2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习学业达标集训三角恒等变换含解析
一、选择题
1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α
2的值为( ) A ．63 B ．－6
3 C ．±63
D ．±33
A [由题意知α2∈? ??
??0，π2，∴cos α2>0，cos α
2＝
1＋cos α2＝6
3.]
2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A ．6
2 B ．32 C ．54
D ．1＋3
4
C [原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝5
4.] 3．已知
tan α＋1
tan α－1
＝2，则cos 2α＝( )
A ．－35
B ．35
C ．－45
D ．45
C [∵
tan α＋1tan α－1
＝2，∴解得tan α＝3，
∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9
＝－4
5.故选C ．] 4．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ
2的值等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13
D ．13
A [由题意知θ为第三象限角，cos θ＝－1－925＝－45，所以tan θ2＝
sin θ1＋cos θ
＝
－35
1－45
＝－3.] 5．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0
D ．±1
C [sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)
＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.] 6．已知x ∈? ????
－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )
A ．7
24 B ．－724 C ．247
D ．－
247
D [cos x ＝45，x ∈? ????
－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－3
4，
所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2× ? ???
?－34 1－? ??
?
?
－342＝－24
7.] 7．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( )
A ．1－m 2
B ．－1－m 2
C ．m 2－1
D ．－m 2－1
B [∵sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ， ∴sin[(α－β)－α]＝－sin β＝m ，
即sin β＝－m ，又β为第三象限角，
∴cos β<0，由同角三角函数的基本关系可得： cos β＝－
1－sin 2β＝－
1－m 2，故选B ．]
8．已知向量a ＝(sin α，cos 2α)，b ＝(1－2sin α，－1)，α∈? ????
π2，3π2，若ab ＝
－85，则tan ? ?
?
??α－π4的值为( )
A ．17
B ．27
C ．－17
D ．－27
C [∵－8
5＝a ·b ＝sin α(1－2sin α )－cos 2α， ∴－8
5＝sin α－2sin 2α－(1－2sin 2α)， 化为sin α＝－3
5. ∵α∈? ????π2，3π2，
∴α∈? ?
???π，3π2.
∴cos α＝－
1－sin 2α＝－4
5，
∴tan α＝sin αcos α＝3
4，
∴tan ?
????α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－1
1＋34＝－17.故选C ．] 9．已知sin (45°＋α)＝5
5，则sin 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C ．35
D ．45
B [sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝5
5， ∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，∴1＋sin 2α＝2
5， ∴sin 2α＝－3
5.]
10．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．以上均有可能
A [由tan A tan
B ＞1，得角A ，B 均为锐角，然后切化弦，得sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos(A ＋B )＜0，∴cos(π－
C )＜0，∴－cos C ＜0，∴cos C ＞0，∴角C 为锐角，∴△ABC 是锐角三角形，故选A ．]
11．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )
A ．tan α
B ．tan 2α
C ．1
D ．2
B [原式＝2sin 2α2cos 2α·
cos 2α
cos 2α＝tan 2α.]
12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点? ????
π12，0，则φ的值可以是( )
A ．－π
6
B ．π6
C ．－π12
D ．π12 A [由题得tan ? ????2×π12＋φ＝0， 即tan ? ????
π6＋φ＝0，
π
6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π
6，k ∈Z ，
当k ＝0时，φ＝－π
6，故选A ．]
13．若锐角α，β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝3
5，则sin β的值是( ) A ．1725 B ．35 C ．725
D ．15
C [∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α，β∈? ?
???0，π2，
∴0＜α＋β＜π，∴sin α＝35，sin(α＋β)＝4
5.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝45×45－35×35＝7
25.] 14．函数y ＝sin ? ????2x ＋π3cos ? ????x －π6＋cos ? ????2x ＋π3·sin ? ????
π6－x 的图象的一条对称轴方
程是( )
A ．x ＝π
4 B ．x ＝π
2 C ．x ＝π
D ．x ＝3π
2
C [y ＝sin ? ????2x ＋π3·cos ? ????x －π6－cos ? ????2x ＋π3·sin ? ????x －π6＝sin ??? ? ????2x ＋π3－
?
??
? ????x －π6＝sin ? ??
??
x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．]
15．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈? ?
???0，π2，若a ∥b ，则
tan ? ?
?
??α－π4＝( ) A ．17 B ．－17 C ．27
D ．－27
B [因为a ∥b ，
所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0，
即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ?5sin 2 α＋2sin α－3＝0，
解得sin α＝35或－1，又α∈? ?
???0，π2，
所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝3
4， 所以tan ? ?
???α－π4＝tan α－11＋tan α
＝34－1
1＋34＝－
17.] 二、填空题
16．若tan ? ?
???α－π4＝16，则tan α＝ .
75 [tan ? ?
???α－π4＝tan α－11＋tan α＝16
，解得tan α＝
75.] 17．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈???
?
??0，π2的最小值为 ．
－1 [f (x )＝2sin ? ????x －π4，x ∈??????0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ? ????
－π4＝
－1.]
18.3tan π
81－tan 2π
8＝ .
3
2
[原式＝32×2tan π8
1－tan 2π8＝32tan
? ?
???2×π8＝32tan π4＝32
.] 19．函数y ＝sin 2x －2sin x sin ? ????
x ＋π3＋sin 3π2的图象的对称轴是 ，对称
中心是 ．
x ＝k π2＋π4(k ∈Z )? ????k π2，－1(k ∈Z ) [∵y ＝sin 2x －2sin x sin ? ????
x ＋π3＋sin 3π2
＝sin 2x －2sin x ? ??
??12sin x ＋3
2cos x －1
＝－3sin x cos x －1＝－3
2sin 2x －1. 令2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
4(k ∈Z )， 令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π
2(k ∈Z )． ∴该函数的对称轴为x ＝k π2＋π
4(k ∈Z )， 对称中心为? ????
k π2，－1(k ∈Z )．]
三、解答题
20．已知sin x 2－2cos x
2＝0. (1)求tan x 的值； (2)求
cos 2x
2cos ? ??
??π4＋x ·sin x
的值．
[解] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0?tan x
2＝2，
∴tan x ＝
2tan x 2
1－tan 2x 2
＝
2×21－2
2＝－43.
(2)原式＝
cos 2x －sin 2x 2? ??
??22cos x －2
2sin x sin x
＝
(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )
(cos x －sin x )sin x
.
由(1)知cos x －sin x ≠0，所以上式＝cos x ＋sin x
sin x
＝cot x ＋1＝? ??
??
－34＋1＝14.
21．已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(22＋sin x,22－cos x )，函数f (x )＝m·n ，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最大值；
(2)若x ∈? ????－3π2，－π且f (x )＝1，求cos ? ??
??x ＋5π12的值． [解] (1)因为f (x )＝m·n ＝cos x (22＋sin x )＋sin x (22－cos x ) ＝22(sin x ＋cos x )＝4sin ? ????
x ＋π4(x ∈R )，
所以f (x )的最大值是4.
(2)因为f (x )＝1，所以sin ? ??
??x ＋π4＝1
4.
又因为x ∈? ????－3π2，－π，即x ＋π4∈? ????－5π4，－3π4.所以cos ? ????
x ＋π4＝－154.
cos ? ????x ＋5π12＝cos ???????
????x ＋π4＋π6 ＝cos ? ????x ＋π4cos π6－sin ? ????x ＋π4sin π6
＝－154×32－14×1
2＝－35＋18.