2020年高考数学模拟题汇编大全 (20)

2020年普通高等学校模拟题数学(理)试题汇编

概率部分

1．（全国1）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设ξ 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ 的分布列及数学期望。

解：（1）记i A 表示事件：第i 局甲获胜，3,4,5i =；j B 表示事件：第j 局甲获胜，3,4j =

B

表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次

比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲获胜2局，从而

34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，故34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =++

34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A =++

0.60.60.40.60.60.60.40.60.648=?+??+??=

（2）ξ的取值可以为2，3，由于各局比赛结果相互独立， 故343434343434(2)()()()()()()()P P A A B B P A A P B B P A P A P B P B ξ==+=+=+

0.60.60.40.40.52=?+?=

(3)1(2)10.520.48P P ξξ==-==-=

所以随机变量ξ的分布列为 ξ 2 3

P 0.52

0.48

随机变量ξ的数学期望2(2)3(3)20.5230.48 2.48E P P ξξξ==+==?+?=

2．（全国2/20）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （I ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

1164

210

3111

110251105555

2121A

C C 8P A 15C 8

115

=?=?=+=

解：（）因为抽取比为

，由，得 应在甲组抽取人、在乙组抽取人

（）设从甲组抽取的工人中恰有名女工人的事件为 则()= 所以从甲组抽取的工人中恰有名女工人的概率为

21111214364342

2121211051051052

11112163642

62212121105

105105

30123

C C C C C C C 228P 0P 12575

C C C C C C C C C C C C C 3110

P 2P 37575C C C C C C

ξξξξξξ======+==+====

（）依题意、、、 由（）， （），

（）=

， （） 得的分布列如表

ξ 0 1 2 3 P

225

2875

3175

1075

所以ξ的数学期望2831108E 123167575755

ξ=?

+?+?==? 3．（山东11）在区间[]1,1-上随机取一个数x ,cos 2x π的值介于0到1

2

之

间的概率为 （A ）1

3

(B)

2π

(C) 12 (D) 23

【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos

2

x

π的

值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴2

13

x -≤≤-或

213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos

2x π的值介于0到2

1

之间的概率为3

1

232

=.故选A.

答案:A

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值cos

2

x π的范围,再由长度型几何概型求得.

4．（山东19）在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q .该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ε表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

()I 求2q 的值；

()II 求随机变量ε的数学期量E ε；

()III 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投

篮得分超过3分的概率的大小。

解:（1）设该同学在A 处投中为事件A,在B 处投中为事件B,则事件A,B 相互独立,且P(A)=0.25,()0.75P A =, P(B)= q 2,2()1P B q =-. 根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.2019,所以210.2q -=，q 2=0.8.

（2）当ξ=2时, P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+

)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75 q

2

( 21q -)×2=1.5

q 2( 21q -)=0.24

当ξ=3时, P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.2019, 当ξ=4时, P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48, 当ξ=5时, P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+

222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24

所以随机变量ξ的分布列为

ξ 0 2 3 4 5 p 0.2

019

0.24

0.2019 0.

48 0.

24

随

机

变

量

ξ

的数学期望

00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=?+?+?+?+?=

（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为

()P BBB BBB BB ++

()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为

0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大. 【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

5．（北京17）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13

，遇到红灯时停留的时间都是2min 。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望。

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为

()11141133327

P A ????=-?-?= ? ?????.

（Ⅱ）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：

min ）.

事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”

（k =0，1，2，3，4），

∴()()441220,1,2,3,433k

k

k

P k C k ξ-????

=== ? ?

????

，

∴即ξ的分布列是

ξ 0

2 4 6 8

P

1681

32

81

827 881

181

∴ξ的期望是16328818

0246881812781813

E ξ=?+?+?+?+?=.

6．（湖北3）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为 A 、1

3 B 、14

C 、16

D 、

112

【答案】C

【解析】因为22()()2()m ni n mi mn n m i +-=+-为实数

所以22n m =故m n =则可以取1、2???6，共6种可能，所以11

6661

6

P C C =

=? 7．（湖北16）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列和数学期望。 解析：依题意，可分别取5η=、6、????11取，则有

1123(5),(6),(7)44161616

4321

(8),(9),(10),(11)16161616p p p p p p p ηηηηηηη==

=====?========

η∴的分布列为

η

5 6 7 8 9 10 11

p

116 216 316 416 316 216 116 1234321

567891011816161616161616

E η=?+?+?+?+?+?+?=

8．（福建16）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．

中，等可能地取出一个。

（1）记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望

E ξ

解：本小题主要考查排列组合、概率与统计等基础知识，考察数据处理能力、运算求解能力。，考查分类与整合思想、化归与转化思想，满分13分。

解：（1）记：“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A ，

基本事件总数12345

5

555531n C C C C C =++++= 事件A 包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}； 事件A 包含的基本事件数3m =，3()31

m P A n ∴==

（2）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5

又1

55(1)3131C P ξ===，2510(2)3131C P ξ===，3510(3)3131C P ξ===，455(4)3131

C P ξ===

为

5

51

(1)3131

C P ξ===

。故的分布列

ξ

1 2 3 4 5

P

5

31 1031 1031 531 131

从而510105180

12345

313131313131

Eξ=?+?+?+?+?=

9．（江苏5）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.

[解析] 考查等可能事件的概率知识。

从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。

10．（浙江19）在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数. （Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；

（Ⅱ）记ξ为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2）。求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.

解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则

12

45

3

9

10 ()

21

C C

P A

C

==；

（II）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为

ξ0 1 2

P 5

121

2

1

12

所以ξ的数学期望为5112

012

122123

Eξ=?+?+?=

11．（安徽17）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的。对于C,因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同样也假设D受A、B和C感染的概率都是1/3.在这种假定之下，

B、C 、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）。解：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。

随机变量X的分布列是

X 1 2 3

P 1

31

2

1

6

X的均值为11111

123

3266

EX=?+?+?=

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1

6

：①②③④⑤⑥

A—B—C—D A—B—C

└D A—B—C

└D

A—B—D

└C

A—C—D

└B

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。12．（重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A．8

91B．25

91

C．48

91

D．60

91

答案：C 1121212116546546544

1518024030048

15141312914321

C C C C C C C C C C ++++==??????

13．（辽宁19）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为3

1。该

目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P （A ） 解：（Ⅰ）依题意X 的分列为

0 1 2 3 4

P

1681 3281 2481 881

181

（Ⅱ）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

依题意知P （A 1）=P(B 1)=0.1，P （A 2）=P(B 2)=0.3，

11111122A A B A B A B A B =???,

所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B P A B P A B =+++（）

11111122()()())()()()P A B P A P B P A P B P A P B +++（

0.10.90.90.10.10.10.30.30.28?+?+?+?=

14．（陕西19）

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：

（1）求a 的值和ξ的数学期望；

（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率

解析:（1）由概率分布可知：0.1+0.3+2a_a=1,解得a=0.2

ξ 的概率分布为：

ξ 0

1 2 3

p 0.1 0.3 0.4 0.2

00.110.320.430.2 1.7E ξ∴=?+?+?+?=

（2）设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”，事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件A2表示“两个月内每个月被投诉1次”，

则有时间的独立性可知

1

121222212()(2)(0)20.40.10.08()[(1)]0.30.09

()()()0.17

P A C P P P A C P P A P A P A ξξξ====??=====∴=+=g

故，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率是0.220198 15．（天津18）

在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：

ξ 0

1 2 3

p 0.1 0.3 2a a

（I ） 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （II ） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数

学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。

（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为C k

3

，从10件产品中

任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C C k k -37

3

，那么从10

件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P(X=k)=

C C C k

k

310

37

3-,k=0,1,2,3.

所以随机变量X 的分布列是 X 0

1

2 3

P

24

7

40

21

40

7

120

3

X 的数学期望EX=10

9120134072402112470=?+?+?+?

（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件

A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1“恰好取出2件一等品“为事件A 2，”恰好取出3件一等品”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3而

,403)(310

23

131=C C C A P P(A 2)=P(X=2)= 407,P(A3)=P(X=3)= 1201,

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=

40

3

+

40

7+

1201

=120

31 16．（四川18）为振兴旅游业，四川省2020年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），

向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3

4

是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23

持银卡。 （I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学

期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；

省内游客有9人，其中6人

持银卡。设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者

少于2人”，

事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 12()()()P B P A P A =+

12111921962133

3636

C C C C C C C =+92734170=+36

85= 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2

人的概率是

3685

。 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

33391(0)84C P C ξ===, 1263393

(1)14

C C P C ξ===

21633915(2)28C C P C ξ=

==，363915

(3)21

C P C ξ===，

所以ξ的分布列为

ξ 0

1 2 3

P

184

314 1528 521

所以13155

0123284142821

E ξ=?+?+?+?=，

17．（海南18）

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。 （I ）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人；

（II ）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

（i ）先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平

均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 解：

（Ⅰ）A 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分 （Ⅱ）(ⅰ)由485325x ++++=，得5x =，

6361875y +++=，得15y =。 频率分布直方图如下

从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小。

（ii ） 48553

1051151251351451232525252525A x =

?+?+?+?+?=， 6153618

115125135145133.875757575

B x =?+?+?+?=，

2575123133.8131.1100100

x =

?+?= A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.

18．(江西，10)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 A ．

3181 B ．3381 C ．4881 D ．5081

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案：D 解析：5553(323)50

381

P -?-=

=故选D 19．(江西，18)（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．

(1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望E ξ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解：（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

1(0)64P ξ==

3(5)32P ξ== 15(10)64P ξ== 5

(15)16P ξ== 15(20)64P ξ== 3(25)32P ξ== 1

(30)64P ξ==

（2）31551531

5101520253015326416643264

E ξ=?+?+?+?+?+?=