辽宁省葫芦岛市2021届新高考数学一模考试卷含解析
辽宁省葫芦岛市2021届新高考数学一模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）
A ．100
B ．210
C ．380
D ．400
【答案】B
【解析】
【分析】
设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解.
【详解】
设{}n a 公差为d ，27a =，415a =， 2433211,42
a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102
n a n S ?+∴=-∴==. 故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题.
2．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）
A ．8种
B ．12种
C ．16种
D ．20种
【答案】C
【解析】
【分析】
分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.
【详解】
若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合；
若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合； 因此共有12416+=种组合.
故选C
【点睛】
本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.
3．已知函数()0,1ln ,1x f x x x
≥?，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0- 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1
x f x x x
【详解】
当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x
=?=?=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .
在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x
和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A
【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
4．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=
，则ω的最小值为 A ．16 B ．23 C ．53 D ．56
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
将函数()f x 的图象向左平移
3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以5
2,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53
．故选C ． 5．点(,)P x y 为不等式组+40x y y x y ≤??≤??≥?所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-?+∞
B ．(][),11,-∞-+∞U
C ．()2,1-
D ．[]2,1-
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可得到结论．
【详解】 不等式组40
x y y x y +???????…作出可行域如图：(4,0)A ，(2,2)B ，(0,0)O ，
22
y z x +=
-的几何意义是动点(,)P x y 到(2,2)Q -的斜率，由图象可知QA 的斜率为1，QO 的斜率为：1-， 则22y x +-的取值范围是：(-∞，1][1-U ，)+∞． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．
6．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤?
，则32z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．9
C ．6
D ．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤?
的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322
z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，
即max 32206z =?+?=.
故选：C.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
7．在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ?的面为S ，且()2
2a b c =+-，则sin 4C π??+= ??
?（ ）
A ．1
B ．2
C
D 【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【详解】
解：由()22a b c =+-，
得2221sin 22
ab C a b c ab =+-+， ∵ 2222cos a b c ab C +-=，
∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -= 即2sin 16C π??-= ??
?， 则1sin 62
C π?
?-= ???， ∵ 0C π<<，
∴ 5666
C π
π
π-<-<， ∴ 66C π
π
-=，即3C π
=，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ????+=+=+= ? ?????12 故选D ．
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．103
B ．3
C ．83
D ．73
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积11110222222323
V =
???-???=. 故选：A.
【点睛】 本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）
A ．{}1,2,3
B ．{}6,7,8
C ．{}1,2,3,4,5
D ．{}6,7,8,9,10
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合.
【详解】
设公差为d ，由题知43a =-?133a d +=-，
1224S =?1121112242
a d ?+
=， 解得19a =-，2d =， 所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ，
故{}1,2,3,4,5i ∈.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
10．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2615C =种取法，
从5名女干部中选出1名女干部，有155C =种取法， 则有15575?=种不同的选法；
故选：C ．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
11．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种
B ．36种
C ．54种
D ．72种
【答案】B
【解析】
【分析】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.
【详解】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有234336C A =种.
故选：B .
【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
12．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥??+≤??≥?
，则2z x y =+的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，
易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =?+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知三棱锥A BCD -中，3AD AC BC BD ====，2AB CD ==，则该三棱锥的外接球的表面积是________.
【答案】11π
【解析】
【分析】
将三棱锥A BCD -补成长方体AEDF GBHC -，设AE x =，AF y =，AG z =，设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，求得()2
2222R x y z =++的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.
【详解】
将三棱锥A BCD -补成长方体AEDF GBHC -，设AE x =，AF y =，AG z =，
设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，则()2
2222R x y z =++，
由勾股定理可得222222222949AD x y AB x z AC y z ?=+=?=+=??=+=?
，
上述三个等式全部相加得()222222x y z ++=，()222222411R R x y z ∴==++=，
因此，三棱锥A BCD -的外接球面积为2411R ππ=.
故答案为：11π.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
14．如图，在平面四边形ABCD 中，点A ，C 是椭圆22
143x y +=短轴的两个端点，点B 在椭圆上，90BAD BCD ∠=∠=?，记ABC V 和ADC V 的面积分别为1S ，2S ，则12
S S =______.
【答案】
43
【解析】
【分析】 依题意易得A 、B 、C 、D 四点共圆且圆心在x 轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B 的横坐标，进一步得到D 横坐标，再由12||||
B D S x S x =计算比值即可.
【详解】
因为90BAD BCD ∠=∠=?，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，直径为BD ，又A 、C 关于x 轴对称，
所以圆心E 在x 轴上，设圆心E 为(,0)t ，则圆的方程为222
()3x t y t -+=+，联立椭圆方程2214
3x y += 消y 得280x tx -=，解得8x t =，故B 的横坐标为8t ，又B 、D 中点是E ，所以D 的横坐标为6t -， 故12||||B D S x S x =43
=. 故答案为：
43. 【点睛】
本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B 、D 横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.
15．已知全集{}1,0,1U =-，集合{}0,||A x =，则U A =e______.
【答案】{}1-
【解析】
【分析】
根据题意可得出{0,1}A =，然后进行补集的运算即可．
【详解】
根据题意知，||1x =，
{0,1}A ∴=，{1,0,1}U =-，
{1}U A ∴=-e．
故答案为：{}1-．
【点睛】
本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．
16．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值为____________.
【答案】1
【解析】