中考初三数学冲刺拔高专题训练.doc

中考数学冲刺拔高

专题训练

目录

专题提升 ( 一)数形结合与实数的运算 (1)

专题提升 ( 二)代数式的化简与求值 (5)

专题提升 ( 三)数式规律型问题 (9)

专题提升 ( 四)整式方程(组)的应用 (15)

专题提升 ( 五)一次函数的图象与性质的应用 (22)

专题提升 ( 六)一次函数与反比例函数的综合 (30)

专题提升 ( 七)二次函数的图象和性质的综合运用 (40)

专题提升 ( 八)二次函数在实际生活中的应用 (47)

专题提升 ( 九)以全等为背景的计算与证明 (53)

专题提升 ( 十)以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (58)

专题提升 ( 十一 )以平行四边形为背景的计算与证明 (66)

专题提升 ( 十二 )与圆的切线有关的计算与证明 (74)

专题提升 ( 十三 )以圆为背景的相似三角形的计算与 (79)

专题提升 ( 十四 )利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (87)

专题提升 ( 十五 )巧用旋转进行证明与计算 (93)

专题提升 ( 十六 )统计与概率的综合运用 (99)

专题提升 ( 一) 数形结合与实数的运算

类型之一 数轴与实数

【经典母题】

如图

Z － ，通过画边长为 1 的正方形的边长，就能准确地把 和－ 表示在数

1 1

2 2

轴上．

Z1－1

【思想方法】 (1) 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；

数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行

实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．

【中考变形】

． [2017 ·北市区一模 ] 如图 － ，矩形 ABCD 的边 AD 长为 2 ，AB 长为 ，点 A 在

数 1 Z1 2

1 轴上对应的数是－ 1，以 A 点为圆心，对角线 AC 长为半径画弧，交数轴于点 E ，则

这个点 E 表示的实数是

( C )

Z1－2

＋1

－1

D ．1－ 5

【解析】 ∵ AD 长为

，CD 长为 ，∴AC ＝ 2＋ 1 2＝ 5 ，∵ A 点表示－ ，∴E 点表

2 1 2

1

示的数为 5－1.

2．[2016 ·娄底 ] 已知点 M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图

Z1－3，则其中对应的数的

绝对值最大的点是

( D )

Z1－3 A ． M ．N

． P ．Q B

C

D

． [2016 ·天津 实数 a ，b 在数轴上的对应点的位置如图 － 所示，把－ a ，－b ，

3 ]

Z1 4 0

按照从小到大的顺序排列，正确的是

(C )

Z1－4

A ．－ a ＜0＜－ b

B ． 0＜－ a ＜－ b

C ．－ b ＜0＜－ a

D ． 0＜－ b ＜－ a

【解析】 ∵从数轴可知 a ＜0＜b ，∴－ b ＜0，－ a ＞ 0，∴－ b ＜0＜－ a.

4．[2017 ·余姚模拟 ] 如图 Z1－5，数轴上的点 A ，B ，C ，D ，E 表示连续的五个整数，

若点 A ，E 表示的数分别为 x ，y ，且 x ＋y ＝2，则点 C 表示的数为 ( B )

Z1－5

A ． 0

B ．1

C ． 2

D ．3

【解析】 根据题意，知 y － x ＝ 4，即 y ＝x ＋4，将 y ＝ x ＋ 4 代入 x ＋ y ＝ 2，得 x ＋x

＋4＝2，解得 x

＝－ ，则点 A 表示的数为－ ，则点 C 表示的数为－ ＋ ＝ 1 1

1 2 1. 5．如图 Z1－ 6，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为

( － ， 3) ，以点 O 为圆心，以 OP

2

为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 A ，则点 A 的横坐标介于 (A )

图 Z1－6

A ．－ 4 和－ 3 之间

B ． 3 和 4 之间

C ．－ 5 和－ 4 之间

D ． 4 和 5 之间 【解析】 ∵点 P 的坐标为 ( － ， 3) ，

2

∴OP ＝ 22 ＋32＝ 13.

∵点 A ， P 均在以点 O 为圆心，以 OP 为半径的圆上，

∴OA ＝ OP ＝

13，

∵9＜13＜ 16，∴ 3＜ 13＜4.

∵点 A 在 x 轴的负半轴上，

∴点 A 的横坐标介于－ 4 和－ 3 之间．故选 A.

6．[2017 ·成都改编 ] 如图 Z1－7，数轴上点 A 表示的实数是 __－ 2__．

Z1－7

【中考预测】

如图 Z1－8，数轴上的点 A，B 分别对应实数 a，b，下列结论中正确的是 ( C )

Z1－8

A．a＞ b ． a ＞b

B | | | |

C．－ a＜b D．a＋b＜0

【解析】由图知，a＜0＜b且| a|＜| b|，∴ a＋b＞0，即－a＜b，故选C.

类型之二实数的混合运算

【经典母题】

计算： 2× (3 ＋5) ＋4－2× 5.

解：2×(3 ＋5) ＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝

10.

【中考变形】

1

＋2－1.

1．[2016 ·台州 ] 计算： 4－ － 2

解：原式＝ 2－1＋1

＝2.

2 2

1 － 1

2．[2017 ·临沂 ] 计算： |1 － 2| ＋2cos45°－ 8＋ 2

.

1 －1

2

解： |1 － 2| ＋2cos45°－ 8＋ 2 ＝ 2－1＋2× 2 －2 2＋2＝ 2－ 1＋ 2－

2 2＋2＝1.

3．[2017 ·泸州 ] 计算： ( －3) 2＋ 2 017 0－ 18×sin45 °.

2

2

解： ( －3) ＋2 017 － 18×sin45 °＝ 9＋ 1－ 3 2× 2 ＝10－ 3＝ 7. 【中考预测】

1 － 1

计算： 12－3tan30 °＋ ( π－ 4) － 2

.

1 －1

3

解： 12－3tan30 °＋ ( π－ 4) － 2 ＝2 3－3× 3 ＋1－2＝ 3－1.

专题提升 ( 二 )

代数式的化简与求值

类型之一 整式的化简与求值

【经典母题】

已知 x ＋ y ＝ 3， xy ＝1，你能求出 x 2 ＋y 2 的值吗 ( x －y) 2 呢解： x 2＋ y 2＝( x ＋ y) 2－ 2xy ＝32－2×1＝ 7； ( x －y) 2＝( x ＋y) 2－4xy ＝32－4×1＝ 5.

【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一

元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热

点考题．

完全平方公式的一些主要变形有： ( a ＋b) 2 ＋( a － b) 2＝2( a 2 ＋b 2) ，( a ＋ b) 2－( a －b) 2

＝4ab ，a 2＋ b 2＝( a ＋ b) 2－ 2ab ＝( a － b) 2＋2ab ，在四个量 a ＋b ，a －b ，ab 和 a 2＋ b 2

中，知道其中任意的两个量，能求出 ( 整体代换 ) 其余的两个量．

【中考变形】

m n 2 m n 2 2 2

＝8，( ＝2，则 m ＋ n

的值为

(C )

1．已知 ( － ) ＋ )

A ． 10

B ．6

C ．5

D ．3

1

2 1

．已知实数 a 满足 a － ＝ ，则 a ＋ 2的值为

__11__.

2

a 3

a

【解析】 将

1

2

1

2

1

a － ＝

3 两边平方，可得 a － ＋ 2＝ ，即 a

＋ 2＝

11.

a

2

a

9

a

3．[2017 ·重庆 B 卷] 计算： ( x ＋y) 2－x(2 y －x) ．

解：原式＝ x 2＋ xy ＋y 2－ xy ＋ x 2

＝

x 2＋ y 2 . 2 2

2

4．[2016 ·漳州

] 先化简 ( a ＋ 1)( a － 1) ＋a

－ a － a ，再根据化简结果， 你发现该代数

(1

)

式的值与 a 的取值有什么关系 ( 不必说明理由 )

解：原式＝ a 2－ 1＋ a － a 2－a ＝－ 1.

故该代数式的值与 a 的取值没有关系．

【中考预测】

先化简，再求值： a －b 2 ＋a b －a

1 (

，其中 a ＝－ ，

)

(2 ) 2

b ＝ 3.

解：原式＝ a 2－ 2ab ＋b 2＋2ab － a 2 ＝b 2.

1

2

当 a ＝－ 2， b ＝ 3 时，原式＝ 3 ＝ 9. 类型之二

分式的化简与求值

【经典母题】

a b a 2 ＋b 2

计算： (1) b － a － ab ；

3x

x

x 2－4

(2)

x －2－x ＋2

· x

.

a 2－

b 2 a 2＋b 2 － b 2 2

b

解： (1) － ab 2

原式＝ ab

＝ ab ＝－ a ；

(2) 原式＝ 3x （x ＋2）－ x （ x － 2） x 2 －4 2x 2＋8x x 2 －4

＝2x ＋ 8.

（ x － ）（ x ＋ ） · x ＝

x 2

－ · x

2 2 4

【思想方法】

(1) 进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具

体情况及时化简，以简化运算过程；

注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；

分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母

而约分化简；

要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．

【中考变形】

3

a 2－ a ＋

1

＋a －2 ÷

2

1．[2017 ·重庆 A 卷] 计算： a ＋

a ＋ 2 .

2

a 2 －4 （a －1） 2

解：原式＝ a ＋2＋ a ＋2 ÷

a ＋2

（ a ＋ ）（ a － ） a ＋ 2 a ＋ 1

1 1

＝

a ＋2 ·（a －1）2

＝

a －1

2

x 2 －1

2．[2017 ·攀枝花 ] 先化简，再求值：

1－

x ＋1 ÷ x 2 ＋x ，其中 x ＝ 2.

x ＋ －

2 x （ x ＋ ）

解：原式＝ 1

1

x ＋

1 ·

（ x ＋ ）（ x － ）

1

1

x －1 x （x ＋1）

x

＝

x ＋ ·

（x ＋ ）（ x － ） ＝

x ＋

.

1

1

1 1

2

x ＝2 时，原式＝ 2＋1＝3.

【中考预测】

2

x ＋ 3

1

x 2－ x ＋ 1 2

先化简，再求值： x

－4 2－ 2 ＋ ，其中 x ＝ 4. x － 3 －

－ x x x 2 －

x － 2 3 3

x

2

－4x ＋3 1 （ － ）2 2

解：原式＝ x － ＋x － x 1 x － ）－

x － 3 3

（ x － ）（

2

1 2

（x － ）2 x － 1 2 （x － ）2

x － 3

2 2

＝ x － 3 · x － 2－ x －2 ＝ x －3 ·

x － 2

＝ x － 2. 当 x ＝ 4 时，原式＝ x － ＝ 2. 2

类型之三 二次根式的化简与求值 【经典母题】

已知 a ＝ ＋ ， b ＝ － ，求 a 2－ ab ＋b 2 的值．

3 2 3 2 解：∵ a ＝ ＋ ， b ＝ － ，∴ a ＋b ＝ 2 ， ab ＝ ，

3 2 3 2 3 1

∴ a 2－ab ＋b 2＝ a ＋b 2 － ab ＝ (2 3) 2

－ ＝ 9. ( ) 3 3

【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把

a ＋

b ，a － b ，ab

当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变

简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的

数学思想方法之一．

【中考变形】

．已知 m ＝ ＋ ，n ＝ － ，则代数式 2 2

1 m ＋n － mn 的值为

(C )

12 1 2

3

A ． 9

B ．± 3

C ． 3

D ．5

a 2 － a

b ＋b 2

1 1

．

[2016 ·仁寿二模

]

2

，其中 a ＝

b ＝

2

先化简，再求值：2

÷－2

a －

b a b

2＋1，

1.

（a －b ）2

b －a a －b ab ab 解：原式＝ （ a ＋ b ）（ a －b ）÷ ab ＝a ＋b ·b －a

＝－ a ＋b ，

当 a ＝ ＋ ，b ＝

－ 时，原式＝－ 1 ＝－ 2

2 1 2 1

2 2 4 .

3．[2017 ·绵阳 ] 先化简，再求值：

x －y

x

y

y ，其中 x ＝2 2，y

x 2－2xy ＋ y 2 －x 2－2xy

÷

x －

2

＝ 2.

x －y x

y

解：原式＝ （

x －y ）2 －x （ x － y ） ÷ x － y

2

2

1

x － y － x － 2y ÷ x － 2y y

＝

（x －2y ）－（ x －y ） y

y

（ x － y ）（ x － y ）

÷

x －

2

2

－ y

x － y

1

＝

x －y

y ）

·

y

2

（ ）（ x －

＝－

x －y

.

2

当 x ＝

2 ，y ＝

时，原式＝－ 1 ＝－ 1

＝－ 2 2

2

x － y

2

2

.

【中考预测】

1 1

b

＋

1

－ 1

5

5 先化简，再求值： a ＋b ＋b ＋a （a ＋b ），其中 a ＝

2 ，b ＝ 2 .

ab ＋a （a ＋b ）＋ b 2

（a ＋b ）2

a ＋b

解：原式＝

ab （a ＋b ）

＝ ab （a ＋b ）＝ ab ，

a ＋

b ＝ 5＋1 5－1 ，ab ＝ 5－ 1 5＋ 1

∵ 2

2

5

2 × 2 ＝ 1，

∴原式＝ 5.

专题提升 ( 三 )数式规律型问题

【典母】

察下列各式：

52＝25；

152＝225；

252＝625；

352＝1 225 ；

?

你能口算末位数是 5 的两位数的平方用完全平方公式明理由．

解：把末位数是 5 的自然数表示成10a＋5 的一般形式，其中 a 自然数，

(10 a＋5) 2＝100a2＋100a＋25＝100a( a＋1) ＋ 25，

因此在算末位数是 5 的自然数的平方，只要把100a 与 a＋1 相乘，并在的后面加上 25 即可得到果．

【思想方法】模型化思想和推理的思想在中考中用广泛，是点考之一．【中考形】

1．小明在做数学，下面有趣的果：

3－ 2＝ 1；

8＋ 7－ 6－ 5＝ 4；

15＋14＋13－ 12－11－10＝ 9；

24＋23＋22＋ 21－20－19－ 18－17＝ 16；

?

根据以上律可知第10 行左起第 1 个数是( C ) A． 100 B．121 C．120 D ．82

【解析】根据律可知第10 行等式的右是102＝ 100，等式左有 20 个数加减．∵

20 个数是 120＋ 119＋118＋?＋ 111－110－109－ 108－?－ 102－101，∴左起第

1 个数是 120.

2．[2016 ·邵阳 ] 如 Z3－1，下列各三角形中的三个数之均具有相同的律，根据此律，最后一个三角形中y 与 n 之的关系是( B )

Z3－1

A ． y ＝ 2n ＋1

B ．y ＝2n ＋ n

C ． y ＝ 2n ＋1＋n

D ．y ＝2n ＋ n ＋1

【解析】 ∵ 察可知：左 三角形的数字 律 1，2，?，n ，右 三角形的数字 律 21，22?， 2n ，下 三角形的数字 律

1＋ 2，2＋ 22，?，n ＋2n ，∴最后一

个三角形中 y 与 n 之 的关系 y ＝ n ＋ n

2.

3．[2018 ·中考 ] 根据 Z3－2 中箭 的指向 律，从 2 017 到 2 018 再到 2 019，

箭 的方向是下列 中的

(D )

Z3－2

【解析】

由 可知，每 4 个数 一个循 依次循 ，

2 017 ÷4＝504?? 1，

∴2 017 是第 505 个循 的第 2 个数，

∴从 2 017 到 2 018 再到 2 019 ，箭 的方向是 .

故 D.

4．挑游 棒是一种好玩的游 ，游 ：当一根棒条没有被其他棒条 着 ，就可

以把它往上拿走．如 Z3－3 中，按照 一 ，第 1 次 拿走⑨号棒，第 2 次 拿走⑤号棒，? 第 6 次 拿走

( D )

A ．②号棒

B ．⑦号棒

Z3－ 3

C ．⑧号棒

D ．⑩号棒

【解析】 仔 察 形，第 1 次 拿走⑨号棒，第 2 次 拿走⑤号棒，第 3 次 拿走⑥号棒，第 4 次 拿走②号棒，第 5 次 拿走⑧号棒，第 6 次 拿走⑩号棒．

5．[2017 ·烟台 ] 用棋子 出下列一 形 ( 如 Z3－ 4) ：

Z3－4

按照 种 律 下去，第

n 个 形用的棋子个数

( D )

A ． 3n

B ．6n

n ＋ 6 ＋

3

C ． 3

【解析】 ∵第 1 个 需棋子 3＋ 3＝ 6；第 2 个 需棋子 3×2＋ 3＝9；第 3 个 需

棋子 3×3＋ 3＝ 12；?∴第 n 个 需棋子 (3 n ＋3) 个．

6．古希腊数学家把数 1，3， 6， 10，15，21，?叫做三角形数，其中 1 是第 1 个三角 形数， 3 是第 2 个三角形数， 6 是第 3 个三角形数，?以此 推，那么第

9 个三角

形数是 __45__，2 016 是第 __63__个三角形数．

【解析】 根据所 的数据 ：第 n 个三角形数是 ＋ ＋ ＋?＋ n ， 第 9 个三

1 2 3

角形数是 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由 1＋2＋3＋4＋?＋ n ＝

n （ n ＋ ）

2 016 ，得 1

＝2 016 ，解得 n ＝63( 数舍去 ) ．

2

7．操 上站成一排的

100 名学生 行 数游 ， 是：每位同学依次 自己的 序

数的倒数加

1. 如：第 1 位同学 1

＋1

，第 2 位同学 1

＋ 1 ，第 3 位同学

1 2

1

3＋ 1 ，? 得到的

100 个数的 __101__.

1

2

1 3

【解析】

∵第 1 位同学 的数 1＋1＝1，第 2 位同学 的数 2＋ 1＝ 2，第 3 位

4

同学 的数 3＋ 1＝ 3，?

101

∴第 100 位同学 的数 100＋ 1＝100，

2 3 4

101

∴ 得到的 100 个数的 ＝ 1×2×

3×?× 100＝ 101.

8．[201 7· 坊 ] 如 Z3－ 5，自左至右，第 1 个 由 1

个正六 形、 6 个正方形和 6

个等 三角形 成；第 2 个 由 2 个正六 形、 11 个正方形和 10 个等 三角形 成；第 3 个 由 3 个正六 形、 16 个正方形和 14 个等 三角形 成；?按照此

律，第 n 个 中正方形和等 三角形的个数之和

n ＋ ．

__9 3__

Z3－5

【解析】 ∵第 1 个 由 1 个正六 形、 6 个正方形和 6 个等 三角形 成， ∴正方形和等 三角形的和＝ 6＋6＝12＝9＋3；∵第 2 个 由 11 个正方形和 10 个等 三角形 成，∴正方形和等 三角形的和＝ 11＋10＝ 21＝9×2＋ 3；∵第 3 个 由 16 个正方形和 14个等 三角形 成， ∴正方形和等 三角形的和＝ 16＋14＝30＝9×3＋3，?∴第 n 个 中正方形和等 三角形的个数之和＝ 9n ＋ 3.

9． 察下列等式：

第一个等式： a 1 ＝

1 ＝ 2－1；

1＋ 2

第二个等式： a 2 ＝

1 ＝ 3 － ；

2＋ 3

2

第三个等式：

a 3 ＝

1 ＝ －

；

2

3

3＋2

第四个等式： a 4 ＝

1 ＝ － ；

2＋ 5

5 2

?

按上述 律，回答以下 ：

(1) 用含 n 的代数式表示第 n 个等式： a n ＝

1 ；

＝ n ＋1－ n

n ＋ n ＋1

(2) a 1 ＋a 2＋a 3＋?＋ a n ＝ __ n ＋ － 1__

1

【解析】

a 1 ＋a 2＋a 3＋?＋ a n ＝ ( 2－1) ＋( 3－ 2) ＋(2 － 3) ＋ ( 5－2) ＋?＋

( n ＋1－ n) ＝ n ＋1－1.

10．[2016 ·山西 ] 如 Z3－6 是一 有 律的 案，它 是由 相同的小正方形

成，其中部分小正方形涂有阴影，依此 律，第 n 个 案中有 n ＋ 个涂有阴

__4 1__ 影的小正方形 ( 用含有 n 的代数式表示 ) ．

Z3－6

【解析】 由 可知，涂有阴影的小正方形有

5＋ 4( n － 1) ＝ n ＋ 1( 个 ． 4 )

11．如 Z3－7 是用 度相等的小棒按一定 律 成的一 案，第

1 个 案中有 6

根小棒，第 2 个案中有 11 根小棒，?第 n 个案中有 __5n＋1__根小棒．

Z3－7

【解析】∵第 1 个案中有 6 根小棒，第 2 个案中有 6＋5×1＝ 11 根小棒，第 3

个案中有 6＋5×2＝ 16 根小棒，?∴第n 个案中有＋

5(

n－

1)

＝ n＋

1

根小棒．

6 5

12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永也取不完，如Z3－ 8 所示．

1 1 1 1 1

由易得2＋22＋23＋?＋2n＝__1－2n__.

Z3－8

13．[2016 ·安徽 ](1) 察 Z3－9 中的形与等式的关系，并填空：

Z3－9

【解析】 1 ＋ 3＋5＋ 7＝16＝ 42，察，律： 1＋3＝22， 1＋ 3＋ 5＝ 32，1＋3＋5＋7＝42，?∴ 1＋3＋5＋?＋ (2 n－1) ＝n2.

察 Z3－ 10，根据 (1) 中，算中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空：

Z3－ 10

1＋ 3＋ 5＋?＋ (2 n－ 1) ＋__2n＋1__＋(2 n－ 1) ＋?＋ 5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．【解析】察形：中黑球可分三部分， 1 到 n 行，第 n＋1 行，n＋2 行

2n＋1 行，即 1＋3＋5＋?＋ (2 n－1) ＋[2( n＋1) －1] ＋ (2 n－1) ＋?＋ 5＋3＋1

＝1＋3＋5＋?＋ (2 n－1) ＋ (2 n＋1) ＋(2 n－ 1) ＋?＋ 5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋ n2＝2n2＋2n＋ 1.

【中考】

一种方形餐桌的四周可坐 6 人用餐，把若干的餐桌按如 Z3－11 方式行拼接．

若把 4 、 8 的餐桌拼接起来，四周分可坐多少人

若用餐的人数有 90 人，的餐桌需要多少

图 Z3－ 11

解： (1) 把 4 张餐桌拼起来能坐4×4＋ 2＝ 18( 人) ；把 8 张餐桌拼起来能坐4×8＋ 2＝34( 人) ；

设这样的餐桌需要 x 张，由题意，得 4x＋ 2＝ 90，解得 x＝ 22.

答：这样的餐桌需要22 张．

专题提升 ( 四 )整式方程(组)的应用

类型之一一元一次方程的应用

【经典母题】

汽车队运送一批货物．若每辆车装 4 t ，还剩下 8 t未装；若每辆车装t ，恰好装完．这个车队有多少辆车

解：设这个车队有x 辆车，依题意，得

4x＋8＝，解得 x＝ 16.

答：这个车队有16 辆车．

【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式 ( 组) 等的基础，是课标要求，也是热门考点．

【中考变形】

1．学校机房今年和去年共购置了100 台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的 3 倍，今年购置计算机的数量是(C )

A． 25 台B．50 台

C． 75 台D．100 台

【解析】设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100 －x) 台，根据题意可得 x＝3(100 － x) ，解得 x＝75.

2．[2016 ·盐城校级期中 ] 小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、 2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45 元，上月买同重量的这两种菜只要

36 元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明

说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少

请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价( 单位：元 / 斤) ．

x

解：设上月萝卜的单价是x 元/ 斤，则排骨的单价36－ 3 元/ 斤，根据题意，得 3(1

2

x＋＋36－ 3 ，

2(1 20%) ＝

＋50%) 2 45

x＝，则x 36 －×2

解得 2 2 ＝ 2 ＝15.

∴这天萝卜的单价是 (1 ＋50%) ×2＝ 3( 元 / 斤 ) ，

这天排骨的单价是 (1 ＋20%) ×15＝ 18( 元 / 斤 ) ．

答：这天萝卜的单价是 3 元 / 斤，排骨的单价是 18 元/ 斤．

【中考预测】

[2016 ·株洲模拟 ] 根据如图 Z4－ 1 的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．

Z4－1

解：设笔的价格为 x 元/ 支，则笔记本的价格为 3x 元/ 本，由题意，得 10x ＋5×3x ＝ 30，解得 x ＝，∴ 3x ＝.

答：笔的价格为元 / 支，笔记本的价格为元 / 本．

类型之二 二元一次方程组的应用

【经典母题】

用如图 Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式

两种无盖纸盒．现在仓库里有 1 000 张正方形纸板和 2 000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完

图 Z4－2

解：设做竖式纸盒 x 个，横式纸盒 y 个，可恰好将库存的纸板用完．

4x

＋3y ＝ 2 000 ， x ＝200，

根据题意，得 x ＋ y ＝ 1 000 ， 解得 y ＝ 400.

2

答：竖式纸盒做 200 个，横式纸盒做 400 个，恰好将库存的纸板用完．

【思想方法】

利用方程 ( 组) 解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合

思想．

【中考变形】

1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封

时发现：若将信纸按图 Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰

cm ；

若将信纸按图②三等分折叠后， 同样方法装入时宽绰 cm. 试求出信纸的纸长与信封

的口宽．

①

②

Z4－3

解：设信纸的纸长为 x cm，信封口的宽为 y cm.

x

y＝4＋，x＝，

由题意，得解得

x y＝11.

y＝3＋，

答：信纸的纸长为 cm，信封的口宽为 11 cm.

2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10 间教室，进出这栋教学楼共有 4 个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对 4 个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时， 2 min 内可以通过560 名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时， 4 min 内可以通过 800 名学生．

?ā?ā?ā?

平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生

?ā?ā?ā?查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低 20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在 5 min 内通过这 4 个门安全撤离，假设这栋教

学大楼每间教室最多有45 名学生，问：该教学楼建造的这 4 个门是否符合安全规定请说明理由．

解：(1) 设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得

2x ＋4y＝560，x＝120，

x ＋ y＝，解得y＝

4 4 800

80.

答：一个正门平均每分钟通过120 名学生，一个侧门平均每分钟通过80 名学生；

由题意得共有学生 45×10×4＝ 1 800( 人) ，

45

学生通过的时间为 1 800 ÷[(120 ＋80) ×× 2] ＝8 (min) ．

45

∵5＜8，∴该教学楼建造的这 4 个门不符合安全规定．

【中考预测】

随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方

式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 p 元 /km 计算，耗时费按 q 元/min 计算 ( 总费用不足 9 元按 9 元计价 ) ．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：

速度 y(km/h) 里程数 s(km) 车费 ( 元 )

小明60 8 12

小刚50 10 16

求 p，q 的值；

如果小华也用该打车方式，车速 55 km/h，行驶了 11 km，那么小华的打车总费用为多少

解：(1) 小明的里程数是 8 km，时间为 8 min；小刚的里程数为 10 km，时间为 12 min.

p＝，

8p＋8q＝12， 1

1

由题意得p＋q＝，解得

10 12 16 q＝；

2

小华的里程数是 11 km，时间为 12 min.

则总费用是 11p＋12q＝17( 元 ) ．

类型之三一元二次方程的应用

【经典母题】

某租赁公司拥有汽车100 辆，据统计，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50 元，未租出的车将会增加 1 辆．租出的车每辆每月需要维护费为 150 元，未租出的车每辆每月只需要维护费50 元．

当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆

当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益( 租金收入扣除维护费 ) 可达到 306 600 元

解： (1)100 －3 600 －3 000

＝88( 辆) ．

50

答：当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出88 辆．

设每辆车的月租金定为 (3 000 ＋x) 元，则

x x

100－ 50 [(3 000 ＋x) －150] －50× 50＝306 600 ，

解得 x1＝900，x2＝ 1 200 ，

∴3 000 ＋ 900＝3 900( 元) ，3 000 ＋ 1 200 ＝4 200( 元 ) ．

答：当每辆车的月租金为 3 900 元或 4 200 元时，月收益可达到306 600 元．

【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护

费－未租出去车辆的维护费．

【中考变形】

1．[2017 ·眉山 ] 东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为 6 个档次，第一档次 ( 即最低档次 ) 的产品每天生产76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，

该产品每件利润增加 2 元．

若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品；

(2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若生产

的某档次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品

解： (1) 设此批次蛋糕属第 a 档次产品，则 10＋2( a－1) ＝14，解得 a＝3.

答：此批次蛋糕属第 3 档次产品．

14－10

或：∵＋ 1＝3，∴此批蛋糕属第 3档次产品 .

2