2020届普陀区高考数学一模试卷(含答案)
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研 2019.12
一、填空题
1. 若抛物线2y mx =的焦点坐标为1,02?? ???
，则实数m 的值为____________ 2. 132lim 31
n n
n n +→∞+=+____________ 3. 不等式11x
>的解集为____________ 4. 已知i 为虚数单位，若复数11z mi i
=++是实数，则实数m 的值为____________ 5. 设函数()()log 4a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =____________ 6. ()63111x x ??+? ??
?展开式中含2x 项的系数为____________（结果用数值表示） 7. 各项都不为零的等差数列{}()*N n a n ∈满足22810230a a a ?+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =____________
8. 设椭圆()2
22:11x y a a
Γ+=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP 是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =，则Γ的长轴长等于____________
9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有____________
10. 已知函数()()()()22815,,f x x x ax bx c a b c R =++++∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1,2]上有 解，则实数a 的取值范围是____________
11. 设P
是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外
接圆的一条动弦，则PM PN ?的取值范围为____________
12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）
已知(
)()
()22x f x x ?<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为____________
二、选择题
13.“{}1,2m ∈”是“lnm <1”成立的（ ）
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D . 既非充分也非必要条件
14. 设集合{}{}|1,1,3,A x x a B b =?==?，若A B ?，则对应的实数对(),a b 有（ ）
A . 1对
B . 2对
C . 3对
D . 4对
15. 已知两个不同平面,αβ和三条不重合的直线,,a b c ，则下列命题中正确的是（ ）
A . 若a //α，b αβ?=，则a //b
B . 若,a b 在平面α内，且,c a c b ⊥⊥，则c α⊥
C . 若,,a b c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与,,a b c 都相交
D . 若,αβ分别经过两异面直线,a b ，且c αβ?=，则c 必与a 或b 相交
16. 若直线2:
12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点11,P a b ?? ???，则ab 的最大值为（ ）
A . 76
B . 4?
C . 5?
D . 6?
三、解答题
17. 如图所示的三棱锥P -ABC 的三条棱P A 、AB 、AC 两两互相垂直，AB =AC =2P A =2，点D 在棱AC 上，且
()0AD AC λλ=>.
（1）当12
λ=时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D -PBC 的体积为
29时，求λ的值.
18. 设函数()221
x
x f x a ?=. （1）当4a =?时，解不等式()5f x <；
（2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.
19. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建，如图所示，平行四边
形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且OA =60米，∠AOB =60°，设POB θ∠=.
（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.
20. 已知双曲线()22
22:10,0x y a b a b
Γ?=>>的焦距为4，直线():40l x my m R ??=∈与Γ交于两个不同的点D 、E ，且m =0时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；
（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求
证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.
21. 数列{}n a 与{}n b 满足11,n n n a a b a a +==?，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.
（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13
?的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值； （2）设121n n n b b +?=?，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；
（3）设()*24,2,N ,22
n n n n S a b c n λλ+===∈≥?，若存在整数k ,l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.
参考答案
1、2
2、3
3、()0,1
4、21
5、2
6、9
7、8
8、
9、432 10、11,83??????
11、6??+?
12、(3?+
13-16、ADDB
17、（1）3
π；（2）23 18、（1）()0,2；（2）16a ≥?
19、（1）2sin 216S πθ???=+? ?????，0,3πθ??∈ ???；（2）6πθ=，max S =
20、（1）2
213x y ?=；（2）((),3,m ∈?∞+∞；（3）Q P x x ?= 21、（1）14
；（2）[]8,1??；（3）3k =,2l =,1λ=?;4k =,2l =,2λ=?;