2001年数学二试题 考研数学真题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、2

13lim

21

-++--→x x x

x x =（ ）．

2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）．

3、

xdx x x 223cos )sin (2

2

?

-+ππ

=（ ）．

4、微分方程11arcsin 2

=-+

'x y x y 满足)

(21

y =0的特解为：（ ）． 5、方程组???

?

? ??-=????? ??????? ??211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．

二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)

1、1

10

1

)(>≤??

?=x x x f 则)]}([{x f f f =

（ A ） 0；（B ）1；（C ）110

1

>≤??

?x x ； （D ）1

1

1

>≤???x x ． 2、0→x 时，)1ln()cos 1(2

x x +-是比n

x x sin 高阶的无穷小，而n

x x sin 是比

12

-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于

（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线2

2

)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．

4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则

（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；

（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．

5、（同数学一的二1） 三、（本题满分6分）求

?++2

2

1)12(x

x

dx

．

四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim(

)sin x

t x t x t x

-

→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．

五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =

上任意一点M （y x ,）

（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算2

2

2)(3ds d ds

d ρρρ-的值（曲率K ＝

3

)

1(2

y y '+''）．

六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若

x x f e x dt t g 2)(0

)(=?

，求)(x f ．

七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2x

e －)(x

f 且)0(f =0，(0)

g =2，求

dx x x f x x g ?

+-+π

2

])1()

(1)([

八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．

1、 求L 的方程

2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的

面积最小．

九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比

比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆

在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =0

1、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使?

-=''a a

dx x f f a )(3)(3η

十一、（本题满分6分）已知???

?

? ??=????? ??=011101110,111011001B A 且满足

AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．

十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，

144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数

试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．