当前位置：文档库 › 乘法公式的灵活运用

乘法公式的灵活运用

乘

法

公

式

的灵活运用

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

(a+b)2

=a 2

+2ab+b 2 (a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

(a+b)(a 2

-ab+b 2

)=a 3

+b 3

(a-b)(a 2

+ab+b 2

)=a 3

－b 3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2

-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2

-y 2

= x 2

-y 2

③ 指数变化，(x 2

+y 2

)(x 2

-y 2

)=x 4

-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2

-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]

=(xy )2

-(z +m )2

=x 2

y 2-(z +m )(z +m ) =x 2

y 2

-(z 2

+zm +zm +m 2

) =x 2

y 2

-z 2

-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )

=(x -y )2

-z 2

=(x -y )(x -y )-z 2

=x 2

-xy -xy +y 2

-z 2 =x 2

-2xy +y 2

-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2

+y 2

)

=(x 2

-y 2

)(x 2

+y 2) =x 4

-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2

-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz

例1．已知2=+b

a ，1=a

b ，求22b a +的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2

2b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b

a ，1=a

b ∴22b a +=21222=?-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2

)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2

22b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2

)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482

=?-

例3：计算19992

-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992

-2000×1998 =19992

-（1999+1）×（1999-1） =19992

-（19992

-12

）=19992

-19992

+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2

+b 2

和(a-b)2

的值。〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。解：a 2

+b 2

=(a+b)2

-2ab=4-2=2 （a-b)2

=(a+b)2

-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2

-z 2

的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2

是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2

-z 2

=（x+z ）(x-z)=14×4=56。例6：判断（2+1）（22

+1）（24

+1）……（2

2048

+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方

差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=24096

=161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032（2）1982

解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2?100?3+32=10000+600+9 =10609

（2）1982=(200-2)2 =2002-2?200?2+22=40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)

解：（1）原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2

（2）原式=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4

例9．解下列各式

（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。

（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。

（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求

a b

-的值。

（4）已知

-=，求4

+的值。

分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

解：（1）∵a2+b2=13，ab=6

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2?6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2?6=1

（2）∵(a+b)2=7，(a-b)2=4

∴ a2+2ab+b2=7 ①a2-2ab+b2=4 ②

①+②得 2(a2+b2)=11，即2211 2

a b

①-②得 4ab=3，即

4 ab=

（3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2

（4）由

-=，得

即2

+-=2

∴+=

121

x 2

∴+= ?

??即4

2121

++=4

119

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？

分析：由于1?2?3?4+1=25=52

2?3?4?5+1=121=112

3?4?5?6+1=361=192

……得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。

解：设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数

则n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1

=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2

∵n是整数，∴ n2，3n都是整数∴ n2+3n+1一定是整数

∴(n2+3n+1)是一个平方数∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算（1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2

解：（1）(x 2

-x +1)2

=(x 2)2

+(-x )2

+12

+2? x 2

?(-x )+2?x 2

?1+2?(-x )?1=x 4

+x 2

+1-2x 3

+2x 2

-2x

=x 4

-2x 3

+3x 2

-2x +1

（2）(3m +n -p )2

=(3m )2

+n 2

+(-p )2

+2?3m ?n +2?3m ?(-p )+2?n ?(-p )=9m 2

+n 2

+p 2

+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广

(a +b +c )2

=[(a +b )+c ]2

=(a +b )2

+2(a +b )?c +c 2

=a 2

+2ab +b 2

+2ac +2bc +c 2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2bc +2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：

(

)()

53532222

x y x y +- 解：原式()()

-=-532592

44x y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a

解：原式()()()=

-++1112

a a a

例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--

解：原式()()[]()()[]=

-++--+25312531y z x y z x

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+

解：原式()()[]()()[]=

+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c

四、变用: 题目变形后运用公式解题。例5. 计算：()()x y z x y z +-++26

解：原式()[]()[]=

++-+++x y z z x y z z 2424

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

解：()a

b a b ab 2

2242526+=-+=+?=

例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22

解：原式()()[]()()[]

++-++--b c a d b c a d 2

例8. 已知实数x 、y 、z 满足x

y z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（）

解：由两个完全平方公式得：()()[]

ab a b a b =

+--1

从而 ()[]

x y y 2

59=

--+- 三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算(-2x 2

-5)(2x 2

-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2

”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2

-b 2

中的a ，而“2x 2

”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2

)(-5+2x 2

)=(-5)2

-(2x 2)2

=25-4x 4

．

例2 计算(-a 2

+4b )2

分析：运用公式(a +b )2

=a 2

+2ab +b 2

时，“-a 2

”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2

时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2

”就是公式中的b ．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2

-(y -z )2

=4x 2

+20x +25-y +2yz -z 2

．

例4 计算(a -1)2

(a 2

+a +1)2

(a 6

+a 3

+1)2

分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a -1)(a 2

+a +1)(a 6

+a 3

+1)]2

=[(a 3

-1)(a 6

+a 3

+1)]2

=(a 9

-1)2

=a 18

-2a 9

例5 计算(2+1)(22

+1)(24

+1)(28

+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22

+1)(24

+1)(28

+1) =(22

-1)(22

+1)(24

+1)(28

+1) =(24

-1)(24

+1)(28

+1) =（28

-1）（28

+1） =216

-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a +b )2

=a 2

+2ab +b 2

，可推广得到：(a +b +c )2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2ac +2bc ．

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x +y -3)2

解：原式=(2x )2

+y 2

+(-3)2

+2·2x ·y +2·2x (-3)+2·y (-3) =4x 2

+y 2

+9+4xy -12x -6y ．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知x +y =10，x 3

+y 3

=100，求x 2

+y 2

的值； (2)已知：x +2y =7，xy =6，求(x -2y )2

的值．

分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x 2

+y 2

=(x +y )2

-2xy ，x 3

+y 3

=(x +y )3

-3xy (x +y )，(x +y )2

-(x -y )2

=4xy ，问题则十分简单．

解：(1)∵x 3

+y 3

=(x +y )3

-3xy (x +y )，将已知条件代入得100=103-3xy ·10， ∴xy =30 故x 2

+y 2

=(x +y )2

-2xy =102

-2×30=40． (2)(x -2y )2

=(x +2y )2

-8xy =72

-8×6=1．

例8 计算(a +b +c )2+(a +b -c )2+(a -b +c )+(b -a +c )2

．

分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a +b )2

+(a -b )2

=2(a 2

+b 2

)，因而问题容易解决．解：原式=[(a +b )+c ]2

+[(a +b )-c ]2

+[c +(a -b )]2

+[c -(a -b )]2

=2[(a +b )2

+c 2

]+2[c 2

+(a -b )2

] =2[(a +b )2

+(a -b )2

]+4c 2

=4a 2

+4b 2

+4c 2

（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a -2b +3c )2

-(a +2b -3c )2

．

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a -2b +3c )+(a +2b -3c )][(a -2b +3c )-(a +2b -3c )] =2a (-4b +6c )=-8ab +12ac ．

例10 计算(2a +3b )2

-2(2a +3b )(5b -4a )+(4a -5b )2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式=(2a +3b )2

+2(2a +3b )(4a -5b )+(4a -5b )2

=[(2a +3b )+(4a -5b )]2 =(6a -2b )2

=36a 2

-24ab +4b 2．

四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2

，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2

=a 2

－2ab +b 2

来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化如98×102，992

，912

等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2

，（90+1）2

后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m +2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4n

）后即可用平方差公式进行计算了．

5、项数变化如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2

+1）2

·（a 2

－1）2

，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2

+1）（a 2

－1）]2

=（a 4

－1）2

=a 8

－2a 4

+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221）（1－2

）（1－

241）…（1－291）（1－210

），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101

）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=20

11．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2

+b 2

=（a +b ）2

－2ab ，a 2

+b 2

=（a －b ）2

+2ab 等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m +n =7，mn =－18，求m 2+n 2，m 2－mn + n 2

的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m 2

+n 2

=（m +n ）2

－2mn =72

－2×（－18）=49+36=85，

m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！

1、若a +a 1=5，求（1）a 2

+21a

，（2）（a －a 1）2的值．

2、求（2+1）（22

+1）（24

+1）（28

+1）（216

+1）（232

+1）（264

+1）+1的末位数字．（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2

－b 2

，(a ±b)=a 2

±2ab ＋b 2

，

(a ±b)(a 2

±ab ＋b 2

)=a 3

±b 3

．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．例1计算

(2)(－2x －y)(2x －y)．

(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y 2

－4x 2

．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算

(1)19982－1998·3994＋19972

；

解(1)原式=19982

－2·1998·1997＋19972

=(1998－1997)2

第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：(2＋1)(22

＋1)(24

＋1)(28

＋1)＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22

＋1)(24

＋1)(28

＋1)＋1

=(22

－1)(22

＋1)(24

＋1)(28

＋1)＋1=216

．例4计算：(2x －3y －1)(－2x －3y ＋5)

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=(2x －3y －3＋2)(－2x －3y ＋3＋2)

=[(2－3y)＋(2x －3)][(2－3y)－(2x －3)] =(2－3y)2

－(2x －3)2

=9y 2

－4x 2

＋12x －12y －5．

第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a 2＋b 2=(a ＋b)2－2ab ，a 3＋b 3

=(a ＋b)3

－3ab(a ＋b)等，则求解十分简单、明快．

例5已知a ＋b=9，ab=14，求2a 2

＋2b 2

和a 3

＋b 3

的值．

解： ∵a ＋b=9，ab=14，∴2a 2

＋2b 2

=2[(a ＋b)2

－2ab]=2(92

－2·14)=106，

a 3

＋b 3

=(a ＋b)3

－3ab(a ＋b)=93

－3·14·9=351

第五层次──综合后用：将(a ＋b)2

=a 2

＋2ab ＋b 2

和(a －b)2

=a 2

－2ab ＋b 2

综合，可得 (a ＋b)2

＋(a －b)2

=2(a 2

＋b 2

)；(a ＋b)2

－(a －b)2

=4ab ；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5)．解：原式=

14[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2

-14

[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]

=(2x ＋5)2

－(y －z)2

=4x 2

＋20x ＋25－y 2＋2yz －z 2

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

、完全平方公式：(a+b)2

=a 2

+2ab+b 2

；(a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a 、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2

与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2

=a 2

+2ab+b 2

与(a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2

解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12

-(3x)2

=1-9x 2

. （2） (-2m-1)2

=[-(2m+1)]2

=(2m+1)2

= 4m 2

+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例2、运用乘法公式计算：（1）(13a-14b )(-14b -a 3 ); （2）(x-1/2)(x 2

+1/4)(x+1/2)

解：（1）(13a-14b )(-14b -a 3 )=(-14b+ 13a )(-14b -1

a )

=(14b- 13a )(14b +13a )=(14b)2- (13a)2 = 116b 2- 19

a 2 (2) (x-1/2)(x 2

+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2

+1/4)

=(x 2

-1/4) (x 2

+1/4)= x 2

-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2

-b 2

= (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n

=(ab)n

,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、计算：

（1）(x/2+5)2

-(x/2-5)2

; （2）(a-1/2)2

(a 2

+1/4) 2

(a+1/2)

2 解：（1）(x/2+5)2

-(x/2-5)2

=[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]

=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.

（2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)

=[(a-1/2)(a 2

+1/4)

(a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a 2+1/4)] 2

=[(a 2

-1/4

) (a 2

+1/4)] 2

=(a 4

-1/16 )

=a 8-a 4

/8+1/256.

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12

-(x+y)

=1-(x 2

+2xy+y 2

)= 1-x 2

-2xy-y 2

（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)

=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]

= (2x+5)2

-(y-z)2

=(4x 2

+20x+25)-(y 2

-2yz+z 2

) = 4x 2

+20x+25-y 2

+2yz-z 2

= 4x 2

-y 2

-z 2

+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式例1. 计算：()()a

b c d a b c d -+-----

简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式()a

b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ，则从其中找出了特点，从

而利用平方差公式即可将其展开。解：原式[]()()[]=

--++---+()()b d a c b d a c

二. 先提公因式，再用公式例2. 计算：8244x

y x y +??

???-??

? 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为244x y +??

?，则可利用乘法公式。解：原式=

+??

???-?? ??

?24444x y x y 三. 先分项，再用公式例3. 计算：

()()232236x y x y ++-+

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式=

[]()()[]()()24232423x y x y +--++-

四. 先整体展开，再用公式例4. 计算：()()a

b a b +-+221

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即[]()a b -+21，再将第一个整式与之相乘，利用平方

差公式即可展开。解：原式[]=

+-+()()a b a b 221

五. 先补项，再用公式

例5. 计算：3313131318

42+++++()()()()

简析：由观察整式()31+，不难发现，若先补上一项()31-，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，

使运算变得简便易行。

解：原式=+++++-331313131312

842()()()()()

六. 先用公式，再展开

例6. 计算：1121131141110

2222-

???-?? ???-?? ???-?? ?

??… 简析：第一个整式1122-?

? ???可表示为11222-?? ?????????

??，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，

进一步变换成分数的积，化简即可。解：原式=

+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ??

?11211211311311411411101110… 七. 乘法公式交替用例7. 计算：()()()()x

z x xz z x z x xz z +-+-++222222

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：原式[][]=

+++-+-()()()()

x z x

xz z x xz z x z 2

22222

八、中考与乘法公式 1. 结论开放

例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22

或()()x

y x y x y 2

2-=+-或()x y x xy y -=-+2

222

在上述公式中任意选一个即可。例2. （03年陕西中考）

如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >）

，把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-

2. 条件开放

例3. （03年四川中考）多项式912

+加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可

以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

()

9163122

x x x ++=+ 或()

916312

x x +-=-只要再动点脑筋，还会得出

9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ，或

814

x ，或-1，或-92x 等。 3. 找规律

例4. （01年武汉中考）观察下列各式：由猜想到的规律可得

()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。

分析：由已知等式观察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…

4. 推导新公式例

5. 在公式

()a a a +=++1212

2中，当a 分别取1，2，3，……，n 时，可得下列n 个等式

将这n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

123++++=…n __________（用含n 的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

()n n n +=+?+?++?+11212222

2… 移项，整理得：

乘法公式的应用解析

乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为．第2题 2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是． 3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是．第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是． 5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义． 6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为 b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形． 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．

（1）你认为图1的长方形面积等于；（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：方法2：（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系；（4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）． 9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论：（1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和．（2）你能根据（1）的结果判断a2+b2与2ab的大小吗？（3）当点P在什么位置时，有a2+b2=2ab？

整式的乘法---完全平方公式

完全平方公式一、填空题： ()22)(91 291=+-a a （2）1-6a+9a 2=()2 22)(41 )5(=++x x （6）x 2y 2-4xy+4=()2 (7)x 2+()+9y 2=(x+)2(8)(a+b)2-()=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题：（1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为（）（A ）12（B ）±18（C ）±12（D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（）（A ）1-4m+2m 2（B ）a 2+2a+4 ()ab b a C 341 922-+（D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算（1）(3a+2b)2（2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2（4）(-y-6)2 2、计算（1）99.82(2）20052 （3）1042（4）982 3、计算

(1)(2x-3)(3-2x)(2)(5a-4b)(-5a+4b) (3)(2m2+3n)(2m2-3n)(4)(2m2+3n)(-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________(2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________(4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·()=a2-1(6)(a-1)·()=a2-2a+1 (7)(a+b)2-(a-b)2=________(8)(a+b)2+(a-b)2=________ 五、计算（1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c)(a-2b+3c)(4)(a+2b-3c)(a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）

初中数学七年级下册第2章整式的乘法2.2乘法公式作业设计

2.2 乘法公式一．选择题（共6小题） 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（） A．（p+q）（﹣p﹣q）B．（p﹣q）（q﹣p） C．（5x+3y）（3y﹣5x）D．（2a+3b）（3a﹣2b） 2．计算（1﹣a）（a+1）的结果正确的是（） A．a2﹣1 B．1﹣a2C．a2﹣2a﹣1 D．a2﹣2a+1 3．如果多项式y2﹣4my+4是完全平方式，那么m的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1D．±2 4．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示矩形的长和宽（a＞b），则下列关系中不正确的是（）（第4题图） A．a+b=12 B．a﹣b=2 C．ab=35 D．a2+b2=84 5．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3 二．填空题（共4小题） 7．已知m2﹣n2=16，m+n=6，则m﹣n= ． 8．若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣= ． 9．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

（第9题图）根据前面各式的规律，则（a+b）6= ． 10．已知a2+b2=4，则（a﹣b）2的最大值为．三．解答题（共30小题） 11．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）= ；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ； …… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）= ；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1= ．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1= ． 12．计算：（1）20132﹣2014×2012；

沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题

乘法公式的综合应用 1、平方差公式符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。要点诠释：平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。题型一、完全平方公式 1．已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（） A．8 B．±8 C．16 D．±16 2．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A．24 B．-12 C．±12 D．±24 3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m （）

A．6 B．12 C．±6 D．±12 4．下列多项式中是完全平方式的是（） A．2x2+4x-4 B．16x2-8y2+1 C．9a2-12a+4 D．x2y2+2xy+y2 5．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（） A．3 B．6 C．±3 D．±6 6．x2-10x+ =（x-）2． 7．下列各式是完全平方式的是（） A．x2-x+1 4B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2a-1 题型二、 1、若（x+ 1 x）2=9，则（x - 1 x）2的值为． 2．已知x-1 x=1，则x2+= ． 4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值．4．若a2+b2=5，ab=2，则（a+b）2= ．

整式的乘法完全平方公式

完全平方公式一、填空题： () 22)(9 1291=+ -a a （2）1-6a+9a 2 =( )2 22)(4 1 ) 5(=++x x （6）x 2 y 2 -4xy+4=( ) 2 (7)x 2+( )+9y 2=(x+ )2 (8)(a+b)2-( )=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题：（1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为（）（A ）12 （B ）±18 （C ）±12 （D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（）（A ）1-4m+2m 2 （B ）a 2+2a+4 () ab b a C 34 192 2-+ （D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算（1）(3a+2b)2 （2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2 （4）(-y-6)2 2、计算（1）99.82 (2）20052 （3）1042 （4）982

3、计算 (1)(2x-3)(3-2x) (2) (5a-4b) (-5a+4b) (3) (2m2+3n) (2m2-3n) (4) (2m2+3n) (-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________ (2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________ (4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·( )=a2-1 (6) (a-1)·( )=a2-2a+1 (7)(a+b)2-( a-b)2=________ (8)(a+b)2+( a-b)2=________ 五、计算（1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c) (a-2b+3c) (4) (a+2b-3c) (a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）

乘法公式活用专题训练

乘法公式的活用一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式： ⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z 例 1．已知 a b 2 ， xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1，求 a 2 b 2 的值例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求（a b ）2 的值例 3：计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和（a-b ）的值。 22 例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。求 x -z 的值。例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）??（ 22048+1） +1 的个位数字是几？例 7．运用公式简便计算（1）1032 （2） 1982 例 8．计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2

八上整式的乘法与乘法公式

八年级上数学《整式的乘法与乘法公式》测试题 (100分) 班级__________ 姓名______________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列计算中正确的是（） A ．5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ．842a a a =? D ．()632a a -=- 2．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（） ① ()523623x x x -=-?； ② ()a b a b a 22423-=-÷； ③ ()523a a =； ④ ()()23a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 若()()b ax x x x ++=+-2 32，则a, b 的值分别为（） A ．a=5, b=6 B ．a=1, b= -6 C ．a=1, b=6 D ．a=5, b= -6 4．()()22a ax x a x ++-的计算结果是（） A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C ．3232a x a x -+ D ．322322a a ax x -++ 5．已知210x y -=,则24y x -的值为 ( ) A ．10 B ．20 C ．-10 D ．-20 6.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（） A.))((b a b a -+- B.)2)(2(x x ++ C.)31)(31(x y y x - + D.)1)(2(+-x x 7. 我们约定1010a b a b ?=?,如23523101010?=?=,那么48?为 ( ) A. 32 B.3210 C. 1210 D. 1012 8．若153=x ，53=y ，则y x -3等于（） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 9. 13+m a 可写成（） A. (a 3)m+1 B. (a m )3+1 C. a ·a 3m D. (a m )2m+1 10. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例：计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例：运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982

1 1 例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。 x x 2

整式的乘法和乘法公式(普通难度教师版)

整式的乘法和乘法公式一、单选题（共7题；共14分） 1.计算的结果为 A. B. C. 1 D. 【答案】C 2.已知，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 3.若，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 4.将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（） A. （x+2）2＝3 B. （x+4）2＝3 C. （x+2）2＝﹣3 D. （x+2）2＝﹣5 【答案】A 5.下列运算正确的是（） A. （﹣2a3）2＝4a5 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. D. 【答案】 D 6.（﹣5a2+4b2）（）=25a4﹣16b4，括号内应填（） A. 5a2+4b2 B. 5a2﹣4b2 C. ﹣5a2﹣4b2 D. ﹣5a2+4b2 【答案】C 7.如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是( ) A. ． B. . C. . D. . 【答案】B 二、填空题（共4题；共4分） 8.当x________时，(x－4)0＝1.

【答案】x ≠4 9.计算的结果是________. 【答案】 10.计算：________．【答案】9 11.已知三角形的底边是cm，高是cm，则这个三角形的面积是________ cm ．【答案】三、计算题（共1题；共10分） 12.计算：（1）（2）【答案】（1）解： = = = （2）解： = = = 四、解答题（共3题；共15分） 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，C＝10，求Rt△ABC的面积. 【答案】解：∵a+b=14 ∴（a+b）2=196 ∵C＝10, ∴a2+b2=c2=100 ∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=196 -100=96， ∴ab=48，

2.2.3 运用乘法公式进行计算

2．2.3　运用乘法公式进行计算 1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点) 2．通过对不同的式子采取合适的方法运算，培养学生的思维能力和解题能力．一、情境导入 1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)．二、合作探究探究点：运用乘法公式进行计算【类型一】乘法公式的综合运用计算： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)； (2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2； (3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)； (4)(2a＋b)2(b－2a)2. 解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式； (2)逆用完全平方公式，能简化运算； (3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式； (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可．解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1) ＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1； (2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2； (3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2 ＋12yz－9z2； (4)(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4. 方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率．【类型二】运用乘法公式求值如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．

18.乘法公式(含答案)-

18.乘法公式知识纵横乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M

乘法公式的综合运用

第三课时（乘法公式的综合运用）一、学导目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。二、学导重点：熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。三、学导难点：灵活运用乘法公式四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题：教材P65例2第（2）小题、P66例 3.（注意书上的解题方法。） 3.注意：难，小本节内容偏组内、小组间要认真交流，有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题： 5.计算：（1）（x+3）2(3-x)2（2）(2a+b+1)（2a+b-1）（3）(a-2b-3)(a+2b+3) （4）(2a+b)2-(b+2a)（2a-b）五、学导流程：（一）、出示目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。

（二）、自学质疑：1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。（三）、汇报展示：1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。五、测评提升： 1.先化简，再求值： (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程：（1）(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 （2）(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式： 2(x+4)(x-4) （x-2）（2x+5） 4.计算（1）(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算：（1）已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求：1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y

整式的乘法(五)——乘法公式一

（八年级数学）整式的乘法（五）——乘法公式1 第周星期班别姓名学号一、学习目标：自主探索总结出两数和乘以它们的差规律，并能正确运用两数和乘以它们的差的公式进行多项式乘法。二、回忆：()() ++= m n a b 三、探讨： 1、赛一赛，看谁做得最快：计算 A组：（1）(1)(2) --= x x （2）(1)(2) ++= x x （3）(21)(23) +-= x x B组：（1）(1)(1) -+= x x （2）(5)(5) -+= x x （3）(23)(23) -+= x x 2、想一想：完成以上练习后与同学交换答案，并与同组同学讨论：（1） A组练习与B组练习有什么不同？（2）讨论B组的题目特点。左边：右边： 3、结论：平方差公式：两数和与它们的差的积，等于 a b a b +-= ()() 四、你会运用上述公式吗？请来试一试：例:1、________ +x （ - x 3)(2 _______ )2 3= 相同项的积相反项的积

2、_________________)23)(23=--+-x x （相同项的积相反项的积 3、 ______________________________)2)(2(==+-+x x 相同项的积相反项的积 A 组 1、下列各式，能直接用平方差公式计算的有：（写编号）（1）(2)(2)a b a b -+ （2）(2)()a b a b -+ （3）(12)(12)c c +- （4） (2)(2)x x -+-- 2、你准备好了吗？请对照平方差公式完成以下练习：（1）(3)(3)x x +- = + =________________ 相同项的积相反项的积（2）(23)(23)a a +-= _ + =________________ （3）(3)(3)a b a b +- = + =________________ （4）(12)(12)c c +- = + =________________ （5）11(2)(2)22 x x + -= + =________________ 3、计算（1）(2)(2)x x +- 解：(2)(2)x x +-= + =________________ 相同项的积相反项的积（2）(2)(2)x x -+-- 解：(2)(2)x x -+--=____________+___________=_______________ （3）(2)(2)x y x y -+-- 解：(2)(2)x y x y -+--____________+___________=_______________ （4）(23)(23)a b a b ---+ 解：(23)(23)a b a b ---+____________+___________=_______________

整式的乘法和乘法公式练习题资料讲解

整式的乘法和乘法公式练习题

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除整式的乘法乘法公式复习题一．选择题 1.下列各式计算正确的是（） A 、()66322b a b a =- B 、()5252 b a b a -=- C 、124341b a ab =??? ??- D 、462239131b a b a =??? ??- 2.()()1333--?+-m m 的值是（）A 、1 B 、－1 C 、0 D 、()13+-m 3下列各式中，正确的是（）A 、m 2·m 3＝m 6 B 、(－a ＋b)(b －a)＝a 2－b 2 C 、25a 2－2b 2＝(5a ＋2b)(5a －2b) D 、(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝x 3－y 3 4.与(x 2＋x ＋1)(x －1)的积等于x 6－1的多项式是（） A 、x 2－1 B 、x 3－1 C 、x 2＋1 D 、x 3＋1 5.已知5x ＝3，5y ＝4，则25x+y 的结果为（） A 、144 B 、24 C 、25 D 、49 6.x 为正整数，且满足3x+1·2x －3x 2x+1＝66，则x ＝（） A 、2 B 、3 C 、6 D 、12 7.若m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋3＝（） A 、2 B 、4 C 、－2 D 、－4 8.不等式(x －1)2－(x ＋1)(x －1)＋3(x ＋1)＞0的正整数解为（） A 、1, 2 B 、1, 2, 3 C 、1, 2, 3, 4 D 、任意正整数 9.a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.2a 4－1 D.1－2a 4 10.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) 11. A.(x +5y )(－x +5y ) B.(－x －5y )(－x +5y ) C.(x －y )(x +25y ) D.(x －5y )(5y －x ) 12.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(－x －y ) B.(2x +3y )(2x －3z ) C.(－a －b )(a －b ) D.(m －n )(n －m ) 13..下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x －3)=2x 2－9 B.(x +4)(x －4)=x 2－4 C.(5+x )(x －6)=x 2－30 D.(－1+4b )(－1－4b )=1－16b 2 14.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b +a ) B.(xy +z )(xy －z ) C.(－2a －b )(2a +b ) D.(0.5x －y )(－y －0.5x ) 15.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（）

专题一乘法公式及应用完整版

专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，xyyxx2y2 ②符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化，xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化，xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982 例8．计算（1）a 4b 3ca 4b 3c （2）3xy 23xy 2 例9．解下列各式（1）已知a 2b 213，ab 6，求ab 2，ab 2的值。（2）已知ab 27，ab 24，求a 2b 2，ab 的值。（3）已知aa 1a 2b 2，求222 a b ab +-的值。

专题一乘法公式及应用

专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，x y y x x2y2 ②符号变化，x y x y x2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2a b2a b4a2b2 ⑤换式变化，xy z m xy z m xy2z m2 x2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 ⑥增项变化，x y z x y z x y2z2 x y x y z2 x2xy xy y2z2 x22xy y2z2 ⑦连用公式变化，x y x y x2y2 x2y2x2y2 x4y4

⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982 例8．计算（1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 例9．解下列各式

数形结合理解整式的乘法公式

数形结合理解整式的乘法我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考：一、单项式乘以多项式如图1，大长方形的面积从整体看为S=m （a +b +c ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S ＝S 1+S 2+S 3＝ma +mb +mc ；于是有m （a +b +c ）＝ma +mb +mc 。从而验证了单项式与多项式相的法则。二、多项式乘以多项式如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b ）（m+n ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S ＝S 1+S 2+S 3+S 4＝ma +mb +na +nb ；于是有（a+b ）（m+n ）＝ma +mb +na +nb .从而验证了多项式与多项式相乘的法则。三、平方差公式如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2；若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S 1+S 2+ S 3＝(a +b )(a －b )。从而验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2－b 2。如图5：将边长为b 的小正方形放到边长为a 的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a 2－b 2；而如果从局部考试，其面积可以看作为两个梯形S 1+S 2之和，其面积为()()()()))((2 2b a b a b a b a b a b a -+=-++-+。从而也验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2 －b 2。四、完全平方公式如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a +b )2，从局部可以表示为也可以表示为S ＝S 1+ S 2+ S 3+S 4，同时S ＝a 2+ab +ab +b 2＝a 2+2ab +b 2，从而验证了完全平方公式(a +b )2＝a 2+2ab +b 2。五、一般公式的推理

平方差、完全平方差、运用乘法公式计算

平方差、完全平方差、运用乘法公式计算乘法公式------平方差公式一、预习导学计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）议一议：观察上述算式，你发现什么规律运算出结果后，你又发现什么规律【归纳总结】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即：（a+b）（a-b） =a2-b2 想一想：下列各式计算对不对若不对应怎样改正（1） (x+2)(x-2)=x2-2 （2） (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 填一填：（a+b)(-b+a) = (3a+2b)(3a-2b)= 公式的结构特征① 公式的字母 a、 b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；② 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式； ③ 有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式． ? 如：（x+y-z）（x-y-z） =[（x-z） +y] [（x-z） -y]=（x-z） 2-y2．二、合作探究互动探究一：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）在例 1 的（1）中可以把 3x 看作 a， 2 看作 b．即：

（3x+2）（3x-2） =（3x）2 - 22 （a + b）（a - b） = a2 - b2 互动探究二：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式知识点一、平方差公式的概念知识点二、平方差公式的运用)32)(32(baba+a )32)(32(babab++a )32)(32(baba++ )32)(32(bab))((cacb++))((cbacba+ 三、巩固练习【当堂检测】： 1.填空（1）（__+__）（__+__） =942a （2）（x+2）（x-2） = （） (3) (-3a-2) (3a-2) = （）（4）（a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式形式： 2.计算（1） 10298 （2） (a+b)(a-b)(a2+b2) （3）（y+2）（y-2） -（y-1）（y+5）（4）（b+2a）（2a-b）（5）（-x+2y）（-x-2y）（6）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（7）（xy+1）（xy-1）（8） (2a-3b) (3b+2a) （9） (-2b-5) (2b-5) （10）( x-y) ( x+y) （11）(3x+4) (3x-4) -(2x+3) (2x-2) （12）998 1002 完全平方公式一、基本训练，巩固旧知 1. 填空：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的，即 (a+b)(a-b) = ，这个公式叫做公式. 2. 用平方差公式计算 (1) (-m+5n) (-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab) (2+ab) 二、创设情境，总结公式 1 做一做填空：

【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析）

专训1活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金：乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点； (4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧．巧用乘法公式的变形求式子的值 1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值． 2．已知x＋1 x＝3，求x 4＋ 1 x4的值．

巧用乘法公式进行简便运算 3．计算： (1)1982；(2)2 0042； (3)2 0172－2 016×2 018； (4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 巧用乘法公式解决整除问题 4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．

应用乘法公式巧定个位数字 5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6．计算20 182 0172 20 182 0162＋20 182 0182－2 的值．巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想) 7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于

25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？答案 1．解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7， (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，所以a2＋b2＝1 2×(7＋4)＝ 1 2×11＝ 11 2， ab＝1 4×(7－4)＝ 1 4×3＝ 3 4. 2．解：因为x＋1 x＝3，所以? ? ? ? ? x＋ 1 x 2 ＝x2＋ 1 x2＋2＝9. 所以x2＋1 x2＝7.所以? ? ? ? ? x2＋ 1 x2 2 ＝x4＋ 1 x4＋2＝49.

乘法公式的灵活运用

乘法公式的应用解析

整式的乘法---完全平方公式

初中数学七年级下册第2章整式的乘法2.2乘法公式作业设计

沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题

整式的乘法完全平方公式

乘法公式活用专题训练

八上整式的乘法与乘法公式

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

整式的乘法和乘法公式(普通难度教师版)

2.2.3 运用乘法公式进行计算

推荐--1整式的乘法(六)——乘法公式二

18.乘法公式(含答案)-

乘法公式的综合运用

整式的乘法(五)——乘法公式一

整式的乘法和乘法公式练习题资料讲解

专题一乘法公式及应用完整版

专题一 乘法公式及应用

数形结合理解整式的乘法公式

平方差、完全平方差、运用乘法公式计算

【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)

专题一乘法公式及应用