高三数学-01【数学】湖北省黄冈中学2018年高三6月适应
湖北省黄冈中学2018届高三6月适应性考试
数学试题（理科）
试卷类型：A
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷封线内，将考号
最后两位填在答题卷右上方座位号内，同时机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把机读卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3．将填空题和解答题用0．5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每
题对应的答题区域内，答在试卷上无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若2
{|0,}x x x m m ??++≤∈≠R ，则m 的取值范围是（ ）
A ．1(,]4-∞
B ．1(,)4-∞
C ．1[,)4+∞
D ．1(,)4
+∞
2．平面向量a 与b 的夹角为60?，(2,0),||1==a b ，则|2|+a b 等于（ ）
A ．3
B ．23
C ．4
D ．12
3．已知直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥，αβ⊥，则（ ） A ．n β⊥ B ．n β，或n β? C ．n α⊥ D ．n α，或n α? 4．函数2
2,0,
,0
x x y x x ≥?=?
-
2,0
x
x y x x ?≥?=??--
D ．2,0,,0x x y x x ≥??=?--
5．已知3
(,),sin 25
παπα∈=，则tan()4πα+的值为（ ）
A ．1
7
-
B ．7
C ．17
D ．7-
6．若圆222(0)x y r r +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，则r 的取值范围是（ ） A ．[4,6] B ．(4,6) C ．(4,6] D ．[4,6) 7．已知命题“a b c d ≥?>”、“/c d >?a b ≥”和“a b e f
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） A ．1
9
B ．112
C ．115
D ．118
9．某厂的某种产品的产量去年相对于前年的增长率为1p ，今年相对于去年的增长率为
2p ，且12120
,0,p p p p p >>+=．如果这种产品的产量在这两年中的平均增长率为x ，则（ ） A ．2
p x ≥
B ．2
p
x = C ．2
p x <
D ．2
p x ≤
10．在等差数列{}n a 中，前n 项和n n S m =
，前m 项和m m
S n
=，其中m n ≠，则m n S +的值（ ）
A ．大于4
B ．等于4
C ．小于4
D ．大于2且小于4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若3
A π
=，3a =，1b =，
则c 的值为 ．
12．若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ．
13．一次单元测验由50道选择题组成，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满
分150分．若小明选对任一题的概率均为0.8，则小明在这次测验中成绩的标准差是 分．
14．计算123
23n
n
n n n C C C nC ++++，可以采用以下方法：
构造恒等式0122
(1)n n
n n n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导，得
1232
1
123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，在上式中令1x =，得
123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=?．
类比上述计算方法，计算12223
223n
n n n n C C C n C ++++= ．
15．给出下列四个命题：
①“向量,a b 的夹角为锐角”的充要条件是“0?>a b ”；
②如果()lg f x x =，则对任意的1x 、2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>
； ③将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有
72种不同的放法；
④记函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，要得到1(1)y f x -=-的图象，可以先将()y f x =的图象关于直线y x =做对称变换，再将所得的图象关于y 轴做对称变换，再将所得的图象沿x 轴向左平移1个单位，即得到1(1)y f x -=-的图象．
其中真命题的序号是 ．（请写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分） 在ABC ?中，2,2,31BC AC AB ===+． （1）求AB AC ?的值；
（2）若(1)(0)BP BA BC λλλ=-+>，且ABP ?的面积为
31
4
+，求实数λ的值． 17．（本小题满分12分） 如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、1BB 、11
C D 的中点．
（1）求点P 到平面MNQ 的距离；
（2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．
18．（本小题满分12分） 设函数()(1)ln(1)f x x x =++． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若对所有的0x ≥，均有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第k 次测试时3件次品全部被测出的概率为()f k ，求()f k 的最大值和最小值．
20．（本小题满分13分）
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为e ，右顶点为A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，
点E 为右准线上的动点，2AEF ∠的最大值为θ．
（1）若双曲线的左焦点为1(4,0)F -，一条渐近线的方程为320x y -=，求双曲线的方程； （2）求sin θ（用e 表示）；
（3）如图，如果直线l 与双曲线的交点为P 、Q ，与两条渐近线的交点为P '、Q '，O 为坐标原点，求证：OP OQ OP OQ ''+=+．
21．（本小题满分14分）
已知函数()f x 在其定义域上满足()2()1(0)xf x af x x a a +=+->．
（1）函数()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）； （2）当14
()[,]25
f x ∈时，求x 的取值范围；
（3）若(0)0f =，数列{}n a 满足11a =，那么：
①若10()n n a f a +<≤，正整数N 满足n N >时，对所有适合上述条件的数列{}n a ，110
n a <恒成立，求最小的N ；
②若1()n n a f a +=，求证：122334137
n n a a a a a a a a +++++<
．
理科数学参考答案（A 卷）
1．A ∵2{|0,}x x x m m ++≤∈≠?R ，∴140m ?=-≥，得14
m ≤． 2．B 222|2|(2)||44||1223+=+=+?+==a b a b a a b b ． 3．D ∵n 垂直于平面α的垂线m ，∴n
α，或n α?．
4．C 当0x ≥时，∵2y x =，∴0y ≥，且2
y
x =；当0x <时，∵2y x =-，∴0y <，且x y =--．故反函数为,0,
2
,0.
x
x y x x ?≥?
=?
?--
5．C ∵3(,),sin 25παπα∈=，∴4c o s 5α=-，∴3t a n 4α=-，∴1t a n 1
t a n ()41t a n 7
πααα++==-．
6．B ∵圆心(0,0)O 到直线43250x y -+=的距离5d =，∴(4,6)r ∈．
7．A c d a b e f ≤?
≤矛盾，故e f ≤/?c d ≤．故“c d ≤”是“e f ≤”的充分不必要条件．
或：∵e f a b ≤?
8．B 设掷3次骰子所得的点数分别为123,,a a a ，则1322a a a +=．分两类：①1a 与3a 同
为奇数；②1a 与3a 同为偶数．所求得的概率33331
66612
P ?+?=
=??．
9．D 设这种产品前年的产量为a ，则今年的产量为212(1)(1)(1)a p p a x ++=+，得2222121212(1)(1)(1)(1)(1)[
](1)(1)222p p p p p x p p +++++=++≤=+=+，
∴112p x +≤+，∴2
p
x ≤． 10．A 设2n S pn qn =+，则22,n m
pn qn pm qm m n
+=
+=， ∴两式相减得22
()()()n m P m n n m q n m mn
-+-+-=．∵m n ≠，∴()m n P m n q mn +++=．
22
2
()(2)()()()[()]4m n m n mn S p m n q m n m n p m n q mn mn
++=+++=+?++=≥=．
又∵m n ≠，∴4m n S +>．
11．2 ∵
sin sin a b A B =
，∴31sin sin 3
B π=，∴1sin 2B =，∴6B π
=，∴2C π=， ∴222c a b =+=．
12．4 ∵双曲线的左焦点2(3,0)16p -+在抛物线的准线2
p
x =-上，∴23162p p -+
=-，得4p =．
13．62 记ξ为选对的题数，则(50,0.8)B ξ，
500.80.28,(3)972,(3)62D npq D D ξξξσξ==??====．