵活运用教材，根据教材的特点及学生的实际情况设计教案，认真地上好每一节课。备课深入细致。平时认真研究教材，多方参阅各种资料，力求深入理解教材，准确把握难重点。在制定教学目的时，非常注意学生的实际情况。教案编写认真，并不断归纳总结经验教训。教学中，我重视学生的思维能力、自学能力的培养，一面自觉学习先进教育思想方法、优秀教学方法等，一面继续进行“课堂教学”的分层教学研究，着力点放在激发兴趣---教给方法---养成习惯---培养能力---形成品格上，改革教学方法、手段，增大课堂容量，提高学习兴趣，实现“后进生转化，中等生优化，优秀生提高，各类学生都得到应有发展”的目标。loCalHOST对于班级的学困生，给予特殊的关照，课堂上多提问，多巡视，多辅导，在课堂上对他们的点滴进步给予适当的表扬，课后多找他们谈心，使他们树立起他们的信心和激发他们学习数学的兴趣，并发动班上的优等生做学困生们的辅导老师，
高中数学新课程学习心得体会
高中数学新课程学习心得体会 ---- 一切以学生的发展为本 四川广汉中学王宇 新课程标准下要求教师在数学教学过程中充分理解和信任学生。理解是教育的前提。在教学中教师要了解学生的内心世界，体会他们的切身感受，理解他们的处境。尊重学生，理解学生，热爱学生，只要你对学生充满爱心，相信学生会向着健康、上进的方向发展的。因为“教育是植根于爱的”。“聪明的教师总是跟在学生后面；愚昧的教师总是堵在学生的前面。”数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值，文化价值，提高提出问题，分析问题，解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。它是学习高中物理，化学，技术等课程和进一步学习的基础。同时，它也是学生的终身发展，形成科学的世界观，价值观奠定基础，对提高全民族素质具有意义。学生并不是空着脑袋走进教室的。在走进课堂前，每个学生的头脑中都充满着各自不同的先前经验和积累，他们有对问题的看法和理解，也想表达、诉说。契诃夫曾说过：“儿童有一种交往的需要，他们很想把自己的想法说出来，跟老师交谈。”这就要求教师新课程标准下要转变观念，积极创设能激起学生回答欲望、贴近学生生活、让他们有可说的问题，让他们有充分发表自己看法和真实想法的机会，变“一言堂”为“群言堂”。当然，教师作为教学的组织者也不能“放羊”，在学生说得不全、理解不够的地方，也要进行必要的引导。 总体目标中提出的数学知识(包括数学事实，数学活动经验)本人认为可以简单的这样表述:数学知识是"数与形以及演绎"的知识。所谓数学事实指的是能运用数学及其方法去解决的现实世界的实际问题，数学活动经验则是通过数学活动逐步积累起来的。 本人在高中数学新课程培训中认真听取专家讲课，对于新课标有一定的心得体会汇报如下。
数学教学心得体会范文5篇
数学教学心得体会范文5篇 数学教学心得体会篇1 数学教学的根本目的，就是要全面提高学生的“数学素养”，新的课程标准已将基本的（数学思想和方法）作为数学的基础知识来要求，搞好的研究与教学是增强学生数学观念，形成良好的“数学素养”的重要措施之一。然而，让人痛心的是，长期以来，一些本来生动活泼的，由于被淹没在大量的“加、减、乘、除和乘方、开方运算”、“分式、繁分式的化简”、“解方程的技能训练”以及“大量的人为编造的以致脱离实际的所谓应用题”和“各种各样的解题技巧、解题模式的训练”中，而失去了其应有的魅力和价值，学生也许学到了不少具体的数学知识，但却很少甚至根本没有领悟到其内在的本质，只有知识的“躯体”而无思想的“灵魂”，谈何“素养”？ 那么，究竟如何通过的渗透与应用来对学生进行思想观念层次上的数学教育呢？我的体会有三： 一、要重视数学思想史的介绍。 教学中要尽可能多地向学生展示数学知识的形成和演变过程中的功能，使学生学习到数学家们探索和研究数学的思想方法，让学生感受到的巨大价值。如小学阶段平行四边形面积的求法、圆周率的推导、素数理论的建立……，初中阶段无理方程、高次
方程的解法、变量与函数的概念、正边形和圆的关系等等、等等…… 二、要倡导“问题解决”的教学模式。 未来的数课程将力求形成“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的基本模式，以大众化、生活化的方式反映重要的现代数学观念和。“问题解决”的教学模式要求教师为引导学生学习某个问题，必须精心设计出关于教学内容的问题系列，让学生围绕这些问题进行积极的探索性的思维活动，设置的问题，要启发引导学生去发现、分析并解决。这样不仅能使学生成功地学到知识，而且学到统摄知识的，从中让他们发现数学真理的奥妙和体验成功的愉悦。 三、重点突出基本的的介绍和渗透。 我有幸教过八年的初中和近三年的小学，较详细地了解义教育阶段的数学教材，深感在数学教学中应该渗透以下几种类型的： （）、宏观型的如抽象概括、化归、数学模型、数形结合、方程与函数、归纳猜想等； （）、逻辑型的如分类、类比、完全归纳、反证法、演绎法、特殊化等； （）、技巧型的如换元法、配方法、待定系数法等。 据我的统计，义务教阶段数学教材中频数分布排列前六位的是：数学模型、演绎、抽象概括、化归、特殊化和归纳猜想。值
数学教学心得体会
数学教学心得体会 关于数学教学心得体会集合九篇 一、重视养成教育，培养良好的习惯 我对学生提出的最基本的要求是三会：会听讲，会学习，会做作业。我经常告诉学生的一句话是：学习是自己的事，别人无法代替。 会听讲：即做好课前准备，细心倾听老师的讲解，耐心倾听学生的发言，全神贯注，集中精力。 会做作业：要求学生先复习再做作业，作业时，思考可能涉及到方法、技巧，并从要求书写规范开始，逐步培养学生会做作业。 二、引导学生学会总结和反思。 三、随时与学生交心 “将军决战岂止在战场”，学生学习，老师教学也不止在课堂上，课余时间，我尽量多地与学生聊天，让他们觉得老师真心与他们交流，为他们的学习担心，让他们心底里感到老师时刻为他们好，即 使受惩罚的学生，只要学生喜欢老师，他们就会自觉学习这门学科；也会把他们学习上的困惑，困难及时告诉我，课外交流，让学生放 下包袱必无芥蒂，在课堂内、外敢于讲真话、讲实话，说出自己真 实体验，充分调动学生自主学习积极性。 四、有效教学 在开县第六届骨干教师培训期间，进修校李胜利教师给我们提出了有效教学要回答三个问题： 1、把学生带向哪里 2、如何把学生带向那里
3、如何确信你把学生带向了那里 ●把学生带向哪里--教学准备,实际是教学的重心前移，进行课 前准备是高效课堂重点。包括调研学习情况，研究教学资源，明确 教学目标，我在教学实践中，切实做好各项课前准备。包括研究、“吃透”教材，明确、理解《课标》要求，设计完成知识和技能教 学任务，借助教材拓宽知识和技能，通过教学过程的设计，对学生 进行智能、非智能因素的培养 ●如何把学生带向那里—教学实施,借鉴中感悟，实践中探索， 学习中升华，反思中前进。我的课堂教学实施，注重每一个细节， 根据学生的“学”来组织进行的。针对性地设置例题和练习，最大 限度地使每一个学生在每一堂课上都有不同的收获，而且不同的教 学实施过程也产生了不同的教学效果。 ●如何确信你把学生带向了那里—教学评估，每个人都希望得到别人的夸奖，希望被鼓励，初中生也不例外。表扬是老师对学生一 种肯定，是学生成功的一种标志。“好表扬”是每一个学生共同的 心理特点。我在教育教学中抓住学生的这一特点培养学生的学习兴趣。表扬是可以用点头表示肯定、赞许；用鼓励的话来激励；还可 以用师生鼓掌、等形式。客观公正地评价每一位学生，让他们感到 成功的喜悦，从而产生更大的学习数学的兴趣。 五、实施数学教学“生活化”。 （一）课堂学习问题生活化。 1、导入生活化，利用课件展示生活中与学生息息相关的物和事，激发学生的求知欲望。 2、例题生活化，让学生体验、感受数学。学生从生活实践中“找”数学，“想”数学，真切感受到生活中处处有数学，体会数 学的实用性。 3、练习生活化，提高操作实践能力。学生学习数学是“运用所 学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题的，使数学成为必要 的日常生活的工具。”引导学生把所学知识联系、运用于生活实际，
数学教学反思及总结
本学期教学反思及总结 本学期我的数学教学工作即将接近尾声，回顾一下自己一学期的数学教学工作实践，感觉既漫长又短暂。整册数学书六个章节教学。在教学中，我本着将理论与实践，将课内与课外紧紧地融合在一起，充分调动学生的积极性，使孩子们在数学学习中既学到了知识，又体验到了快乐。对于我个人而言，我也时刻本着一名教师特有的工作热情，全身心地投入到教学中，从而圆满的完成教学任务。现将教学方面的体会和工作总结如下： 一、积极听课，认真备课，善于反思 听课，不仅开阔了思路，也为备课过程积累了丰富的素材。各种鲜活生动的事例，各种教学方法、模式的展示，微小细节之处的精彩处理，使我在丰富课堂教学的同时，也改变了学生对学习感到枯燥、单调、脱离实际的成见。关于认真备课，本册书中的每一课时每一个教学环节，我都是精心地分析、准备，从而再到课堂上给学生来讲授。在我的意识里，我觉得只要是自己能努力去做好的，就一定要竭尽全力地做，能够在课堂中让孩子们获取更多的知识，是作为一名教师最大的快乐与成就。 二、创设平等活跃的课堂氛围。 教师在新课程中最大的角色是变化，将不再是知识的传授者和管理者，更是学生发展的促进者和引导者。在教学中，结合本班的特点，我在课堂上创设丰富的教学情境，如讲故事，说新闻，玩智力游戏等，我努力引导学生从传统的接受学习转变为探究学习，让学生养成良好的学习习惯，掌握学习的策略和发展能力，创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机和学习兴趣，充分调动学生的学习积极性。对答的好的学生我会马上表扬，有错的，也会及时鼓励。使学生从中受到感化和熏陶，从而激发出学习的无限热情和学习愿望，使他们全力以赴地投入学习，提高对学习活动的积极性。
数学高考研讨会心得体会
数学高考研讨会心得体会 篇一：XX年数学中考研讨会心得体会 XX年数学中考研讨会心得体会 在县领导的关心与培养下，本人有幸于XX年5月3日参加了西林县中考数学复习研讨会。学习内容如下：3日下午认真听取了西林中学一位老师观摩课堂教学（反比例函数复习课），一节观摩课后又认真听取了百色市下来的数学专家的评课交流，我感触很大，还有就是几位西林中学、民族中学几位有经验的教师和吴主任的XX年数学复习方针的总结报告。这次研讨会指明了中考复习的方向，理清了复习的思路，有利于指导我们在复习中更好的进行查漏补缺，以弥补教学的疏漏之处，也让我觉得教师不应该再是一味地进行无限量的题海战术，而是应该有针对性的复习。 复习建议： 把各位老师的复习建议梳理了一下，加之我自己的一些经验，我认为下段复习中应做到： 1、组织复习时，注重“通性通法”“双基”“概念”“运算”“数学思想”“解题策略”“思维方式的多样性”“实践应用能力”“数学建模能力”方面的复习。 2、复习要讲究策略，要提高复习课的有效性，剩下的只有一个多月，三年没有解决的问题我们不可能三十多天全部解决好，这就要
求我们有效复习要讲究策略。如总分策略、改错策略，难度策略、差异化策略，补拙策略，提高考技策略等。 3、教师要处理好教材与复习资料的关系，要以《数学课程标准》为纲，九年义务教育课本为本，考纲解读，做到心中有数，课本解读明晰重点难点，实施单元复习，夯实学生基础。在此基础上对复习资料认真的研读，去掉不合适的题目，补充遗漏的题目，提高复习的效果。 4、复习要讲求方法：复习即要紧扣教材，又要跳出教材，重视例题教学。提高复习效率，解决例题技巧，力争正确规范，面向全体学生，分层设计复习，通过综合模拟，增强学生信心。 5、制定合理的复习计划，细分复习时间和复习目标，中考的数学复习分三轮进行，今年第一轮3月29日到5月18日（两个月）理清初中数学内容的脉络，进行基础知识的系统复习。第二轮5月19日至6月2日（两个周）进行综合训练（模拟练习）这一阶段，重点是提高学生的综合解题能力，训练学生的解题策略，加强解题指导，提高应试能力，第三轮6月3日至6月12日（两个周）进行查缺不漏，教师要对在练习中存在的问题进行荡扫，二轮、三轮复习同样不能脱离双基在最后冲刺阶段要做到学生会了不教，学生自己会的不教，教了学生不会的不教一定要有重点的专题复习。 所以我们要注意做到：低分学生“高“求：即低分学生
数学教学心得体会
数学教学心得体会 【精选】数学教学心得体会合集8篇 教师要适应新课程教学，就必须接受继续教育。通过20××年3月20日，我们全校十几名数学老师准时聚集在中心校多媒体教室内 参加了这次网络培训学习。使我对新课程标准有了进一步的理解， 对新教材有一个新的认识，获得教材实验操作上的一些宝贵经验。 更加关注学生的情感，态度、价值观。我认真观看了北京小学于萍（中学高级教师）执教的数学二年级下册课例：《数据收集整理》；重庆市人民小学杨莉老师执教的数学二年级下册《有余数除法》；《义务教育教科书。数学》二年级下册教材介绍及重难点解析；人 民教育出版社小学数学室刘丽主讲的一年级教学视频《用100以内 加减法解决问题》视频课例；江西省南昌市广南学校张燕《100以 内数的读写》视频课例；华中师范大学附属小学董艳《分类与整理》视频课例；北京市西城区黄城根小学梁凝各种点评：《用100以内 加减法解决问题》课例点评；江西省南昌市广南学校吕英《用100 以内加减法解决问题》课例点评；江西省南昌市广南学校吕英主讲 的《义务教育教科书·数学》；卢江王永春刘加霞周川老师的主讲 的一年级下册教材答疑等材料。通过这次培训学习，使我受益匪浅，感受很多。其中感触最深的是新教材特别关注学生的全面发展。当 教师的就应该理解教材目标，明白把握教材编排的特点，选用恰当 的教学手段，努力为学生创造一个良好的有利益学生全面发展的教 学情境。从而达到激发学习兴趣，使学生积极主动的参与到教学中来。那下面就根据自己对课程标准的理解谈点体会。 一、教师要把自己打造成活水源，不断地进行学习，成为终身 学习者。 教师要走进新课程，实现课程目标，其自身必须有先进的、与新课程相适应的教育理念。为达成这一目标，教师首先要把自己定位 成一个“学习者”。教师要在掌握扎实的专业知识基础上，学习自
高中数学培训心得体会
2010年高中新课程培训心得体会 地调中学程浩宇 我已经作为学校高三老师接手高三教学工作。由于今年是高中新课程高考第一年，所以有关新课程的高考理念可以说是一无所知，带着这么一份期待，自始至终我都很认真的学习新课程培训的内容。只有从这一次学习当中我才真正感受到了一些新课程的教学理念和新课程大纲下高考内容应该怎么样来考察知识点。新课程教学理念中，新课程标准是一条教学准绳。 洛阳二中教师程文给我们分析了07~10年高考趋势与数学复习对策，首先给我们展示了对以前的高考的回顾，并提出了2011年高考的新特点。更是给我们在一线的高三老师提供了很多宝贵的复习策略。作为每年的数学评卷组长给我们分析了高考解题当中应该注意的问题，并提出了2011年高考数学命题的趋势更是分析的非常精辟。其中给我们提到的选考内容更是进一步明确了有关选考内容究竟该怎么样来选考，为今后的高考提供了一个方向标的作用。选考内容文理有异，第一次明确提出了文科是二选一，理科是三选二的选修内容进行考察。并对所有数学老师提出了要求：提高推理运算求解能力和数据处理能力。希望老师在教学过程中围绕着新课程标准，抓住主干，推陈出新，集中精力，突出重点，研究新理念，抓住新内容。提到新内容的教学，程文说了“新内容肯定考察，但是难度不会太大，并以近三年高考题对新内容的考察比例进行说明，新内容的考察分值和难度有一个逐年提升的迹象。最后程教师对高考题的探索性问题（压轴题）的提出了自己独到的看法。要求高三老师指导考生克服紧张的情绪，以平和的心态参加考试，并合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解决试题。 短短的几天紧张而又充实的新课程培训，让我结识了不少异地的有经验的数学老师，与他们相互学习和交流让我觉得自己学到了很多以前还做得不够的地方。新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”，转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”数学新教材倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”“操作”“发现”，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，个性品质的发展，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力，那么新课程理念下要做好数学教育教学工作，我认为应该侧重以下几方面： 一、学习兴趣的培养 兴趣是最好的老师。浓厚的学习兴趣可以使人的大脑处于最活跃的状态，能够最佳地接受教学信息。浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促使学生自觉地集中注意力，全身心的投入学习活动中。在教学中可以通过介绍我国数学领域的卓越成绩，介绍数学在生活、生产和其他科学中的广泛应用，激发出学生学习数学的动机。通过设计情景，提出问题引导学生去探索，去发现，让学生从中体验成功的喜悦和快乐。运用适当的教学方法和手段引导他们的求知和好奇心，从而培养他们浓厚的学习兴趣。 二、注重数学思想方法教学 数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理论知识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决数学问题的手段和工具，数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才能 真正掌握数学，因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一，现行的教材当中蕴涵了多种数学思想方法，在教学中应当挖掘由数学基础知识所反映出来的教学思想和方法，设计教学思想方法的目标，结合教学内容适时渗透，反复强化，及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。 三、思维能力的培养
小学数学教学学习心得3篇
小学数学教学学习心得3篇 小学数学教学学习心得范文1 一个学期的教学工作已近结束，对于本学期的教学工作进行了全面的反思。如何让学生乐学、愿学、学会，我觉得兴趣是关键!可以说兴趣是学生最好的老师，是开启知识大门的金钥匙。小学生如果对数学有浓厚的兴趣，就会产生强烈的求知欲望，表现出对数学学习的一种特殊情感，学习起来乐此不疲，这就是所谓的乐学之下无负担。下面，我谈谈自己在激趣方面的几点体会。 一、创设情境，让学生在实际中解决数学问题。 《数学课程标准》在教学建议中指出：要创设与学生生活环境、知识背景相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐渐体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。 生动的生活情景，有助于学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系，增加对数学的亲近感，体验用数学的乐趣。因此，在教学中，我经常设计一些情境，让学生在玩中轻松学习。例如：教《平均分》时，在主题图讲完后，我把24朵红花，蓝花，绿花，紫花分别放在四个盒子里,然后分别请3个、4个、6个、8个同学上台，说：我把把*花送给你们，们自己拿走，但你们拿的*花朵数要相等然后引导学生讨论怎么样拿才合理，并列出相应的算式。这样不仅让学生很快掌握平均分的意义，还可以培养学生之
间相互合作。 再如：在教学《三位数退位减法》时，从学生熟知的生活事例，感兴趣的事物引入，为学生提供富有情趣的具体情境。在具体情境中学生的学习兴趣浓厚、积极性高涨，课堂气氛活跃。使学生以最佳的思维状态投入学习。 二、实践操作，让学生体验知识生成过程 通过实践操作，开放学生全脑，引导他们眼、手、脑、口等多种感官参与，让学生体验知识的动态生成，有助于学生理解概念。例如：在教学《角的认识》时，角对于二年级学生来说比较抽象，学生接受较为困难。因此为了帮助学生更好地认识角，整节课我将观察、操作、演示、实验、合作探究等方法有机地贯穿于各个教学环节中。在引导学生体验的基础上加以抽象概括，充分遵循(从)感知(经)表象(到)概念这一认知规律，通过找一找、看一看、摸一摸、折一折、做一做、比一比、想一想、说一说，画一画，学生活泼愉快地亲自参与、亲自体验到教师根据教学内容创造的不同教育情景中，在大量的实践活动中经历知识形成过程。让学生在观察中分析、在动手中思考。从而进一步调动学生的学习兴趣，努力做到教法、学法的最优结合，使全体学生都能参与到探索新知的过程。品尝到了自主。合作，探究学习的成功和喜悦。自信心和成就感也随之增强了。 三、回归生活，让学生体验知识应用过程 重视学生的数学体验，《课标》也十分重视数学与生活的联系，指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义
初中数学教学总结与反思
初中数学教学工作总结本学期，我从各方面严格要求自己，积极向老教师请教，结合本班学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，有计划、有组织、有步骤地开展教育教学工作。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大进步，现对本期数学教学进行工作总结。并发扬优点，克服缺点，总结经验，继往开来，以促进教育工作更上一层楼。 一、精心准备，认真备课 不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。 二、增强上课技能，提高教学质量
讲解清晰化、条理化、准确化、情感化、生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。 三、虚心请教其他老师 在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，同时，多听老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。 四、认真批改作业 布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。为了做到这点，我常常到各大书店去搜集资料，对各种辅助资料进行筛选，力求每一次练习都起到最大的效果。
关于高考数学学习心得体会
本次学习主要是针对高中教师的自身提高，了解命题人的心思，出发点，以及如何根据课标进行命题。 史玉京老师根据参加今年高考阅卷，以今年的山东卷考题的立体几何题为原型，分析了它所考查的知识点，如何降低难度，如何根据课标转化题型，以及给了同一道题的不同的突破点和思路。 据史老师介绍，今年的阅卷教师由三部分人员组成：高校教师，在读研究生，中学教师。阅卷流程是：评卷、仲裁、质检，采用“双评”加“仲裁”最后是“质检”的三重保险的阅卷模式，确保了公平、公正、准确的阅卷原则。每个阅卷人员都有一个用户名和密码，凭用户名和密码才能登入，登入后每个阅卷人员的一举一动都处在组长及专家的监控中，比如说你离线几分几秒，你阅卷的总量，平均速度，有效度，仲裁率等各项指标在电脑里都有实时跟踪，这增加了阅卷的透明度。每份答卷至少由两名人员评分（双评），而且彼此看不到对方的分数，两名人员不是固定组合，而是电脑随机派送，若两人所给分数在一定的范围内（误差不超过2分），那就是有效分数，两个分数加起来取平均分，就是该答卷的最后得分。如果两人所给分数超出一定的范围（误差超过3分），由第三个人重新评阅（仲裁），也就是由小组长裁定，最后给定分数。而仲裁分数与评卷分数差，将记录第一次评卷的两个老师的有效率，如果误差太大，将记为“恶评”，作为考评阅卷老师的重要依据，对恶评率高的老师领导会跟他们进行谈话，严重的予以解聘。这样，就可以避免较大失误，相对来说，评分更加公正准确。当然，也不能保证百分之百的准确，但误差已经降到最低，并且有效地控制了感情分数的出现。 通过史老师的介绍，我有以下几点体会： 一．数学学科阅卷评分的原则是懂多少知识就给多少分，这种方法叫做“分段得分”或“踩点得分”即踩上知识点就得分，踩的多就多得分，上下过程是不受牵连的。 二．学生答卷的教学建议 由于数学学科阅卷评分的原则是“分段得分”，所以要求学生：会做的题目力求不失分，部分理解的题目争取多得分。对大多数考生来说，最重要的是如何从拿不下来的题目中通过‘分段得分’拿到宝贵的分数。建议在以后的教学中把三种得分技巧灌输给我们的学生：