高三物理第二轮专题复习教案[全套]·物理

第一讲 平衡问题

一、特别提示[解平衡问题几种常见方法]

1、力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。

2、力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作 用而平衡，这三个力的作 用线必在同一平面上，而且必有共点力。

3、正交分解法：将各力分解到x 轴上和y 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件)00(∑∑==y x F F 多用于三个以上共点力作 用下的物体的平衡。值得注意的是，对x 、y 方向选择时，尽可能使落在x 、y 轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

4、矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作 用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。

5、对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。

6、正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

7、相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。

二、典型例题

1、力学中的平衡：运动状态未发生改变，即0=a 。表现：静

止或匀速直线运动

（1）在重力、弹力、摩擦力作 用下的平衡

例1 质量为m 的物体置于动摩擦因数为μ的水平面上，现对它

施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角

时这个力最小？

解析 取物体为研究对象，物体受到重力mg ，地面的支持力N ，

摩擦力f 及拉力T 四个力作 用，如图1-1所示。

由于物体在水平面上滑动，则N f μ=，将f 和N 合成，得到合力F ，由图知F 与f 的夹角：

μ==αarcctg N

f arcct

g 不管拉力T 方向如何变化，F 与水平方向的夹角α不变，即F 为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T 与F 互相垂直时，T 有最小值，即当拉力与水平方向的夹角μ=μ-=θarctg arcctg 90时，使物体做匀速运动的拉力T 最小。

（2）摩擦力在平衡问题中的表现

这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作 用。在共点力平衡中，当物

体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点

①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。

②由于滑动摩擦力F=N F μ，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。

例2 重力为G 的物体A 受到与竖直方向成α角的外力 F 后，

静止在竖直墙面上，如图1-2所示，试求墙对物体A 的静摩擦力。

分析与解答 这是物体在静摩擦力作 用下平衡问题。首先确定

研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A 受竖直向下的

重力G ，外力F ，墙对A 水平向右的支持力（弹力）N ，以及还可能

有静摩擦力f 。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。

物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意：这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。）具体到这个题目，在竖直方向物体A 受重力G 以及外力F 的竖直分量，即α=cos 2F F 。当接触面光滑，αcos F G =时，物体能保持静止；当α>cos F G 时，物体A 有向下运动的趋势，那么A 应受到向上的静摩擦力；当α

从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力F 的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。

（3）弹性力作 用下的平衡问题

例3 如图1-3所示，一个重力为mg 的小环套在竖直的半径为r

的光滑大圆环上，一劲度系数为k ，自然长度为L （L<2r ）弹簧的一端

固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A 。当小环静止时，略

去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹

角?

分析 选取小环为研究对象，孤立它进行受力情况分析：小环受

重力mg 、大圆环沿半径方向的支持力N 、弹簧对它的拉力F 的作 用，

显然，

)cos 2(L r k F -?=

解法1 运用正交分解法。如图1-4所示，选取坐标系，以小环所

在位置为坐标原点，过原点沿水平方向为x 轴，沿竖直方向为y 轴。

∑=?+?-=02sin sin ,0N F Fx

∑=?--?-=02cos cos ,0N mg F Fy

解得 )

(2arccos mg kr kL -=? 解法2 用相似比法。若物体在三个力F 1、F 2、F 3作 用下处于平衡状态，这三个力必组成首尾相连的三角形F 1、F 2、F 3，题述中恰有三角形AO m 与它相似，则必有对应边成比例。

r

N r mg r F ==?cos 2 )

(2arccos mg kr kL -=? （4）在电场、磁场中的平衡

例4 如图1-5所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直

于纸面向里，一质量为m 带电量为q 的微粒以速度v 与磁场垂直、

与电场成45?角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E

的大小，磁感强度B 的大小。

解析 由于带电粒子所受洛仑兹力与v 垂直，电场力方向与电

场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。假设粒子带负

电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力f 就应斜向右下与v 垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，

?=45sin qvB mg （1） ?=45cos qvB qE （2）

由（1）式得qv

mg B 2=，由（1），（2）得q mg E /= （5）动态收尾平衡问题

例5 如图1-6所示，AB 、CD 是两根足够长的固定平行金属导

轨，两导轨间距离为l ，导轨平面与水平面的夹角为θ。在整个导轨

平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B 。在

导轨的A 、C 端连接一个阻值为R 的电阻。一根垂直于导轨放置的金

属棒ab ，质量为m ，从静止开始沿导轨下滑。求ab 棒的最大速度。

（已知ab 和导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计）

解析 本题的研究对象为ab 棒，画出ab 棒的平面受力图，如图1-7。

ab 棒所受安培力F 沿斜面向上，大小为R v l B BIl F /22==，则ab 棒

下滑的加速度

m F mg mg a /)]cos (sin [+θμ-θ=。

ab 棒由静止开始下滑，速度v 不断增大，安培力F 也增大，加速度a 减小。当a =0时达到稳定状态，此后ab 棒做匀速运动，速度达最大。

0)/cos (sin 22=+-R v l B mg mg θμθ。

解得ab 棒的最大速度

22/)cos (sin l B mgR v m θμθ-=。

例6 图1-8是磁流体发电机工作原理图。磁流

体发电机由燃烧室（O ）、发电通道（E ）和偏转磁场

（B ）组成。在2500K 以上的高温下，燃料与氧化剂

在燃烧室混合、燃烧后，电离为正负离子（即等离子

体），并以每秒几百米的高速喷入磁场，在洛仑兹力

的作 用下，正负离子分别向上、下极板偏转，两极板

因聚积正负电荷而产生静电场。这时等离子体同时受到方向相反的洛仑兹力（f ）与电场力（F ）的作 用，当F=f 时，离子匀速穿过磁场，两极板电势差达到最大值，即为电源的电动势。设两板间距为d ，板间磁场的磁感强度为B ，等离子体速度为v ，负载电阻为R ，电源内阻不计，通道截面是边长为d 的正方形，试求：

（1）磁流体发电机的电动势ξ？

（2）发电通道两端的压强差p ?？

解析 根据两板电势差最大值的条件

dB

B E v F f ξ===得 所以，磁流发电机的电动势为Bdv =ξ

设电源内阻不计，通道横截面边长等于d 的正方形，且入口处压强为1p ，出口处的压

强为2p ；当开关S 闭合后，发电机电功率为R Bdv R P 2

)(2

==ξ电 根据能量的转化和守恒定律有

v d p v d p v F v F P 222121-=-=电

所以，通道两端压强差为

R

v B p p p 221=-=? （6）共点的三力平衡的特征规律

例7 图1-9中重物的质量为m ，轻细线AO 和BO 的A 、B

端是固定的，平衡时AD 是水平的，BO 与水平的夹角为θ。AO 的拉力F 1和BO 的拉力F 2的大小是：

A 、θcos 1mg F =

B 、θmgctg F =1

C 、θsin 2mg F =

D 、θsin /2mg F =

解析 如图1-10，三根细绳在O 点共点，取O 点（结点）为研究对象，分析O 点受力如图1-10。O 点受到AO 绳的拉力F 1、BO 绳的拉力F 2以及重物对它的拉力T 三个力的作 用。

图1-10（a ）选取合成法进行研究，将F 1、F 2合成，

得到合力F ，由平衡条件知：

mg T F ==

则：θθmgctg Fctg F ==1

θθsin /sin /2mg F F ==

图1-10（b ）选取分解法进行研究，将F 2分解成

互相垂直的两个分力x F 、y F ，由平衡条件知：

1,F F mg T F x y ===

则：θθsin /sin /2mg F F y ==

θθmgctg ctg F F F y x ===1

问题：若BO 绳的方向不变，则细线AO 与BO 绳的方向成几度角时，细线AO 的拉力最小？

结论：共点的三力平衡时，若有一个力的大小和方向都不变，另一个力的方向不变，则第三个力一定存在着最小值。

（7）动中有静，静中有动问题

如图1-11所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上

着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球

沿杆下滑的加速度为重力加速度的二分之一，则在小球下滑的过程中，木箱对地面的压力为mg Mg 2

1+

。因为球加速下滑时，杆受向上的摩擦力f 根据第二定律有ma f mg =-，所以mg f 2

1=。对木箱进行受力分析有：重力Mg 、地面支持力N 、及球对杆向下的摩擦力mg f 2

1=。由平衡条件有mg Mg mg f N 21+=+=。 2、电磁学中的平衡

（1）电桥平衡

若没有R ，则R 1和R 2串联后与R 3和R 4串联后再并

联

设通过R 1的电流为I 1，通过R 3的电流I 2

如有：I 1R 1=I 2R 3，I 1R 2=I 2R 4 则R 两端电势差为0所以R 中的电流为0，即电桥平衡。

（2）静电平衡

例8 一金属球，原来不带电。现沿球的直径的延长线放置一均匀带电

的细杆MN ，如图1-12所示。金属球上感应电荷产生的电场在

球内直径上a 、b 、c 三点的场强大小分别为a E 、b E 、c E ，

三者相比，

A 、a E 最大

B 、b E 最大

C 、c E 最大

D 、

a E =

b E =

c E

解析：

当金属球在带电杆激发的电场中达到以静电平衡时，其内部的场强为0，即细杆在a 、b 、c 产生的场强与金属球上的感应电荷在a 、b 、c 产生的场强大小相等，方向相反，故答案C 正确。

3、热平衡问题

例9 家电电热驱蚊器中电热部分的主要元件是PTC ，它是由

钛酸钡等半导体材料制成的电阻器，其电阻率ρ与温度t 的个关系

图象如图1-13。电热驱蚊器的原理是：通电后电阻器开始发热，温

度上升，使药片散发出驱蚊药，当电热器产生的热与向外散发的热

平衡时，温度达到一个稳定值。由图象可以判定：通电后，PTC 电

阻器的功率变化情况是 ，稳定时的温度应取 区间的某一

值。

分析 通电后应认为电压U 不变。随着温度的升高，在（0~t 1）

范围内，电阻率随温度的升高而减小，因此电阻减小，电功率增大，

驱蚊器温度持续上升；在（t 1~t 2）范围内，电阻率随温度的升高而增大，因此电阻增大，电功率减小。当电热器产生的热与向外散发的热平衡时，温度、电阻、电功率都稳定在某一值。

解答 功率变化是先增大后减小，最后稳定在某一值。这时温度应在t 1~t 2间。

4、有固定转轴物体的平衡。

例10 重3100（N ）的由轻绳悬挂于墙上的小球，搁在轻

质斜板上，斜板搁于墙角。不计一切摩擦，球和板静止于图1-14

所示位置时，图中α角均为30°。求：悬线中张力和小球受到的

斜板的支持力各多大？小球与斜板接触点应在板上何处？板两端

所受压力多大？（假设小球在板上任何位置时，图中α角均不变）

解析 设球与板的相互作 用力为N ，绳对球的拉力为T ，则

对球有ααsin cos G T =，ααcos sin G N T =+，可得

N T 100=，N=100N 。球对板的作 用力N 、板两端所受的弹力

N A 和N B ，板在这三个力作 用下静止，则该三个力为共点力，据此可求得球距A 端距离4/sin 2AB a AB x ==，即球与板接触点在板上距A 端距离为板长的1/4处。对板，以A 端为转动轴，有x B N a AB N =??sin 对板，以B 端为转动轴，有

)(cos x AB N a AB N A -=??。可得N N A 350=，N N B 50=。

第二讲 匀变速运动

一、特别提示：

1、匀变速运动是加速度恒定不变的运动，从运动轨迹来看可以分为匀变速直线运动和匀变速曲线运动。

2、从动力学上看，物体做匀变速运动的条件是物体受到大小和方向都不变的恒力的作 用。匀变速运动的加速度由牛顿第二定律决定。

3、原来静止的物体受到恒力的作 用，物体将向受力的方向做匀加速直线运动；物体受到和初速度方向相同的恒力，物体将做匀速直线运动；物体受到和初速度方向相反的恒力，物体将做匀减速直线运动；若所受到的恒力方向与初速度方向有一定的夹角，物体就做匀变速曲线运动。

二、典型例题：

例1 气球上吊一重物，以速度0v 从地面匀速竖直上升，经过时间t 重物落回地面。不计空气对物体的阻力，重力离开气球时离地面的高度为多少。

解 方法1：设重物离开气球时的高度为x h ，对于离开气球后的运动过程，可列下面方程：20021)(x x x gt v h t v h --=-，其中（-h x 表示）向下的位移x h ，0

v h x 为匀速运动的时间，x t 为竖直上抛过程的时间，解方程得：g

t v t x 02=，于是，离开气球时的离地高度可在匀速上升过程中求得，为：)2()(000g t v t v t t v h x x -

=-= 方法2：将重物的运动看成全程做匀速直线运动与离开气球后做自由落体运动的合运动。显然总位移等于零，所以：

0)(2120

0=--v h t g t v x 解得：)2(00g

t v t v hx -= 评析 通过以上两种方法的比较，更深入理解位移规律及灵活运用运动的合成可以使解题过程更简捷。

例2 两小球以95m 长的细线相连。两球从同一地点自由下落，其中一球先下落1s 另一球才开始下落。问后一球下落几秒线才被拉直？

解 方法1：“线被拉直”指的是两球发生的相对位移大小等于线长，应将两球的运动ts ，则先下落小球运动时间为(t+1)s ，根据位移关系有：

解得：t=9s

方法2：若以后球为参照物，当后球出发时前球的运动速度为s m gt v /100==。以后两球速度发生相同的改变，即前一球相对后一球的速度始终为s m v /100=，此时线已被拉长：)(51102

12122m gt l =??==? 线被拉直可看成前一球相对后一球做匀速直线运动发生了位移：

)(90595m l l s =-=?-= ∴)(910

900s v s t === 评析 解决双体或多体问题要善于寻找对象之间的运动联系。解决问题要会从不同的角度来进行研究，如本题变换参照系进行求解。

例3 如图2-1所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和

53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、

向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A 、

B 两个小球的运动时间之比为（ ）

A 、1:1

B 、4:3

C 、16:9 D\9：16

解 由平抛运动的位移规律可行：

t v x 0= 22

1gt y = ∵x y /tan =θ ∴g v t /tan 20θ= ∴16

953tan 37tan =??=B A t t 故D 选项正确。

评析 灵活运用平抛运动的位移规律解题，是基本方法之一。应用时必须明确各量的物理意义，不能盲目套用公式。

例4 从空中同一地点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的

初速度方向相反、大小分别为0201v v 和，求经过多长时间两小球

速度方向间的夹角为90°？

解 经过时间t ，两小球水平分速度01v 、02v 不变，竖直分

速度都等于gt ，如图2-2所示，t 时刻小球1的速度x v 与1轴正

向夹角1a 为

011/tan v gt a =

小球2的速度x v 与2轴正向夹角2a 为

022/tan v gt a -=

由图可知 212π+

=a a 联立上述三式得 g v v t /0201=

评析 弄清平抛运动的性质与平抛运动的速度变化规律是解决本题的关键。

例5 如图2-3所示，一带电粒子以竖直向上的初速度0v ，自A

处进入电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场，它受到的电场力恰

与重力大小相等。当粒子到达图中B 处时，速度大小仍为0v ，但方

向变为水平向右，那么A 、B 之间的电势差等于多少？从A 到B 经

历的时间为多长？

解 带电粒子从A →B 的过程中，竖直分速度减小，水平分速度增大，表明带电粒子的重力不可忽略，且带正电荷，受电场力向右。依题意有 Eq mg =

根据动能定理： )(动能不变=-mgh q U AB

在竖直方向上做竖直上抛运动，则 gt v gh v ==-020,20 解得：g

v t g v h 0,22==。 ∴g

Ev gq Eqv g v q mg q mgh UAB 222202020==?== 评析 当带电粒子在电场中的运动不是类平抛运动，而是较复杂的曲线运动时，可以把复杂的曲线运动分解到两个互相正交的简单的分运动来求解。

例6 如图2-4所示，让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子

的混合物由静止经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏

转，它们是否会分成三股？请说明理由。

解 设带电粒子质量为m 、电量为q ，经过加速电场加速后，再

进入偏转电场中发生偏转，最后射出。设加速电压为 U 1，偏转电压

为U 2，偏转电极长为L ，两极间距离为d ，带电粒子由静止经加速电

压加速，则U 1q=221mv ，m

q U v 12=。 带电粒子进入偏转电场中发生偏转，则水平方向上：vt L =， 竖直方向上：d

U L U dmv qL U t dm q U at y 12

2222222422121==??==。 可见带电粒子射出时，沿竖直方向的偏移量y 与带电粒子的质量m 和电量q 无关。而一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子，它们仅质量或电量不相同，都经过相同的加速和偏

转电场，故它们射出偏转电场时偏移量相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。

评析带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作用。分析问题时，注意运动学、动力学、功和能等有关规律的综合运用。

第三讲 变加速运动

一、特别提示

所谓变加速运动，即加速度（大小或方向或两者同时）变化的运动，其轨迹可以是直线，也可以是曲线；从牛顿第二定律的角度来分析，即物体所受的合外力是变化的。 本章涉及的中学物理中几种典型的变加速运动如：简谐运动，圆周运动，带电粒子在电场、磁场和重力场等的复合场中的运动，原子核式结构模型中电子绕原子核的圆周运动等。故涉及到力学、电磁学及原子物理中的圆周运动问题。

二、典型例题

例1 一电子在如图3-1所示按正弦规律变化的外力作 用下由

静止释放，则物体将：

A 、作往复性运动

B 、t 1时刻动能最大

C 、一直朝某一方向运动

D 、t 1时刻加速度为负的最大。

评析 电子在如图所示的外力作 用下运动，根据牛顿第二定律

知，先向正方向作加速度增大的加速运动，历时t 1；再向正方向作加速度减小的加速运动，历时(t 2~t 1)；(0~t 2)整段时间的速度一直在增大。紧接着在(t 2~t 3)的时间内，电子将向正方向作加速度增大的减速运动，历时(t 3~t 2)；(t 3~t 4)的时间内，电子向正方向作加速度减小的减速运动，根据对称性可知，t 4时刻的速度变为0（也可以按动量定理得，0~t 4时间内合外力的冲量为0，冲量即图线和坐标轴围成的面积）。其中（0~t 2）时间内加速度为正；(t 2~t 4)时间内加速度为负。正确答案为：C 。

注意 公式ma F =中F 、a 间的关系是瞬时对应关系，一段时间内可以是变力；而公式at v v +=01或202

1at t v s +=只适用于匀变速运动，但在变加速运动中，也可以用之定性地讨论变加速运动速度及位移随时间的变

化趋势。

上题中，如果F-t 图是余弦曲线如图3-2所示，则情况又如何？

如果F-t 图是余弦曲线，则答案为A 、B 。

例2 如图3-3所示，两个完全相同的小球a 和b ，分别在光

滑的水平面和浅凹形光滑曲面上滚过相同的水平距离，且始终不离开

接触面。b 球是由水平面运动到浅凹形光滑曲线面，再运动到水平面

的，所用的时间分别为t 1和t 2，试比较t 1、t 2的大小关系：

A 、t 1>t 2

B 、t 1=t 2

C 、t 1

D 、无法判定

评析 b 小球滚下去的时候受到凹槽对它的支持力在水平向分

力使之在水平方向作加速运动；而后滚上去的时候凹槽对它的支持力在水平方向分力使之在水平方向作减速运动，根据机械能守恒定律知，最后滚到水平面上时速度大小与原来相等。故b 小球在整个过程中水平方向平均速度大，水平距离一样，则b 所用时间短。答案：A 。

例3 如图3-4所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B

相连。木块A 放在B 上。两木块质量均为m ，竖直向下的力F 作 用在A 上，A 、B 均静止，问：

（1）将力F 瞬间撤去后，A 、B 共同运动到最高点，此时B 对A 的

弹力多大？

（2）要使A 、B 不会分开、力F 应满足什么条件？

评析 （1）如果撤去外力后，A 、B 在整个运动过程中互不分离，则系

统在竖直向上作简揩运动，最低点和最高点关于平衡位置对称，如图3-5所示，

设弹簧自然长度为0l ，A 、B 放在弹簧上面不外加压力F 且系统平衡时，如果

弹簧压至O 点，压缩量为b ，则：Kb mg =2。外加压力F 后等系统又处于

平衡时，设弹簧又压缩了A ，则：)(2A b K F mg +=+，即：KA F =。

当撤去外力F 后，系统将以O 点的中心，以A 为振幅在竖直平面内上下作简谐运动。在最低点：F KA mg A b k F ==-+=2)(合，方向向上，利用牛顿第二定律知，该瞬间加速度：m

F a 2=，方向向上；按对称性知系统在最高点时：m

F a 2=，方向向下。 此时以B 为研究对象进行受力分析，如图3-6所示，按牛顿第二定律得：

2

)(F mg a g m N a m N mg B B -=-=??=- （2）A 、B 未分离时，加速度是一样的，且A 、B 间有弹力，同时最高点最容易分离。分离的临界条件是：mg F F mg N N B B 202

0=?=-=?=（或者：在最高点两者恰好分离时对A 有：ma mg =，表明在最高点弹簧处于自然长度时将要开始分离，即只要：mg F K

mg K F b A 22>?>?>时A 、B 将分离）。所以要使A 、B 不分离，必须：mg F 2≤。 例4 如图3-7所示，在空间存在水平方向的匀强磁场（图中未画

出）和方向竖直向上的匀强电场（图中已画出），电场强度为E ，磁感

强度为B 。在某点由静止释放一个带电液滴a ，它运动到最低点恰与一

个原来处于静止状态的带电液滴b 相撞，撞后两液滴合为一体，并沿水

平方向做匀速直线运动，如图所示，已知a 的质量为b 的2倍，a 的带

电量是b 的4倍（设a 、b 间静电力可忽略）。

（1）试判断a 、b 液滴分别带何种电荷？

（2）求当a 、b 液滴相撞合为一体后，沿水平方向做匀速直线的速度v 及磁场的方向；

（3）求两液滴初始位置的高度差h 。

评析 （1）设b 质量为m ，则a 带电量为4q ，因为如果a 带正电，a 要向下偏转，则必须：qE mg 42<；而对b 原来必须受力平衡，则：qE mg =。前后相矛盾，表明a 带负电，b 带正电。

（2）设A u 为a 与b 相撞前a 的速度，a 下落的过程中重力、电场力做正功，由动能定理有：222

1)24(A mv h mg qE ?=+。由于b 原来处于静止状态：qE mg =。 由以上两式可得：gh v A 6=

a 、

b 相撞的瞬间动量守恒：v m m mv A )2(2+=。得A v v 3

2=

而电荷守恒，故：)(34负电总q q q q =-= a 、b 碰撞后粘在一起做匀速直线运动，按平衡条件得：mg qE qvB 333+=，则：B E v 2=。所以：2

2

23gB E h = 例5 如图3-8所示，一单匝矩形线圈边长分别为a 、b ，电阻为

R ，质量为m ，从距离有界磁场边界h 高处由静止释放，试讨论并定性

作出线圈进入磁场过程中感应电流随线圈下落高度的可能变化规律。

评析 线圈下落高度时速度为：gh v mv mgh 22

1020=?= 下边刚进入磁场时切割磁感线产生的感应电动势：gh Bb Blv E 20==。产生的感应电流：I=

gh R Bb R E 2=，受到的安培力：gh R b B BIl F 22

2==安

讨论 （1）如果安F mg =，即：gh R

b B mg 22

2=，则：线圈将匀速进入磁场，此时：Bb

mg

I b BI mg ===00（变化规律如图3-9所示） （2）如果安F mg >，表

明h 较小，则：线圈加速进入磁场，但随着↓↑←↑→a F v 安有三种可能：

①线圈全部进入磁场时还未达到稳定电流I 0（变化规律如图3-10所示）

②线圈刚全部进入磁场时达到稳定电流I 0（变化规律如图3-11所示）

③线圈未全部进磁场时已达到稳定电流I 0（变化规律如图3-12所示）

（3）如果安F mg <，则：线圈减速进入磁场，但随着m mg F a F v -↓=

↓?↓→安安，

故线圈将作a 减小的减速运动。

有三种可能：

①线圈全部进入磁场时还未达到

稳定电流I 0（变化规律如图3-13所示）

②线圈刚全部进入磁场时达到稳定电流I 0（变化规律如图3-14所示）

③线圈未全部进入磁场时已达到稳定电流I 0（变化规律如图3-15所示）

例6 光从液面到空气时的临界角C 为45°，如图3-16

所示，液面上有一点光源S 发出一束光垂直入射到水平放置于

液体中且到液面的距离为d 的平面镜M 上，当平面镜M 绕垂

直过中心O 的轴以角速度ω做逆时针匀速转动时，观察者发现

水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑的光斑在水面

上掠过的最大速度为多少？

评析 本题涉及平面镜的反射及全反射现象，需综合运用

反射定律、速度的合成与分解、线速度与角速度的关系等知识求

解，确定光斑掠移速度的极值点及其与平面镜转动角速度间的关系，是求解本例的关键。

设平面镜转过θ角时，光线反射到水面上的P 点，光斑速度

为v ，如图3-17可知：θ

2cos 1v v =，而： ωθ

ω22cos 21?=?=d l v

故：θ

ω2cos 22d v =，↓↓→↑→v )2(cos θθ，而光从液体到空气的临界角为C ，所以当?==452C θ时达到最大值m ax v ，即：

d C

d v ωω4cos 22max == 例7 如图3-18所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长

约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球简谐运动的最大

加速度和最大速度大小各为多少？（g 取10m/s 2）

评析 这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行

推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的

概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的概念

和规律等。由题意知，当单摆共振时频率Hz f 5.0=，即：

Hz

f f 5.0==固，振幅A=8cm=0.08m ，由

g l f T π21==得：m m f g

l 15

.014.341042222≈??==π 如图3-19所示，摆能达到的最大偏角?<5m θ的情况下，共振时：

l A mg

mg mg F m m m =≈=θθsin ，（其中m θ以弧度为单位，当m θ很小时，m m θθ≈sin ，弦A

近似为弧长。）所以：2/08.010s m l A l g m F am m ?===

2/8.0s m =。根据单摆运动过程中机械能守恒可

得：)cos 1(212m m mg mv θ-=。其中：s m l l g A vm l

A m m m /1008.0)(22sin 2)cos 1(222?==?==-很小θθθ s m /25.0= 例8 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）E E R GM v /22=，其中G 、M E 、R E 分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.7×10-11N ·m 2/kg 2，c=3.0×108m/s ，求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=2.0×1030kg ，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarhid 半径）；（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m 3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c ，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？（最后结果保留两位有效数字）

解析 （1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度R GM v /22=，其中M 、R 为天体的质量和半径，对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于

真空中的光速，即c v >2，所以：)(100.3)

100.3(100.2107.62232830

112m c GM R ?=?????=<- 即质量为30100.2?kg 的黑洞的最大半径为3100.3?(m)

（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为334R V m πρρ?=?=，其中R 为宇宙的

半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为R GM v /22=

，由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c 。即：c v >2。则由以上三式可得：m G

c R 262

100.483?=>πρ，合4.2×1010光年。即宇宙的半径至少为4.2×1010光年。

第四讲 动量和能量

一、特别提示

动量和能量的知识贯穿整个物理学，涉及到“力学、热学、电磁学、光学、原子物理学”等，从动量和能量的角度分析处理问题是研究物理问题的一条重要的途径，也是解决物理问题最重要的思维方法之一。

1、动量关系

动量关系包括动量定理和动量守恒定律。

（1）动量定理

凡涉及到速度和时间的物理问题都可利用动量定理加以解决，特别对于处理位移变化不明显的打击、碰撞类问题，更具有其他方法无可替代的作 用。

（2）动量守恒定律

动量守恒定律是自然界中普通适用的规律，大到宇宙天体间的相互作 用，小到微观粒子的相互作 用，无不遵守动量守恒定律，它是解决爆炸、碰撞、反冲及较复杂的相互作 用的物体系统类问题的基本规律。

动量守恒条件为：

①系统不受外力或所受合外力为零

②在某一方向上，系统不受外力或所受合外力为零，该方向上动量守恒。 ③系统内力远大于外力，动量近似守恒。

④在某一方向上，系统内力远大于外力，该方向上动量近似守恒。

应用动量守恒定律解题的一般步骤：

确定研究对象，选取研究过程；分析内力和外力的情况，判断是否符合守恒条件；选定正方向，确定初、末状态的动量，最后根据动量守恒定律列议程求解。

应用时，无需分析过程的细节，这是它的优点所在，定律的表述式是一个矢量式，应用时要特别注意方向。

2、能的转化和守恒定律

（1）能量守恒定律的具体表现形式

高中物理知识包括“力学、热学、电学、原子物理”五大部分内容，它们具有各自的独立性，但又有相互的联系性，其中能量守恒定律是贯穿于这五大部分的主线，只不过在不同的过程中，表现形式不同而已，如：

在力学中的机械能守恒定律：2211p k p k E E E E +=+

在热学中的热力学第一定律：Q W U +=? 在电学中的闭合电路欧姆定律：r R E I +=，法拉第电磁感应定律t n E ??=φ，以及楞次定律。 在光学中的光电效应方程：W hv nw m -=22

1 在原子物理中爱因斯坦的质能方程：2mc E =

（2）利用能量守恒定律求解的物理问题具有的特点：

①题目所述的物理问题中，有能量由某种形式转化为另一种形式；

②题中参与转化的各种形式的能，每种形式的能如何转化或转移，根据能量守恒列出方程即总能量不变或减少的能等于增加的能。

二、典题例题

例题1 某商场安装了一台倾角为30°的自动扶梯，该扶梯在电压为380V 的电动机带动下以0.4m/s 的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率为4.9kkw 。不载人时测得电动机中的电流为5A ，若载人时传颂梯的移动速度和不载人时相同，设人的平均质量为60kg ，则这台自动扶梯可同时乘载的最多人数为多少？（g=10m/s 2）。

分析与解 电动机的电压恒为380V ，扶梯不载人时，电动机中的电流为5A ，忽略掉电动机内阻的消耗，认为电动机的输入功率和输出功率相等，即可得到维持扶梯运转的功率为

W A V P 190053800=?=

电动机的最大输出功率为 kW P m 9.4=

可用于输送顾客的功率为 kW P P P m 30=-=?

由于扶梯以恒定速率向斜上方移动，每一位顾客所受的力为重力mg 和支持力N F ，且F N =mg

电动机通过扶梯的支持力F N 对顾客做功，对每一位顾客做功的功率为

P 1=F n vcosa=mgvcos(90°-30°)=120W 则，同时乘载的最多人数人25120

30001==?=P P n 人 点评 实际中的问题都是复杂的，受多方面的因素制约，解决这种问题，首先要突出实际问题的主要因素，忽略次要因素，把复杂的实际问题抽象成简单的物理模型，建立合适的物理模型是解决实际问题的重点，也是难点。

解决物理问题的一个基本思想是过能量守恒计算。很多看似难以解决的问题，都可以通过能量这条纽带联系起来的，这是一种常用且非常重要的物理思想方法，运用这种方法不仅使解题过程得以简化，而且可以非常深刻地揭示问题的物理意义。

运用机械功率公式P=Fv 要特别注意力的方向和速度方向之间的角度，v 指的是力方向上的速度。本题在计算扶梯对每个顾客做功功率P 时，P 1=F n vcosa=mgvcos(90°-30°)，不能忽略cosa ，a 角为支持力F n 与顾客速度的夹角。

例题2 如图4-1所示：摆球的质量为m ，从偏离水平方向30°

的位置由静释放，设绳子为理想轻绳，求小球运动到最低点A 时绳

子受到的拉力是多少？

分析与解 设悬线长为l ，下球被释放后，先做自由落体运动，

直到下落高度为h=2lsin θ，处于松驰状态的细绳被拉直为止。这时，小球的速度竖直向下，大小为gl v 2=。

当绳被拉直时，在绳的冲力作 用下，速度v 的法向分量n v 减为零（由于绳为理想绳子，能在瞬间产生的极大拉力使球的法向速度减小为零，相应的动能转化为绳的内能）；小球以切向分量?=30sin 1v v 开始作变速圆周运动到最低点，在绳子拉直后的过程中机械能守恒，

有 222

1)60cos 1()30sin (21A mv mg v m =?-+? 在最低点A ，根据牛顿第二定律，有

l

v m mg F 2

=- 所以，绳的拉力mg l

v m mg F 5.32

=+= 点评 绳子拉直瞬间，物体将损失机械能转化为绳的内能（类似碰撞），本题中很多同学会想当然地认为球初态机械能等于末态机械能，原因是没有分析绳拉直的短暂过程及发生的物理现象。力学问题中的“过程”、“状态”分析是非常重要的，不可粗心忽略。

例题3 如图4-2所示，两端足够长的敞口容器中，有两

个可以自由移动的光滑活塞A 和B ，中间封有一定量的空气，

现有一块粘泥C ，以E K 的动能沿水平方向飞撞到A 并粘在一

起，由于活塞的压缩，使密封气体的内能增加，高A 、B 、C 质

量相等，则密闭空气在绝热状态变化过程中，内能增加的最大

值是多少？

分析与解 本题涉及碰撞、动量、能量三个主要物理知识点，

是一道综合性较强的问题，但如果总是的几个主要环节，问题将迎刃而解。

粘泥C 飞撞到A 并粘在一起的瞬间，可以认为二者组成的系统动量守恒，初速度为0v ，末速度为1v ，则有

102mv mv = ①

在A 、C 一起向右运动的过程中，A 、B 间的气体被压缩，压强增大，所以活塞A 将减速运动，而活塞B 将从静止开始做加速运动。在两活塞的速度相等之前，A 、B 之间的气体体积越来越小，内能越来越大。A 、B 速度相等时内能最大，设此时速度为2v ，此过程对A 、

B 、

C 组成的系统，由动量守恒定律得（气体的质量不计）：

203mv mv = ②

由能的转化和守恒定律可得：在气体压缩过程中，系统动能的减少量等于气体内能的增加量。所以有：

222132

121mv mv E -=

? ③ 解①②③得：K E mv E 61216120=?=? 点评 若将本题的物理模型进行等效的代换：A 和B 换成光滑水平面上的两个物块，A 、B 之间的气体变成一轻弹簧，求内能的最大增量变成求弹性势能的最大增量。对代换后的模型我们已很熟悉，其实二者是同一类型的题目。因此解题不要就题论题，要有一个归纳总结的过程，这样才能够举一反三。