前言、一章、二章
前言
自从美国自动控制理论专家L．A．Zaden提出了用“Fuzzy Sets”（模糊集合）描述Fuzzy事物以来，Fuzzy数学及其应用发展十分迅速．尤其是近十年来，随着计算机的发展及普及，Fuzzy控制理论更趋于实用化。由于应用Fuzzy集理论建立Fuzzy模型，来编制计算机程序，可以更深人、更广泛地模拟人的思维，从而使计算机具备一定的智能。例如让计算机自动驾驶飞机，自动控制复杂的还原炉系统；在家用电器方面，还有模糊控制洗衣机等；在人工智能、图像识别、医疗诊断、经济学、心理学、生态学等域中，都需要Fuzzy集理论与计算机技术紧密结合起来。目前，单片微型计算机的功能越来越强，性能价格比较高，使得Fuzzy控制的应用更加广泛。近几年来，国内外把Fuzzy技术应用在家用电器方面取得了令人满意的效果。本教材就是为本院家用电器专业编写的。在编写过程中，得到家电教研室主任曹建民副教授的大力支持，自动化系及教务处的领导给予了很大的关心，在此表示感谢。由于本人水平所限，缺点错误一定不少，敬请读者批评指正．
编者
概论
目前，自动控制技术已经渗透到人类生产、建设和社会生活的许多领域；如通信卫星的准确定位、导弹准确地击中目标、生产线的自动控制、计算机控制的生产过程等都离不开自动控制技术。
l 、控制理论发展概论
随着生产的发展，控带技术也在不断地发展。尤其是随着计算机的发展，推动了控制理论的不断向前发展。控制理论的发展大体分为三个阶级：
第一阶段：大约在本世纪40~60年代，控制论主要解决单输入单输出线性定常系统的问题，称为“经典控制理论”时期。
第二阶段：大约在本世纪60~70年代，用状态空间法解决线性、定常或非线性、时变的多输入多输出系统的问题，称为“现代控制理论”时期。
第三阶段：本世纪70年代至今，控制理论向着“大系统理论”和“智能控制”方向发展。
2、模糊理论的兴起
模糊理论又称Fuzzy 理论。“Fuzzy ”一词出自英语，中文意思为“模糊”。它又可译为“不分明的”或“边界不清的”。
人们生活中碰到的许多事情，包括人脑的思维，都具有模糊性的特点。所谓模糊性，主要是指客观事物彼此间的差异在其中间过渡时的“不分明性”。例如，在日常生活中常常遇到的“大与小”、“高与矮”、“快与慢”、“热与冷”等等现象，都很难用精确的数学语言划分出一条截然分明的界线。
经典数学的主要特点是它描述事物所用方法的精确性。众所周知，精确数学是建立在经典集合论的基础上。它要求一个对象是能属于某一个集合，而一个集合到底包括哪些对象也必须明确。这就使它难以描述人们在日常生活中遇到的大量的模糊现象与概念。 随着科技术的发展，在有些现象或系统中，由于影响因素过多，参数与条件过于多样和复杂，描述系统的相应微分方程将要包括众多的已知和未知的变量和随机变量，要列出它们的微分方程式往往很困难，甚至无法实现，更谈不上求解了。另外，对于过去不大用数学方法处理问题的学科，如心理学、人文科学、语言学及社会科学等等，都迫切需要定量化和数学化，而其中许多问题需要用模糊数学来描述。所以人们在已有的经典数学方法的基础上，根据客观规律改造现有数学，这样便产生了随机数学和模糊数学。
模糊集论是美国自动控制专家扎德（L.A.Zadeh ）教授于1965年提出的。他在《Fuz zy Set 》论文中提出了“隶属函数”的概念，用它来描述差异的中间过渡性，给出了模糊概念的定量表示方法。经典数学中的集合，完全是通过其特征函数来进行运算，每个集合都有一个特征函数C A （x ），其定义如下：
??
?=区内
不属于当，区内
属于当A x A x x C A 0,1)(
特征函数的图形如图0—l 所示。由于经典集合论的特征函数只允许取{0，1}两个值，故与二值逻辑相对应，按布尔代数法则来运算。而模糊数学是将二值逻辑 {0，1}推广到取值为[0，1]闭区间任意的连续值逻辑，也就是将特征函数作了适当推广，叫隶属函数，
以)(`
x A 表示，它满足：
0<μA (x)<1
如0一2所示。用它来描述差异的中间过渡性，使模糊概念有了定量表示法。
模糊数学问世以来，其发展异常迅速，到七十年代初期，模糊集合的概念愈来愈被更多的科学工作者所接受，这方面的研究工作也相应地迅速发展起来．
控制论的创始人维纳（Wechler ）在谈到人为什么能胜过任何完善的机器时指出：“人具有运用模糊概念的能力”。在现实生活中，许多现象和关系是具有模糊性的，例如“两个人长得很象”就是一种模糊关系，因为一个人只能与自己长得一模一样，可以用模糊理论中“隶属函数”值为“1”来表示。而儿子象父亲，只能用“隶属函数”值为“0”与“1”之间的某个值来表示。可见模糊关系是经典关系的自然扩展。
目前，模糊数学已在自动控制、信息处理、人工智能、图像识别、农作物选种、商品评价以及经济学、社会学、语言学、管理科学、法学和哲学等各部地中得到了应用。
从所周知，经典控制论解决线性定常系统的控制问题是十分有效的。现代控制理论在空间飞行、导航及军事领域等多方面得到成功的运用。但是，在工业生产中，都有相当数量的过程难以实现自现控制，如那些含有大滞后，非线性等复杂工业对象，那些难以获得数学模型或模型非常粗糙的工业系统等，都仍然以人工操作和人工控制为主。近年来的实践表明，对于上述难以实现自动控制的生产过程，如果采用计算机与Fuzzy 控制理论相结合来实现自动控制，会得到较好的控制效果，经济效益较显著。在家用电器方面，近年来，出现了Fuzzy 控制洗衣机、Fuzzy 控制电饭锅及Fuzzy 控制吸尘器等。
第一章模糊数学基础
§1.1普通集合与Fuzzy集合
普通集合论是十九世纪德国数学家康托（Contor）创立的，它已经成为现代数学的基础。Fuzzy集合论是美国自动控制专家扎德（L.A.Zhdeh）于1965年创立，它是Fuzzy数学的基础。由于Fuzzy集合论是在普通集合的基础上发展起来的，所以我们首先应该弄清楚普通集合论的基本概念。
一、普通集合
1．基本概念
集合——具有某种特定属性的对象的全体，总称集合。将组成集合的事物称为集合的元素或元。通常用大写字母A、B、C……X、Y、Z等表示集合，而用小写字母a、b、c……x、y、z等表示集合中的元素。元素与集合之间的关系，在数学上采用符号∈表示属于而?表示不属于，例如元素x不属于集合X时，用x?X来表示。
集合的表示方法有下列三种：
1）列举法：将一个集合中全部元素列出，再用大括号括起来。例如，扑克牌的画面有四种图案，它们组成一个集合Y，用列举法表示为
Y={红桃、黑桃、方块、梅花}
这种表示法不适用于集合中元素过多或无限多的情况。
2）定义法：是用集合元素的共性来描述一个集合。例如，以列举法表示的集合A={2，4，6，8}，可定义为小于10的偶数，用定义表示为
A={x|x为偶数，x<10}
这里x代表集中的各元素，其它文字表示构成这些元素所具有的共性，其中的一竖可用冒号代替，如
A={x：x为偶数，x<10}
3）特征函数法：某个集合可以用其特征函数χ来表示，（χ为希腊字母）。其方法如下：若元素属于普通集合A（x∈A），则其特征函数χA(x)=1；若x?A，则χA(x)=0。
论域——被考虑对象的所有元素的全体称为论域、全集。通常用大字母U来表示。
结定一个论域U，U中某一部分元素的全体，叫U的一个集合，因此一个论域U可能有很多个集合。
集合论中常用符号及表达方法：
1）包含（?）：设A和B是论域U的两个集合，如果对于任意x∈U，若x∈A，又可推得x∈B，便可称B包含A，记作B?A，此时A称为B的子集合（简称子集）。假如B?A，又至少有一个x∈B且x∈A，则称A是B的真子集，记作B?A。如果B?A，同时也有A?B，则称A、B两个子集相等，记作A=B。
不含任何元素的集合叫空集，以符号Φ表示。于是有：
?A
U
?
Φ
2）补集（A）：设A为论域U的集合，取出一切不在A集合内的元素所构成的集合叫A的补集，记作A。
例如，论域U={a,b,c,d,e}；A={a,d,e}，则A={b,c}。
3）符号“?x ”：在集合表达式中，常以符号“?x ”表示，对于任意一个“x ”。 例如，集合B 作为集合A 的子集的充要条件是：“如果B 中的任意一个元素x ，都同时属于集合A ”。这句话可以简化为：
若?x ∈B ，都有x ∈A ，则A ?B 。 4）集合的Zadeh 表示法：通过各元素的特征函数与集合{0,1}中的元素一一对应，应能清晰地刻划出一个集合。例如一个工段共有七人，用x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7表示，在这个论域中，男工和女工集合可分别表示为：
男工=76543210110110x x x x x x x ++++++ 女工=
7
6543211001001x x x x x x x ++++++
式中的“+”号并不是加号，而是表示列举；作为项中的分式也不表示相除，其含意是分母表示元素名称，分子表示该元素的特征函数值。
5）集合的基数：一个有限集合的元素个数，叫该集合的基数。集合A 的基数记作n(A)。例如，在上例中，男工集合的基数为4，即n(男工)=4；女工集合的基数为3，即n(女工)=3。
6）子集的总数：一个集合最多可分为多少个子集合呢？现以一个含有三个元素的集合A={1,2,3}为例，有如下分法：
不含任何元素的子集，即空集Φ，有一个； 含有一个元素的子集共有三个：{1},{2},{3}；
含有两个元素的子集共有三个：{1,2},{2,3},{1,3}； 含有三个元素的集合，即全集有一个：{1,2,3}。 所以集合A 的子集总数为1+3+3+1=8（个），即23=8。
普遍地说，若集合N 含有n 个元素，则N 的子集总数为n
2。
2．集合的运算
集合与集合之间也可进行运算，常用的集合运算有如下几种： 1）集合并（并集） 设有两个集合：
A={a,b,c,d} B={c,d,e,f}
集合A 与集合B 的并集合记为B A ，它是由A 和B 合并而成的，但其中重复的元素只能出现一次，即
B A ={a,b,c,d,e,f}
两集合的并集也可以写成如下形式：
B A ={x|x ∈A 或x ∈B}
2）集合交（交集）
若A 、B 是两个集合，由属于A 同时又属于B 的所有元素组成的集合称为A 与B 的交集合，记作B A 。
对于上例的集合A ，B ，其交集为：
B A ={c,d}
交集B A 的表达式为：
B A ={x|x ∈A 且x ∈B}
3）集合补（补集）
若A 为集合，U 为论域，由论域U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为A 在U
中的补集，以A表示。A的补集A的表达式为：
A={x|x?A,x∈U}
设U={a,b,c,d,e,f}，A={a,b,e,f}则
A={c,d}
集合之间的运算，也可采用集合图来表示，且更为直观，论域U（全集合）在图上画为矩形，并在右上角注以U。图1-1给出了集合的包含、并、交、补关系。
4）集合差（差集）
如果取属于A集但不属于B集的元素组成一个集合，它便叫集合A与集合B的差集。以A\B表示，其集合图如图1-2所示。同理，集合B与集合A的差集以B\A表示，其集合图如图1-3所示。
注意：如果A=B，则A\B=B\A=Ф；如果A≠B，则A\B≠B\A。故差集的运算是不能交换的。根据差集的定义，其表达式为：
A\B={x|x∈A但x?B}
5）对称差集
A\B和B\A的并集叫A和B的“对称差集”，以A△B表示
A△B=(A\B) (B\A)
A和B对称差集和B和A的对称差集相等，其集合图如图所示，从图中可以看出，对称差集是并集与交集之差，即
A△B=(A\B) (B\A)= (A B)\(A B)
6）集合运算规则
（1）交换律
A B=
B A
A B=
B A
（2）结合律
A (
B C)=(A B) C
(A B) C=A (B C)
（3）分配律
A (
B C)=(A B) (A C)
A (
B C)=(A B) (A C)
（4）传递律
若B?A，C?B，则C?A。
（5）幂等律
A A=A
A A=A
（6）同一律
A Φ=A
A U = U
A Φ=Φ
A U=A
（7）补余律 A A U =
A A U = 0U = U =Φ （8）复原律 A =A （9）摩根律
B A B A = =
7）集合的直积
设有集合A 和B ，它们的直积A ×B 定义为：
A ×B={(x,y)|x ∈A ，或y ∈B}
即在A 和B 中，按x 先，y 后的顺序各取一个元素，搭配成（x,y ）对，这称为“序偶”（一般说来（x,y ）≠（y,x ）），所有的这些序偶（x,y ）的全体构成一个集合，这个集合叫直积，记作A ×B 。
例，设 A={1,2}
B={a,b,c}
则A ×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)} B ×A={(a,1),(b,1),(c,1), (a,2),(b,2),(c,2)} 可见A ×B ≠B ×A
设R 为实数集，即R={x|-∞ R 2=R ×R 也就是通常所说的二维欧氏空间。 同理，设A 1,A 2,…A n 是n 个集合，则 A 1×A 2×…A n ={(x 1,x 2,…x n )|x 1∈A 1，x 2∈A 2，…x n ∈A n } 或写成R ×R ×……×R= R n 即n 维欧氏空间。 二、Fuzzy 集合的基本概念 由前面介绍可知，普通集合（经典集合）其论域中的任何一事物，要么属于某个集合，要么就不属于该集合，不允许有含混不清的说法。然而在现实生活中却充满了模糊事物和模糊概念。例如“胖子”集合，“老年人”集合及“高个子”集合等等，它们的边界并不明确，我们将这类集合叫模糊集合，并在大写字母上边加波浪线来表示。例如A ~ 就表示一个Fuzzy 集合。 为了将普通集合与Fuzzy 集合加以区别，我们将Fuzzy 集合的特征函数称为隶属函数，并来)(~x A μ表示。其中)(~x A μ表示某元素x 属于Fuzzy 集合A 的程度或称“隶属度”。它可以在[0,1]闭区间连续取值。它能说明某一元素x 隶属于某一Fuzzy 集合的程度。 例如，说明某人属于“老年人”集合的隶属函数可表达为 μ 老年人 (x)= 2 50511?? ? ??-+x （1-1） 其中x 代表50岁以上的某人年龄，如果甲是55岁，代入式（1-1）计算，可得：μ老年 人(55)=0.5 这说明像甲这样的55岁人只能算是半老，因为这样的人属于“老年人”的隶属度只有0.5。同样把60岁，70岁年龄分别代入式（1-1）得： μ老年人(60)=0.8，μ老年人(70)=0.94 这说明60岁、70岁的人属于“老年人”集合的隶属度分别为0.8和0.94 式（1-1）中以年龄为论域，取U=[50,100]，以55岁为半老年人为界而确定的，故Fuzzy 集合中隶属函数值的确定也带有一定的主观性。通常，隶属函数值可根据经验或统计方法确定。 例如有5个人a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,其中a 1很胖，a 2相当胖，a 3稍胖，a 4不胖，a 5干瘦。那么“胖人”模糊集合用A ~ 表示，对于这5个人，其隶属度分别为： )(1~a A μ=1，)(2~a A μ=0.75，)(3~a A μ=0.6，)(4~a A μ=0.35，)(5~a A μ=0 当讨论的模糊集合范围是有限时，Fuzzy 集合可以用向量表示。例如对上面a 1~a 5这5个人考虑“胖人”集合A ~ 时，则可表示为： A ~ ={1,0.75,0.6,0.35,0} 有时，也可用Zadeh 表示法，在这种表示法中，把元素和其隶属度用一个分式表示。 例如，a 2对?的隶属度为0.75，表示为0.75/ a 2，则上面的“胖人”集合可表示为： A ~ =5 4321035.06.075.01a a a a a ++++ 其中“+”号表示“连”的意思，并非相加。 Zadeh 表示法也可表示为： ?= ∑=5 1 /)(i i i A a a μ 当讨论的范围是无限时，Fuzzy 集合A ~ 可用积分号表示，即 A ~ =?A A x x ~~/)(μ 式中的积分号 ? A ~ 只表示A ~ 有无限多个元素。 §1.2 模糊子集的特性及运算法则 一、模糊子集的特性及运算法则 由于Fuzzy 子集的特征量是它的隶属函数，故对两个Fuzzy 子集进行运算时，通常都是逐点对其隶属度进行相应的运算。 （一）特性： 1．Fuzzy 子集的相等 定义隶属函数全部相同的两个Fuzzy 子集为相等，即对所有元素x ，若有 )(~x A μ=)(~x B μ 则 A ~ = B ~ 同理，也可由隶属度函数的运算来定Fuzzy 子集A ~的补集A ~ 。即具有隶属函数为 )(~x A μ=1-)(~x A μ 的Fuzzy 子集A ~，就是A ~的补集，例如，A ~代表“老年人”集合，则A ~ 就是“非老年人”集合，对于60岁的x 1来说，其)(~x A μ=0.8，即x 1属于“老年人”的资格为0.8，那么x 1属于“非老年人”的资格为： )(~x A μ=1-0.8=0.2 2.模糊全集和模糊空集 对于全部元素x ，若均有 )(~x A μ=0 则定义模糊集合A ~ 为模糊空集，以Φ表示；若对全部元素x 均有 )(~x A μ=1则称A ~ 为模糊全集。Fuzzy 空集与Fuzzy 全集瓦为补集。 3．包含（?） 对于全部元素x ，若有 则称Fuzzy 子集A ~包含Fuzzy 子集B ~ ，记作 A ~? B ~ 这是B ~为A ~ 的Fuzzy 子集。 （二）模糊集合的运算 1.模糊子集的“并”、“交”、“补”运算。 设集A ~和B ~为论域U 上的两个模糊子集，则A ~和B ~的并集合C ~ 的隶属函数定义为 )(~x C μ=max{)(~x A μ，)(~x B μ} 或表示为 )(~x C μ=)(~x A μ∨)(~x B μ 则称C ~是A ~与B ~ 的交集合，记作 C ~=A ~ B ~ 其中“min ”或“∧”表示取小运算。 若)(~x A μ=1-)(~x A μ 则称A ~为A ~ 的补集合。 2.模糊子集的代数运算 代数积：称A ~·B ~为模糊子集A ~和B ~的代数积，A ~·B ~ 的隶属函数)(~~x B A ?μ为 )(~~x B A ?μ=)(~x A μ·)(~x B μ 代数和：称A ~+B ~为模糊子集A ~和B ~ 的代数和，其隶属函数为 )(~~x B A +μ=?????>+≤++1)()(11)()(),()(~A ~~~~A ~x x ， x x x x B B A B μμμμμμ 3.模糊子集运算规则 两个模糊子集运算规则如下： A=Φ，?x ∈U ，μA (x)=0 A=B ，?x ∈U ，μA (x)=μB (x) A _ ，?x ∈U ，μA (x)=1-μA (x) B ?A ，?x ∈U ，μA (x)<μB (x) C=A B ，?x ∈U ，μC (x) = max{μA (x)，μB (x)} =μA (x)∨μB (x) C=A B ，?x ∈U ，μC (x) = min{μA (x)，μB (x)} =μA (x)∧μB (x) 4.模糊子集的基本性质 （1）交换律 A B= B A A B=B A （2）结合律 A ( B C)=(A B) C (A B) C=A (B C) （3）分配律 A ( B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) （4）传递律 若B ?A ，C ?B ，则C ?A （5）幂等律 A A=A A A=A （6）同一律 A Φ=A A Φ=Φ A U = U A U=A （7）摩根律 B A B A =，B A B A = B A =A _ B _ ， =B A A _ B _ （8）复原律 A =A 例1，设论域U 为： U={x 1,x 2,x 3,x 4,x 5} A ， B 是论域U 的模糊子集，且 A=5 43210 2.04.0 3.05.0x x x x x ++++ B=5 43211 6.0002.0x x x x x ++++ 试求A _和B _ 、A B 及A B 。 解：根据μA (x)=1-μA (x)，则 A _ = 5432118.06.07.05.0x x x x x ++++ B _= 5 432104.0118.0x x x x x ++++ ∵ μA μB (x)=μA (x)∨μB (x) μ A μB (x)=μA (x)∧μB (x) ∴ A B=54321106.02.06.04.003.02.05.0x x x x x ∨+∨+∨+∨+∨ =5 432116.04.03.05.0x x x x x ++++ A B= 54321106.02.06.04.003.02.05.0x x x x x ∧+∧+∧+∧+∧ = 5 432102.0002.0x x x x x ++++ 二、截集 在一个模糊集合中，隶属函数值大于某一水平值λ的元素所组成的子集，称为该模糊集合的λ水平截集，它是模糊集合向普通集合向普通集合转化的一个关键。常用于模糊决策中。 例如，“高个子”是个Fuzzy 集合。而“身高1.7米以上的人”是一个普通集合，因为它已有清楚界线。 λ水平截集记作。“λ”就是水平的值（0<<1），所谓取一个模糊集的λ水平截集A ，它是将隶属函数按下式规则转化成特征函数。 C A λ(x)=? ? ?<≥λ）x μ当 0λ）x （μ当 1 A A （ 这个转换如图所示。 λ水平截集的定义是：设给定模糊集合A ，对任意[0,1]闭区间的实数λ，称普通集合 A λ={x|x ∈U ，μA (x)≥λ} 为A 的λ水平截集。 例1：设有x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，x 9九个学生参加考试，评分按百分制给分，再将分数除以100，即折合为隶属度，这样他们的成绩如表1-1。 以上）各有哪些人？ “优秀”者集合 A λ=0.9={x 1,x 2,x 9} “良好”者集合 A λ=0.8={x 1,x 2,x 5,x 7,x 9} “及格”者集合 A λ=0.6={x 1,x 2,x 4,x 5,x 6,x 7,x 9} 1.3 关系及映射 一、关系和关系图 关系：集合A 和B 的直积A ×B 的一个子集R 称作A 到B 关系二元关系，以下简称关系。 例如，若有两集合： A={x|x 为A 班羽毛球队队员} B={y|y 为B 班羽毛球队队员} R 可表示A 和B 之间的对打关系，若A 队的x 1和B 队的y 1有对打关系，就x 1Ry 1表示。类似地，有x 2Ry 2，x 3Ry 3，……等关系。 若A 和B 之间的元素无对打关系，就用┐R 表示，x 1┐Ry 2，x 2┐Ry 3……等 如，若 A={王二，张三，李四} B={优，良，中，差} A × B 就是王、张、李三人在考试中可能出现的情况，共有3×4=12种搭配形成。设在一次考试中，王二得“优”，张三，李四都得“中”，用关系表示为： R={(王二，优)，(张三，中)，(李四，中)} 可见，R 是A ×B 的一个子集，上述关系也可用表1-2表示。 我们将这个表格用矩阵形式表示，就得到“关系矩阵”R R=??? ?????0 1 0 00 1 0 00 0 0 1 此外，关系R 也可用关系图来表示，如图1-6示。 上述例子是从A 集到B 集的关系；一般地说，A ≠B 。 下面我们分析A=B 时的情况 设有一组学生，x={x 1,x 2,x 3,x 4} R 表示“同等年龄”，同年龄记作“1”，不同年龄记作“0”。今已知x 1与x 3同年，每个人本身自己与自己当然属同年龄。这样，其关系矩阵为： R=???? ??????1 0 0 00 1 0 10 0 1 00 1 0 1=M R 与R 相对应的关系图如图1-7示。 二、关系的运算 如果R 和S 都是有限集A 到有限集B 的关系，即 A × B ?R ，A ×B ?S ， 同时R 和S 的相应矩阵为M R 和M S ，于是关系运算可变为矩阵的运算。 设M R =[a ij ]，M S =[b ij ]，则有如下运算规则： （1）相等 R=S ，M R =M S ，a ij =b ij （2）包含S ?R ，M R ?M S ，a ij ≥b ij （3）并 设M R ∪S =[C ij ]，其中C ij = a ij ∨b ij 于是R ∪S M R ∪S = M R ∪M S （4）交 设M R ∩S =[C ij ]，其中C ij = a ij ∧b ij 于是R ∩S M R ∩S = M R ∩M S （5）补 设M R =[C ij ]，其中C ij =a ij R M R = M R ，其中C ij =a ij （6）合成 如果A 到B 的关系为R ，B 到C 的关系为S ，则R 和S 的合成关系（记为R ·S ）就是A 到C 的关系。其相应运算称为合成运算： 合成运算： M R ·S = M R ·M S 令 M R ·S =[C ij ] 则定义 C ij =V n k 1=(a ik ∧b ik ) 其中，符号V n k 1 =代表对n 项取大的意思。 例如： 设 R= ??? ???22211211a a a a =M R ； S= ?? ? ???22211211b b b b =M S ； 则 R ·S= M R ·S = M R ·M S = ()()()()()()()()??? ???∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧22221221212211 212212121121121111b a b a b a b a b a b a b a b a 第二章 模糊控制理论基础知识 2.1 模糊关系 一、模糊关系R 所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下： 所谓A ，B 两集合的直积 A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为μR (a,b)，可见R 是二元模糊关系。 若论域为n 个集合的直积，则 A1×A2×A3×……A n× 称为n元模糊关系R，它的隶属函数是n个变量的函数。 例如，要求列出集合x={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R。 因为直积空间R=X×X中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R为 R=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+ 0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9) 综上所述，只要给出直积空间A×B中的模糊集R的隶属函数μR(a,b)，集合A到集合B的模糊关系R也就确定了。 由于模糊关系，R实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。 一个模糊关系R，若对?x∈X，必有μR(x,x)=1，即每个元素X与自身隶属于模糊关系R的隶属度为1。称这样的R为具有自返性的模糊关系。 一个模糊R，若对?x，y∈X，均有 μR(x,y)=μR(y,x) 即(x,y)隶属于Fuzzy关系R和(y,x)隶属于Fuzzy关系R的隶属度相同，则称R为具有对称性的Fuzzy关系。 一个模糊关系R，若对?x，y,z∈X，均 μR(x,z)>min[μR(x,y),μR(y,z) 则称R为具有传递性的Fuzzy关系。 论域A×B为有限集时，模糊关系R可以用模糊矩阵R表示。 二、模糊矩阵 例如有一组学生组成集合x x={王二，张三，李四} 规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为y y={英,日,德,法} 如果把他们的考试成绩除以100，则可以认为他们和考试成绩之间构成的X×Y上的一个Fuzzy关系R如表2-2所示： R写矩阵形式，即得： R=??? ?????0 0 0.65 0.870 0.95 0 0 0.85 0 0 0.80 称此矩阵为“模糊矩阵”。其中每一个元素是在[0,1]闭区间取值。这是普通关系矩阵的扩展。 设A={a 1,a 2,……a n }，B={b 1,b 2,……b n }，则模糊矩阵可写成 R=(r ij )= ????? ? ????????nm n3n2n12m 2322211m 131211r r r r r r r r r r r r 式中0< r ij <1；i=1,2,…，n ；j=1,2…，m 。r ij 表示集合A 中第I 个元素和集合B 中第j 个元 素组成的序偶隶属于Fuzzy 关系R 的程度。 模糊矩阵 一、模糊关系矩阵的运算 定义1：设Fuzzy 矩阵A=[a ij ]和B=[bij]，若有 C ij =∨[a ij ，b ij ]= a ij ∨b ij ，则 C=[C ij ] 为Fuzzy 矩阵的并A 和B ，记作C=A ∪B 定义2：设Fuzzy 矩阵A=[a ij ]和B=[b ij ]，若有 C ij =∧[a ij ，b ij ]= a ij ∧b ij ，则称C ij =[c ij ]为Fuzzy 矩阵A 和B 的交，记作C= A ∩B 例1：已知： A= ??????0.8 0.40.3 0.5， B=?? ????0.7 0.30.5 0.8 求A ∪B 及A ∩B 。 解： A ∪B= ??????∨∨∨∨0.70.8 0.30.40.50.3 0.80.5=??????0.8 0.40.5 0.8 A ∩B= ??????∨∨∨∨0.70.8 0.30.40.50.3 0.80.5=???? ??0.7 0.30.3 0.5 定义3：设Fuzzy 矩阵A=[a ij ]，则[1-a ij ]称为A 的补矩阵，记作A —— 例2：已知A=?? ????0.2 0.30.4 0.8，求A —— 解： A —— = ?? ????0.2-1 0.3-10.4-1 0.8-1 = ?? ????0.8 0.70.6 0.2 定义4：若有Fuzzy 矩阵A ∩B ，且A=[a ij ]，B=[b ij ]， 令C=A ·B 且C 中的元素为 C ij =][1kj ik n k b a V ∧= 则称C 为Fuzzy 矩阵A 和B 的积。 例3：已知A=??????0.3 0.50.7 0.8，B=?? ????0.9 0.60.4 0.2，求A ·B 。 解 A ·B= ()()()()()()()()??????∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧0.90.3 0.40.5 0.60.3 0.20.50.90.7 0.40.8 0.60.7 0.20.8=?? ????0.4 0.30.7 0.6 工理 B ·A = ?? ????0.6 0.70.3 0.4 可见，一般地说，A ·B ≠B ·A 。 二、模糊关系的应用 例1 用模糊矩阵表示为 R = ?? ????0.6 0.10.2 0.8 该家中父母与祖父母的长像相似的关系S 为 用Fuzzy 矩阵表示为 S = ?? ????0 0.10.7 0.5 而Fuzzy 矩阵的积R ·S 为 R ·S= ()()()()()()()()??????∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧00.6 0.70.1 0.10.6 0.50.100.2 0.70.8 0.10.2 0.50.8=?? ????0.1 0.10.7 0.5 把R ·SFuzzy 这一例子说明，Fuzzy 矩阵相乘时先取小后取大有实际中的现实意义。 2.3 模糊逻辑 在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。 在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。然而，在现实生活中存在着大量的模糊判断，如“甲个子很高”，“乙很年轻”等。随着科学技术的进步，人们在研究复杂大系统时，由于其结构复杂，且要涉及大量的参数与变量，这些都具有模糊性特点，所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。模糊逻辑是多值逻辑的发展，又是模糊推理的基础。 一、二值逻辑 在二值逻辑中，一个命题只能是“真”或“假”，两者必居其一。例如“北京在中国”是真；“二加三等于六”是假。 如果把两个或两个以上的单命题联合起来，就构成一个复命题，设P，Q位两个单命题，则复命题的构成方式有下列几种。 （1）并：表示位P∨Q，用以表示“或”的关系。 （2）交：表示为P∧Q，用以表示“与”、“及”、“且”的关系。 P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示： （3）否定：命题P的否定记作P——（-P）。 （4）蕴涵：蕴涵是用来表示“若…，则…”。即命题P的成立，即可推出命题Q也成立，以P→Q表示。 （5）等价：它表示两个命题的真假相同，以←→表示。 二、连续值逻辑和模糊逻辑 在多值逻辑中，如N值逻辑，逻辑值可以取0，1，2，…，N-1个。我们规定，Fuzzy 命题P的逻辑值V（P）=X是在[0,1]连续闭区间内任意取值。因此，将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数，所以也称为Fuzzy逻辑。 连续逻辑运算规则如下： 逻辑并：X∨Y=max(X,Y) 逻辑交：X∧Y=min(X,Y) 否定：X——=1-X 限界差：X○-Y=0∨（X-Y） 界限和：X○+Y=1∧（X+Y） 界限积：X⊙Y=0∨（X+Y-1） 蕴涵：X→Y=1∧（1-X+Y） 等价：X←Y=（1-X+Y）∧（1-Y+X） 通常，一个模糊逻辑公式常为Fuzzy函数，由于Fuzzy函数是在[0,1]区间任意取值，所以在处理Fuzzy函数中，以解析法为处理手段，与二值逻辑处理方法相比较，难度较大。最恰当的办法是在[0,1]闭区间上把Fuzzy函数变量x分成有限个等级，采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy的逻辑问题。 例如，将[0,1]闭区间分为n个等级如下：