导数的复习与导引

导数的复习与导引

考纲要求

一、考试内容及要求

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式（c , x m

（m 为有理数），s i nx , c o sx , e x

, a x

, l nx , lo g a x 的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 二、考纲解读

随着高考的不断深入，对能力要求逐渐提高，也为了支持新课程的改革，导数的地位正在不断加强，对导数应用的考查的广度和深度也不断加重，导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题也成为新的热点内容．考查时，既有小题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，主要考查学生译读题目，肢解难点，合理迁移，等价转化等数学思想和方法．侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式、解析几何的综合应用，以及导数问题的综合应用，特别注意用导数证明函数的单调性，求函数的极值与最值，证明不等式以及求曲线的切线等问题，预计2009年的高考，导数必将还是重点和热点．

考点解读（题型梳理）

本章的考查重点集中在以下方面：

导 数

导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间，不等式的证明，函数的最值及有关实际问题，运用求导的方法不仅简便易行，而且形象直观，有助于对函数性质的深刻理解和认识．学习本节内容首先必须弄清以下基本问题： 一、导数的概念

1．弄清“函数在一点x 0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系．

（1）函数在一点处的导数)(0x f '是一个常数，不是变量．

（2）函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a , b )内每一点都可导，是指对于区间(a , b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数)(0x f '，根据函数的定义，在开区间(a , b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数)(x f '．

（3）函数y =f (x )在点x 0处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在点x =x 0处的函数值，即)

(0x f '=

)

(x f '|x =x 0．

2．导数的存在性：

当函数在x =x 0处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数． 3．可导与连续之间的关系

若函数y =f (x )在x 0处可导，则函数y =f (x )在x =x 0处连续；函数y =f (x )在x =x 0处连续，y =f (x )在x =x 0

处不一定可导．例如：函数y =|x |在x =0处连续，但不可导． 4．导数的几何意义

（1）设函数y =f (x )在点x 0处可导，那么它在该点的导数等于函数在相应点M (x 0, y 0)处的切线的斜率． （2）设s =s (t )是位移函数，则s ′(t 0)表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度． （3）设v =v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t =t 0时刻的加速度．

【例1】 已知函数

??????

?>+≤+=,1),1(2

11),1(2

1)(2

x x x x x f 试判断函数f(x)在x=1处是否可导．

【分析】求f ′(1)，即求1

)

1()(lim

1

--→x f x f x ．考虑到x =1是f (x )的分界点，x →1+与x →1-时，f (x )的表达式不

同，所以应分别求

1

)

1()(lim

1

--+

→x f x f x 及

1

)

1()(lim

1

---

→x f x f x ．

【解析】

1

1)1(2

1

lim

1

)

1()(lim

1

1

--+=--+

+

→→x x x f x f x x .

211

)1(2

1lim

1

=

--=+

→x x x 而

1

1)1(2

1

lim

1

)

1()(lim

2

1

1

--+=---

-

→→x x x f x f x x

.1)1(2

1lim

1

)1(2

1

lim

1

2

1

=+=--=-

-

→→x x x x x ∴.1

)

1()(lim

1

)

1()(lim

1

1

--≠---

+

→→x f x f x f x f x x

即f ′(1)不存在，所以f (x )在x =1处不可导．

【评析】1．由导数的定义，可以得到求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法：

① 求函数的增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0)； ② 求平均变化率

x

x f x x f x

y ?-?+=

??)

()(00；

③ 取极限，得导数

x

y x f x ??='→?0

0lim

)(．

此方法可简记为：一差、二化、三极限．

2．当函数在x =x 0处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数． 【例2】 求曲线y =3x -x 3过点P (2, -2)的切线方程．

【解析】设切点坐标为P (x 0, y 0)，由y ′=3-3x 2知点P 处的切线方程为：y -y 0=(3-3x 2

0)(x -x 0)…①，∵切

线过点P (2, -2)，且y 0=3x 0-30x ,代入①，整理得0432

030=+-x x ，即(x 0+1)(x 0-2)2=0, ∴x 0=-1或x 0=2．

（1）当x 0=-1时，切点为(-1, -2)，此时切线方程为y =-2；

（2）当x 0=2时，切点为P (2, -2)，此时切线方程为9x +y -16=0．所以过点P (2, -2)的切线方程为y =-2或9x +y -16=0．

【评析】“经过点P 的切线”与“点P 处的切线”不同，“经过点P 的切线”包括两种情况： ① 以点P 为切点； ② 以曲线y =f (x )上的另一点Q 为切点，但该切线恰好过点P ，在求解过程中应注意明确概念的内涵 与外延，否则会出现错误．

【例3】 已知函数f (x )=x 2-x +m 的定义域为(0,1)，对任意x 1, x 2∈(0, 1)且x 1≠x 2，求证：|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|．

【解析】 因为x 1≠x 2，所以原不等式等价于

1)

()(2

121<--x x x f x f ，即证

f (x )=x 2-x +m ，x ∈(0, 1)在函数图像

上任意两点连线的斜率k 满足|k |<1，∵)(x f '=2x -1且当x ∈(0, 1)时，-1<2x -1<1, ∴-1<)(x f '<1， ∴

1)

()(2

121<--x x x f x f ，即|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|．

【评析】利用导数的几何意义来证明显得非常简捷．一般地，对于|f (x 1)-f (x 2)|≤m |x 1-x 2|型不等式，大多可以转化成“函数y =f (x )图象上任意两点P (x 1, f (x 1))，Q (x 2, f (x 2))的连线的斜率2

121)()(x x x f x f k --=

(x 1≠x 2)

的取值范围问题”求解，同时应注意将x 1=x 2单独讨论． 二、函数的和、差、积、商的导数

函数的求导方法主要有两种，一是定义法，二是利用函数的和、差、积、商的求导公式，要求在熟练掌握几种常见函数导数的基础上灵活运用求导公式求函数的导数． 【例4】 求下列函数的导数：

（1）)

11)(1(x

x y +

-

= （2）x

x

y +

+-=

1111； （3）3

x x

x y =

c o t (t 为常数)．

【解析】 （1）∵x

x x

x y -=+-

=1)11)(1(，∴2

32

1

2

12

1)(---

='-='x x x

y 2

12

1--x

;

（2）∵,121111x

x

x

x

x

y -=

--

+

-+

=∴2

)1(2x y -='．

（3）∵3

1211-+

=

x y t

x t cos cos 67

=，∴t

x y cos 6

761

=

'（注意c o st 为常数）

【评析】本题是关于初等函数的求导问题，注意灵活使用导数的四则运算法则．若不加分析，盲目套用公式，就会给运算带来不便甚至错误，所以先化简，再求导是实施导数运算的基本方法，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略．

【例5】 f (x )是定义在(0, +∞)上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x +'≤0，对任意正数a , b ，若a

A ．af (b )≤bf (a )

B ．bf (a )≤af (b )

C ．af (a )≤f (b )

D ．bf (b )≤f (a ) 【解法一】由???

???≤+'≥>0

)()(0

)(0

x f x f x x f x 0)

()(≤-≤'x x f x f ，所以

?

?

??

>>≥≥00)()(a b b f a f bf (a )≥af (b )．故选A ．

【解法二】根据题设条件构造函数F (x )=xf (x )，则)()()(x f x f x x F +'='，由条件得F (x )在(0, +∞)上单调递

减．若a

【评析】本题主要考查基本的求导公式，函数单调性的应用、不等式的放缩等．由已知条件)()(x f x f x +'≤0可证明函数F (x )=xf (x )在(0, +∞)上非严格单调递减，没有对公式(u v )′=u′v +u v ′的熟练掌握，很难构造出函数F (x )=xf (x )．

三、复合函数的导数 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．

【例6】 求)3

2(sin 2π

+

=x y 的导数．

【分析一】题中结构较为复杂，先设中间变量，然后由复合函数的求导法则求导． 【解法一】设y =u 2

, u=s i nv , v =2x +

3

π

，则x

v u x v u x

x v u v u y y )3

2()(sin )(2

'+

?'?'='?'?'='π

.

2)3

2cos()3

2sin(22cos 2?+

?+

=??=π

π

x x v u ).

324sin(2π+

=x

【分析二】根据积的求导法与复合函数的求导法则．

【解法二】∵sin(2)sin(2)3

3

y x x ππ=+?+])3

2[sin()3

2sin(2'+

?+

=π

π

x x

)3

2()3

2cos()3

2sin(2'+

?+

?+

=π

π

π

x x x ).

3

24sin(2π+

=x

【分析三】利用降幂公式先化简，再求导． 【解法三】∵)]

324cos(1[2

1π+

-=

x y ，∴])3

24cos(2

12

1[

'+

-

='πx y )3

24()3

24sin(2

10'+

?+

+

=ππx x )

3

24sin(2π+

=x ．

【评析】复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向内层求导，每次求导都针对着最外层的相应变

量进行的，直到求到最里层为止，所谓最里层就是指可以直接引用基本公式表进行求导． 四、对数函数与指数函数的导数

本节的重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用指数与对数的求导公式熟练地求较简单的初等函数的导数． 【例7】 求下列函数的导数： （1）bx

ax

e y +-=2

； （2）)1(log 2-+?=x x x y a ； （3）x

x y -+=11ln

．

【解析】（1）设y =e u ，u=-ax 2+bx ，则)()(2

'+-?='?'='bx ax e u e y u x u )2(2

b ax e

bx

ax

+-=+-；

（2）?-+?+-+='1

log )1(log 2

2x x e x x x y a a )1(2

'-+x x e

x x x x x x a a log 1

2)1(log 2

2

2

-+++

-+=；

（3）∵)]1ln()1[ln(2

1x x y --+=

，∴.11)1111

(

21

2

x

x

x

y -=

-+

+=

'

【评析】本题的函数都是复合函数，求导时既可以先把函数分解后再用复合函数求导，也可直接用复合函数求导公式求导．

【例8】 已知0

x x y +-=

11的导数．

【解析】y >0，两边取对数得)]

1ln()1[ln(2

1ln )11ln(ln x x x x

x x y +--+

=+-=∵y 是x 的函数，由复合函数的求

导法则对上式两边求导，可得,

111)1111

(

21

12

x

x

x

x x

y

y --

=

+-

--+

=

'∴).111(

2

x

x

y y --

=

'∵,

11x

x x

y +-=

∴

.111

1

)1(1112

2

2

2

x

x x x x

x x x

x

x

x x

y +---+=

---?+-='

【评析】（1）对l ny 求导不易理解，事实上，如果设y =f (x )，则l ny =l nf (x )，设f (x )=u ， 则.)()

(11)(ln ])([ln

y y x f x f u u u u x f x x u '=

'?=

'?=

'?'='

（2）本题解法的求导方法一般称为对数求导法，即先两边取对数，再求导，一般适用于以下两类函数的求导：

① 形如y =(x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )，取对数之后，可将积转化为和的形式，或)

()()()(11n n b x b x a x a x y ----=

，取对

数后，可转化为代数和的形式．

② 无理函数（如本例）或形如y =x x 这类函数，取对数后，可变形为l ny =x l nx 两边求导．

导数的应用

近年来以导数为工具，以函数为主干的综合题的类型有很多，如函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何、函数与立体几何等，这些题型成了高考函数综合题的一大特色，解决这类问题的关键是熟练掌握导数、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想在解题中的应用．从近几年全国各地高考试题看，导数部分的考查热点主要表现在以下几个方面： 一、研究函数性质

导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题．在求解这些函数问题时，结合导数的思想并在理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤，请参见《知识网络》．

【例9】 已知函数)

0.()

1ln(1)(>++=

x x

x x f

（1）判断函数f (x )在区间(0, +∞)上的增减性并证明你的结论； （2）若当x >0时，1

)(+>

x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值．

【解析】（1）

)]1ln(11

[

1)(2

+--+=

'x x x x

x f )].

1ln(1

1[

12

+++-=x x x

由x >0, x 2>0,

1

1>+x , l n (x +1)>0，得

0)(<'x f ．因此函数

f (x )在区间(0, +∞)上是减函数．

（2）当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立，令x =1有k <2(1+l n 2).，又k 为正整数，则k 的最大值不大于3．

下面证明当k =3时，1

)(+>x k x f (x >0)恒成立．即证明x >0时(x +1)l n (x +1)+1-2x >0恒成立．

令g (x )=(x +1)l n (x +1)+1-2x ,，则.1)1ln()(-+='x x g 当x >e -1时，0)(>'x g ；当00．∴当x >0时，(x +1)l n (x +1)+1-2x >0恒成立．因此正整数k 的最大值为3．

【解法二】当x >0时，

1

)(+>

x k x f 恒成立．即k

x

x x x h >+++=

)]

1ln(1)[1()(对x >0恒成立．

即h (x )(x >0)的最小值大于k ．2

)

1ln(1)(x

x x x h +--=

'，记?(x )=x -1-l n (x +1).(x >0)，则,01

)(>+=

'x x x ?

∴?(x )在(0, +∞)上连续递增．又?(2)=1-l n 3<0, ?(3)=2-2l n 2>0，∴?(x )=0存在惟一实根a ，且满足：a ∈(2, 3), a =1+l n (a +1)，由x >a 时，?(x )>0, h ′(x )>0; 00)的最小值为 h (a )=

1)]

1ln(1)[1(+=+++a a

a a ∈(3, 4)．因此正整数

k 的最大值为3．

【评析】此题若用初等方法求函数f (x )的单调区间，则十分困难，而采用导数方法来研究，通过“求导→解不等式→写单调区间”这三步，即可简捷地完成解答，本题第（2）问的方法一采用了“特殊探路，导数求证”的思路，而方法二则通过两次求导，很巧妙地化解了难点． 二、研究二次函数与三次函数 二次函数、三次函数是最基本、最简单的多项式函数，每年高考中均重点考查，“三个二次”是方程、不等式和函数之间联系的桥梁，也是综合代数知识的一个平台，更是高考命题的好素材．三次函数求导以后，就可以转化为二次函数问题，所以三次函数是对二次函数知识的升华．以三次函数为基本模型研究导数的应用，是近年高考的一个热点． 【例10】 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )≥-2x 的解集为[1, 3]．

（1）若方程f (x )+6a =0有两个相等的实数根，求f (x ) 的解析式；

（2）若函数g (x )=xf (x )无极值，求实数a 的取值范围．

【分析】根据一元二次不等式的解集可得到其对应方程的两根，即可得出f (x )为含a 的参数式，再根据相等两根知判别式为零，便可求得解析式．第二问是三次函数极值问题，求导后变为二次函数问题，按解二次函数的方法处理便可求出a 的取值范围．

【方法一】设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，∵不等式f (x )≥-2x 的解集为[1, 3]，且a <0．∴f (1)=a +b +c =-2, ① f (3)=9a +3b +c =-6, ② 又∵f (x )+6a =ax 2+bx +c +6a =0有两相等根，∴△=b 2

-4a (c +6a )=0. ③ 由①②③解得a =-5

1

或a =1（舍去），故a =-5

1

, b =-5

6

, c =-5

3

.∴

.5

35

651)(2

-

-

-

=x x

x f

【方法二】若设f (x )+2x =a (x -1)(x -3)(a <0)，则解法更简单（下略）．

（2）由①②得b =-2-4a , c =3a , 故g (x )=ax 3+(-2-4a )x 2+3ax ,)(x g '=3ax 2+2(-2-4a )x +3a ，∵g (x )无极值，

∴方程)(x g '=0无实根或有两个相等实根，则????

?≤---=?≠,

036)42(4,

02

2

a

a a 解得-2≤a ≤-7

2

．

【评析】二次函数是高中数学中的一个最基本的函数，是联系“三个二次”之间关系的枢纽，二次函数的有关性质仍是我们研究函数性质中最基本的初等函数的性质，“三个二次”之间的相互转化是我们解决方程、不等式和函数综合问题的主要途径．

【例11】 若函数f (x )=x 3+bx 2

+cx +1的单调增区间是(-∞, -2]与[2, +∞)，单调减区间是[-2, 2]． （1）求函数f (x )的解析式；

（2）若方程f (x )-m =0有三个不相等的实根，求m 的取值范围．

【分析】由条件可知函数在x =-2, x =2处的导数值为零，由此可解出两个参数的值，则方程根的问题可以转化为图像交点问题处理．

【解析】（1）c bx x x f ++='23)(2，依题意???=++=+-???='=-'.

0412,

0412,0)2(,0)2(c b c b f f 即解得

b =0,

c =-12．∴函数

)

(x f 的解析

式为

112)(3

+-=x x x f .

（2）由条件可知，函数)(x f 有极大值17)2(=-f ，极小值

15

)2(-=f .若方程m

x f y -=

)(有三个不相等的

实数根，即

)(x f 的图像与直线

y =m 恰有三个公共点，则??

?-<>).

2(),2(f m f m ∴m 的取值范围为-15

【评析】因为三次函数求导后可变为二次函数，所以，两者之间有着密切的联系，研究三次函数性质的时候往往通过求导转化为二次函数或二次不等式，进而借助二次函数的性质来进行研究．一般地，若已知三次函数f (x )=ax 3

+bx 2

+cx +d (a >0)在(-∞, m ]上是增函数，在[m , n ]上是减函数，在[n , +∞)上是增函数，

则二次方程0)(='x f 即3ax 2+2bx +c =0的两个根为m , n ；且当x ∈(-∞, m ]或x ∈[n ,+∞)时0)(>'x f ， 当x ∈[m , n ]时0)(<'x f ，反之亦然． 三、证明不等式

证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大（小）值的研究，经过代数变形，从而得到待证明的不等式．

【例12】 设a ≥0, f (x )=x -1-l n 2x +2a l nx (x >0)．

（1）令)()(x f x x F '=

，讨论F (x )在(0, +∞)内的单调性并求极值；

（2）求证：当x >1时，恒有x >l n 2

x -2a l nx +1． 【解析】（1）根据求导法则有0,2ln 21)(>+-

='x x

a x

x x f ，故,

0,2ln 2)()(>+-='=x a x x x f x x F

于是，0

,221)(>-=-

='x x

x x x F ．列表如下：

由上表可知，函数F (x )在(0, 2)内是减函数，在(2, +∞)内是增函数，所以，在x =2处取得极小值F (x )=2-2l n 2+2a ．

（2）证明：由a ≥0知，F (x )的极小值F (x )=2-2l n 2+2a >0，由上表可知，对x ∈(0, +∞)，恒有)()(x f x x F '=>0． 由此可知，当x >0时，恒有)(x f '>0，故f (x )在(0, +∞)内单调递增．所以，当x >1时，f (x )>f (1)=0， 即x -1-l n 2x +2a l nx >0.

综上可知，当x >1时，恒有x >l n 2

x -2a l nx +1．

【评析】此题主要考查了导数的概念与计算，以及利用导数研究函数单调性、极值和证明不等式的方法，体现了高考中对综合运用导数知识解决问题的能力要求．

四、求解参数范围

给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要．

【例13】 设函数x

x x f ln 1)(=

(x >0且x ≠1)

（1）求函数f (x )的单调区间；

（2）已知a

x

x

>1

2对任意x ∈(0, 1)成立，求实数a 的取值范围．

【解析】（1）x

x x x f 2

2

ln 1ln )(+-

='，若

)

(x f '=0，则e

x 1=

，列表如下：

从上表可知，f (x )的单调增区间为(0,

e

1)；减区间为(e

1

, 1)和(1, +∞).

（2）在a

x

x

>1

2两边取对数，得

x

a x

ln 2ln 1>，由于0

.ln 12

ln x

x a >

①

由（1）的结果可知，当x ∈(0, 1)时，f (x )≤)

1(e f =-e ，为使①式对所有x ∈(0, 1)成立，当且仅当e

a ->2

ln ，

即a >-e l n 2.

【评析】要求参数a 的取值范围，需将a 分离出来，因此考虑两边取自然对数，再利用上一问的结论及恒成立问题的充要条件就能转化为关于参数a 的不等式，从而顺利地求出参数a 的范围．事实上，解数学题的过程就是一系列的等价转换的过程——化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次，化未知为已知等等．

五、研究相切问题

导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y =f (x )的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中．解决此类相切问题，一般先求函数的导数)(x f y '=，依据曲线y =f (x )在x =x 0的切线斜率为='==0

|x x y k

|)(x

x x f ='而进行研究．由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图

像上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解（如例2）．

【例14】 已知函数f (x )=x 3-x ．

（1）求曲线y =f (x )在点M (t , f (t ))处的切线方程；

（2）设a >0，如果过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a

1

3)(2

-='x x f .曲线y =f (x )在点M (t , f (t ))处的切线方程

为))(()(t x t f t f y -'=-，即y =(3t 2-1)x -2t 3．

（2）如果有一条切线过点(a , b )，则存在t ，使b =(3t 2-1)a -2t 3．于是，若过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，则方程2t 3-3at 2+a +b =0有三个相异的实数根．

记g (t )=2t 3-3at 2+a +b =0，则).(666)(2a t t at t t g -=-='当t 变化时，)(),(t g t g '的变化情况如下表所示：

由g (t )的单调性，当极大值a +b <0或极小值b -f (a )>0时，方程g (t )=0最多有一个实数根；当a +b =0时，解方程g (t )=0，得t =0, t =2

3a ，即方程g (t )=0只有两个相异的实数根；当b -f (a )=0；解方程g (t )=0；得

t =-2

a , t =a ，即方程g (t )=0只有两个相异的实数根．

综上，如果过(a , b )可作曲线y =f (x )三条切线，即g (t )=0有三个相异的实数根，则??

?<->+,

0)(,0a f b b a 即

-a

【评析】依据切线的斜率等于切点处的导数值，可轻松完成第一个问题关于切线方程的求解；第二个问题所涉及的三条切线，可等价转化为方程有三个实数根的问题，进一步利用导数对函数性质的研究，可解决方程实数根个数的讨论． 六、解决实际应用问题

在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题．我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大（小）值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题．解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大（小）值；③回归优化方案． 【例15】 一吊灯圆环直径为22米，通过拉链BC 、CA 1、CA 2、CA 3

（A 1、A 2、A 3是圆上三等分点）悬挂在B 处，圆环呈水平状态并距天花板2米（如图）

（1）为使拉链总长最短，BC 应为多长；

（2）为了美观与安全，在圆环上设置A 1、A 2、A 3、…、A n (n ≥4)个等分点，

并仍按上述的方法连结，若还要求拉链总长最短，对比（1）中C 点位置，此时C 点是上升还是下移，请说明理由．

【解析】（1）设C 距天花板x 米(0

2)2(2

+-x

∴),

20(2)2(32

<<+-+=

x x x y ∴.2

)2()2(312

+---

='x x y 令0

2

)2()2(312

=+---

='x x y ,又0

3

，∵x ∈(0,

2

3)

时，y '<0；x ∈(

2

,2

3)时，y '>0.∴当x =2

3时，y 取最小值为6米．

（2）类比第（1）问求解过程有2

)2(2

+-+=x n x y ,∴2

)2()2(12

+---

='x x n y

令2

)2()2(12

+---

='x x n y =0，又∵0

222

--

=n x ．∵此时只有一个极值，∴当1

222

--=n x 时，拉链

总长最短．

现在比较1

222

--

n 与2

3的大小，只需先比较

2

11

22

与

-n 的大小．

B C A 3

A 1

A 2

∵n ≥4, ∴0

)

1(494

11

2)

21

()1

2

(

2

2

2

2

2

2

<--=

-

-=

--n n

n n ，即

2

11

22

<

-n .∴2

31

222

>

--

n ，故C 点位置将下移．

【评析】数学应用题主要有以下六种题型：

（1）函数、不等式、导数型应用题； （2）数列型应用题；

（3）三角函数、平面向量型应用题； （4）解析几何型应用题；

（5）立体几何型应用题； （6）排列、组合、概率型应用题．

求解应用问题首先要仔细分析题意，理清题目的已知条件以及需求解的对象，各种数据之间的关系，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后再利用已学过的数学知识和方法去解决问题．本例应抓住图形特征列出拉链总长度的函数解析式，然后借助于导数方法求解． 【复习建议】

由于导数是研究函数性质的重要工具，又有着丰富的实际背景和广泛的应用，使得导数很自然地成为近几年高考的热点，因此在复习中应注意以下几点： 1．夯实基础，突出工具性

随着导数的引入，使得研究函数的工具更加先进，方法更加灵活．导数的概念及其运算是导数应用的基础，因此，在教学时，要充分利用教材，在牢记导数的相关概念、求导法则的基础上穿插与渗透运用导数解决函数问题的训练，把它作为研究函数图象与性质的基本方法加以总结和应用，促进知识和方法的系统化．

2．把函数与导数的复习融合于一体

当用导数研究函数时，函数的呈现形式已经不再拘泥于具体的基本初等函数．对函数的研究也不仅仅限于定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，极值与最值、曲线的切线、极限与连续等都成为研究的对象．只有把函数与导数的复习结合起来，才能对函数有更深刻的认识． 3．关注高考试题，强化综合运用

在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的一个基本原则．在夯实基础，紧抓主干的基础上，还要特别注重导数知识的纵横联系．在复习时，应以教材为主，全面梳理知识，系统归纳总结，注重知识结构的重组与概括，揭示知识间的内在联系，形成纵向、横向的知识链，构建知识网络．高度关注导数与函数、不等式、数列、解析几何等内容交叉渗透的综合性问题的训练，使导数的知识和方法与相关内容融合在一起，不断地提高学生综合运用所学知识解决问题的能力．

导数和微分的概念

一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义 切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义

微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='， 特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。 后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

最新导数和微分的概念

导数和微分的概念

一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系

?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念

导数与微分重点知识归纳

导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的

概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：

基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

导数与微分知识点

第二章 导数与微分 一、导数 1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。 多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则

电大【高等数学基础】 导数与微分

2） 导数与微分 070713.设 )(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000 （ ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '- 070113.设 )(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （ ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 060113.设 x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim （ ）．A e 2 B e C 080713.下列等式中正确的是（ ） A dx x x d 1 )1(2-= B dx x 2)x 1d(= C dx d x x 2)ln22(= D 050713.下列等式中正确的是（ ）． A.xdx d arctan )1( 2= B. 2 )1(dx d -= C.dx d x x 2)2ln 2 (= D.xdx x d cot )(tan = A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升 060713. 函数 622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（ ） ． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 080724.函数 2)2(2+-=x y 的单调减少区间是 ．

080124.函数 1)(2-=x x f 的单调减少区间是 ． 070724. 函数2 x e y -=的单调减少区间是 ． 070124.函数x y arctan =的单调增加区间是 ． 060724.函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是 ． 060124.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 ． 050724.函数 )1ln(2x y +=的单调增加区间是 ． 080732.设 2sin sin x e y x +=，求y ' 解：2sin 2sin cos 2cos )(sin )(x x x e x e y x x +='+'=' 080132.设2 x xe y =，求 y ' 解：2 22222)()(x x x x e x e e x e x y +='+'=' 070732.设2sin x e y x -=，求'y 解：x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'=' 070132.设x x y e cos ln +=，求'y 解：x x x y e sin )(ln -'=' 060732.设 x x e y x ln tan -=，求y '． x x x x x 12- 解：由导数四则运算法则得 x x x x x x x x x y ++= '+'+'='ln 2cos 1 )(ln ln )()(tan 222 050733.设 2cos ln x y =，求d y ．

偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系

1。偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量 全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分 同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也

指明了求微分的方法。 3.全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数 如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！ 偏导数就是 在一个范围里导数，如在（x0,y0)处导数。 全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的 在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 函数f关于变量x的偏导数写为或。偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的正体d。这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数

高中数学导数与定积分知识点

高中数学知识点—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数； ③会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积

分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

导数与微分的关系

导数与微分的关系 宁小青 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？ 一、微分概念的导出背景 当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。 我们来看一个简单的例子： 维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它。 设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B 点，而是C点，BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。 容易看出，若C点与地心O的距离与A事点到O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段AB的长度。△OAB是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理 显然就这样按上式去计算是不可取的——这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。 利用乘法公式 可将上式改为 由于，因此这一项与这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为 由此计算出千米。 这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。 上面所计算的，实际上就是函数在处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算

导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量 =?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()() =?-?-→?x x f x x f x 000 lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则 =dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ． ()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0,2sin 0 ,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

导数与微分

导数和微分 问题 1.为什么用导数能研究函数的性态？ 答：应用导数之所以研究函数的性态是因为函数 () f x 在点 0 x 导数 00 0 0 0 0 ()() '()lim lim x x x f x f x y f x x x x ?? - D == D - 本身蕴含了函数 () f x 在点 0 x 最本质的属性.为了说明这个事实，我们首先从比数 0 0 ()() f x f x y x x x - D = D - 说起，比数 y x D D 对研究函数 () f x 在点 0 x 的性态有什么意义呢？ 我们知道，两个量a 与b 之比数 a k b = （或a kb = ）是一个抽象的数，称为率。 在数学中有很多的率。例如，圆周率，离心率，斜率，曲率等。在社会科学中， “率”就更多了，例如，增长率，出生率，利率等。率这个抽象的数k 给出了两 个量a 与b 之间的倍数关系，即a 与b 的k 倍，它能刻划事物内在的规律和属性。 例如，椭圆 22 22 1 x y a b += 的离心率 22 (01) a b e e a - = ￡< 描绘了椭圆的扁圆的程度：e 愈大，椭圆愈扁;e 愈小，椭 圆愈近似于圆。 由此可见， 椭圆的离心率e 对认识椭圆的几何性态是十分必要的。 这就是几何性质定量化，是“以数表性”的实例。同样，导数这个“率”也能够 以数表性（函数的性态），而应用的范围更为广泛。 设函数 () y f x = 在点 0 x 可导，任取一点 x ，有自变量的改变量 0 , x x x D =- 相应函数 () y f x = 的改变量 0 ()(). y f x f x D =- 两者的比数为 0 0 ()() '. f x f x y k x x x - D == D - 用分析的语言说， ' k 是函数 () y f x = 在 0 x 附近的平均变化率。用几何的语言说， ' k 是曲线 () y f x = 过点 00 (,()) x f x 与 (,()) x f x 的割线斜率。 当 x 很靠近 0 x 时 （或 x D 很小时），平均变化率 ' k 能够近似地描绘函数 () y f x = 在点 0 x 附近的性态。例如，

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''