《高等数学》不定积分课后习题详解

不定积分内容概要

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★

(1)

思路: 被积函数52x-

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：53

22

2

3

x dx x C

--

=

=-+

?

★(2)dx

-

?

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：114

111

333

222

3

()2

4

dx x x dx x dx x dx x x C

--

-=-=-=-+

????

★(3)2

2x x dx

+

?（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：223

21

22

ln23

x

x x

x dx dx x dx

x C

+=+=++

???

（）

★(4)3)

x dx

-

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153

2222

2

3)32

5

x dx x dx x dx x x C

-=-=-+

??

★★(5)422331

1

x x dx x +++?

思路:观察到422

22

3311311

x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2

2

1x dx x +? 思路:注意到22222

111

1111x x x x x +-=

=-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，

分别积分。

解：2

221arctan .11x dx dx dx x x C x x

=-=-+++???

注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x

?3

41

34

（-+

-）2 思路:分项积分。

解：34

11342x dx xdx dx x dx x dx x x

x x --=-+-?????341

34（-+

-）2 223134

ln ||.423

x x x x C --=--++ ★(8)

23(

1dx x -+? 思路:分项积分。 解：

2231(

323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++??

★★(9)

思路=111

7248

8

x

x

++==，直接积分。

解：715

8

88

.15

x dx x C ==+?

★★(10)221

(1)

dx x x +?

思路:裂项分项积分。

解：222222

111111

()arctan .(1)

11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++?

??? ★(11)21

1

x x e dx e --?

解：21(1)(1)

(1).11

x x x x x x x

e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x

e e =（）。 解：333.ln(3)

x

x

x

x

e e dx e dx C e ==+??

（）

（） ★★(13)2cot xdx ?

思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+??

★★(14)23523

x x

x

dx ?-?? 思路:被积函数

235222533

x x x

x ?-?=-（），积分没困难。 解：2

()2352232525.33ln 2ln 3

x

x

x

x x dx dx x C ?-?=-=-+-??（（））

★★(15)2cos 2

x dx ?

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：21cos 11cos sin .2

2

2

2

x x d dx x x C +==++??

★★(16)1

1cos 2dx x

+?

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：2

21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x

===++?

?? ★(17)cos 2cos sin x dx x x

-?

思路:不难，关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。

解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x

dx x x dx x x C x x

=+=-+-?

?

★(18)2

2cos 2cos sin x

dx x x

?? 思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

解：222

22222cos 2cos sin 11

cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x

x x x x -==-??????

22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+??

★★(19)dx +?

思路:注意到被积函数

==，应用公式(5)即可。

解：

22arcsin .dx x C +==+? ★★(20)21cos 1cos 2x

dx x

++?

思路:注意到被积函数 2222

1cos 1cos 11

sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222

x x x

dx xdx dx C x ++=+=++?

?? ★2、设()arccos xf x dx x C =+?，求()f x 。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d

f x dx f x dx =?

即可。 解：等式两边对x 求导数得：

()()xf x f x =∴=

★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+?

所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++?（）。

★4、证明函数21,2

x x e e shx 和x

e chx 都是s x e chx hx -的原函数

知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。

解：2x x e e chx shx =-Q

，而22[][][]x x x x d d d

e e shx e chx e dx dx dx

===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原

函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为()y f x =

，由题意可知：

1

[()]d f x dx x

=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=， 所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+

★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）

物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =，

则由速度和位移的关系可得：

23[()]3()f t t f t t C =?=+d

dt

， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米； (2)

令3360t t =?= 习题4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：234111

(1)(73);(2)(1);(3)(32);7

2

12

dx d x xdx d x x dx d x =-=--=

-

2222

111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255

11

2(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =

==--===+ 2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自

对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）3t e dt ? 思路:凑微分。

解：33311(3)3

3

t t t e dt e d t e C ==+??

★(2)3

(35)x dx -? 思路:凑微分。

解：3

3

411

(35)(35)(35)(35)5

20

x dx x x x C -=---=-

-+??d ★(3)1

32dx x

-?

思路:凑微分。 解：1111(32)ln |32|.322322

dx d x x C x x =--=--+--?

? ★(4)

思路:凑微分。 解：12

33

111

(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+? ★(5)(sin )x b

ax e

dx -?

思路:凑微分。

解：11(sin )sin ()()cos x

x

x

b

b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a -=-=--+???

★★(6)

思路:如果你能看到

t

d =

，凑出d 易解。

解：

2C

==?

★(7)102tan sec x xdx ? 思路:凑微分。

解：10210111

tan sec tan (tan )tan .11

x xdx xd x x C ==+?? ★★(8)ln ln ln dx

x x x

?

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。

解：(ln ||)(ln |ln |)

ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x

===+?

??

★★(9)

?

思路:

是什么，是什么呢？就是度！

解：tan

ln |C ==-+??

★★(10)sin cos dx

x x

?

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =。

2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx

xd x x x C x x x ===-+???

方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。

22cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+????

方法三： 三角公式22sin cos 1x x +=，然后凑微分。

22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x

+==+=-+??????

ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+ ★★(11)x x

dx e e -+?

思路:凑微分：222111()x x x

x x x x x dx e dx de de e e e e e -===

++++。

解：22

arctan 11()

x x x

x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)2cos()x x dx ? 思路:凑微分。

解：222211cos()cos sin 2

2

x x dx x dx x C ==+??

★★(13)

思路:22

==凑微分易解。

解：1

2222

11(23)(23)66x d x C -=-=---=?

★★(14)2cos ()sin()t t dt ωω? 思路:凑微分。

解：22211cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω

==-???

31

cos ().3t C ωω

=-

+ ★★(15)3

4

31x dx x

-? 思路:凑微分。

解：3344

4444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x

x x x ===--=--+----???? ★(16)3sin cos x

dx x

?

思路:凑微分。 解：332sin 111

cos .2cos cos cos x dx d x C x x

x =-=+?

? ★★

(17)9

思路:经过两步凑微分即可。

解：9

10

10

10111010C ===+ ★★

(18) ?

思路:分项后分别凑微分即可。

解：=-

2

212142381219423812arcsin().23x x x x x C =

-=+-=） ★★(19) 221

dx

x -?

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

解：21212dx dx x ==-?

?

1)1).C

=

=-+=+?

★(20)

2

(45)

xdx

x

-

?

思路:分项后分别凑微分即可。

解：

222

1454111

4(45)

(45)5(45)2545(45)

xdx x

dx d x x x x x

--

=-=------

???

（）（）

2

1141141

(45)(45)ln|45|.

254525252545

(45)

d x d x x C

x x

x

=---=-++ --

-

??

★(21)2

100

(1)

x dx

x-

?

思路:分项后分别凑微分即可。

解：222

100100100100100

(11)(1)(1)1

(2)

(1)(1)(1)(1)(1)

x dx x dx x x

dx x x x x x

-+--

==++

-----

???

9899100

111

(2)(1)

(1)(1)(1)

d x

x x x

=++-

---

?

979899

111111

.

97(1)49(1)99(1)

C

x x x

=---+

---

★★(22)

81

xdx

x-

?

思路:裂项分项后分别凑微分即可。

解：2 8444444

111111

()()

24

1(1)(1)1111 xdx xdx

xdx dx x x x x x x x

==-=-

--+-+-+????

222

22422

2

22

222

11111111

[()][(1)(1)] 428

11111

11111

ln||arctan.

484

()11

dx d x d x

x x x x x

x

dx x C

x x

=--=--+

-++-+

-

-=-+

++

???

?

★(23)3

cos xdx

?

思路:凑微分。cos sin

xdx d x

=。

解：3222

cos cos cos cos sin(1sin)sin

xdx x xdx xd x x d x

=?==-

????

3

1

sin sin

3

x x C

=-+

★★(24)2

cos()

t dt

ω?

+

?

思路:降幂后分项凑微分。

解：21cos2()11

cos()cos2()2()

224

t

t dt dt dt t d t

ω?

ω?ω?ω?

ω

++

+==+++????

11sin 2()24t t C ω?ω

=

+++ ★★★(25)sin 2cos3x xdx ? 思路:积化和差后分项凑微分。 解：111

sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2

102

x xdx x x dx xd x xdx =-=

-???? 11

cos5cos 102

x x C =-

++ ★★★(26)sin5sin 7x xdx ? 思路:积化和差后分项凑微分。

解：111

sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2

4

24

x xdx x x dx xd x xd x =-=-

???? 11

sin 2sin12.424

x x C =-+ ★★★(27)3tan sec x xdx ? 思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。

解：3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-????

231

sec sec sec sec sec 3

xd x d x x x C =-=-+??

★★

(28)arccos x

思路:

(arccos )d x =-。

解：arccos arccos arccos 1010

arccos .ln10

x x

x

d x C =-=-+?

★★

(29)

思路:

(arcsin )d x =。

解：2

arcsin 1

arcsin (arcsin )d x C x x ==-+?

★★★★

(30)dx

思路:

(arctan =

=。

解：2arctan ==?

2C =+

★★★★(31)ln tan cos sin x

dx x x

?

思路:被积函数中间变量为tan x ，故须在微分中凑出tan x ，即被积函数中凑出2sec x ，

22

ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x

dx dx xdx d x x x x x x x

=== 21

ln tan (ln tan )((ln tan ))2

xd x d x ==

解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x dx dx d x xd x x x x x x ===????

21

(ln tan )2

x C =+ ★★★★(32)21ln (ln )

x dx x x +?

思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解：22

1ln 11

(ln )ln (ln )

(ln )

x dx d x x C x x x x x x +==-+??

★★★★(33)1x

dx

e -?

解：方法一：

思路:将被积函数的分子分母同时除以 x e ，则凑微分易得。

11()(1)ln |1|1111

x x x x

x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----???? 方法二：

思路:分项后凑微分

11111x x x x x x dx e e e dx dx dx e e e -+==+---????1(1)1x x x d e e

=---? ln |1|ln(|1|)x x x x e C x e e C -=--+=--+ (ln ln |1|)x x x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+ 方法三：

思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x e ，裂项后凑微分。

111ln (1)1(1)(1)11x x x x x

x x

x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ??===+=--??-----??

????? ln |1|x x e C =--+ln |1|x e C -=--+

★★★★(34)6(4)

dx

x x +? 解：方法一:

思路：分项后凑积分。

6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ??

+-===- ?++++??

????

666

11(4)11

ln ||ln ||ln |4|4244424

d x x x x C x +=-=-+++? 方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x t

=，则2

1dx dt t

=-。 66626

66

6611(4)1(41)

()12424(4)14144

114

ln(14)ln(1).

2424dx t d t d t dt x x t t t t t C C x

+∴=?-=-=-++++=-++=-++???? ★★★★(35)82(1)

dx

x x -?

解：方法一:

思路：分项后凑积分。

882248282822

1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx

dx dx x x x x x x x -+-++==+----????

2468

1(1)(1)x x x dx

dx x x x +++=+-+?? 8642211111()1dx dx x x x x x

=+

+++-?? 753111111ln 75321x C x x x x x

-=-

----++ 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。

令1x t

=，则2

1dx dt t

=-。 88642

822222

11()(1)1(1)11

1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t

∴=?-=-=-++++----???? 642642

275375

1111(1)(

)(1)()2111

11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定积分。

知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。 思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。

2222sin cos 1;

sec tan 1.x x x x +=-=

为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量

即可。 ★★★

(1)

思路:令sin ,2

x t t π

=<

，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。

解：令sin ,2

x t t

π

=<

，则cos dx tdt =。

22

cos sec 1cos 1cos 222cos 2tdt dt dt t t

dt t t d t t t ∴==-=-=-++?????

tan arcsin .2t t C x C =-+=

（或arcsin x C =-

） （万能公式sin 1cos tan 2

1cos sin t t t

t t

-=

=

+，又sin t x =

时，cos t =）

★★★(2)dx x

?

思路:令3sec ,(0,)2

x t t π=∈，三角换元。 解：令3sec ,(0,)2

x t t π=∈，则3sec tan dx t tdt =。

223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3

3tan 33arccos .

||

t t tdt tdt t dt

t t t C C x ∴===-=-+=+???

（3sec x x =

时，3cos ,sin tan 3

x x x x x ==

=）

★★★

(3)

思路:令tan ,2

x t t π

=<

，三角换元。

解：令tan ,2

x t t

π

=<

，则2sec dx tdt =。

23sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴====+=+??? ★★★

(4)

思路:令a tan ,2

x t t π

=<

，三角换元。

解：令tan ,2x a t t

π

=<

，则2a sec dx tdt =。

233222sec 11

cos in sec sec .

a tdt dt tdt s t C

a t a t a a C ∴====+=

+???

★★★★

(5)2

思路:先令2u x =，进行第一次换元；然后令tan ,2

u t t

π

=<

，进行第二次换元。

解：22212=Q ，令2u x =得：

212=，令tan ,2

u t t π=<，则2sec du tdt =，

222

11tan 11tan 1sec sec 22tan sec 2tan 111

(csc sec )ln sec tan ln csc cot 2221111

1

ln ln .22

2

2

t t tdt tdt t t t t t dt t t t t C u C x C u ++∴=

==?=+=++-+=++=+???

（与课本后答案不同） ★★★

(6)

思路:三角换元，关键配方要正确。 解：22549(2)x x x --=-+Q ，令23sin ,2

x t t

π

+=<

，则3cos dx tdt =。

21cos 21

9cos 99(sin 2)224

92arcsin .23t t tdt dt t C x C +∴===+++=??

★★4、求一个函数()f x ,

满足'()f x =，且(0)1f =。

思路:

(0)1f =确定出常数C 的值即可。

解：(1).d x C =+=+Q

令()f x C =+，又(0)1f =，可知1C =-，

() 1.f x ∴-=

★★★5、设tan ,n n I xdx =?，求证：1-21

tan 1

n n n I x I n -=

--，并求5tan xdx ?。 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x 分开成22tan tan n x x -，进而写成：

22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-，分项积分即可。

证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-????

2122544253142421

tan tan tan .1111

5tan tan tan tan 442

1111

tan tan tan tan tan ln cos .4242

n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=

--===-=-+=-+=--+???时，

习题4-3 1、

求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。

思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 ★（1）arcsin xdx ?

思路:被积函数的形式看作0arcsin x x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数

0x 优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx 。

解：2

1arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+

-???

arcsin .x x C =+

★★（2）2ln(1)x dx +? 思路：同上题。

解：22

2

2

22

22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x

dx x x dx x x +=+-=+-++??? 22

2

2

2

22(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .

x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++???

★（3）arctan xdx ? 思路：同上题。

解：222

(1)

arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x

+=-=-++???1 21

arctan ln(1)2

x x x C =-++

★★(4)2sin 2

x x e dx -?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：22221111sin sin ()sin cos 2

2

2

2

2

2

2

2

x x x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+???Q

2222222222111

sin cos ()

224221111sin (cos sin )

2242242

111sin cos sin 2282162

2sin (4sin cos ).

21722

x x x x x x x x x x

x x e d e x x x e e e dx x x x e e e dx

x e x x e dx C ----------=-+-=-+--=---∴=-++????

★★(5)2arctan x xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：3

2

332111arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x dx x

==-+???

33211arctan 331x x x x x dx x +-=-+?32

11arctan ()331x x x x dx x =--+?

3322

22

3221111111arctan arctan (1)33313661111

arctan ln(1).366

x x x xdx dx x x x d x x x x x x x C =-+=-++++=-+++???

★(6)cos 2

x x dx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2

2

2

2

2

22

x x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-????

2sin 4cos .2

2

x x x C =++

★★(7)2tan x xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-?????d

2211

(tan )tan tan tan ln cos .22

xd x xdx x x xdx x x x x x C =-=--=+-+???

★★(8)2ln xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：222211ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x

x

=-??=-=-+?????

22ln 2ln 2ln 2ln 2.x x x x dx x x x x x C =-+=-++?

★★(9)ln(1)x x dx -?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：22

211ln(1)ln(1)ln(1)2221

x x x x dx x d x x dx x -=-=---???

221111ln(1)221x x x dx x -+=---?

2111ln(1)(1)221

x x x dx x =--++-? 221111

ln(1)ln(1)2422

x x x x x C =

-----+ ★★(10)22ln x dx x

?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：222222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x

x dx xd x x dx x dx x x x x x x x

=-=-+?=-+????

222211121122

ln 2ln ()ln ln 2ln ln x xd x x dx x x C x x x x x x x x =-+-=--+=---+?? 2(ln ln 2)x x C x

=-+++1

★★(11)cosln xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x

=+?=+???Q

1

cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln (cos ln sin ln ).

2

x x x x x x dx x x x x xdx

x

x

xdx x x C =+-?=+-∴=++???

★★(12)2ln x dx x

?

思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 ★★(13)ln (1)n x xdx

n ≠-?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：111111

ln ln ln 111n n

n n x x xdx xd

x x x dx n n n x

+++==-?+++??? 111ln 11n n x x x dx n n +=

-++?111ln .1(1)n x x C n n +??

=-+ ?++??

★★(14)2x x e dx -?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+???

2222(22)x x x x x e xe e C e x x C ----=---+=-+++

★★(15)32(ln )x x dx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 4

4

4

x x dx x d x x x x x dx x

==-?????

423424424442434244421111

(ln )ln (ln )ln 42481111111

(ln )ln (ln )ln 48848811111

(ln )ln (2ln ln ).483284x x x xdx x x xdx x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x C x x x C =

-=-=-+?=-+=-++=-++???? ★★(16)ln ln x dx x

?

思路： 将积分表达式ln ln x dx x

写成ln ln (ln )xd x ，将ln x 看作一个整体变量积分即可。

解：ln ln 111

ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x

x x x

==-?

?=-???? ln ln ln ln ln (ln ln 1).x x x C x x C =-+=-+

★★★ (17) sin cos x x xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 22

2

244

x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-+????

1111

cos 2cos 22cos 2sin 2.4848x x xd x x x x C =-+=-++? ★★(18)22cos 2

x x dx ?

思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2

x +，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、

幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：2222221111cos (cos )cos 2

2

2

2

2

x x dx x x x dx x dx x xdx =+=+????

32323232

11111

sin sin 2sin 62622

1111sin cos sin cos cos 6262x x d x x x x x xdx x x x xd x x x x x x xdx =

+=+-=++=++-????

32

11sin cos sin 62

x x x x x x C =

++-+ ★★(19)2(1)sin 2x xdx -?

思路：分项后对第一个积分分部积分。

解：22211(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 22

2

x xdx x xdx xdx x d x x -=-=-+????

2222211111

cos 22cos 2cos 2cos 2sin 22222211111

cos 2cos 2sin 2sin 2cos 222222

1111

cos 2sin 2cos 2cos 2224211313cos 2sin 2cos 2(sin 2)cos 2sin 2.

224222

x x x xdx x x x xd x

x x x x x xdx x x x x x x x C

x

x x x x x C x x x x C =-++=-++=-+-+=-++++=-+++=--++???

★★★

(20)?

思路：首先换元，后分部积分。

解：令t =32,3,x t dx t dt ==

22222223333323323663666632).

t t t t t t t t t t t t t e t dt e t dt t de t e te dt t e tde t e e t e dt t e e t e C C C ∴====-=-=-+=-++=-+=+??????? ★★★(21)2(arcsin )x dx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：22(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-??

22(arcsin )(1)x x x =+-

2(arcsin )2arcsin x x xd =+?

222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.

x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+?★★★

(22)2sin x e xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一：

222sin sin sin 2sin cos x

x x x e

xdx xde e x e x xdx ==-???

2sin sin 2sin 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 2x x x

x

x

x

x

x

e x e xdx

e xdx xde e x e xdx e x xde =-==-=-?????Q

2

2sin 22cos 24sin 2(sin 22cos 2)

sin 25

sin (5sin sin 22cos 2)5

x x x x x x x e x e x e xdx

e x x e xdx C

e e xdx x x x C

=---∴=+∴=-++??? 方法二：

21cos 21111sin cos 2cos 22

2

2

2

2

x x x x x x x e xdx e dx e dx e xdx e e xdx -==-=-?????

cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2x x x x x x e xdx xde e x e xdx e x xde ==+=+????Q 2

cos 22sin 24cos 2(cos 22sin 2)

cos 25

11sin sin 2cos 22510

x x x x x

x x x x e x e x e xdx

e x x e xdx C

e e xdx e x e x C

=+-+∴=+∴=--+??? ★★★

(23)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：ln(1))x d x =++-?

令t =2,dx tdt =

222144444arctan 111t dx dt dt dt t t C x t t C

∴==-=--+++=-????

所以原积分)x C =+-+。

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函

数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v

(完整版)定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

定积分典型例题11198

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

高中数学定积分计算习题

定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积