2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 概率和统计

概率和统计

一．基础题组

1. 【2014课标Ⅰ，理5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

2. 【2013课标全国Ⅰ，理3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样 【答案】C

【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．

3. 【2011全国新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A ．

B ．

C ．

D ．

8183858

71

3

1

2

23

3

4

4. 【2012全国，理15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502

)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．

【答案】

5. 【2014课标Ⅰ，理18】

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似

为样本平均数，近似为样本方差.

（i ）利用该正态分布，求；

3

8

2

s Z ()

2

,N μσμ2σ2

s ()187.8212.2P Z <<

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i ）的结果，求.

若则，

。

【答案】（I ）；（II ）（i ）；（ii ）．

（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知

，所以．

6. 【2011全国新课标，理19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明

质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A 配方的频数分布表

(2)(理)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为

X ()187.8,212.2EX 12.2≈()

2

~,Z N μσ()0.6826P Z μσμσ-<<+=()220.9544P Z μσμσ-<<+=200,1500.682668.26()187.8,212.20.6826(100,0.6826)X B 1000.682668.26EX =?=

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 【解析】：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.

(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90，94)，94，102)，102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为

X 的数学期望E (X )＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.

7. 【2011全国，理18】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2) X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．

2,942,941024,102t y t t -

=≤≤??≥?

228

0.3100

+=3210

0.42100

+=

8. 【2010新课标，理19】（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

K2＝

2

n(ad bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

－

9. 【2009全国卷Ⅰ，理19】

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.

（Ⅰ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望. 【解析】：记A i表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5.

B j表示事件：第j局乙获胜，j=3,4.

（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.

由于各局比赛结果相互独立，所以

P（ξ=2)=P（A3·A4+B3·B4）=P（A3·A4）+P（B3·B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（B4）=0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52.

P（ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-0.52=0.48.