2010年全国高中数学联赛试题参考答案

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）

1.函数()f x 的值域是______________.

2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.

3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.

4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数

,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.

5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.

7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则

sin α=_____________.

8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.

二、解答题（本题满分56分）

9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.

10. (本小题满分20分)已知抛物线2

6y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.

11. (本小题满分20分)证明：方程3

2520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，

使得3122

5

a a a r r r =+++ .

2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）

考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10

一、（本题满分40分）

如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长

线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.

二、（本题满分40分）

设k 是给定的正整数，12

r k =+.记()()f r f r r r ==????（1）

,(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()

()m f

r 为一个整数.这里，x ????表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112??

==????????

.

三、（本题满分50分）

给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n = ,记

12,1,2,,.k

k a a a A k n k

+++=

=

求证：

1

1

1

2

n

n

k k k k n a A ==--<

∑∑.

四、（本题满分50分）

一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.

2010年全国高中数学联合竞赛

一试试题参考答案与评分标准 说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题

1.[-.

2.3

122

a -

≤≤

3.9800.

4.3

5.14-

. 6.1217

.

8.336675. 1.

易知[][]85)(85)(，在，且，的定义域是x f x f 上是增函数，从而可知)(x f 的值域为[-3,3]. 2.

令sin x =t ，则原函数化为g (t )=(-at 2+a-3)t ，即

g (t )=-at 3+(a-3)t. 由-at 3+(a-3)t ≥-3， -at (t 2-1)-3(t-1)≥0，

(t-1)(-at (t +1)-3)0≥及01≤-t 知

-at (t +1)-30≤即3)(2

-≥+t t a . （1） 当t =0，-1时（1）总成立： 对20,102≤+<≤

1,012

<+≤-<<-t t t . 从而可知.122

3

≤≤-a 3.

由对称性知，只需先考虑x 轴上方的情况，设(1,2,,99)y k k == 与双曲线右半支交于点k A ，与直线100x =交于点k B ，则线段k k A B 内部的整点个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为99

1(99)9949k k =-=?∑，

又x 轴上有98个整点，

则所求整点个数为24999+98=9800??. 4.

设{}{},,q b d a n n 的公比为的公差为则 3+d =q ， （1） 3（3+4d ）=q 2，（2） （1）代入（2）得

.9,6961292==++=+q d d d d ，求得

从而有βα+=-+-19log 163n n ）（对一切正整数n 都成立， 即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立。 从而βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得333333+=+==βαβα，，. 5.

令y a x

=，则原函数化为）在（+∞-

-+=,2

3

)(,23)(2

y g y y y g 上是递增的， 当0

2

12823)(112max =

?=?=-+=---a a a a y g ， 所以4

12213)2

1()(2

min -=-?

+=y g ； 当∈>y a 时，1[a a ,1

-]，

2823)(2max =?=-+=a a a y g ，

所以412232

)(12

min -=-?+=--y g ，

综上∈x x f 在)([-1,1]上的最小值为4

1

-.

6.

同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为

12

7

3621=，从而先投掷人的获胜概率为 ...12712512712512742+?+?+）（）（ =119

84144

25-11127=?.

=1217

. 7.

解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系。设正三棱柱的棱长为2，则B （1，0，0），B 1（1，0，2），A 1（-1，0，2），P （0，3，1），从而，

)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .

设分别与平面BA 1P 、平面B 1A 1P 垂直的向量是

),,(),,,(222111z y x z y x ==，则

?????=++-=?=+-=?,03,022111111z y x z x ?????=-+-=?=-=?,

03,022221211z y x B x A B n 由此可设),3,1,0(),1,0,1(==n m

,α=

即4

6

cos cos 223=

??=αα. 所以4

10

sin =

α. 解二：如图.,11PB PA PC PC == 设11AB B A 与交与点0，则

1111,,AB B A OB OA OB OA ⊥==，

因为11,AB PO PB PA ⊥=所以， 从而B PA AB 11平面⊥.

过0在平面B PA 1上作E P A OE 垂足为,1⊥.

连接1111,B P A B EO B E B --∠为二面角

则的平面角. 设1AA =2，则易求得

.3,2,5111=====PO O B O A PA PB

在直角OE P A PO O A O PA ?=??111中，， 即.5

6

,532=

∴?=?OE OE 又.5

54562,22

2

111=+

=+=∴=OE O B E B O B .4

10

5

542sin sin 111===

∠=E B O B EO B α 8.首先易知x +y +z =2010的正整数解的个数为=2

2009C 2009?1004.

把x +y +z =2010满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：

（1）x ，y ，z 均相等的正整数解的个数显然为1；

（2）x ，y ，z 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； （3）设x ，y ，z 两两均不相等的正整数解为k . 易知 1+3?1003+6k =2009?1004，

6k =2009?1004-3?1003-1

=2006?1005-2009+3?2-1=2006?1005-2004， k =1003?335-334=335671.

从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 1+1003+335671=336675.

二、解答题 9.

解一：c bx ax x f ++=23)('2，

由????

???++=++==c

b a f

c b a f c f 23)1(',43)21(',)0(' 得 （4分） ).2

1

('4)1('2)0('23f f f a -+= （8分）

所以)2

1('4)1('2)0('23f f f a -+=

)21

('4)1('2)0('2f f f ++≤

，8≤

.3

8

≤a （12分）

又易知当m x x x x f ++-=2

343

8)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 的最大值为38. （16分）

解二：

c bx ax x f ++=23)('2，

设.2)(0101)(')(≤≤≤≤+=x g x x f x g 时，，则当 设.11,2

1

12≤≤-+=

-=z z x x z ，则 .14

322343)21()(2++++++=+=c b a

z b a z a z g z h （4分）

容易知道当.2)(0,2)(011≤-≤≤≤≤≤-z h z h z 时， （8分）

从而当,22

)

()(011≤-+≤≤≤-z h z h z 时，

即,214

34302≤++++≤

c b a

z a 从而，014

3≥+++c b a

，2432≤z a

由.3

8102

≤≤≤a z 知 （12分）

又易知当m x x x x f ++-=2

343

8)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为.38 （16分）

10.

解一：设线段AB 的中点为M (x 0,y 0)，则 x 0=

221x x +=2，y 0=2

2

1y y +， k AB =

.3

66

60

122122121212y y y y y y y x x y y =+=--=--

线段AB 的垂直平分线的方程是 y ?y 0=?

3

y (x ?2). （1） 易知x =5,y =0是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且 点C 坐标为(5,0). （5分） 由（1）知直线AB 的方程为 y ?y 0=

3

y (x ?2)，即 x =30y (y ?y 0)+2. （2）

（2）代入y 2=6x 得

y 2=2y 0(y ?y 0)+12，即 y 2?2y 0y +2y 02?12=0. （3） 依题意，y 1,y 2是方程（3）的两个实根，且y 1≠y 2，所以 ?=4y 02?4(2y 02?12)=?4y 02+48>0,

?23

221221)()(y y x x AB -+-=

2212

0))()3

(

1(y y y -+= []

2122120

4)()9

1(y y y y y -++=

))122(44)(9

1(2

02020--+=y y y

.)12)(9(3

22

020y y -+=

定点C （5,0）到线段AB 的距离 h =.9)0()25(2

0202y y CM +=-+-= （10分）

S ?ABC =2020209)12)(9(3

121y y y h AB +?-+=? )9)(224)(9(2

1312

02020y y y +-+=

3202020

)3

92249(2131y y y ++-++≤

.73

14

=

（15分） 当且仅当9+y 20=24?2y 2

0，即y 0=),75,3356(

5++±A ，)75,3

35

6(--B 或 )),75(,3356(

+-+A )75,3

35

6(+--B 时等号成立. 所以?ABC 面积的最大值为.73

14

（20分）

解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为(5,0). 设x 1=t 2

1，x 2=t 2

2，t 1>t 2，t 2

1+t 2

2=4，则 （5分）

S ?ABC =

16161

052122

212

1t t t t 的绝对值， （10分） S 2?ABC =2

22

2122

11))656665(2

1(t t t t

t t --+

=221221)5()(23

+-t t t t =)5)(5)(24(2

3

212121++-t t t t t t

,)314(233≤

S ?ABC ≤.73

14

（15分） 当且仅当,45)(2

22121221=++=-t t t t t t 且

即6571-=

t ，6

5

72+-=t ，),75,3356(++A )75,3356(--B 或

)),75(,3356(

+-+A )75,3

35

6(+--B 时等号成立. 所以?ABC 面积的最大值为.73

14

（20分） 11.

证明： 令f (x )=2x 3+5x ?2，则)('x f =6x 2+5>0，所以f (x )是严格递增的.又 f (0)=?2<0，43)21

(=f >0，故f (x )有唯一实数根).2

1

,0(∈r （5分） 所以 2r 3+5r ?2=0，

3152r

r

-= =r +r 4+r 7+r 10+···. 故数列a n =3n ?2(n =1,2,···)是满足题设要求的数列. （10分） 若存在两个不同的正整数数列............2121<<<<<<<

5

2

......321321=

+++=+++b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有

......321321+++=+++t t t s s s r r r r r r ，

这里s 1

......21211++=++

112

111111......121211=--<--=

++≤++<++--r r r r r s t s t ，矛盾.

故满足题设的数列是唯一的. （20分）

2010年全国高中数学联合竞赛

加试试题参考答案与评分标准 说明：

1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分。

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、

证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设

三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交

直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接 PQ ． 因为PK 2=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） =（PO 2?r 2）+（KO 2?r 2）， 同理 QK 2=（QO 2?r 2）+（KO 2?r 2）， 所以 PO 2?PK 2=QO 2?QK 2，

故 OK ⊥PQ ． (10分） 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是

.PM

AP

QN AQ = ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得

1=??QN

AQ

EA DE BD NB ②

1=??PM

AP

EA DE CD MC ③ 由①，②，③可得

,CD

MC

BD NB = （30分） 所以

DC

MD

BD ND =，故△DMN ∽ △DCB ，于是∠DMN =∠DCB ，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而A ,B ,D ,C 四点共圆. （40分）

注1：“PK 2=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使 得

PK ?KF =AK ?KE ， ④ 则P ，E ，F ，A 四点共圆，故

∠PFE =∠P AE =∠BCE ， 从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是

PK ?PF =PE ?PC ， ⑤ ⑤-④，得 PK 2=PE ?PC ?AK ?KE

=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．

二、

证明：记)(2n v 表示正整数n 所含的2的幂次。则当m =v 2(k )+1时，f (m )(r )为整数． 下面我们对v 2(k )=v 用数学归纳法．

当v =0时，k 为奇数，k +1为偶数，此时f (r )=)1(212121+??

?

??+=??????+??? ??+k k k k 为整数．（10分） 假设命题对v ?1(v ≥1)成立．

对于v ≥1，设k 的二进制表示具有形式 +?+?+=++++2211222v v v v v k αα…，

这里，i α=0或者1，i =v +1，v +2,…． （20分） 于是 f (r )=)1(212121+??

?

??+=??????+??? ??

+k k k k k k k

+++=

2221 ...2...2)(2)1(221212111+++?++?+++=++++-v

v v v v v v ααα

,2

1

'+=k ①

这里...2...2)(2)1(2

'212111

+++?++?++=++++-v v v v v v v k ααα．显然'k 中所含的2的幂次

为1-v ．故由归纳假设知，2

1''+

=k r 经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，)()1(r f v +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分）

三、

证明：由10≤

k a

k

i i

<<

∑=1

0，k n a

n

k i i

-≤<

∑+=1

0. （10分）

注意到当0,>y x 时，有},max{y x y x <-，于是对11-≤≤n k ，有

∑∑+==+??? ??-=-n k i i k

i i k n a n a k n A A 11

111

∑∑=+=??? ??--=k

i i n k i i a n k a n 1

1111 ?

??

??? ??-???<∑∑=+=k i i n k i i a n k a n 1111,1m a x

?

?????

??--???≤k n k k n n 11),(1max n

k

-

=1 （30分） 故

∑∑∑===-=-n

k k n n

k k

n k k A nA A

a 1

1

1

∑∑-=-=-≤-=

1

1

1

1

)(n k k n n k k n

A A A A

2

1

11

1

-=??

?

??-<

∑-=n n k n k （50分）

四、

解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点A 1上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点A 2，A 3，…，A n 上的设置．为了使得最终回到A 1时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）

设标有a 的边有2i 条，0≤i ≤??????2

n ，标有b 的边有2j 条，0≤j ≤??

?

?

??-22i n ．选取2i 条边标记a 的有i n

C 2种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有j

i n C 22-种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有i n C 2j i n C 22-种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为

∑∑??

????=?

??

???-=-????

? ??202202224n i i n j j

i n i n C C ． ①

这里我们约定0

0C =1． （30分）

当n 为奇数时，n ?2i >0，此时

12220

222--??

?

???-=-=∑i n i n j j

i

n C

． ②

代入①式中，得

∑∑∑∑?

??

???=-??????=--??

????=??????-=-==????

? ??20222n 0i 12220220222)2(2)2

(44n i i

n i n i n i n n i i n j j i n i n C C C C +=

∑=-n

k k

n k n

C

2

n n k n

k k

n k n C )12()12()1(20

-++=-∑=- =3n +1． （40分） 当n 为偶数时，若i <

2n ，则②式仍然成立；若i =2

n

，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为

=????? ??∑∑??

????=???

???-=-202202224n i i n j j i n i n C C ????? ??+?∑-??????=--120122)2(14n i i n i n C 33)2(4220

1

22+=+=∑??

?

???=--n n i i n i n C ．

综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有3n +1种；当n 为偶数时有3n +3种． （50分）