九年级数学竞赛讲座圆的基本性质附答案

【例题求解】

【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ．

作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．

注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结

合起来．

圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．

【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )

A ．2

B ．2

5 C ．45 D ．16175

思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．

【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．

思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．

【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线

CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ．

(1)求∠COA 和∠FDM 的度数；

(2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．

思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=

21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

初中数学竞赛讲座之数论初步(一)

初中数学竞赛讲座之数论初步(一) 整数的整除性 定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N

②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N ⑧．13||41n n a a a -－a a a |?13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a ∴ 11|a ＋c ＋d －b －a 即11|c ＋3 ∴ c ＝8 1≤a ≤9，且a ∈Z 2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值. 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|b 673 a ，且9| b 673a ∴ 8|b 73 ? b ＝6 且 9|a ＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a ＝5 3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ，

八年级数学竞赛讲座三角形的有关概念

八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念 一、知识结构： 1、三角形的定义； 2、三角形的角平分线、中线、高； 3、三角形的三边之间的关系； 4、三角形的内角和定理及其推论； 5、同一个三角形中边与角之间的关系； 6、三角形的分类； 二、典型例题： 1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2 c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2 2 2 ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ） A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是（ ） A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60° B ．在△AB C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形； C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180° D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多； 5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长； 6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数； 7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？ 8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数； A B D F C

初三数学竞赛试题及答案解析

（第7题图） B C D G F E （第5题图） 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） A 、36 B 、37 C 、55 D 、90 2、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A 、5- B 、5 C 、9- D 、9 3、ABC Rt ?的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。若斜边上的高为h ，则（ ） A 、1 h B 、1=h C 、21 h D 、2 h 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出 其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） A 、2004 B 、2005 C 、2006 D 、2007 5、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若 QO QP =，则 QA QC 的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+ 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） 6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ． 7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，

初中数学竞赛讲座6

第六讲整式的运算 吴忠市第一中学韩瑞峰 一、知识要点 1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式； 2、整式的加减：合并同类项； 3、整式的乘除： （1）记号f(x)，f(a)； （2）多项式长除法； （3）余数定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a)； （4）因数定理：(x-a)|f(x)?f(a)=0。 二、例题示范 1、整式的加减 例1、已知单项式0.25x b y c与单项式-0.125x m-1y2n-1的和为0.625ax n y m，求abc的值。 提示：只有同类项才能合并为一个单项式。 例2、已知A=3x2n-8x n+ax n+1-bx n-1，B=2x n+1-ax n-3x2n+2bx n-1，A-B中x n+1项的系数为3，x n-1项的系数为-12，求3A-2B。 例3、已知a-b=5，ab=-1，求(2a+3b-2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b-2a)的值。 提示：先化简，再求值。 例4、化简：x-2x+3x-4x+5x-…+2001x-2002x。 例5、已知x=2002，化简|4x2-5x+9|-4|x2+2x+2|+3x+7。 提示：先去掉绝对值，再化简求值。 例6、5个数-1, -2, -3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。 例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。 （1）写出第五年的预计产鱼量；

九年级数学竞赛讲座锐角三角函数附答案

【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约

八年级数学竞赛讲座四边形

八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-

八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°；

6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C

九年级数学(上)竞赛试题及答案

九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图

【重磅】初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？

提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点

九年级数学竞赛讲座讲直线与圆附答案

注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点． 【例题求解】 【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为． 思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三 角形，先求出⊙O的半径． 注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用． 【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( ) A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50° (山西省中考题) 思路点拨略 【例3】如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是

⊙O 的切线． 问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； (2)如果AB=AC=5cm ，sinA=5 3，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切? (2001年黑龙江省中考题) 【例4】 如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长； (2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题) 思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围． 注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手； (2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径． 一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；

新课标八年级数学竞赛讲座：第七讲 二次根式的运算

第七讲 二次根式的运算 式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (≥0)； (2)ab b a =? (0,0≥≥b a )； (3) b a b a = (0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念． 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542 4 52 22+-----= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数； (2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性． 著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题． 【例2】 化简2 2 ) 1(111++ + n n ，所得的结果为（ ） A ．1111++ + n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1 1 11+--n n (武汉市选拔赛试题) 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式． 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．

初三数学百题竞赛试题及答案

初三数学百题竞赛试题 一、选择题（每小题2分） 1. 已知,5252 a b = =-+，则227a b ++的值为( ) （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．下列计算正确的是（ ） A ．2 4 6 x x x += B ．235x y xy += C ．326 ()x x = D ．632 x x x ÷= 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形 4．已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 5．如果x ＝4是一元二次方程2 2 3a x x =-的一个根，则常数a 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±4 6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上一个动点（C 点不与A 、B 重合），CD ⊥AB ，AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB ?AC 相等的一定是（ ） A ． AE ?AD B ． AE ?ED C ．CF ?C D D ．CF ?FD 7．计算2 2-的结果是（ ） A ．4 B ．4- C ． 1 4 D ．14 - 8．下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） A ．2y x = - B ．2 y x = - C ．21y x =- D ．21 y x = -9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．377 10．如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10cm ，等腰三角形的高为30cm ，则此工件的侧面积是( )2 cm ． A ．π150 B ．π300 C ．10π D ．10010π O D A B C 正 视 图 左 视 图 俯 视 图

全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3)

全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（3） 例1：解方程084223=+--x x x 。 例2：解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3：解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4：解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5：解方程52222=??? ??++x x x 。 例6：解方程()()821344=-++y x 。 例7：解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ，其中a 是常数，且6-≥a 。 解答：（1）221==x x ，23-=x （2）28552,1±-=x 2554,3±-=x （3）32 1-=x 35 2-=x （4）23 ,32 ,21 ,24321====x x x x （5）2,121=-=x x （6）4,021-==x x （7）622,1+± =a x ，934,3+±=a x 。 练习： 1、填空： （1）方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 （2）方程0233=+-x x 的根为__________。 （3）方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 （4）方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 （5）方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。

-初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002

八年级数学竞赛讲座由中点想到什么附答案

第十八讲由中点想到什么 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是： 1．中线倍长； 2．作直角三角形斜边中线； 3．构造中位线； 4．构造中心对称全等三角形等． 熟悉以下基本图形，基本结论： 例题求解 【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件． 注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有： (1)利用直角三角斜边中线定理； (2)运用中位线定理； (3)倍长(或折半)法． 【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( ) A．AB=MN B．AB>MN C．AB

思路点拨 中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点． 【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ． (浙江省宁波市中考题) 思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线． 【例4】 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG= 21(AB+BC+AC)． 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)； (2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． (2003年黑龙江省中考题) 思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础． 注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．

九年级数学竞赛试题(附答案)

九年级数学测验二 满分：120分 时间：150分钟 一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1.实数x 、y 满足等式22 92|3|0x y xy x y xy -++-=，则x y -的取值范围为 。 2.关于x 的方程1 1 3267 a a x x a +=-++无解，则实数a 的可能取值有 。 3. 已知111Rt A B C ?的直角边长分别为1a 、1b ，斜边长为1x ，222Rt A B C ?的直角边长分别为2a 、2b ，斜边长为2x ；请以111Rt A B C ?与222Rt A B C ?的直角边长构造出Rt ABC ?的直角边： ，使得其斜边长为 12x x 4.在ABC ?中，P 为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立： 当 时，ABC ?为以BC 为底边的等腰三角形； 当 时，ABC ?为以AC 为底边的等腰三角形，且P 为它外接圆的圆心； 当 时，ABC ?为等边三角形。 5.在四边形ABCD 中，P 、Q 、R 、S 分别为AB 、BC 、CD 、DA 四边中点，记四边形ABCD 的对角线长度之和为 1l ，四边形PQRS 的对角线长度之和为2l ，令1 2 l k l = ，则k 的取值范围为 。 6.已知函数2 1y ax ax a =++-与直线0x ay a ++=只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。 7.给出三个关于x 的方程：2 2 2 20,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=， 若2 2 0a b ac bc -+-≠，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ； 若0abc ≠，则前两个方程均有实根的概率为 ； 若0ab >，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。 8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边 与最长边之比为 。 9.如图，给出反比例函数3 k y x =，这里1k >；在x 轴正半轴上依次排列 2010个点122010,,,A A A L ，点n A 的坐标为(,0)(1,2,,2010)n x n =L ， 1(1,2,,2009)n n x x d n +=+=L ，1(1)x d k =-；过点n A 作x 轴的垂线交反比例函数于点n P ，记12n n n P P P ++?的 面积为(1,2,,2008)n S n =L ，那么122008S S S +++=L 。 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10.若22221a ab b ++= ，那么a 、b （ ） A.一个为无理数、一个为有理数 B.均为分数 C 均为无限不循环小数 D.不是实数 11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ） A. 3 2 333k k k -+- B. 3 2 331k k k ++- C. 3 2 332k k k +-+ D. 3 2 332k k k -++ 12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5? ②30? ③36? ④45? A.4 B.3 C.2 D.1 13.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n 种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。 A. 180(2)n n -或180(1)1n n -+ B. 90n 或18021n + C. 180n 或360 21 n + D. 180(1)n n -或180(21)21n n -+ 14.如图，一开口向下的抛物线与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点Q （0，-3），其顶点为P ，若 ~PAB BAQ ??，则抛物线的方程为（ ） A. 2143 333y x x =- -- B. 2123363y x x =-- - C. 2323y x x =-- D. 2 343y x x =-- 15.如图，在半径为r 的O e 中，有内接矩形ABCD ，AB 中点E 与圆上逆时针排列的三点 F 、G 、H 构成边长为a 的菱形，若2GDH EFG ∠=∠，则DG 的长为（ ） A. 2242r a -2242r a + B. 242r ra -242r ra +C. 2 42ra a -2 42ra a + D. 22a r r -或2 2a r r + 16. 如图，在直角坐标系中，直线340x y a ++=与y 轴、反比例函数k y x =和x 轴 依次交于A 、B 、C 、D 四点，若2BC AB CD =+，且2AC BD ?=，则 a k =（ ）

初中数学竞赛竞赛讲座(数字、数位及数谜问题)

竞赛讲座(数字、数位及数谜问题) 一、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?--- 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=1 21a a a a n n - 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。 (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。 例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba 。由“新生数”的定义，得

【九年级数学竞赛讲座】第17讲 解直角三角形

第十七讲解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用： 1．为线段、角的计算提供新的途径． 解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限． 2．解实际问题． 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形． 【例题求解】 【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(2 4-)m，则电线杆AB 6 2 的长为． 思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件． 【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=2 4-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( ) A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定 思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形． 注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除． 在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解． 【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠

ADC 是方程2)1(5)1 (322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件． 【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路 【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求： (1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可． 注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．

八年级数学竞赛讲座数形互助附答案

第三十讲 数形互助 数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系． 以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题． 用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等． 例题求解 【例1】 若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三 条边的长，那么这个三角形的面积等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积． 注 古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系． 17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备． 【例2】 如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( ) A ．1 B ．32 C ．2 D ．3 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值． 【例3】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=3 4，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面 积为y ． (1)用x 的代数式表示y ；