2019-2020学年广东省珠海市高二下学期期末学业质量检测数学试题 解析版
广东省珠海市2019-2020学年高二下学期期末学业质量检测
数学试题
一、选择题（共12小题）.
1．设z＝，则|z|＝（）
A．B．C．2 D．5
2．函数f（x）＝的定义域为（）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
3．曲线C：y＝﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程是（）
A．y＝2x B．y＝3x﹣1 C．y＝3x+5 D．y＝﹣3x+5 4．已知随机变量X～N（6，1），且P（5＜X＜7）＝a，P（4＜X＜8）＝b，则P（4＜X ＜7）＝（）
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求的排法有（）
A．15种B．14种C．13种D．12种
6．已知随机变量X的分布列是，
X123
P a 则E（2X+a）＝（）
A．B．C．D．
7．已知函数f（x）满足f'（2）＝3，则＝（）A．B．C．6 D．3
8．（1+x）8展开式中系数最大的项为（）
A．72x4B．70x4C．72x5D．70x5
9．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）
附：独立性检验的临界值表：
P（K2≥
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0）
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 A．若K2的观测值k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病
C．从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得判断出现错误
D．以上三种说法都不正确
10．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x（单位：元）和销售量y（单位：件）之间的四组数据如表：
售价x4 4.5 5.56
销售量y1211109用最小二乘法求得y与x之间的线性回归方程y＝﹣1.4x +，那么方程中的值为（）A．16.5 B．17 C．17.5 D．18
11．直角梯形OABC中AB∥OC、AB＝1、OC＝BC＝2，直线l：x＝t截该梯形所得位于l 左边图形面积为S，则函数S＝f（t）的图象大致为（）
A ．
B ．
C．D．
12．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）
A．180 B．192 C．480 D．420
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
13．已知z1＝a+3i，z2＝2+bi，（a，b∈R）且z1和z2为共轭复数，则ab＝．14．若（3x+）n展开式二项式系数之和为32，则展开式中含x3项的系数为．15．已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是
16．已知函数f（x）＝x2e x，则f′（x）＝．
17．已知f（x）＝lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围为．18．已知随机变量X～B（10，0.3），则D（X）＝．
19．已知函数f（x）＝，则f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2018）+f（2019）+f（2020）＝．
20．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）＝4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为．
三、解答题：本题共5小题，每小题满分为10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．已知f（x）＝是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性（只写出判断结果，不需要证明）．
22．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+1，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[﹣2，2]，求f（x）的值域．
23．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生5
女生10
合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）
24．珠海国际赛车场（简称ZIC）位于珠海经济特区金鼎镇．创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场．目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体．为了减少对环境的污染，主办方委托环保部门清理现场垃圾．某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾．通过查阅近5年参会人数x（万人）与所需环保车辆数量y（辆），得
到如下统计表：
参会人数x（万人）11981012
所需环保车辆y（辆）2823202529（1）根据统计表所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y＝x+；
（2）已知租用的环保车平均每辆的费用C（元）与数量t（辆）的关系为C＝
．主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用．预计本次赛车会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润L是多少？
（注：利润L＝主办方支付费用﹣租用车辆的费用）．
参考公式：＝＝，＝﹣．
25．已知a为实数，函数f（x）＝ln（x+a）在x＝1处的切线与直线y＝x+2020平行．（1）求a的值；
（2）证明：≤f（x）≤x．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设z＝，则|z|＝（）
A．B．C．2 D．5
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
解：z＝＝，则|z|＝，
故选：A．
2．函数f（x）＝的定义域为（）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．解：函数f（x）＝中，
令2x﹣1≠0，解得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
故选：C．
3．曲线C：y＝﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程是（）
A．y＝2x B．y＝3x﹣1 C．y＝3x+5 D．y＝﹣3x+5 【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．解：y＝﹣x3+3x2的导数为y′＝﹣3x2+6x，
可得曲线y＝﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线斜率为k＝﹣3+6＝3，
即有曲线y＝﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2＝3（x﹣1），
即为y＝3x﹣1．
故选：B．
4．已知随机变量X～N（6，1），且P（5＜X＜7）＝a，P（4＜X＜8）＝b，则P（4＜X ＜7）＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（4＜X＜7）．
解：∵随机变量X～N（6，1），∴正态曲线的对称轴是x＝6，
∵P（1≤X≤5）＝0.6826，
∵P（5＜X＜7）＝a，P（4＜X＜8）＝b，
∴P（7＜X＜8）＝，
∴P（4＜X＜7）＝b﹣＝．
故选：D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求的排法有（）
A．15种B．14种C．13种D．12种
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在末尾，剩下三人全排列即可，②甲不在末尾，先排甲，再排乙，剩下的两人全排列，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，甲不能站排头，乙不能站排尾排法．可分2种情况讨论：
①甲在末尾，剩下三人全排列即可，此时有A33＝6种排法；
②甲不在末尾，先排甲，有A21种方法，再排乙有A21种方法，剩下的两人有A22种排法，
故有A21×A21×A22＝8种排法，
则有6+8＝14种不同的排法；
故选：B．
6．已知随机变量X的分布列是，
X123
P a 则E（2X+a）＝（）
A．B．C．D．
【分析】利用分布列求出a，求出期望即可．
解：由题意可得，解得a＝，
E（X ）＝＝．
∴E（2X +）＝2×＝．
故选：C．
7．已知函数f（x）满足f'（2）＝3，则＝（）
A ．
B ．C．6 D．3
【分析】结合导数的定义，f'（x0）＝，将原式进行变形即可得解．
解：＝2×＝2f'（2）＝2×3＝6．故选：C．
8．（1+x）8展开式中系数最大的项为（）
A．72x4B．70x4C．72x5D．70x5
【分析】根据二项式的展开式中，各项的系数也是展开式的二项式系数，由此求出展开式中系数最大的项是第几项．
解：二项式（1+x）8的展开式中，
各项的系数也是展开式中二项式系数，
∴展开式中共有9项，系数最大的项为第5项．
故（1+x）8展开式中系数最大的项为：x4＝70x4；
故选：B．
9．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）附：独立性检验的临界值表：
P（K2≥
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0）
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 A．若K2的观测值k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那
么他有99%的可能性患有肺病
C．从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得判断出现错误
D．以上三种说法都不正确
【分析】根据独立性原理，分别判断选项中的三个命题是否正确即可．
解：对于A，K2的观测值k＝6.635时，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，不是指“在100个吸烟的人中必有99人患有肺病”，A错误；
对于B，从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，不能说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病，B错误；
对于C，根据独立性原理知，从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得判断出现错误，C正确．
故选：C．
10．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x（单位：元）和销售量y（单位：件）之间的四组数据如表：
售价x4 4.5 5.56
销售量y1211109用最小二乘法求得y与x之间的线性回归方程y＝﹣1.4x+，那么方程中的值为（）A．16.5 B．17 C．17.5 D．18
【分析】求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a的值．
解：由题意，＝（4+4.5+5.5+6）＝5，＝（12+11+10+9）＝10.5，
∵线性回归方程y＝﹣1.4x+a，
∴10.5＝（﹣1.4）×5+a，
∴a＝17.5．
故选：C．
11．直角梯形OABC中AB∥OC、AB＝1、OC＝BC＝2，直线l：x＝t截该梯形所得位于l 左边图形面积为S，则函数S＝f（t）的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：
然后分情况即可获得问题的解答．
解：由题意可知：当0＜t≤1时，，
当1＜t≤2 时，；
所以．
结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．
故选：C．
12．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）
A．180 B．192 C．480 D．420
【分析】根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，据此分2步讨论区域①②③与区域④⑤的涂色方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，如图，假设5个区域依次为①②③④⑤，
分2步进行分析：
首先：对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53＝60种情况，
再者：对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况，
若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有2×2＝4种，
则区域④⑤有3+4＝7种情况，
则一共有60×7＝420种涂色方案；
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
13．已知z1＝a+3i，z2＝2+bi，（a，b∈R）且z1和z2为共轭复数，则ab＝﹣6．【分析】利用共轭复数的定义直接求解．
解：∵z1＝a+3i，z2＝2+bi，（a，b∈R）且z1和z2为共轭复数，
∴，∴ab＝﹣6．
故答案为：﹣6．
14．若（3x+）n展开式二项式系数之和为32，则展开式中含x3项的系数为15．【分析】根据展开式的二项式系数之和为32，求出n＝5，求出展开式的通项公式，令x 的次数为3求出k的值进行计算即可．
解：∵（3x+）n展开式的二项式系数之和为32，
∴2n＝32得n＝5，
则通项公式T k+1＝（3x）5﹣k（）k＝?35﹣k x，
由5﹣＝3得k＝4，
则T4+1＝?3x3＝15x3，
即x3的系数为15，
故答案为：15．
15．已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是
【分析】第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，根据独立重复试验的知识处理即可．
解：依题意，恰好在第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，
所以概率为：p＝＝．
故填：．
16．已知函数f（x）＝x2e x，则f′（x）＝（x2+2x）e x．
【分析】根据导数的运算法则计算即可．
解：∵f（x）＝x2e x，
∴f′（x）＝2xe x+x2e x＝（x2+2x）e x，
故答案为：（x2+2x）e x．
17．已知f（x）＝lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围为．【分析】求导数，利用函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，可得f′（x）＝﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，即可求出实数a的取值范围．
解：∵f（x）＝lnx﹣ax（a∈R），
∴f′（x）＝﹣a，
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，
∴f′（x）＝﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，即a，
而y＝在区间（1，+∞）上是单调减函数，
∴a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
18．已知随机变量X～B（10，0.3），则D（X）＝ 2.1．
【分析】利用独立重复实验，求解方差即可．
解：随机变量X～B（10，0.3），
则D（X）＝10×0.3×0.7＝2.1．
故答案为：2.1．
19．已知函数f（x）＝，则f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2018）+f（2019）+f（2020）＝．
【分析】推导出＝，由此能求出f（）+f（）+f（）+…
+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2018）+f（2019）+f（2020）的值．
解：∵函数f（x）＝，
∴＝+＝+＝，
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2018）+f（2019）+f（2020）
＝2019×+＝．
故答案为：．
20．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）＝4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e）．
【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣3x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得
到结论．
解：设t＝lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）＝f（x）﹣3x﹣1，
则g′（x）＝f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）＝f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）＝4，
∴g（1）＝f（1）﹣3﹣1＝0，
则当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，
即g（x）＜0，则此时g（x）＝f（x）﹣3x﹣1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故答案为：（0，e）．
三、解答题：本题共5小题，每小题满分为10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．已知f（x）＝是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性（只写出判断结果，不需要证明）．
【分析】（1）由奇函数的定义可得f（0）＝＝0，解可得a＝﹣1，验证即可得答案；
（2）根据题意，f（x）＝＝1﹣，由函数单调性的定义分析可得答案．解：（1）根据题意，f（x）＝是奇函数，且其定义域为R，
则有f（0）＝＝0，解可得a＝﹣1，
当a＝﹣1时，f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣（）＝﹣f（x），为奇函数，符合题意；
故a＝﹣1；
（2）由（1）的结论，f（x）＝＝1﹣，在R上为增函数
22．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+1，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[﹣2，2]，求f（x）的值域．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值和端点值，求出函数的值域即可．
解：（1）f′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，+∞）递增；
（2）若x∈[﹣2，2]，结合（1）得：
f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，2]递增；
而f（﹣2）＝﹣1，f（﹣1）＝2，f（）＝，f（2）＝11，
故函数的值域是[﹣1，11]．
23．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生5
女生10
合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）
【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人数，进而做出男生的人数，填好表格．
（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系．
（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．
解：（1）列联表补充如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生20525
女生101525
合计302050
（2）∵K2＝≈8.333＞7.879﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
其概率分别为P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故ξ的分布列为：
ξ012
P
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
ξ的期望值为：Eξ＝0×+1×+2×＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
24．珠海国际赛车场（简称ZIC）位于珠海经济特区金鼎镇．创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场．目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体．为了减少对环境的污染，主办方委托环保部门清理现场垃圾．某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾．通过查阅近5年参会人数x（万人）与所需环保车辆数量y（辆），得到如下统计表：
参会人数x（万人）11981012
所需环保车辆y（辆）2823202529（1）根据统计表所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y＝x+；
（2）已知租用的环保车平均每辆的费用C（元）与数量t（辆）的关系为C＝
．主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用．预计本次赛车会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润L是多少？
（注：利润L＝主办方支付费用﹣租用车辆的费用）．
参考公式：＝＝，＝﹣．
【分析】（1）由表格中的数据结合已知公式求得，进一步求得，从而得到回归直线
方程；
（2）由（1）中求出的线性回归方程，取x＝14求得y值，则C可求，进一步求出其利润．
解：（1），．
＝1×3+（﹣1）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣5）+0×0+2×4＝23，＝1+1+4+0+4＝10．
∴，．
则y关于x的线性回归方程为：y＝2.3x+2；
（2）由（1）中求出的线性回归方程，当x＝14时，y＝34.2，
为确保完成任务，应租用35辆环保车，
∴C＝2900×35＝101500．
获得的利润L＝6000×35﹣101500＝108500．
综上所述，环保部门应租用35辆环保车，获得的利润L是108500元．
25．已知a为实数，函数f（x）＝ln（x+a）在x＝1处的切线与直线y＝x+2020平行．（1）求a的值；
（2）证明：≤f（x）≤x．
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由已知列式求得a 值；
（2）把a＝1代入得到函数f（x），然后分别构造函数g（x）＝x﹣f（x）＝x﹣ln（x+1），h（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x，再由导数证明不等式成立．
解：（1）由f（x）＝ln（x+a），得f′（x）＝，
则f′（x）＝，
又函数f（x）＝ln（x+a）在x＝1处的切线与直线y＝x+2020平行，
∴，即a＝1；
证明：（2）由（1）知，f（x）＝ln（x+1）．
令g（x）＝x﹣f（x）＝x﹣ln（x+1），则g′（x）＝1﹣＝（x＞﹣1）．
当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）＞g（0）＝0，即x≥f（x）；
要证≤f（x），即≤ln（x+1），也就是证x≤（x+1）ln（x+1），
令h（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x，则h′（x）＝ln（x+1）．
当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴h（x）＞h（0）＝0，即（x+1）ln（x+1）≥x，
∴≤f（x）．
综上，≤f（x）≤x．
高二数学上学期期末考试试题 理(A卷)
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