(浙江专版)高考数学二轮专题复习知能专练(十三)空间几何体的三视图、表面积及体积

知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积

一、选择题

1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其

C.不相等，因此选1，与题中所给的侧视图的宽度3

2

宽度为

2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到

的最大球的半径为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析：选 B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为＝

2S

a ＋

b ＋c

＝

r ，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为12 B.，故选2＝2×1

2×6×86＋8＋10

3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为

( )

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π

解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积

S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.

4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和

体积分别是( )

8

，54．A

8

3

，54．B 8

3

，

1)＋54(．C

8,8．D 解析：选 B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为V ，54＝? ??

??12×2×54×＝侧

S

，所以5＝22＋12 ，侧面上的斜高为2.

83

＝×22

×213＝ 5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形

的面积之和为( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16 解析：选 B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为

B.，故选12＝×22＋4×2

2

6．如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图

)

(，则其侧视图的面积为2

3

的面积为

3

2

A.

33B. 34

C. 36

D.

解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB (图略)，设底，在

VOB △Rt 又三棱锥的侧视图为.2

3＝ah ＝h ×a ×212的面积为VAC △，则h ＝VO ，高a 2面边长为＝

2

3

×32＝ah 32＝h ×a 3×12＝VO ·OB 12，所以侧视图的面积为a 3＝OB 中，高ABC 正三角形.33

斛

2 000寸，容纳米1

33尺3丈1．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高7(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为

( )

A ．1丈3尺

B ．5丈4尺

C ．9丈2尺

D ．48丈6尺 解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2 000×1.62＝

3r 2? ????10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.

8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何

体的体积为( )

3

A.

32．B 3

3．C

34．D 解析：选 B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱

1＋22

×13－×32

×234＝

V 得到的，故其体积BEDC -A 截去四棱锥1C 1B 1A -ABC B.

，故选32＝3×2×

ABC 的球的表面上，底面500π

3

的四个顶点都在体积为

ABC -P 三棱锥)贵阳质检(2017·．9所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 4πR3

3，则

r 的外接圆半径为ABC △，R ，半径为O 依题意，设题中球的球心为 C 解析：选，3＝R2－r2的距离为ABC 到平面O ，又球心4＝r ，解得16π＝2

r π，由5＝R ，解得500π3

＝

因此三棱锥P -ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.

10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△

，则此三棱锥的外接球的表面积为

163

的体积为ABC -P 的等边三角形，三棱锥4是边长为ABC ( )

16π

3

A.

64π3

C. 40π3B. 80π3

D. 解析：选D 依题意，记三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的的直径，因此球心

O 为球PC 又.433＝h 得163＝h ×? ??

??

34×42×13＝h ABC △S 13＝ABC -P V ，则由h 距离为2

r ＝2R ，因此433

＝AB 2sin 60°＝r 的外接圆半径为ABC △又正.233＝

h 12的距离等于ABC 到平面O D.，故选80π3＝2

R 4π的外接球的表面积为ABC -P ，所以三棱锥203＝2?

??

??233＋ 二、填空题

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为

________．

解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC 为直角三角形，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，所以

，则该三棱锥的表

90°＝PBC ∴∠，2BC ＋2PB ＝2PC ，3＝PC ，5＝PB ＝AC

.

2

3

＝×1×2×212×13，体积为52＋2＝5×2×12＋5×2×12＋×1×212＋×1×212面积为 2

3

52＋2答案：

12．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为

________，体积为________．

解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个底面为正三角形，条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，其中底面△BCD 是正三角形，各一长为2，侧棱AD ⊥底面BCD ，且AD ＝2，底面△BCD 的中垂线长DE ＝边

＝×23×2×1

2

×13＝AD ×BCD △S ×13＝BCD

-A 三棱锥V

，22＝AB ＝AC ∴，3.23

3

，体积为22，即该几何体最长的棱长为233

23

3

22答案： 13．一个直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则截去的几何体为________(从备选项中选择一个填上：三棱锥、四棱锥、三棱柱、

四棱柱)，截去的几何体的体积为________．

解析：作出直观图可得截去的几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，高为4

.

4

3

＝×41×22×13＝V 的三棱锥，其体积

43

答案：三棱锥 14．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

________，其外接球的表面积为________．

解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其，所以四棱柱的外接球52＝? ??

??322＋22＝

R 的外接球的半径又直四棱柱24.＝×31

2

4×4×体积为25π.

＝2

R 4π的表面积为 答案：24 25π

15．(2017·洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2

的圆，则该几何体的表面积为________．

，

3

4

，故该几何体的表面积等于球的表面积的34解析：由三视图可知该几何体为一个球体的16π.

＝2

R π＋2R ×4π34

＝S 即加上以球的半径为半径的圆的面积， 答案：16π

16．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三

形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________． 角

解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝

，结合

BD ⊥OC ，BD ⊥OA ，则OC ，OA 的中点，连接BD 为O ，设32＝BD 2，视图可知AO ⊥平面BCD .

正

，

1＝CD2－OD2＝OC 又

.33＝×1? ??

??12×23×1×13＝BCD -A 三棱锥V ∴ 3

3答案：

17．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧视图与俯视图．已知CF ＝2AD ，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示，则该几何体的体积为

________．

解析：取CF 中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，则

∥CP ，且AD ＝CP .

AD

所以四边形ACPD 为平行四边形，所以AC ∥PD .所以平面PDQ ∥平

面ABC .

该几何体可分割成三棱柱PDQ -CAB 和四棱锥D -PQEF ，

PQEF

- D V ＋CAB - PDQ V ＝V 所以 .

33＝3×1＋2×22

×13＋sin 60°×22×212＝ 33答案： [选做题]

1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A ．16

B ．20

C ．52

D ．60 解析：选 B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几

B.

，故选20＝×2×4×31

3

2×－×3×4×612＝V 何体的体积 2．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1

的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( ) 6

．A

92

5 C.．B 94D. 解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P -ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设

＝

h ，解得h －1h2＋32

＝

13

，即PO PF ＝OM FH ，所以PHF △Rt ∽PMO △Rt ，易知h ＝PH D.，故选9

4

AC

，312＝AB ，若C ，B ，A ，其球面上有三点31的半径为O 已知球)兰州模拟(2017·．3＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．

解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，

，

312＝AB ，12＝BC ＝AC ∵，CD 连接 ，

1

2

＝－AC2＋BC2－AB22AC·BC ＝ACB ∠cos 中，ABC △在 ∴∠ACB ＝120°，

∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12，

∴点D 是△ABC 的外接圆圆心，

，2

DO ＋2

DA ＝2

OA 中，ODA △，在DO 连接 ，

5＝DO ∴，25＝2

12－2

13＝2

DA －2

OA ＝2

DO 即 又DO ⊥平面ABC ，

.

360＝×53

2

×12×12×12×13＝ABC - O V ∴ 3

60答案：