专题15 椭圆、双曲线、抛物线(高考押题)(解析版)
高考押题专练
1．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近
线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )
A.x 216－y 29＝1
B.x 23－y 2
4＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 2
3＝1 【答案】C
【解析】以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3，4)在这条渐近线上，所以b a ＝4
3，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得
a ＝3，
b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 2
16
＝1，故选C.
2．椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|
的( )
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍 【答案】A
【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，
∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，
把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝3
4.
∴|PF 1|＝36＋34＝73
2，
|PF 2|＝
0＋34＝32
. ∴|PF 1|
|PF 2|＝73
23
2
＝7.故选A.
3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B
【解析】由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|
?cos 60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
?|PF 1|·|PF 2|＝4.
4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ????62，2
2在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，
则双曲线C 的离心率等于( )
A.
22 B. 2 C. 3 D.6
2
【答案】B
【解析】根据已知条件得：
?????32a 2
－1
2b 2
＝1，
????62＋c 2＋12＋????62－c 2＋1
2＝4c 2
，
即?????3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2，
∴解得a ＝1，c ＝ 2.
∴双曲线C 的离心率e ＝c
a
＝ 2.故选B.
5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭
圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )
A.23
B.73
C.5
3 D ．2 【答案】B
【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p 2
＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2
＝4x ，联立?????x 2
4＋y 2
3＝1，y 2＝4x .
解得???x ＝23，y ＝263或???x ＝23
，y ＝－263，
∵P 为第一象限的点，∴P ???
?
23，263，
∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝7
3
，故选B.
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条
渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．2 3
B ．2 5
C ．4 3
D ．45 【答案】B
【解析】由题意得?????a ＋p
2
＝4，－p
2＝－2，－1＝（－2）·b a
?????
?p ＝4，a ＝2，b ＝1
?c ＝a 2＋b 2＝ 5. ∴双曲线的焦距2c ＝2 5.故选B.
7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )
A ．4
B ．3 3
C ．4 3
D ．8 【答案】C
【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝1
2
×4×23＝4 3.故选C.
8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )
A.13
B.223
C.23
D.2
3 【答案】B
【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，
由||F A ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．
由y ＝k (x ＋1)得，x ＝y
k －1，代入C ：y 2＝4x 并整理得ky 2－4y ＋4k ＝0，
又y 1，y 2是该方程的两根，
∴?
??3y 2＝y 1＋y 2＝4
k
， ①
2y 22＝y 1y 2＝4k
k
＝4， ②
∴由①②得，2＝y 22＝
???
?43k 2
.
∵k >0，∴k ＝22
3
.故选B.
9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (
c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，
x 2，则P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2＋y 2＝2内
B ．必在圆x 2＋y 2＝2外
C ．必在圆x 2＋y 2＝1外
D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D
【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (
c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为
x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c
a
，
x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2ac a 2>a 2＋c 2
a 2＝1＋e 2，
因为0 所以x 21＋x 22 >1， 又b 2a 2＋2ac a 2 ＝2， 所以1 即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝15 8(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两 点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( ) A.158 B.415 C.23 D.1 2 【答案】D 【解析】∵椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A (a ，0)，F (－ c ，0)． ∵抛物线y 2＝15 8(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点， ∴B ，C 两点关于x 轴对称，可设B (m ，n )，C (m ，－n )． ∵四边形ABFC 是菱形， ∴m ＝1 2 (a －c )． 将B (m ，n )代入抛物线方程，得 n 2＝158(a ＋c )·12(a －c )＝15 16 b 2， ∴B ????12（a －c ），154b ，再代入椭圆方程，得 ??? ?12（a －c ）2a 2 ＋ ????154b 2 b 2 ＝1， 即14·（a －c ）2a 2＝1 16 ， 化简整理，得4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝12(e ＝3 2 >1不符合题意，舍去)．故选D. 11．已知A (－1，0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 212＋y 2 11＝1 B.x 236－y 2 35＝1 C.x 23－y 2 2 ＝1 D.x 23＋y 2 2 ＝1 【解析】由题意得|P A |＝|PB |，所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2.所以点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1， 所以b ＝2，所以动点P 的轨迹方程为x 23＋y 2 2 ＝1. 【答案】D 12．已知双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条 渐近线于点B ，则S △ABF ＝( ) A. 3 B.32 C.334 D.338 【解析】由双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1，得a 2＝1，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝2， 所以A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x . 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)， 代入方程y ＝－3x ，解得B (1，－3)， 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×1×3＝3 2. 【答案】B 13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP → ＝4FQ → ，则|QF |等于________． 【解析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ → ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4. 又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ |′＝3. 【答案】3 14．已知抛物线 y 2＝2px (p ＞0)上的一点 M (1，t )(t ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 2 9 ＝1(a ＞0)的左顶 点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________． 【解析】由题设1＋p 2＝5，所以p ＝8. 不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)， 由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且AM 平行一条渐近线，所以41＋a ＝3 a ，则a ＝3. 【答案】3 15．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________． 【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝b a x ，根据题意得k PF ＝－a b ，设P ????x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2 c ，则P ????a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为????12????a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14????a c ＋c a 2－ 14 ????a c 2＝1，即14????1e ＋e 2－14·??? ?1e 2 ＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 方法二：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±y b ＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝ ??? ? c a ????1a 2 ＋??? ?±1b 2 ＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b 2 2， 又距离之积为 ????x 0a －y 0b ????1a 2＋??? ?－1b 2· ??? ?x 0a ＋y 0b ????1a 2＋??? ? 1b 2＝a 2b 2c 2， 则a 2b 2c 2＝b 22， ∴a 2c 2＝1 2，e ＝ 2. 【答案】 2 16．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2 a 2－y 2 3a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立?????x 2 a 2－y 2 3a 2＝1， y 2＝8ax ， 解得 x ＝3a ， 即点P 的横坐标为3a . 而由? ????|PF 1|＋|PF 2|＝12， |PF 1|－|PF 2|＝2a 解得|PF 2|＝6－a ， ∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－2 17．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF → ，则k 的值为________． 【解析】依题意得椭圆的方程为x 24 ＋y 2 ＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图， 设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝ 2 1＋4k 2 .由ED →＝6DF → 知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0 ＝ 21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38. 【答案】 23或3 8 18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R)，且OA →·OP → ＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 【解析】∵AP →＝(λ－1)OA → ， ∴OP →＝λOA → ，则O ，P ，A 三点共线． ∵OA →·OP →＝72，∴|OA →||OP → |＝72， 设线段OP 与x 轴的夹角为θ，设A (x ，y )，B 为点A 在x 轴的投影， 则线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP → |cos θ＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2 ＝72×1 1625|x |＋9|x | ≤72× 1 216×925 ＝15. 当且仅当|x |＝15 4 时等号成立． 则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 【答案】15 19．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积． 【解析】(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以 p ＝2，M (0，1)， ①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝1 4，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k － 4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1. (2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1， 联立? ????y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， 所以|y 1－y 2|＝42， 所以S △OAB ＝1 2 |OF ||y 1－y 2|＝2 2. 20．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB . (1)求椭圆C 的方程； (2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围． 【解析】(1)抛物线y 2＝46x 的焦点为(6，0)，又椭圆C 上有一点M (2，1)， 由题意设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则???? ?c 2＝6＝a 2－b 2，4a 2＋1b 2 ＝1， 解得? ????a 2＝8，b 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2 2 ＝1. (2)∵l ∥OM ?k 1＝k O M ＝12，设直线在y 轴上的截距为m ，则直线l ：y ＝1 2x ＋m . 直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． 联立???y ＝1 2x ＋m ，x 2 8＋y 2 2＝1 消去y 得 x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0， ∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}， 设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2， ∴k 1＋k 2＝0， 则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1 x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1 x 2－2 ＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2） ＝ ????12x 1＋m －1（x 2－2）＋??? ?12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2） ＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2） ＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2） ＝0， 故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}． 21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ????43，13. (1)求椭圆C 的离心率； (2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2， 求点Q 的轨迹方程． 【解析】(1)由椭圆定义知， 2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝????43＋12＋????132 ＋ ????43－12 ＋??? ?132 ＝22， 所以a ＝ 2. 又由已知，得c ＝1， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝2 2. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2 ＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )． ①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为???? 0，2－355. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2. 因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2 ＝(1＋k 2)x 22. 又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由2|AQ |2＝1|AM |2 ＋1 |AN |2 ，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1 （1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 2 2.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2 ＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.② 由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0， 得k 2>32 . 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝6 2k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝18 10k 2－3 .③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2 x ，代入③中并化简， 得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2>32，可知0 2， 即x ∈? ???－ 62，0∪? ??? 0， 62. 又点????0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈????－62，6 2. 由题意知Q (x ，y )在椭圆C 内， 所以－1≤y ≤1. 又由10(y －2)2＝18＋3x 2有 (y －2)2∈???? 95，94，且－1≤y ≤1， 则y ∈????12 ，2－355. 所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18， 其中x ∈? ???－ 62， 62，y ∈???? 12 ，2－355. 22．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 2 3＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2 作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q . (1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【解析】(1)证明：因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0| 1＋k 21 ＝2， 化简得：(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0， 同理：(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 2 0－2＝0， 所以k 1，k 2是方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不相等的实数根， 所以k 1·k 2＝y 20－2x 20－2 . 因为点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 206＋y 20 3＝1，即y 20＝3－12x 20， 所以k 1k 2＝1－1 2x 2 0x 20－2＝－1 2为定值． (2)|OP |2＋|OQ |2是定值，定值为9. 理由如下： 方法一：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立???? ?y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得? ?? x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21 ， 所以x 21＋y 21＝ 6（1＋k 21）1＋2k 2 1，同理得x 22＋y 2 2＝6（1＋k 22）1＋2k 22 ， 又因为k 1k 2＝－1 2 ， 所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 2 2 ＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 2 2）1＋2k 22 ＝ 6（1＋k 21） 1＋2k 21 ＋ 6????? ? 1＋????－12k 121＋2????－12k 1 2 ＝9＋18k 211＋2k 2 1 ＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9， 综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值． 方法二：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 因为k 1k 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22， 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上， 所以???x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，即? ??y 21 ＝3－12x 21 ，y 22＝3－12x 22 ， 所以????3－12x 21????3－12x 22 ＝14x 21x 2 2 ，整理得x 21＋x 2 2＝6， 所以y 21＋y 22 ＝????3－12x 21＋????3－12x 22＝3，所以|OP |2＋|OQ |2＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9， 综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值． 23．已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为 2 2 ，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)． (1)求曲线E 的方程； (2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的 直线l 的方程；若没有，请说明理由． 【解析】(1)设点P (x ，y )，由题意可得， （x －1）2＋y 2|x －2|＝2 2， 整理可得x 22 ＋y 2 ＝1. ∴曲线E 的方程是x 22 ＋y 2 ＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，不合题意． 当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得 |n |m 2＋1 ＝1，即m 2＋1＝n 2. 联立?????y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 得????m 2＋1 2x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0， ∴Δ＝4m 2n 2－4????m 2＋1 2(n 2－1)＝2m 2＞0， 则x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2 ＝－2mn －Δ 2m 2＋1 ， ∴S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1 ＝22|m |＋ 1|m |≤2 2， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x －6 2 和直线y ＝－ 22x ＋6 2 符合题意． 24．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1，2)作抛物线C 的弦AP ，AQ . (1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标； (2)假设直线PQ 过点T (5，－2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由． 【解析】(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由?????x ＝my ＋n ，y 2＝4x 得y 2－4my －4n ＝0. 由Δ>0，得m 2＋n >0， y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n . ∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ → ＝0， ∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0. 又x 1＝y 214，x 2＝y 22 4 ， ∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0， ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0. ∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5. ∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)． (2)假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ . 设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n . ∵直线PQ 过点T (5，－2)， ∴5＝m ·(－2)＋n ， ∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 的方程为x ＝my ＋2m ＋5. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由? ????x ＝my ＋2m ＋5， y 2＝4x 得 y 2－4my －8m －20＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－8m －20. ∵PQ 的中点坐标为 M ?? ??x 1＋x 22，y 1＋y 22， 即M ????y 21＋y 2 28， y 1＋y 22， 且y 21＋y 228＝（y 1＋y 2）2 －2y 1y 28 ＝2m 2＋2m ＋5， ∴PQ 的中点坐标为M (2m 2＋2m ＋5，2m )． 由已知得2m －2 2m 2＋2m ＋5－1＝－m ， 即m 3＋m 2＋3m －1＝0. 设g (m )＝m 3＋m 2＋3m －1， 则g ′(m )＝3m 2＋2m ＋3>0， ∴g (m )在R 上是增函数． 又g (0)＝－1<0，g (1)＝4>0， ∴g (m )在(0，1)内有一个零点． ∴函数g (m )在R 上有且只有一个零点，即方程m 3＋m 2＋3m －1＝0在R 上有唯一实根， ∴满足条件的等腰三角形有且只有一个． 25.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点． (1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 【解析】(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1. ∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2 ， 由????? y ＝kx ＋p 2， x 2＝2py 消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ????x 1，x 2 12p ，B ????x 2，x 2 2 2p . ∴M ????kp ，k 2p ＋p 2，N ? ???kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 21 2p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－ x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 2 2 ＝x 1 p . 又x 2＝2py 即y ＝x 22p ，∴y ′＝x p . ∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1 p .∴直线AN 与抛物线相切． 26．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于22 3 ，P 是椭圆E 上的点．以线段 PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→ ＝1. (1)求椭圆E 的方程； (2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围． 【解析】(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)，半焦距为 c . ∵椭圆E 的离心率等于22 3， ∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2 ＝a 2 9. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2 a . ∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4 a 2＝1. 由??? b 2＝ a 29 ，9b 4a 2 ＝1， 得? ???? a 2＝9， b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0即x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－1 2相交， ∴直线l 不可能与x 轴垂直， ∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由???? ? y ＝kx ＋m ，y 29＋x 2＝1， 得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0. 由????? m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9 ＋1＝0，得????k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2 ＋9>0，∴k 2＋9 4k 2－1<0， ∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3. ∴直线l 的倾斜角的取值范围为????π3，π2∪???? π2，2π3. <一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ） S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ） 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距 离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 高中数学循环记忆学案 基本题目过关； 22 12 211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点 的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２ ２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿ ３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ （－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ ｘｙ ６，若方程＋＝１，表示焦点在 ｙ轴上的椭圆，则ｍ的 ｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________ 22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ ⊥12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且， 11122 121222213,F A B P PF FA PO//AB e=( ) 11 A B C.D 232 AB F BAF =90x y a b ⊥∠o 如图已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的右顶点和上顶点为椭圆上一点，当，时， 14,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，过F 的弦与构成等 腰直角三角形，若角，则e=_________ F C B C BF C D BF FD u u u r u u u r 15,已知是椭圆的一个焦点，是椭圆短轴的一个端点，线段 的延长线交于点，且=2,则e=______ 22 122212P x y a b F PF ∠o 16,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，为椭圆上一点， =90,离心率的最小值为__________ 22 12221217,P =x y x a b F F PF ∠o 过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F ，作轴的垂线交椭圆于， 为右焦点，若60，则e=______ 22 12122212P PF 1 2 x y PF a b ∠u u u r u u u u r 18，为F F 为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点，若=0 tan PF F =,则e=______ 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ） 双曲线的标准公式为:X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0 而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴 所以应该旋转45度设旋转的角度为a (a≠0,顺时针(a为双曲线渐进线的倾斜角则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4 ysin(π/4^2 -(xsin(π/4 - ycos(π/4^2 = (√2/2 x √2/2 y^2 -(√2/2 x - √2/2 y^2 = 4 (√2/2 x (√2/2 y = 2xy. 而xy=c 所以X^2/(2c - Y^2/(2c = 1 (c>0 Y^2/(-2c - X^2/(-2c = 1 (c<0 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长. 或S=π(圆周率×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长. 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1- (e*cost^2dt≈2π√((a^2 b^2/2 [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL 椭圆的准线方程x=±a^2/C 椭圆的离心率公式e=c/a(e<1,因为2a>2c 椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0与准线x= a^2/C的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a ex 椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0,y0 椭圆 x^2/a^2 y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2 y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2 y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系y=kx m ①x^2/a^2 y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2 (kx m^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0无交点相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1 B(x2,y2 |AB|=d = √(1 k^2|x1-x2| = √(1 k^2(x1-x2^2 = √(1 1/k^2|y1-y2| = √(1 1/k^2(y1-y2^2 椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外中,过焦点并垂直于轴的弦公式:2b^2/a 椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2 y^2/b^2上一点(x,y的切线斜率为b^2*X/a^2y 抛物线 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1设双曲线22 12 y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ). D 2椭圆22 1167 x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数a 、b 的等差中项是5 2 ，，则椭圆22221x y a b +=的离 心率为（ ） A 4设1F 、2F 是双曲线2 2 124 y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 31||PF =42||PF ， 则12PF F ?的面积为（ ） A B 5 P 是双曲线22 916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和 22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则 ||||PA PM +的最小值为（ ） 1 2 1 2 7 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双 曲线的离心率为（ ） D 2 9抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ） A 35,24?? ??? B (1,1) C 39,24 ?? ??? D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b c a +的取值范围（ ） A (1,)+∞ B )+∞ C D 11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ） 12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ） A 12 a B 12 p C 112 2a p + D 12a －12 p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题 B C D A 双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+- 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） y2x 1设双曲线1的一个焦点为（0, 2），则双曲线的离心率为（）. m 2 A .2 B 2 C .6 D 2 2 2 2 X y 1右焦点分别为F 1,F2 ，一直线经过F1交椭圆于A、B两点，贝U 16 7 ABF?的周长为（) A 32 B 16 C 8 D 4 5 3两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是,6，则椭圆 2 2 x y 1 的离心率为（） 2 a2b2 A - B 远 C D .13 2 3 3 4设F1、F2是双曲线X2 2 佥1的两个焦点， P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|, 则PF1F2的面积为( ) A 4、. 2 B 8、. 3 C 24 D 48 2 5 P是双曲线— 2 y=1 的右支上一点，M N分别是圆（X 2 2 5) y 1 和(x 5)2 y2=4 9 16 上的点，贝U | PM | |PN 1的最大值为（) A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线x2 4y上的动点P在x轴上的射影为点M，点A（3, 2），则| PA| | PM |的 最小值为（) A 1 B 2 C -.10 1 D JO 2 7 一动圆与两圆2 2 x y 1 和 x2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 2 8若双曲线务 a 2 T T 1(a b 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（） \ 3 C ,5 D 2 (1, ) B G.2, ) C 1 （m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动 弦， 且 | AB | a （a 2p ），则AB 的中点M 到y 轴 的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题5分 ，共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点， P 是双曲线上一点，且 RPF 2=60o ， S p F 1 F 2 =1^/3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 ________________ 2 2 2 2 14已知椭圆—丄 1与双曲线—工 m n p q 三 解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： A 35 B 2,4 (1,1) C 3 9 2, 4 D (2,4) 2 x 10已知c 是椭圆 2 a 2 y b 2 1 (a b 0）的半焦距，则 b C 的取值范围（ a ) 9抛物线y 0距离最近的点的坐标 ) x 2上到直线2x y 11 方程 mx ny 2 o 与 mx 2 ny 2 1 (m, n, p,q R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ---------- 15已知抛物线x 2 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 16已知双曲线 2 x 2 a 2的两条渐近线的夹角为 —，则双曲线的离心率为 3 椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结 一、 椭圆的标准方程及其几何性质 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=> 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图 形 性质 焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴 长 长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ,短半轴长=b a b c 、、关系 222a b c =+ 离 心 率 )10(<<= e a c e 通 径 22b a 焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2 2 10,0,mx ny m n m n +=>>≠ 与椭圆122 22=+b y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()2222 21x y k b a k b k +=>-++ 二、 双曲线的标准方程及其几何性质 双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12 -222MF MF a a c =< 将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线 ②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在 标准方程 22 221x y a b -= (0,0)a b >> 22 221y x a b -= (0,0)a b >> 图 形 性质 焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点坐标 )0,(a ± ),0(a ±， 实轴、虚轴 实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=b a b c 、、关系 222c a b =+ 离 心 率 (e 1)c e a => 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± y o a x x y o a b x y a o 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每第十二单元 椭圆、双曲线、抛物线 一.选择题 (1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 (2) 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为1 2 ，则m= ( ) Ａ Ｂ 32 Ｃ8 3 Ｄ 2 3 (3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D (0, 1) (4) 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF ( ) A 1或 5 B 6 C 7 D 9 (5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围( ) A [0, 1] B (0, 1) C (]1， ∞- D (-∞, 0) (6) 若椭圆)0(122 22??=+b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成 5：3 两段，则此椭圆的离心率为 ( ) A 1716 B 17174 C 5 4 D 5 52 (7) 已知双曲线)0(1222>=-a y a x 的一条准线与抛物线x y 62 -=的准线重合，则该双曲 线的离心率为 ( ) A 23 B 23 C 2 6高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
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