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高考数学_数列典型例题选讲(1)

数列典型例题选讲

1 .已知数列}{n a 为正项等比数列,n 2n 53

a b 32a 8a log ,,===

(1)求n a 的通项公式;

(2)设}{n b 的前n 项和为n S ,求n S

2 .设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1

1,a =142n n S a +=+

(I)设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II)求数列{}n a 的通项公式.

3 .已知等比数列{}n a 中,13,a =481a =*()n ∈N .

(Ⅰ)若{}n b 为等差数列,且满足2152,b a b a ==,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +??

?

???

的前n 项和n T .

4 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1n

n S tS n --=(2n ≥,*n ∈N ,t 为常数) ,且11a =.

(Ⅰ)当2t =时,求2a 和3a ;

(Ⅱ)若{1}n a +是等比数列,求t 的值; (Ⅲ)求n S .

5 .已知数列

{}n a 的前n 项和为n S , 且满足n 2-=n n a S ,(1,2,3,.....)n =

( I ) 求321,,a a a 的值;

(II) 求证数列}1{+n a 是等比数列;

( III ) 若n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n T .

6 .已知

)0(3,2

)

(,

≥x x f x 成等差数列.又数列,3,)0}({1=>a a a n n 中此数列的前n 项的和S n (+∈N n )对所有大于1的正整数n 都有)(1-=n n S f S . (1)求数列}{n a 的第n+1项;

(2)若n

n n a a b 1

,

11

+是

的等比中项,且T n 为{b n }的前n 项和,求T n.

7 .设数列{}n b 的前n 项和为n S ,且22n

n b S =-;数列{}n a 为等差数列,且514,a =720a =?

(1)求数列{}n b 的通项公式;

(2)若(1,2,3),n n n n c a b n T =?=…为数列{}n c 的前n 项和,求证72

n T <

?

8 .在数列{}n a 中,11111,(1)2

n n n n a a a n ++==+

+ (1)设n

n a b n

=

,求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和n S

9 .2a ,5a 是方程2

x 02712=+-x 的两根, 数列

{}n a 是公差为正的等差数列,数列{}n b 的前n 项和为n T ,

且n T 2

1

1-

=n b ()

*∈N n (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;

(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .

10.已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 是n S 与2的等差中项,数列{}n b 中,11=b ,点()1,+n n b b P 在直线

02=+-y x 上?

(Ⅰ)求1a 和2a 的值;

(Ⅱ)求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b ; (Ⅲ) 设n n n b a c =,求数列{}n c 的前n 项和n T ?

11.已知在等差数列

{}n a 中,34,a =前7项和等于35,数列{}n b 中,点(),n n b S 在直线220x y +-=上,其中

n S 是数列{}n b 的前n 项和()*n N ∈?

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证数列{}n b 是等比数列;

(3)设,n n n n c a b T =?为数列{}n c 的前n 项和,求n T 并证明;

4532

n T ≤

12.设数列

{}n a 的前n 项和为n S ,且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()n=1,2,3.

(Ⅰ)求证数列{}

1+n S 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式n a ; (Ⅲ)设2n

n

n S a b =

,求证1...21<+++n b b b .

13.已知等差数列{a n }的首项≠=d a 公差,21

0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{b n }的第一

项、第二项、第三项?

(I)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (II)设数列{c n }对任意的122

11+*

=+++∈n n

n a b c b c b c N n 均有

,求数列{c n }的前n 项和?

14.设数列

}{n a 的首项11a =,前n 项和为n S ,且点1(,)(,

2)n n S S n n *-∈≥N 在直线

(23)330t x ty t +-+=(t 为与n 无关的正实数)上.

(Ⅰ) 求证数列}{n a 是等比数列;

(Ⅱ) 记数列}{n a 的公比为()f t ,数列{}n b 满足11

1

1,()n n b b f b -==(,2)n n *∈≥N . 设212221n n n n n c b b b b -+=-,求数列{}n c 的前n 项和n T ; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设1(1)31

n n n

d b =+

-*()n ∈N ,证明1n n d d +<.

15.已知递增的等比数列

{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)若12log +=n n a b ,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求使424n S n >+成立的n 的最小值.

16.已知数列{}n a 中,211=

a ,且当2

1

=x 时,函数x a x a x f n n 1221)(+-=取得极值?

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项;

(Ⅱ)在数列{}n b 中,11=b ,1221log -+=-n n n a b b ,求21b 的值

17.已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ,且2231-?=-n n S .

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)令()n n a n b 23-=,求数列{}n b 的前n 项和为n T .

18.等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +

∈ ,点(,

)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且

1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

(1)求r 的值;

(11)当b=2时,记 22(l o g 1)()n n b a n N +=+∈

证明对任意的n N +

,不等式

1212111

·······n n

高考数学_数列典型例题选讲(1)

b b b b b b +++>

19.已知数列{n a }的前n 项的和为n S ,对一切正整数n 都有22n n S n a =+.

(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式; (Ⅱ)当n N *

∈,证明

1

11172122

212

n n n a a a ++++

++.

20.已知数列{n a }中2

1

1=

a ,点(n n a a n -+12,)在直线x y =上,其中1,2,3....n = (Ⅰ)令{}是等比数列;求证数列n n n n

b a a b ,11--=+ (Ⅱ)求数列{}的通项;

n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、

n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+??

????

为等差数列?若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由?

21.数列{}n a 中,148,2,a a ==且212(*).n n n a a a n N ++=-∈

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设12||||||,n Sn a a a =+++求10;S

(3)设121

,(12)

n n n n b T b b b n a =

=++

+-,是否存在最大整数m,使得对*n N ?∈ 有32

n m

T >

成立?若存在,求出m 的值,若不存在,说明理由?

22.数列}{n a 的通项)3

sin 3(cos

22

2

ππn n n a n -=,其前n 项和为n S . (1)求n S ; (2)令n

n

n n S b 4

3?=

,求数列}{n b 的前n 项和n T .

23.各项均为正数的数列}{n a ,a a =1

,b a =2,且对满足q p n m +=+的正整数m ,n ,p ,q 都有

)

1)(1()1)(1(q p q p n m n

m a a a a a a a a +++=

+++? (1)当21=

a ,5

4

=b 时,求通项n a ; (2)证明对任意a ,存在与a 有关的常数λ,使得对于每个正整数n ,都有

λλ

≤≤n a 1

.

24.设数列

{}n a 满足*01,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数,且0c ≠

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设11

,22

a c =

=,*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ; (Ⅲ)若01n a <<对任意*

n N ∈成立,证明01c <≤

25.已知曲线2

2:20(1,2,)n C x

nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,

切点为(,)n n n P x y .

(1)求数列{}{}n n x y 与的通项公式; (2

高考数学_数列典型例题选讲(1)

)证明13521n n n

x

x x x x y -???

?<

高考数学_数列典型例题选讲(1)

.

26.已知函数()41,()2,f x x g x x x =+=∈R,数列}{n a ,}{n b ,}{n c 满足条件11,a =

1()()n n n a f b g b +==(n ∈N *),]3)(][2

1

)(21[1

++=

n g n f c n .

(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;

(Ⅱ)求数列}{n c 的前n 项和n T ,并求使得150

m

T n >对任意n ∈N *都成立的最大正整数m ; (Ⅲ)求证

122311

23

n n a a a n a a a +++???+>-.